高考数学圆锥曲线专题复习

第 - 1 - 页 圆锥曲线

一、知识结构

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点及一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

点及曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；

点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0

两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则

f1(x0,y0)=0

点P0(x0,y0)是C1，C2的交点

f2(x0,y0) =0

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.

2.圆

圆的定义：点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 第 - 2 - 页 圆的方程：

(1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

x2+y2=r2

(2)一般方程

当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-2D,-2E），半径是24F-ED22.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为

(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22

当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点

当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

点及圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则

｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，

其中｜MC｜=2020b)-(ya)-(x.

(3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 第 - 3 - 页 直线及圆相交有两个公共点

直线及圆相切有一个公共点

直线及圆相离没有公共点

②直线和圆的位置关系的判定

(i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22CBbAaBA及半径r的大小关系来判定.

3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识

椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件 {M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a} {M｜｜MF1｜-｜MF2｜.

=±2a,｜F2F2｜＞2a}. {M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.

圆 形

标准方程 22ax+22by=1(a＞b＞0) 22ax-22by=1(a＞0,b＞0) y2=2px(p＞0)

顶 点 A1(-a,0),A2(a,0); A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0) 曲 线 性 质 第 - 4 - 页 B1(0,-b),B2(0,b)

轴 对称轴x=0,y=0

长轴长：2a

短轴长：2b 对称轴x=0,y=0

实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=0

焦 点 F1(-c,0),F2(c,0)

焦点在长轴上 F1(-c,0),F2(c,0)

焦点在实轴上 F(2P，0)

焦点对称轴上

焦 距 ｜F1F2｜=2c，

c=b2-a2 ｜F1F2｜=2c,

c=b2a2

准 线 x=±ca2

准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=±ca2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p

准线及焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

离心率 e=ac,0＜e＜1 e=ac,e＞1 e=1

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离及到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e第 - 5 - 页 ＞1时，轨迹为双曲线

5.坐标变换

坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标及曲线的方程.

坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x=x′+h x′=x-h

(1) 或(2)

y=y′+k y′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方 程 焦 点 焦 线 对称轴

椭圆 22h)-(xa+22k)-(yb=1 (±c+h,k) x=±ca2+h x=h

y=k 第 - 6 - 页 22h)-(xb+22k)-(ya

=1 (h,±c+k) y=±ca2+k x=h

y=k

双曲线 22h)-(xa-22k)-(yb=1 (±c+h,k) =±ca2+k x=h

y=k

22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h,±c+h) y=±ca2+k x=h

y=k

抛物线 (y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k

(y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k

(x-h)2=2p(y-k) (h,

2p+k) y=-2p+k x=h

(x-h)2=-2p(y-k) (h,-

2p+k) y=2p+k x=h

二、知识点、能力点提示

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

三、 考纲中对圆锥曲线的要求： 第 - 7 - 页 考试内容：

. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；

. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；

. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；

考试要求：

. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；

. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；

. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；

. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

四．对考试大纲的理解

高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组及链接, 使知识形成网络,

着重考查直线及圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。

求圆锥曲线的方程

【复习要点】 第 - 8 - 页 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它及对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形——指的是二次曲线的焦点位置及对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

【例题】

【例1】 双曲线2224byx=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，

|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.

解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则

|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),

即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,

又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 第 - 9 - 页 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,

依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2

∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜317,

又∵c2=4+b2＜317,∴b2＜35,∴b2=1.

【例2】 已知圆C1的方程为3201222yx，椭圆C2的方程为

12222byaxab0，C2的离心率为22，如果C1及C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。

解：由.,2,22,222222cbcaace得

设椭圆方程为.122222bybx

设).1,2().,().,(2211由圆心为yxByxA

又,12,12222222221221bybxbybx

两式相减，得.022222122221byybxx

又.1.2.421212121xxyyyyxx得

即3xy

将得代入,1232222bybxxy

由.3204)(222122121xxxxxxBA

得.3203722422b

解得 .82b 故所有椭圆方程.181622yx

【例3】 过点(1，0)的直线l及中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AByxC1F2F1OAB