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高考数学第一轮复习 圆锥曲线训练题

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word 1 / 10 高考数学第一轮复习 圆锥曲线训练题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是

A．43 B．75 C．85 D．3

2.椭圆2221(1)xyaa的一个焦点为F，点P在椭圆上，且||||OPOF（O为坐标原点），则△OPF的面积S等于

A．12 B．75 C．85 D．以上都不对

3．椭圆122byax与直线xy1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为23，则ba的值为A

A.23 B.332 C. 239 D. 2732

4.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹是

A.x+4=0 B.x-4=0 C.28yx D.216yx

5.直线L过点(2,0)且与双曲线222xy仅有一个公共点，这样的直线有

A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条

6. 过双曲线M:2221yxb的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是

A.10 B.5 C.103 D.52

7.椭圆221259xy上的一点M到左焦点1F的距离为2，N是M1F的中点，则|ON|等于

A. 4 B. 2 C. 32 D. 8 word

2 / 10 8. 已知(,)526xya，(,)526xyb，曲线1ab一点M到F（7，0）的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|的值为

A．211 B．221 C．21 D．221或21

9.抛物线22xy离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是

A.0a B. 12a C.1a D.2a

10.已知12,FF为椭圆E的两个左右焦点，抛物线C以1F为顶点，2F为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足12PFePF，则e的值为

A. 33 B.23 C. 22 D.22

11．已知双曲线)0(222aayx的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图像上有一点P，APBPBAPAB,,，则

A、0tantantan B、0tantantan

C、0tan2tantan D、0tan2tantan

12. 已知点P是椭圆221(0,0)168xyxy上的动点，12,FF为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是12FPF的角平分线上一点，且10FMMP,则OM的取值X围是

A.[0,3] B.(0,22) C.[22,3) D.[0,4]

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

13. 已知点P（x,y）是抛物线y2=x上任意一点，且点P在直线0ayax的上方，则实数a的取值X围为. word

3 / 10 14. 与双曲线221169xy有共同的渐近线，且经过点(3,23)A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于

15．若椭圆22:11xCym的一条准线方程为2x，则m；此时，定点)0,21(与椭圆C上动点距离的最小值为.

16. 已知抛物线)1,0(,22Pyx过点的直线与抛物线相交于),(),(221,1yxByxA两点，则21yy的最小值是___________

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

17．过抛物线xy42的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2+2y2=2相交，求k的取值X围．18．若点P在椭圆13422xy上，设)1(||||21mmPFPF，（1）试用m表示21PFPF；

（2）在（1）的条件下，求||||2121PFPFPFPF的最大值和最小值

19．已知椭圆2212xy的左焦点为F，O为坐标原点。

（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值X围。

20．（理）已知动点M到点F222)0,2(的距离之比为的距离与到直线x.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（－2，0）满足)(21PBPAPN，求直线PN在y轴上的截距d的取值X围.．

（文）直线l：1kxy与曲线1:22yxC的左支交于不同的两点A、B，直线m过点P（－2，0）和AB的中点M，求m在y轴上截距b的取值X围. xylGABFOword

4 / 10 21.已知椭圆)0(12222babyax，它的上下顶点分别是A、B，点M是椭圆上的动点（不与A、B重合），直线AM交直线2yb于点N，且BNBM.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若斜率为1的直线l交椭圆于P、Q两点，求证：OQOP与向量a=（－3，1）共线（其中O为坐标原点）

22.已知椭圆C1:22143xy,抛物线C2:2()2(0)ympxp,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

(1)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

(2)是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.

2007－2008学年度某某市高三第一轮复习训练题

数学（十四）（圆锥曲线）参考解答

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）

1.A 2.A 3. A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.A 11. C 12.B

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.12a. 14.2 15.1，32. 16..2

三、解答题

17.解：抛物线xy42的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为)1(xky

由)1(42xkyxy 得 0)2(22222kxkxk 2分

∴1)2(2212221xxkkxx， word

5 / 10 故42422221)1(164)2(4)(kkkkxx

由64)1(16))(1(4222212kkxxk，解得k≥1

由)1(22322xkyyx 得 0)1(24)23(2222kxkxk 8分

由0)1)(23(816224kkk，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3

∴k的取值X围是[3，－1]∪[1，3]

18.解：（1）因为P在椭圆上，故1121224,4,24,.2mPFPFPFmPFPFmPF

21PFPF22221212121212128cos.42PFPFFFmPFPFFPFPFPFPFPF

（2） mmPFPFPFPF8412121，由平面几何知识21PFPF21FF，

即2m，所以2,1m；

记xxxf8，设21,xx2,1且21xx，

则21xfxf212181xxxx0，所以21，在xf上单调递减，

所以当1m时原式取最大值49，当2m时原式取最小值23.

19.解：（1）222,1,1,(1,0),:2.abcFlx

圆过点O、F，

圆心M在直线12x上。

xylGABFOword

6 / 10 设1(,),2Mt则圆半径

13()(2).22r

由,OMr得2213(),22t

解得2.t

所求圆的方程为2219()(2).24xy

（2）设直线AB的方程为(1)(0),ykxk

代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxkxk

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

记1122(,),(,),AxyBxyAB中点00(,),Nxy

则21224,21kxxk

AB的垂直平分线NG的方程为001().yyxxk

令0,y得

222002222211.21212124210,0,2GGkkkxxkykkkkkx

点G横坐标的取值X围为1(,0).2

20．（理）解：（1）设动点M的坐标为（x，y），由题设可知

,1,222)2(2222yxxyx整理得：

∴动点M的轨迹C方程为122yx

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设直线AB的方程为：,1kxy

由)1(1122xyxkxy word

7 / 10 消去y得：),1(022)1(22xkxxk

由题意可得：

0120120)1(84,01221221222kxxkkxxkkk解得21k

),(),(2100yxNABNPBPAPN中点，设为

则,111,122002210kkxykkxxx

222),0(),0,2(),11,1(222kkddQPkkkN三点共线可知

令)2,1()(,22)(2在则kfkkkf上为减函数.

2)22(,0)()1()()2(ddkffkff或则且．

（文）解：由1122yxkxy

消去y得：),1(022)1(22xkxxk

0120120)1(84,01221221222kxxkkxxkkk解得21k

设M（x0，y0）

则,111,122002210kkxykkxxx

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2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题

2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题

1 2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题

基础巩固强化

一、选择题

1．若点P到直线y＝－2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

[答案] D

[解析] 由条件知，点P到直线y＝－1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，∴P点轨迹是以A为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线．

2．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是( )

A．两条直线 B．两条射线

C．两条线段 D．一条直线和一条射线

[答案] D

[解析] 原方程化为

 2x＋3y－1＝0，x－3≥0，或x－3－1＝0，

∴2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故选D.

3．若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x22＋y2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )

A．x2－y2＝1 B．y2－x2＝1

C.x24－y2＝1 D.y24－x2＝1

[答案] B

[解析] ∵椭圆x22＋y2＝1的短轴端点为(0，±1)，

离心率e1＝ca＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，

即焦点在y轴上，且a＝1，离心率e2＝c′a＝2，

∴c′＝2，b＝1，所求双曲线方程为y2－x2＝1.故选B.

4．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC→＝2CB→，则点C的轨迹是( )

A．线段 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

[答案] C

[解析] 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则 2 a2＋b2＝9，①

又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

则 a＝3x，b＝32y，②

把②代入①式整理可得：x2＋14y2＝1.故选C.

5．(2012·天津模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )

圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习

圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习

题组：圆锥曲线综合大题练

题型1：定点问题

1.椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为12，其左焦点到点𝑃(2,1)的距离为√10．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚与椭圆C相交于𝐴,𝐵两点（𝐴,𝐵不是左右顶点），且以𝐴𝐵为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线𝑙过定点，并求出该定点的坐标．

2.已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥经过点M（2，2），C在点M处的切线交𝑥轴于点N，直

线𝑙1经过点N且垂直于𝑥轴．

（Ⅰ）求线段ON的长；

（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线𝑙2：𝑥=𝑚𝑦+𝑏交C于点A和B，交𝑙1于点

E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：𝑙2是否过定

点？请说明理由．

3.已知椭圆C：2222=1xyab（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线𝑙不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：𝑙过定点.

4.如图，椭圆𝐸：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左焦点为𝐹1，右焦点为𝐹2，离心率

𝑒=12．过𝐹1的直线交椭圆于A、B两点，且∆𝐴𝐵𝐹2的周

长为8．

（Ⅰ）求椭圆𝐸的方程．

（Ⅱ）设动直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑚与椭圆E有且只有一个

公共点P，且与直线𝑥=4相交于点Q．试探

究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，已知椭圆Γ：𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率𝑒=√22，短轴右端点为

𝐴,𝑀(1.0)为线段𝑂𝐴 的中点．

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（Ⅱ）过点𝑀任作一条直线与椭圆Γ相交于𝑃,𝑄两点，试问在𝑥轴上是 否存在定点𝑁，使得∠𝑃𝑁𝑀=∠𝑄𝑁𝑀，若存在，求出点𝑁的坐标；若不存在，说明理由．

高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)

高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)

解析几何

专题二：圆锥曲线弦长问题

一、知识储备

弦长公式

221212||)()ABxxyy（

2212212||)1ABxxkxx(1+k)(

221212)4]xxxx(1+k)[（ （最常用公式，使用频率最高）

21212211()4yyyyk

二、例题讲解

1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C的标准方程为：22221(0)xyabab，若右焦点为(2,0)F且离心率为63．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是C上的两点，直线MN与曲线222xyb相切且M，N，F三点共线，求线段MN的长．

【答案】（1）2213xy；（2）3.

【分析】

（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.

（2）由（1）知曲线为221(0)xyx，讨论直线MN的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.

【详解】

（1）由题意，椭圆半焦距2c且63cea，则3a，又2221bac，

∴椭圆方程为2213xy；

（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx

当直线MN的斜率不存在时，直线:1MNx，不合题意：

当直线MN的斜率存在时，设11,Mxy，22,Nxy又M，N，F三点共线，

可设直线:(2)MNykx，即20kxyk，

由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得2|2|11kk，解得1k， 联立22(2)13yxxy，得246230xx，则12322xx，1234xx，

∴21212||1143MNxxxx.

感悟升华（核心知识）

解析几何弦长问题，最通用的公式221212||)4]ABxxxx(1+k)[（在求解的过程中，注意计算准确。

2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线22142xy的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.

2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)

2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)

第 1 页 共 15 页

直线与圆锥曲线的综合运用

一、知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有

①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；

①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；

①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．

(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．

①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.

3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；

过椭圆内一点的直线与椭圆相交．

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直第 2 页 共 15 页 线.

(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；

过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；

过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．

二、课前预习

1.若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是____．

2.斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为____．