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三角恒等变换经典例题

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三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

(1）sincoscossin)sin( sincocossin)sin(s

(2）sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos(

(3）tantan1tantan)tan(  tantantan1tantan

(4）tantan1tantan)tan(  tantantan1tantan

(7) sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)ab所在的象限决定,2222sin,cos,tanbabaabab ，该法也叫合一变形).

(8) )4tan(tan1tan1 )4tan(tan1tan1

2. 二倍角公式

（1）aaacossin22sin （2）1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa

（3）aaa2tan1tan22tan

3. 降幂公式：

（1）22cos1cos2aa （2） 22cos1sin2aa

4. 升幂公式

（1）2cos2cos12 （2）2sin2cos12

（3）2)2cos2(sinsin1 （4）22cossin1

（5）2cos2sin2sin

5. 半角公式（符号的选择由2所在的象限确定）

（1）2cos12sinaa，

（2）2cos12cosaa ，

（3）aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan

6. 万能公式:

（1）2tan12tan2sin2, （2）2tan12tan1cos22,（3）.2tan12tan2tan2

7，辅角公式

)sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa，比如：xxycos3sin )cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx

)cos23sin21(2xx )3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x

10. 常见数据：6262sin15cos75,sin75cos1544，

3215tan, 3275tan,

专题四 三角恒等变形各类题

命题点1 和差公式的直接应用

1．(2015课标1,2) 0000sin20cos10cos160sin10（ ）

3.2A 3.2B 1.2C 1.2D

2．（2017江苏，5）若1tan()46，则tan=_____________ .

3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sinα＋π4＝________.

4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )

A．－22 B.22 C.12 D．－12

5．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α等于(

)

A.6425 B.4825 C．1 D.1625

6．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ等于(

)

A.23 B.43 C.34 D.32

7．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin25，3cos25，则属于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

命题点2 角的变换

8．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )

A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或525

9．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．

10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．

11．(2016·浙江五校联考)已知3tanα2＋tan2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )

A.43 B．－43 C．－23 D．－3

命题点3 三角函数式的化简

12．（2013重庆，9）004cos50tan40（ ） .2A 23.2B .3C 221

13．化简：1＋sin θ＋cos θsin θ2－cos θ22＋2cos θ (0

14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．

15． 化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.

16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cos π＋α2sin π－α2－cos π－α2等于

A.12 B．－12 C．2 D．－2

命题点4 给值求值问题

17．（2017课标全国3文，4）已知4sincos3，则sin2（ ）

7.9A 2.9B

2.9C 7.9D

18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.

19．（2013浙江，6）已知R，10sin2cos2,则tan2（ ）

4.3A

3.4B 3.4C 4.3D

20．（2014江苏，15）已知(,)2，5sin5

（1）求sin()4的值；（2）求5cos(2)6的值。

21．(2015·广东)已知tan α＝2.

①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．

命题点5 给值求角问题

22． 设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( )

A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4

23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．

24．（2014课标1,8）设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则（ ）

.32A .32B .22C .22D

25．(2016·义乌检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( )

A.7π4 B.5π4 C.5π4或7π4 D.3π2

命题点6 三角恒等变换的应用

26．(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsinπ2－x·cosx－π3－3.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．

27．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsin x－3cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．

堂测题组

专题四 三角恒等变形【A】

1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )

A．－32 B.32 C．－12 D.12

2．(2016·全国甲卷)若cosπ4－α＝35，则sin 2α等于( )

A.725 B.15 C．－15 D．－725

3．(2016·富阳模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos2α的值等于( )

A．2 B．3 C．4 D．6

4．已知：434，，04，，且cossin435541213，，则cos=_______.

专题四 三角恒等变形【B】

1．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin2(π4－α)等于( )

A.118 B.1718 C.89 D.29

2．(2016·绍兴高三教学质检)已知sin(π5－α)＝13，则cos(2α＋3π5)等于( )

A．－79 B．－19 C.19 D.79

3．(2017·浙江九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )

A．α

4．0002cos10sin20sin70的值是（

）

A. 12 B. 32 C. 2 D. 3

巩固作业

专题四 三角恒等变形

1．(2017浙江ZDB联盟一模)已知1sin3， 0，则tan__________，

sincos22__________．

2．已知0

3．(2016·合肥质检)已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2)．

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－1tan α的值．

4．(2017浙江温州二模)已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，，求的值.

5.已知函数).,(2cos)62sin()62sin()(为常数aRaaxxxxf

（1）求函数的最小正周期；（2）若.,2)(,]2,0[的值求的最小值为时axfx

6．已知函数xxxxfcossinsin3)(2

（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）求函数32,245)(xxf在的值域. （3）对称轴和对称点

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数学初中三年级下册第四章三角恒等变换的认识与运算

数学初中三年级下册第四章三角恒等变换的认识与运算

数学初中三年级下册第四章三角恒等变换的认识与运算

三角恒等变换是数学中非常重要的概念和技巧，它在解决三角函数的问题中起着至关重要的作用。通过等式的转换和变形，我们可以简化复杂的三角函数表达式，使其更易于计算和理解。本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见恒等变换公式以及运用恒等变换解决问题的方法。

一、基本概念

三角恒等变换是指使三角函数表达式在等式两边相等的变换过程。常见的三角恒等变换包括倒角公式、和差化积公式、倍角公式等。这些变换公式可以帮助我们在求解三角函数值或证明等式时进行简化和转换。

为便于理解，下面我们以一些常见的恒等变换公式为例进行介绍。

二、恒等变换公式

1. 倒角公式：

倒角公式是将一个夹角的三角函数用另外一个夹角的三角函数表示的公式。常见的倒角公式有正弦倒角公式、余弦倒角公式和正切倒角公式。具体公式如下：

（1）正弦倒角公式：

sin(α/2) = ± √[(1 - cosα) / 2] （2）余弦倒角公式：

cos(α/2) = ± √[(1 + cosα) / 2]

（3）正切倒角公式：

tan(α/2) = ± √[(1 - cosα) / (1 + cosα)]

这些倒角公式的运用，可以帮助我们将复杂的三角函数表达式简化为更简单的形式，并进一步求解相关问题。

2. 和差化积公式：

和差化积公式是将两个角的三角函数表示成一个角的三角函数的积的公式。常见的和差化积公式有两个，即正弦和差化积公式和余弦和差化积公式。具体公式如下：

（1）正弦和差化积公式：

sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB

（2）余弦和差化积公式：

cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB

通过和差化积公式，我们可以将和差角的三角函数转化为两个角的三角函数的乘积形式，使得计算更为便捷。

3. 倍角公式： 倍角公式是将一个角的三角函数表示成这个角的一半角（即倍角）的三角函数形式的公式。常见的倍角公式有正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。具体公式如下：

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sinsincoscossinsin22sincos令

2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　mm

如（1）下列各式中，值为12的是

A、1515sincosoo B、221212cossin C、22251225tan.tan.oo D、1302coso

（2）命题P：0tan(AB)，命题Q：0tanAtanB，则P是Q的

A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为____

（4）131080sinsinoo的值是______

(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，22，222等），

专题二、三角恒等变换

专题二、三角恒等变换

数学有数　专题二、三角恒等变换　■李碧　一、考点归纳　１．能用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；　２．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正　弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切　公式，了解它们的内在联系；　３．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导　出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记　）．　二、知识点精讲　１．两角和与差的三角函数．　ｓｉｎ（ａ：ｑ３）￣ｉｎａｃｏｓｆｌ：Ｌ－ｃｏｓａｓｉｎｆｌ；ｃｏｓ（ａ：￣）＝ｃｏｓａｃｏ￣干　ｓｉｎａｓｉｎｆｌ；ｔａｎ（　）＝　啬．　注：辅助角公式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝、／　・ｓｉｎ（ｘ＋￣ｐ），　其中ｓｉｎ　丽ｂ，ｃ。印　ａ・　２．二倍角公式．　ｓｉｎ２ａ＝２ｓｉｎａｃｏｓａ；ｃｏｓ２ａ＝ｃｏｓ２ａ—ｓｉｎ：ｏｔ＝２ｃｏｓ：ａ－１＝１－　２ｓｉｎ２ａ；ｔａｎ２ｏｔ＝－　垦　．　１－ｔａｎ　注：降幂公式．　ｓｉｎａｃｏｓａ　１　ｓｉｎ２ａ；ｓｉｎ２￣＝１－ｃ　ｏｓ２ａ；ＣＯＳ２０￣＝　垫　２　３．三角函数式的化简．　（１）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；　②切割化弦，异名化同名，异角化同角；　（２）化简要求：①能求出值的应求出值；②使　三角函数种数尽量少：③使项数尽量少．　４．三角函数的求值类型有三类．　（１）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，　要观察所给角与特殊角间的关系．利用三角变换消　去非特殊角。转化为求特殊角的三角函数值问题；　（２）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，　求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变　角”，如　＝（　）１Ｂ，２ａ＝（ａ－￣）＋（　］Ｂ）等，把所求角用　含已知角的式子表示。求解时要注意角的范围的讨论：　（３）给值求角：实质上转化为“给值求值”问　题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及　函数的单调性求得角．　５．三角等式的证明．　（１）三角恒等式的证题思路是根据等式两　端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为　简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为　“同”；　（２）三角条件等式的证题思路是通过观　察，发现已知条件和待证等式间的关系．采　用代入法、消参法或分析法进行证明．　三、例题精选及评析　１．已知　∈Ｒ，　ｓｉｎａ＋２ｃｏｓ　＝丁ｖＴＯ－，　贝０　ｔａｎ２　＝　（　）　Ａ．　Ｂ．｝　Ｃ．一　３　Ｄ．一　４　解析：由ｓｉｎ　＋２ｃ。ｓ　＝　匝２　，得到ｓｉｎ　＋４ｓｉ眦　ｃ。ｓ　＋４ｃ。ｓ　＝　５，￣１］ｓｉｎ２ａ＋４ｓｌｓｎｉｎ　ａ＋ｃｃ￣。ｓｓａ钮＋４ｃ￣ｓ２ａ＝　５，分　子分母同除以ｃ。ｓ　，￣ｌＪ　ｔａｎ２ｔａａ＋ｎ４钮ｔａ＋ｎｌｃｔ＋４＝　５，则　ｔａｎ　３或ｔａｎ　一丁１，所以ｔａｎ２　一　３，选ｃ．　评析：本题还可以联立ｓｉｎ　＋２ＣＯＳ￣＝　和　ｓｉｎ２ａ＋ｃｏｓ２ａ＝１得到ｓｉｎａ，ｃｏｓ　的值，但本题解法计算　更简捷．　２．４ｃｏｓ５０Ｏ＿ｔａｎ４０。＝（　）　Ａ．　Ｂ．—ｘ／Ｙ丁＿＋Ｖ－￣　Ｃ．、／丁Ｄ．２、／　一１　解析：　４ｃｏｓ５０￣－ｔａ　：４ｃｏｓ５０。－　器　ｓｉｎ４０￣一　＝　４ｓｉｎ４０￣ｃｏｓ４０。－－ｓｉｎ４０。　２ｓｉｎ８ｏ。－ｓｉｎ４０￣　２ｃｏｓｌＯ。－ｓｉｎ４０￣　ｎ　４０ｏ　ｎ　４Ｏｏ　ｎ￡４ｎｏ　：一２ｃｏｓ（４０￣－３０￣）－ｓｉｎ４０￣　ｃｏｓ４０。　２ｃｏｓ４０。ｃｏｓ３０。－２ｓｉｎ４０。ｓｉｎ３０。－ｓｉｎ４０。　＝＝～　ｃｏｓ４０。　、／　．选Ｃ．　一、／　ｃｏｓ４０。　一评析：４ｃ。ｓ５０。一ｔａｎ４０。＝４ｃ。ｓ５０。一　羞　这一步是　切化弦；４ｃ。ｓ５０。一　＝４ｓｉｎ４０。－　这一步是　角的统一；—２ｃ—ｏｓ　ｌ０　￣－　ｓｉｎ４０￣＿－２ｃｏｓ（４０ｃ￣－。ｓ３４０Ｕｕ￣）－ｓｉｎ４０￣￣　一步是非特殊角向特殊角的转化．本题综合运用了诱　导公式，倍角公式，两角和差公式，是一道典型的　三角变换的综合题．　３．设当ｘ＝Ｏ时，函数　）＝ｓｉｎｘ一２ｃｏ　取得最大值．　高中２０１３年第１１期　＃　篓　羹＃　＃　§　冀瓣一　蒋　％鬻　羹瓣　攀　＃　∞篓　

2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题

2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题

2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题 第 1 页 共 9 页 2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题

一、选择题

1．cos 555°的值为( )

A.6＋24 B．－6＋24

C.6－22 D.2－64

考点 两角差的余弦公式

题点 利用两角差的余弦公式求值

答案 B

解析 cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝－cos 15°＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－6＋24.

2．若π＜α＜2π，则化简1－cosα－π2的结果是( )

A．sin α2 B．cos α2

C．－cos α2 D．－sin α2

考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用降幂公式化简求值

答案 C

解析 ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，

原式＝1＋cos α2＝cos α2＝－cos α2.故选C.

3．在△ABC中，若tan Atan B＞1，则△ABC是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．以上均有可能

考点 简单的三角恒等变换的综合应用

题点 三角恒等变换与三角形的综合应用

答案 A

解析 由tan Atan B＞1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sin Asin B＞cos Acos B，即2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题 第 2 页 共 9 页 cos(A＋B)＜0，

∴cos(π－C)＜0.∴－cos C＜0.∴cos C＞0.∴角C为锐角．∴△ABC是锐角三角形，故选A.

4．已知f(x)＝sin2x＋π4，若a＝f(lg 5)，b＝flg 15，则( )

A．a＋b＝0 B．a－b＝0

C．a＋b＝1 D．a－b＝1

考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用降幂公式化简求值