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坐标平面内点的坐标特征平面直角坐标系内不同位置的点，它们的坐标各具特点，熟练掌握这些特殊位置的点及其坐标特征是解决有关问题的关键.一、各象限内点的坐标特征四个象限内点的坐标特征分别为第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）.例1 在平面直角坐标系中，若点P（a，b）在第四象限，则点Q（－b，a）在第象限.解析：因为点P（a，b）在第四象限，根据第四象限内点的坐标特征，知a>0，b<0，则－b>0，a>0，所以点Q（－b，a）在第一象限.故填一.二、坐标轴上点的坐标特征若P（x，y）在x轴上，则y=0，x为任意数；若P（x，y）在y轴上，则x=0，y为任意数；若P（x，y）在原点，则x=0，y=0.例2 在平面直角坐标系中，若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（）A．（0，－2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，－4）解析：由于点P（m+3，m+1）在x轴上，所以m+1=0，解得m=－1.当m=－1时，m+3=2，故点P的坐标为（2，0）.故选B．三、平行于坐标轴的直线上的点的特征平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同，即若A（a1，b1），B（a2，b2），且AB//x轴，则b1=b2；平行于y轴的直线上的所有点的横坐标都相同，即若A（a1，b1），B（a2，b2），且AB//y轴，则a1=a2.例3 在平面直角坐标系中，已知点A（4，y）和B（x，－3），过A，B两点的直线平行于x轴，且AB=5，则x= ，y= ．解析：因为过A，B两点的直线平行于x轴，所以y=－3.因为AB=5，所以x－4=5或x－4=－5，解得x=9或x=－1.故分别填9或－1，－3.四、各象限角平分线上的点的坐标特征若P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则x=y；若P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则x=－y.例4 已知点P（2a+5，10－3a）位于两坐标轴所成角的平分线上，则点P的坐标为.解析：当点P在一、三象限角的平分线上时，得2a+5=10－3a，解得a=1，此时点P的坐标为（7，7）.当点P在二、四象限角的平分线上时，得2a+5=－（10－3a），解得a=15，此时点P的坐标为（35，－35）. 故填（7，7）或（35，－35）.第1 页共1 页。
平面内点的坐标课件
平面内点的坐标课件
在数学学科中，平面几何是一个非常重要的分支。
在平面几何中，我们经常需
要研究点的位置和坐标。
通过坐标系，我们可以方便地描述和计算点的位置，
从而解决各种几何问题。
本文将介绍平面内点的坐标，并探讨与之相关的一些
基本概念和应用。
一、平面内点的坐标系统
在平面几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
笛卡尔坐标系由
两个相互垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
点的位置可以通过它在x 轴和y轴上的投影来确定。
以原点O为基准点，我们可以用有序数对(x, y)来表
示点P的坐标，其中x表示点P在x轴上的投影，y表示点P在y轴上的投影。
二、平面内点的坐标表示方法
在平面几何中，我们可以使用不同的方法来表示点的坐标。
最常见的方法是使
用直角坐标系，即以原点O为基准点，通过点P在x轴和y轴上的投影来确定
点的坐标。
另一种常见的方法是使用极坐标系。
在极坐标系中，点的位置由它与原点的距
离和与x轴的夹角来确定。
通常，我们用(r, θ)来表示点的极坐标，其中r表示
点P到原点O的距离，θ表示点P与x轴正向的夹角。
三、平面内点的坐标运算
在平面几何中，我们经常需要对点的坐标进行运算。
常见的坐标运算包括点的
加法、减法、乘法和除法。
点的加法：给定两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，我们可以将它们的坐标分别相加，
得到点R(x1+x2, y1+y2)。
点的减法：给定两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，我们可以将它们的坐标分别相减，得到点R(x1-x2, y1-y2)。
点的乘法：给定一个点P(x, y)和一个实数k，我们可以将点P的坐标分别乘以k，得到点Q(kx, ky)。
点的除法：给定一个点P(x, y)和一个非零实数k，我们可以将点P的坐标分别除以k，得到点Q(x/k, y/k)。
四、平面内点的坐标应用
平面内点的坐标在实际应用中有广泛的应用。
下面我们来介绍几个常见的应用。
1. 图形的平移：通过改变图形中每个点的坐标，我们可以实现图形的平移。
例如，将一个图形中每个点的坐标都加上一个常数向量，即可将图形沿着该向量
平移。
2. 图形的旋转：通过改变图形中每个点的坐标，我们可以实现图形的旋转。
例如，对于一个点P(x, y)，我们可以通过将其坐标变换为P'(x', y')，其中x' =
xcosθ - ysinθ，y' = xsinθ + ycosθ，来实现点P关于原点旋转θ角度。
3. 直线的方程：通过点的坐标，我们可以得到直线的方程。
例如，对于一条过
点P(x1, y1)和Q(x2, y2)的直线，我们可以通过斜率公式y = (y2-y1)/(x2-x1)x + (y1x2-x1y2)/(x2-x1)来得到直线的方程。
总结：
平面内点的坐标是平面几何中的重要概念。
通过坐标系，我们可以方便地描述
和计算点的位置，从而解决各种几何问题。
本文介绍了平面内点的坐标系统、
表示方法、运算和应用。
通过深入理解和熟练运用平面内点的坐标，我们可以
更好地理解和应用平面几何知识，解决实际问题。
