2014年高考大纲全国卷文科数学真题(word清晰版)

数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ） A ．{|21}x x -<<- B ．{|10}x x -<< C ．{|01}x x << D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16BC ．13D5.函数1)(1)y x =+>-的反函数是（ ）A ．3(1)(1)x y e x =->-B ．3(1)(1)x y e x =->-C ．3(1)()x y e x R =-∈D ．3(1)()x y e x R =-∈ 6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 . 15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13cos 2cos ,tan 3a C c A A ==，求B. 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20.（本小题满分12分）（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(II)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1} 4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．649．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝110．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）（2014•大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）函数y＝cos2x+2sin x的最大值是．15．（5分）（2014•大纲版）设x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．16．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，∴M∩N＝{1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE＝CF．设正四面体的棱长为2a，则EF＝a，CE＝CF＝．在△CEF中，由余弦定理得：＝．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y＝ln（+1），∴+1＝e y，即＝e y﹣1，∴x＝（e y﹣1）3，∴所求反函数为y＝（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，＝1×1×cos60°＝，＝1，∴（2﹣）•＝2﹣＝0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．64【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e＝，双曲线的渐近线方程为y＝，不妨取y＝，即bx﹣ay＝0，则c＝2a，b＝，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay＝0的距离为，∴d＝，即，解得c＝2，则焦距为2c＝4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）＝f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）＝f（x+2），则g（﹣x）＝g（x），即f（﹣x+2）＝f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（x﹣2），即f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝f（x+4+4）＝﹣f（x+4）＝f（x），则f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1，∴f（8）+f（9）＝0+1＝1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r＝3，将r＝3代入通项，计算可得T4＝﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣r（﹣2）r＝（﹣1）r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r＝3可得r＝3，此时T4＝（﹣1）3•23•C63x3＝﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）（2014•大纲版）函数y＝cos2x+2sin x的最大值是．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y＝cos2x+2sin x＝1﹣2sin2x+2sin x＝，结合﹣1≤sin x≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y＝cos2x+2sin x＝1﹣2sin2x+2sin x＝又∵﹣1≤sin x≤1当sin x＝时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sin x≤1的条件．15．（5分）（2014•大纲版）设x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）将a n+2＝2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n+2，再由条件得b n+1＝b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n＝a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+2＝2a n+1﹣a n+2得，a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n+2，由b n＝a n+1﹣a n得，b n+1＝b n+2，即b n+1﹣b n＝2，又b1＝a2﹣a1＝1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，由b n＝a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n＝2n﹣1，则a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝5，…，a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1＝1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1＝＝（n﹣1）2，又a1＝1，所以{a n}的通项公式a n＝（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k＝2，不满足条件．若k＝3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k＝2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k＝3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax3+3x2+3x，∴f′（x）＝3ax2+6x+3，令f′（x）＝0，即3ax2+6x+3＝0，则△＝36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）＝0方程有两个根，x1＝，x2＝，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）＝3ax2+6x+3＞0故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2014年全国高考试题及答案word版一、语文试题1. 阅读下列文言文，完成下列各题。

（1）解释文中划线词语的含义。

（2）将文中划线的句子翻译成现代汉语。

（3）分析文中主要人物的性格特点。

2. 现代文阅读。

（1）概括文章的主要内容。

（2）分析文章中作者的观点和态度。

（3）根据文章内容，回答以下问题。

3. 作文。

请以“我眼中的家乡”为题，写一篇不少于800字的文章。

二、数学试题1. 选择题。

（1）下列哪个选项是正确的？A. 1+1=2B. 2+2=5C. 3+3=6D. 4+4=82. 填空题。

（1）计算下列表达式的值：3x+2=______。

（2）解方程：2x-5=1，x=______。

3. 解答题。

（1）证明下列几何定理。

（2）解决实际问题，列出方程并求解。

三、英语试题1. 听力部分。

（1）根据所听内容，选择正确的答案。

（2）填空题，根据所听内容填写缺失的单词。

2. 阅读理解。

（1）阅读下列文章，回答相关问题。

（2）根据文章内容，判断下列陈述的正误。

3. 写作部分。

请根据以下提示，写一封邀请信。

四、理科综合试题1. 物理部分。

（1）选择题，选择正确的答案。

（2）实验题，描述实验过程并得出结论。

（3）计算题，解决物理问题。

2. 化学部分。

（1）选择题，选择正确的答案。

（2）实验题，描述实验过程并得出结论。

（3）计算题，解决化学问题。

3. 生物部分。

（1）选择题，选择正确的答案。

（2）填空题，根据所学知识填写缺失的信息。

（3）简答题，回答生物学相关问题。

五、文科综合试题1. 政治部分。

（1）选择题，选择正确的答案。

（2）简答题，回答政治学相关问题。

（3）论述题，就某一政治现象进行分析。

2. 历史部分。

（1）选择题，选择正确的答案。

（2）材料分析题，根据提供的材料回答问题。

（3）论述题，就某一历史事件进行分析。

3. 地理部分。

（1）选择题，选择正确的答案。

（2）读图题，根据地图信息回答问题。

（3）论述题，就某一地理现象进行分析。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的3．（5分）（2014•河南）设z=+i，则|z|=（）．C D4．（5分）（2014•河南）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）C D5．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论6．（5分）（2014•河南）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）．C D．7．（5分）（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，8．（5分）（2014•河南）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）9．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）．C D．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，x0=（）11．（5分）（2014•河南）设x，y满足约束条件，且z=x+ay的最小值为7，则a=（）12．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（2014•河南）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_________．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是_________．16．（5分）（2014•河南）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=_________m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•河南）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）（2014•河南）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时清写清题号。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12 D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_________．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=_________．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．解答：解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k的范围．解答：解：函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．12．（5分）考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆上的点到MN的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．解答：解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．15．（5分）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．解答：解：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，故答案为：3点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．解答：解：由题意得，a n+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC 的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．解答：解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB角PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．解答：解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．点评：本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）考点：椭圆的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答：解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h′（x）取得极小值h′（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．五、选修4-5：不等式选讲24．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1、已知集合A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{-2}2、=（）A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i3、函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4、设向量，满足|+|=，|-|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55、等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n-1）C．D．6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B 1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8、执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79、设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110、设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711、若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．（-∞，-1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12、设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（）A．[-1，1]B．[-，]C．[-，]D．[-，]二、填空题13、甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．14、函数f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx的最大值为__________．15、偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=__________．16、数列{an }满足an+1=，a8=2，则a1=__________．三、解答题17、四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19、某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20、设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21、已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．23、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．24、设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．试题解析：∵A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，∴A∩B={2}．故选B2、答案：B试题分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．试题解析：化简可得====-1+2i故选：B3、答案：C试题分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．试题解析：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C4、答案：A试题分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．试题解析：∵|+|=，|-|=，∴分别平方得+2•+=10，-2•+=6，两式相减得4•=10-6=4，即•=1，故选：A．5、答案：A试题分析：由题意可得a42=（a4-4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．试题解析：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4-4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4-3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6、答案：C试题分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．试题解析：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7、答案：C试题分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．试题解析：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A-B1DC1的体积为：=1．故选：C．8、答案：D试题分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．试题解析：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．9、答案：B试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．试题解析：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．10、答案：C试题分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．试题解析：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=-．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x-）=（x-）．代入抛物线方程，消去y，得16x2-168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．11、答案：D试题分析：f′（x）=k-，由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．试题解析：f′（x）=k-，∵函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．12、答案：A试题分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．试题解析：由题意画出图形如图：点M（x，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，的取值范围是[-1，1]．∴x故选：A．二、填空题13、答案：试题分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．试题解析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．14、答案：试题分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．试题解析：∵f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-sinφcosx=sin（x-φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．15、答案：试题分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．试题解析：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（-1）=f（-1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（-1）=f（1）=3，故答案为：3．16、答案：试题分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．试题解析：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=-1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，-1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．三、解答题17、答案：试题分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．试题解析：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=13-12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=-，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．18、答案：试题分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．试题解析：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．19、答案：试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20、答案：试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．试题解析：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2-c2，即c2+-a2=0，则，即2e2+3e-2=0解得e=或e=-2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（-c，-2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21、答案：试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2-6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为-2，∴f（-2）=-2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3-3x2+x+2，设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，由题设知1-k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2-6x+1-k＞0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3-3x2+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2-6x=3x（x-2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（-1）=k-1，g（0）=4，则g（x）=0在（-∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、答案：试题分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．试题解析：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．23、答案：试题分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得 cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．试题解析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．24、答案：试题分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3-a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．试题解析：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|≥|（x+）-（x-a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3-a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2-5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6-a+＜5，即 a2-a-1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．55．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S ＝（）A．4B．5C．6D．79．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．711．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x的最大值为．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP＝1，AD＝，三棱锥P﹣ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC 与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD•DE＝2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得＝＝＝＝﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2，由f′（x0）＝0，得x0＝0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x＝x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1B．2C．3D．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|＝，|﹣|＝，∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6，两式相减得4•＝10﹣6＝4，即•＝1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【分析】由题意可得a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4＝34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6＝54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：＝．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：＝，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：＝1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S ＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x＝t＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M＝，S＝2+3＝5，k＝2，第二次循环，2≤2成立，则M＝，S＝2+5＝7，k＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z＝3+2×2＝7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y＝在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【分析】所有的选法共有3×3＝9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3＝9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x的最大值为1．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcos x＝sin x cosφ+sinφcos x﹣2sinφcos x＝sin x cosφ﹣sinφcos x＝sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝3．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）＝f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），则f（﹣1）＝f（﹣1+4）＝f（3）＝3，法2：因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（1）＝f（3）＝3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1）＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）＝f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．【分析】根据a8＝2，令n＝7代入递推公式a n+1＝，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．【解答】解：由题意得，a n+1＝，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1＝故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cos C的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cos A 的值代入表示出BD2，两者相等求出cos C的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C①，在△ABD中，AB＝1，DA＝2，A+C＝π，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos A＝5﹣4cos A＝5+4cos C②，由①②得：cos C＝，则C＝60°，BD＝；（2）∵cos C＝，cos A＝﹣，∴sin C＝sin A＝，则S ＝AB •DA sin A +BC •CD sin C ＝×1×2×+×3×2×＝2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设AP ＝1，AD ＝，三棱锥P ﹣ABD 的体积V ＝，求A 到平面PBC 的距离．【分析】（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）通过AP ＝1，AD ＝，三棱锥P ﹣ABD 的体积V ＝，求出AB ，作AH ⊥PB 角PB 于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC∴PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）∵AP ＝1，AD ＝，三棱锥P ﹣ABD 的体积V ＝，∴V＝＝，∴AB＝，PB＝＝．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是＝67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|＝5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x＝c时，y＝，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2＝，即b2＝＝a2﹣c2，即c2+﹣a2＝0，则，即2e2+3e﹣2＝0解得e＝或e＝﹣2（舍去），即e＝．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y＝，∵OD是△MF1F2的中位线，∴＝4，即b2＝4a，由|MN|＝5|F1N|，则|MF1|＝4|F1N|，解得|DF1|＝2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）＝2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2＝4a代入得，解得a＝7，b＝．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）＝f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）＝3x2﹣6x+a；f′（0）＝a；则y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为y＝ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）＝﹣2a+2＝0，解得a＝1．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝x3﹣3x2+x+2，设g（x）＝f（x）﹣kx+2＝x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）＝3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，当x＞0时，令h（x）＝x3﹣3x2+4，则g（x）＝h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x＝2时，h（x）取得极小值h（2）＝0，g（﹣1）＝k﹣1，g（0）＝4，则g（x）＝0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）＝0，∴g（x）＝0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC 与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD•DE＝2PB2．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE＝EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD＝2PB，PB＝BD，结合相交弦定理可得AD•DE＝2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE＝∠OEA，∠OAP＝90°，∵PC＝2PA，D为PC的中点，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∵∠PDA＝∠CDE，∴∠OEA+∠CDE＝∠OAE+∠PAD＝90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE＝EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2＝PB•PC，∵PC＝2PA，∴PA＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t＝1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2＝2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tan t＝，t＝．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|＝a+≥2＝2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1} 4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．649．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝110．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）（2014•大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）函数y＝cos2x+2sin x的最大值是．15．（5分）（2014•大纲版）设x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．16．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，∴M∩N＝{1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE＝CF．设正四面体的棱长为2a，则EF＝a，CE＝CF＝．在△CEF中，由余弦定理得：＝．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y＝ln（+1），∴+1＝e y，即＝e y﹣1，∴x＝（e y﹣1）3，∴所求反函数为y＝（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，＝1×1×cos60°＝，＝1，∴（2﹣）•＝2﹣＝0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．64【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．36 C ．13D ．335.函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为23，则C的焦距等于（ ）A ．2B ．22C ．4D ．4212.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.解：（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.（18）（本小题满分10分）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA, 所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13，所以cosC=2sinC.tanC=1 2 .所以tanB=tan[180︒-(A+C)]=-tan(a+c)=tan tan1tan tanA CA C+--=-1,即B=135︒.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小.解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A13，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A13作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=1=,得D 为AC 的中点，DF=125AC BC AB ⨯⨯=,tan ∠A 1FD=1A DDF=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ，由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内. （1）设A 1（a ，0，c ），由题设有a ≤2，A （2,0,0）B （0,1,0），则AF =(-2，1，0),1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-，由12AA =2=，即2240a a c -+=，于是11AC BA ⋅=2240a a c -+=①,所以11AC BA ⊥.（2）设平面BCC 1B 1的法向量(,,)m x y z =，则m CB ⊥，1,m CB m BB ⊥⊥,即10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-，故y=0，且（a-2）x -c z =0，令x =c ，则z =2-a ，(,0,2)m c a =-，点A到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA m CA m CA c mc ⋅⋅<>===，又依题设，点A 到平面BCC 1B 1的距c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是1(1AA =-，设平面ABA 1的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB⊥⊥,即10,0n AA n AB ⋅=⋅=.0p-=且-2p +q =0，令p =，则q =2，r=1，(3,2n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故cos 1,4n p n p n p⋅<>==，所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 1420. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i=0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i )=220.5,0,1,2i C i ⨯=.所以P(D)=P(A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )= P(A 1·B ·C)+P(A 2·B)+P(A 2·B ·C ) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p (B )·p (C )=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B ·C ·A 2,P(E)=P(B ·C ·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06； 若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21. （本小题满分12分）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：1211x x a a---==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.解：（1）设Q （x 0，4），代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p， 所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+，由题设得85824p p p+=⨯，解得p =－2（舍去）或p =2.所以C 的方程为24y x =.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1x my =+，（m ≠0）代入24y x =中得2440y my --=，设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），2124(1)AB y m =-=+，有直线l '的斜率为－m ，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++，将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+. 故MN的中点为E（223422224(23,),m m MN y m m m+++-=-=）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得m 2-1=0，解得m =1或m =－1，所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=0.。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014?大纲版）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）（2014?大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣＞的解集为（2014?大纲版）不等式组）3．（5分）（＜B．{x|﹣1＜2＜x＜﹣1}x＜0}C．{x|0＜x＜1}xA．{|﹣D．{x|x＞1}4．（5分）（2014?大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）．．D．B．CA）1）+（x＞﹣1）的反函数是（2014?5．（5分）（大纲版）函数y=ln（x3x3（x＞﹣1e）﹣1）﹣eB）（x＞﹣1）．y=（y=A．（1x33x（xy=C．（1﹣e∈）（x∈R）R﹣1））D．y=（e6．（5分）（2014?大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣））? =（2．1C．DA．﹣1B．07．（5分）（2014?大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）（2014?大纲版）设等比数列{a}的前n项和为S．若S=3，S=15，则42nn S=（）6A．31B．32C．63D．649．（5分）（2014?大纲版）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F、1F，离心率为，过F的直线l交C于A、B两点，若△AFB的周长为4，122则C的方程为（）2A．+=1B．+y=1C．+=1D．+=110．（5分）（2014?大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）．DC．．9πB．16πA11．（5分）（2014?大纲版）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）（2014?大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分36（用数字x．的系数是）分）13．（5（2014?大纲版）（x﹣2 的展开式中作答）．的最大值是y=cos2x14．（5分）（2014?大纲版）函数+2sinx的最大+满足约束条件y4y，则z=x大纲版）设15．（5分）（2014?x，．值为22的交l与+y=2的两条切线，若x和2014?（16．5分）（大纲版）直线ll是圆l2211．的夹角的正切值等于与3点为（1，），则ll21三、解答题．a=2a=1a}a大纲版）数列（10．17（分）2014?{满足，，﹣a+=2a2n2n2n1n1++（Ⅰ）设b=a﹣a，证明{b}是等差数列；nn1nn+（Ⅱ）求{a}的通项公式．n18．（12（2014?大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，分）tanA=，求B．19．（12分）（2014?大纲版）如图，三棱柱ABC﹣ABC中，点A在平面ABC1111内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC=2．1（Ⅰ）证明：AC⊥AB；11（Ⅱ）设直线AA与平面BCCB的距离为，求二面角A﹣AB﹣C的大小．1111人需使用某种设备42014?大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁1220．（分）（，各人是否需使用设备相互独立．0.40.5，的概率分别为0.6，0.5，人需使用设备的概率；3（Ⅰ）求同一工作日至少同一工作日需“k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求（Ⅱ）实验室计划购买的最小值．k0.1，求使用设备的人数大于k”的概率小于23．0）（a）=ax+3x≠+3x2014?21．（12分）（大纲版）函数f（x）的单调性；（x（Ⅰ）讨论f的取值范围．a，2）是增函数，求（Ⅱ）若f（x）在区间（12，直线F0）的焦点为=2px（py（22．12分）（2014?大纲版）已知抛物线C：＞．|=|PQ|，与C的交点为Q，且|QFPy=4与y轴的交点为的方程；C（Ⅰ）求、MC相交于与若A相交于、B两点，AB的垂直平分线l′ClF（Ⅱ）过的直线与的方程．l四点在同一圆上，求、、、两点，且NAMBN。