多目标规划样例

彩虹集团是一家集生产与外贸于一体的大型公司,它在沪市与深市均设有自己的生产与营销机构,拟在下一个年度招聘生产管理、营销管理、财务管理三个专业的职工170名,具体招聘计划见表3-1.表3-1应聘并经审查合格的人员共180人,按适合从事专业,本人志向从事专业及希望工作的城市,可分为6类,具体情况见表3-2.表3-2集团确定人员录用与分配的优先级顺序为:1P :集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员;2P :80%以上录用人员能从事本人志向从事的专业;3P :80%以上录用人员能去本人希望工作的城市.试据此建立目标规划模型,并为该集团提供尽可能满意的决策建议方案[3]. 1 模型的建立设ijk x 为集团从()6,,3,2,1 =i i 类人员中录用安排从事j (3,2,1=j .其中,1表示生产,2表示营销,3表示财务)专业并在k (2,1=k .其中,1表示沪市,2表示深市)城市工作的职员人数.如111x 则代表表3-2中集团录用类别[1]并从事[生产]专业且在[沪市]工作的职员数.而彩虹集团预从180名审查合格的人员中录取170人，则有170613111≤∑∑∑===i j k ijk x.又由表3-2中约束条件可得25122121112111≤+++x x x x ,35232231222221≤+++x x x x ,20332331312311≤+++x x x x ,40432431412411≤+++x x x x ,34532531522521≤+++x x x x ,26632631≤+x x .根据集团招聘要求,首先考虑目标1P :集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员.按计划录用满所需员工,最理想的情况是出现正偏差,而负偏差越小越好,因此由表3-1中约束条件得{}+-+i i d d Min ;6,5,4,3,2,1=i从1,3,4类中录用的生产专业在沪市工作的人数为2011411311111=-++++-d d x x x ,从1,3,4类中录用的生产专业在深市工作的人数为2522412312112=-++++-d d x x x ,从1,2,5类中录用的营销专业在沪市工作的人数为3033521221121=-++++-d d x x x ,从1,2,5类中录用的营销专业在深市工作的人数为2044522222122=-++++-d d x x x ,从2,3,4,5,6类中录用的财务专业在沪市工作的人数为4055631531431331231=-++++++-d d x x x x x ,从2,3,4,5,6类中录用的财务专业在深市工作的人数为3566632532432332232=-++++++-d d x x x x x .其次考虑目标2P :80%以上录用人员能从事本人志向从事的专业时,(1)集团录用的适合从事生产专业的职员中有80%以上的人如愿以偿,因为1,3,4类中的求职者只有1,3类的人希望从事生产专业,故%80412411312311112111312311112111≥++++++++x x x x x x x x x x , 整理得{}-7Min d ,()()08.02.077412411312311112111=-++-++++-d d x x x x x x .(2)同理可求得从事营销专业的人员的约束条件为{}-8Min d ,()()08.02.088522521122121222221=-++++-++-d d x x x x x x .(3)同样可求得从事财务专业的人员的约束条件为{}-9Min d ,()()08.02.099332331232231632631532531432431=-++++-++++++-d d x x x x x x x x x x . 再考虑目标3P : 80%以上录用人员能去本人希望工作的城市.以第1类的求职人员为例,他们适合从事[生产]和[营销]两种专业,每个专业都有两个去处:沪市与深市.而他们希望去沪市工作,依题意要有80%以上的员工能够得偿所愿,则有%80122112121*********≥++++x x x x x x . 同理2至6类的数据处理也相同,将1至6类人员的所有情况整合起来则有如下等式()()%,80631532522431411331311232222122112632531521432412332312231221121111632531521432412332312231221121111≥+++++++++++++++++++++÷++++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 整理得,{}-10Min d , ()-++++++++++6325315214324123323122312211211112.0x x x x x x x x x x x()08.01010631532522431411331311232222122112=-++++++++++++-d d x x x x x x x x x x x .综上所述,建立如下数学模型,目标函数为-=-+=-+++=∑∑103972611)(Min d p d p d d p Z i i ii i 约束条件为()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥===≥=-+++++++++++-++++++++++=-++++-+++++=-++++-+=-++-+++=-+++++=-+++++=-+++=-+++=-+++=-+++≤+≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-===∑∑∑10,,2,10,0,2,1;3,2,1;6,,2,1008.02.008.02.008.02.008.02.0354020302520263440203525170..1010631532522431411331311232222122112632531521432412332312231221121111993323312322316326315325314324318852252112212122222177412411312311112111666325324323322325563153143133123144522222122335212211212241231211211411311111632631532531522521432431412411332331312311232231222221122121112111613121i d d k j i x d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x d d x x x x x x x x x x d d x x x x x x d d x x x x x x d d x x x x x d d x x x x x d d x x x d d x x x d d x x x d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s i i ijk i j k ijk2 运用LINGO 软件求解由于本案例建立的数学模型中所需求解的未知量个数较多,计算量很大,求解时比较困难.故借助于LINGO 软件进行求解,以简便运算.根据题意,由于1+>>k k p p ,即要求3221,p p p p >>>>,通过给321,,p p p 赋予比例差距很大的数值,进行运算.不妨取1,100000,01000000000321===p p p ,则编写如下的代码,输入到LINGO 中.运行代码,输出结果如下迭代21次后得到满意值为500002.0,满意解为,20,15,5,20222221121111====x x x x ,16,24,10,35,5,20631531521432412312======x x x x x x 其余均为0.即第1类的25人中20人分配到沪市负责生产,5人分配到沪市负责营销;第2类的35人中15人分配到沪市负责营销,20人分配到深市负责营销;第3类的20人中20人分配到深市负责生产;第4类的40人中5人分配到深市负责生产,35人分配到深市负责财务;第5类的34人中的10人分配到沪市负责营销,24人分配到沪市负责财务;第六类的26人中16人分配到沪市负责财务.表格分析如下所示表5-1由表5-1可以看出,对于目标1P :集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员,通过将表5-1中得到的结果与表3-1进行比较,我们可以发现目标1P 可以100%地完美满足.对于目标2P :80%以上录用人员能从事本人志向从事的专业,而根据实际数据有80%%235.88170150>=, 可以看出,目标2P 依然能够满足.再考虑目标3P :80%以上录用人员能去本人希望工作的城市,然而根据实际数据有%80%824.78170134<=, 故目标3P 不能够满足.3 改变优先级的影响在目标规划中,如果将目标优先因子看作为不同等级的充分大正数,目标规划模型就是一个线性规划问题,所以在求得目标规划问题的最优解或满意解之后,对各个相关参数,我们也可以进行分析.下面我将对目标优先因子i p 发生变化时进行分析[4].由于彩虹集团要求对不能满足其志向工作的城市的员工提供住宿.现集团领导为减少员工住宿开支,在本次招聘中要求尽量满足录取员工的工作城市的志向,即在满足目标1P :集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员的情况下,首先满足目标3P :80%以上录用人员能去本人希望工作的城市,再考虑目标2P :80%以上录用人员能从事本人志向从事的专业.即改变目标32P ,P 的优先级别[5],使23p p >>,取1,100000,01000000000231===p p p ,编写代码输入LINGO 中,目标函数修改为min=10000000000*(d11+d12+d21+d22+d31+d32+d41+d42+d51+d52+d61+d62)+100000*d101+1*(d71+d81+d91);约束条件不变,LING0 11.0软件中输出结果如下迭代104次得到满意值为200005.0,满意解为,15,20,5,20222221122111====x x x x,26,24,10,9,16,9,16632531521432431412312=======x x x x x x x 其余均为0.即第1类的25人中20人分配到沪市负责生产,5人分配到深市负责营销;第2类的35人中20人分配到沪市负责营销,15人分配到深市负责营销;第3类的20人中16人分配到深市负责生产;第4类的40人中9人分配到深市负责生产,16人分配到沪市负责财务,9人分配到深市负责财务;第5类的34人中的10人分配到沪市负责营销,24人分配到沪市负责财务;第6类的26人中26人分配到深市负责财务.表格分析如下所示表6-1由表6-1可以看出,对于目标1P :集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员,通过将表6-1中得到的结果与表3-1进行比较,我们可以发现目标1P 同样可以100%地完美满足.对于目标2P :80%以上录用人员能从事本人志向从事的专业,根据实际数据有80%%882.85170146>=, 可以看出,目标2P 依然能够满足.考虑目标3P :80%以上录用人员能去本人希望工作的城市,然而由实际数据有%80%824.78170134<=, 故可知目标3P 不能够满足.通过将本例得到的结果与优先因子为1,100000,01000000000321===p p p 时所得结果进行比较可知,虽然满意解发生变化,但是目标1P 、2P 同样可以完成,而目标3P 依然不能满足.本例说明在交换了目标2P 、3P 的优先级顺序后,在保证目标3P 达到78.824%的录用人员能去本人希望的城市工作的基础上,再来优化目标2P ,使目标2P 达到满意的比例为85.882%.在其它实际问题中采用此种分析方式,同样可以找出目标2P 的较优比例,也可以使得目标3P 达到较优状态.4 两种目标规划的比较如果企业从人性化的角度考虑来安排招聘工作,对目标321P ,P ,P 没有严格的级别要求,使其处于同一级别,尽可能地满足三个条件.即不考虑优先因子k k k k p p p p >>>>++11或的情况,将该目标规划问题转化为优先因子321,,p p p 均为1的情况进行讨论,则目标函数的代码修改为min=1*(d11+d12+d21+d22+d31+d32+d41+d42+d51+d52+d61+d62)+1*(d71+d81+d91)+1*d101;而约束条件不变,使用LINGO 11.0软件输出结果如下迭代36次后得到满意值为 5.4,满意解为,14,21,5,20222221122111====x x x x ,16312=x,15,25,9,31,9,4631531521432412332======x x x x x x 其余均为0.即第一类的25人中20人分配到沪市负责生产,5人分配到深市负责营销;第二类的35人中21人分配到沪市负责营销,14人分配到深市负责营销;第三类的20人中16人分配到深市负责生产,4人分配到深市负责财务;第四类的40人中9人分配到深市负责生产,31人分配到深市负责财务;第五类的34人中的9人分配到沪市负责营销,25人分配到沪市负责财务;第六类的26人中15人分配到沪市负责财务.表格分析如下所示表7-1由表7-1可以看出,对于目标1P :集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员,通过将表7-1中得到的结果与表3-1进行对比我们可以发现,深市负责营销管理的员工少录取1人,即%412.99170169=, 虽然目标1P 不能完美地满足,但其比例极度接近100%,故可以认为近似满足目标1P .而对于目标2P :80%以上录用人员能从事本人志向从事的专业,实际有80%%529.83170142>=, 可以看出,目标2P 能够满足.再考虑目标3P :80%以上录用人员能去本人希望工作的城市,而由实际所得数据有%80%412.79170135<=, 虽然目标3P 不能够满足,但其比例明显比前两种情况有所提高,并且已十分接近80%.故同样可以认为目标3P 也能近似满足.显然,此处的结果与前两次目标规划问题处理的结果稍有不同.将此处得到的结果与目标规划问题中优先因子分别取充分大的正数时所得的结果进行比较可以得到:当目标321P ,P ,P 处于同一级别时,满意解为5.4,目标偏差较小,此外,虽然目标1P 的满足程度有所降低,但目标3P 的满足程度相应地有所提高,而目标2P 仍然能够得到满足,且基本保持不变.也就是说当该问题转化为一般规划问题时,目标321P ,P ,P 的满足程度将趋向于完美.此时,决策方案较优.从上述三组方案可以得出,本文建立的目标规划模型基本正确,求解方法基本合理,找到了满足集团需要的人员招聘与工作分配的决策方案.通过前两次优先因子取值分析比较,目标2P 都恰巧可以满足,而目标3P 恰巧都无法得到满足.而当目标321P ,P ,P 处于同一级别要求时,目标321P ,P ,P 能够同时接近满足状态,该决策方案可视为较优.5 模型评价通过本案例可以看出此模型简洁明了,方便求解也便于分析,求得的结果基本满足题设条件.符合实际问题中并非所有问题都需要严格满足的特点,所以即便是放在其它同类型的实际问题的处理上,也能够很好地满足人们的心理目标值.并且,此模型能够同时处理多级目标,能够从整体的角度上给出最优解.虽然随目标权系数不同,取值也不尽相同,具有较强的主观性,但其多样性也给决策方案的选择带来了很大的灵活性.6结 论本文针对彩虹集团的人员招聘与工作分配问题,解决了在不同级别要求下人员招聘的最优决策问题.在对目标321P ,P ,P 的层次级别有严格要求(即321p p p >>>>或者231p p p >>>>)的情况下,讨论了两种不同情况的321,,p p p 的取值,发现后一种情况的目标函数值有所改进.而当不考虑目标321P ,P ,P 的级别要求时,目标321P ,P ,P 均能近似满足,该决策方案比其他方案显得较优.。