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§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
有理函数的积分1、单项式积分：(1)⎰dx 0=C.(2)⎰dx =x+C.(3)⎰dx 2=2x+C. (4)⎰dx 31=3x +C.(5)⎰adx =ax +C. (a 为常数)(6)⎰xdx =22x +C. (7)⎰xdx 2=x 2+C. (8)⎰xdx 32=⎰xdx 231=32x +C. (9)⎰dx x 2=331x +C.(10)⎰dx x 23=x 3+C.(11)⎰dx x 22=⎰2332x =323x +C. (12)⎰dx x n =11++n x n +C. (13)⎰+dx x n n )1(=x n+1+C.(14)⎰dx ax n =11++n ax n +C. (15)⎰-dx nx n 1=x n +C.2、多项式积分(16)⎰+dx x )1(=⎰xdx +⎰dx =22x +x+C.或⎰+dx x )1(=⎰++)1()1(x d x =2)1(2+x +C ’=22x +x+C. (17)⎰-dx x x )23(2=⎰dx x 23-⎰xdx 2=x 3-x 2+C.(18)⎰---dx x x x )23(23=⎰⎰⎰---xdx dx x dx x 2323=44x --x 3-x 2+C. (19)⎰-dx x )1(2020=20212021x -x+C. (20)dx x x x x x )]5()3[(3199931999++--+⎰=dx x x ⎰---)34(3=-x 4-22x -3x+C. 3、整式乘法积分(21)dx x x ⎰-)1(=dx x x ⎰-)(2=33x -22x +C. (22)dx x x ⎰-+)1)(1(=dx x ⎰-)1(2=33x -x+C. (23)⎰+dx x 2)1(=⎰++dx x x )12(2=33x +x 2+x+C. 或⎰+dx x 2)1(=⎰++)1()1(2x d x =3)1(3+x +C ’=33x +x 2+x+C. (24)dx x x ⎰+)3(22=dx x x ⎰+)62(3=24x +3x 2+C. 或dx x x ⎰+)3(22=)3()3(22++⎰x d x =2)3(22+x +C ’=24x +3x 2+C. (25)dx x x ⎰-+)12)(2(=dx x x ⎰-+)232(2=323x +232x -2x+C. 4、整式除法积分 (26)dx x⎰1=ln|x|+C. (27)dx x a ⎰=aln|x|+C.(28)dx ax ⎰1=ax ||ln +C. (29)dx x ⎰+11=)1(11++⎰x d x =ln|x+1|+C. (30)dx x x ⎰+12=)1(112122++⎰x d x =21ln(x 2+1)+C. (31)dx x x ⎰-122=)1(1122--⎰x d x = ln|x 2-1|+C. (32)dx x x ⎰-2212=)21(2112122x d x ---⎰= -ln|1-2x 2|+C. (33)dx x x x ⎰+++2312=dx x x x ⎰+++)2)(1(1=dx x ⎰+21=ln|x+2|+C. (34)dx x ⎰21=x 1-+C. (35)dx x ⎰31=221x-+C. (36)dx x ⎰43=31x-+C. (37)dx x n ⎰1=1)1(1---n x n +C. (n>1) (38)dx x ⎰20202019=20191x -+C. (39)dx x x ⎰++24212=)1()1(1212++⎰x d x =)1(21+-x +C. (40)dx x ⎰+211=arctanx+C. (41)dx x ⎰+3212=dx x ⎰+1321312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x d x 321321612=66arctan x 32+C. (42)dx x x ⎰+14=241121dx x ⎰+=21arctanx 2+C. (43)dx x x ⎰++2212=)1(1)1(12+++⎰x d x =arctan(x+1)+C. (44)dx x ⎰-112= ⎝⎛-⎰dx x 1121-⎪⎭⎫+⎰dx x 11=21[ln(x-1)-ln(x+1)]=21ln 11+-x x +C. (45)dx x⎰-211= ⎝⎛+⎰dx x 1121+⎪⎭⎫-⎰dx x 11=21[ln(1+x)-ln(1-x)]=21ln x x -+11+C.(46)dx x x ⎰-221=dx x x ⎰---2211+dx x ⎰-211=⎰-dx +dx x ⎰-211=-x+21ln x x -+11+C. (47)dx x x ⎰+231=dx x x x ⎰++231-dx xx ⎰+21=⎰xdx -221121dx x ⎰+=-22x +21ln(1+x 2)+C. (48)dx x x x ⎰++231=dx x x x x x ⎰++-+)1()1)(1(2=dx x x x ⎰+-12=dx x x ⎰+-)11( =22x -x+ln|x|+C. (49)dx x x ⎰+220201=dx x x x x x x ⎰+-+-⋯-+-+22201620182018202011)1()( =dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋯--220162018111=x x x x arctan 2017201920172019--⋯--+C =x k x x k k arctan 12201910091122019---∑=-+C. (50)dx x x ⎰--2313=dx x x ⎰-+)2()1(12=dx x C x B x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++2)1(12. 则A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)2≡1, 当x=2时, C=91; 当x=-1时, B=31-; 又Ax 2+Cx 2≡0, ∴A=-91. 因此得dx x x ⎰--2313=dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)2(91)1(31)1(912 =91-ln|x+1|+)1(31+x +91ln|x-2|+C ’=)1(31+x +91ln 12+-x x +C ’. (题目可能千变万化，但是万变不离其宗，绝大多数都是用这些方法解决的)。
有理函数的积分前面已经介绍了求不定积分的两个基本方法——换元积分法和分部积分法.本节将介绍一种比较简单的特殊类型函数的积分——有理函数的积分.有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：11101110()()n n n n m m m m a x a x a x a P x Q x b x b x b x b ----++++=++++ （1） 其中m 和n 都是非负整数；01,,,n a a a 及01,,,m b b b 都是实数，并且0n a ≠，0m b ≠.我们总假定在分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当有理函数（1）的分子分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即n m <时，称这有理函数是真分式；而当n m ≥时，称这有理函数是假分式.利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式.例如32221111x x x x x x +++=+++.我们知道多项式的积分容易求得，而要计算真分式的积分需要用到真分式的下列性质： 如果多项式()Q x 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，如22()()()()()m Q x b x a x b x px q x rx s αβλμ=--++++（其中2240,,40p q r s -<-<），那么真分式()()P x Q x 可以分解成如下部分分式之和： 121211()()()()()()B A A A B B P x Q x x a x a x a x b x b x bβαααββ--=++++++++------11222212()()M x N M x N M x N x px q x px q x px qλλλλ-++++++++++++++11222212()()R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx sμμμμ-+++++++++++++. （2）其中,,,,,,i i i i i A B M N R 及i S 等都是常数.对于（2）式应注意到下列两点：1. 分母()Q x 中如果有因式()kx a -，那么分解后有下列k 个部分分式之和：121()()kk k A A A x a x a x a-+++---其中12,,,k A A A 都是常数.特别地，如果1k =，那么分解后有Ax a-； 2. 分母()Q x 中如果有因式2()k x px q ++，其中240p q -<，那么分解后有如下k 个部分分式之和：11222212()()k kk k M x N M x N M x N x px q x px q x px q-++++++++++++ 其中,i i M N 都是常数.特别地，如果1k =，那么分解后有2Mx Nx px q+++.例如，真分式23356(2)(3)x x x x x x ++=-+--可分解为3(2)(3)23x A Bx x x x +=+----，其中,A B 为待定常数，可以用如下的方法求出待定系数.第一种方法 两端去分母后，得3(3)(2)x A x B x +=-+-， （3）或 3()(32)x A B x A B +=+-+.因为这是恒等式，等式两端x 的系数和常数项必须分别相等，于是有1,(32)3,A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 从而解得5,6A B =-=.第二种方法 在恒等式（3）中，令2x =，得5A =-；令3x =，得6B =. 同样得到356(2)(3)23x x x x x +-=+----又如，真分式21(1)x x +可分解为221(1)(1)1A B Cx x x x x =+++++， 再求待定系数,,A B C .两端去分母后，得21(1)(1)A x Bx Cx x =++++ （4）在（4）式中，令0x =，得1A =；令1x =-，得1B =-.把,A B 的值代入（4）式，并令1x =，得1C =-，所以有221111(1)(1)1x x x x x =--+++.再如，真分式21(1)(1)x x ++可分解为221(1)(1)11A Bx Cx x x x +=+++++， 两端去分母后，得21(1)()(1)A x Bx C x =++++或21()()A B x B C x A C =+++++ （5）比较（5）式两端x 的各同次幂的系数及常数项，有001A B B C A C +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之得111,,222A B C ==-=. 于是2221111111222(1)(1)11211x x x x x x x x -+-⎛⎫=+=+ ⎪++++++⎝⎭下面举几个有理真分式的积分例子. 例1 求21d 56x x x x +-+⎰.解 因为2113456(2)(3)23x x x x x x x x ++-==+-+----， 所以有2134d d 5623113d 4d 233ln |2|4ln |3|x x x x x x x x xx x x x C+-⎛⎫=+⎪-+--⎝⎭=-+--=--+-+⎰⎰⎰⎰ 例2 求22d 23x x x x -++⎰.解 因为被积函数的分母是二次质因式，所以应另想别的方法.因为分子是一次式2x -，而分母的导数也是一次式2(23)22x x x '++=+，所以可以把分子拆成两部分之和：一部分是分母的导数乘上一个常数因子；另一部分是常数，即112(22)12(22)322x x x ⎡⎤-=+--=+-⎢⎥⎣⎦.这样，所求的积分可计算如下：22222221(22)322d d 2323122d d 3223231d(23) 32231 ln(23)2x x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x +--=+++++=-++++++=-++=++⎰⎰⎰⎰⎰.C例3 求21d (1)x x x +⎰.解 由前面分析知221111(1)(1)1x x x x x =--+++，所以2221111d d (1)1(1)111d d d 1(1)1ln ||ln |1|.1x x x x x x x x x x x x x x x C x ⎡⎤=--⎢⎥+++⎣⎦=--++=-++++⎰⎰⎰⎰⎰例4 求21d (1)(1)x x x ++⎰.解 由前面分析知221111(1)(1)211x x x x x -⎛⎫=+ ⎪++++⎝⎭，所以有222221111d d (1)(1)211111 d d 211111 d d d 211111 ln |1|arc 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫=+ ⎪++++⎝⎭-⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=+- ⎪+++⎝⎭=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21tan ln(1)4x x C-++当有理函数分解为多项式及部分分式之和后，只出现多项式、()nAx a -及2()nMx N x px q +++等三类函数.前两类函数的积分很简单，下面讨论积分2d ()n Mx Nx x px q +++⎰. 把分母中的二次质因式配方得22224p p x px q x q ⎛⎫++=++-⎪⎝⎭ 故令2p x t +=，并记222x px q t a ++=+，Mx N Mt b +=+，其中224p a q =-，2MP b N =-，于是22222d d d ()()()n n n Mx N Mt bx t t x px q t a t a +=+++++⎰⎰⎰.当1n =时（如例2），有222d ln()arctan 2px Mx N M b x x px q C x px q aa++=++++++⎰.当1n >时，222122d d ()2(1)()()n n n Mx N M tx b x px q n t a t a -+=-+++-++⎰⎰ 上式最后一个积分的求法见例5. 例5 求22d ()n n xI x a =+⎰，其中n 为正整数.解 用分部积分法，当1n >时，有222122122d 2(1)d ()()()n n n x x x n x x a x a x a --=+-+++⎰⎰22212212212(1)d ()()()n n n x a n x x a x a x a --⎡⎤=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰， 即 2112212(1)()()n n n n xI n I a I x a ---=+--+， 于是 122211(23)2(1)()n n n x I n I a n x a --⎡⎤=+-⎢⎥-+⎣⎦.以此作为递推公式，并由11arctan xI C a a=+，即可得n I . 总之，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数.此外，由代数学知识可知，从理论上说，多项式()Q x 总可以在实数范围内分解成一次因式及二次质因式的乘积，从而把有理函数()()P x Q x 分解为多项式与部分分式之和.因此，有理函数的原函数都是初等函数.。
第21讲 理函数的不定积分讲授内容一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm m nn n x x x x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1) 其中n ，m 为非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()t t t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121 ， （2）其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj j i=-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是()();221kk a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk qpx xC x B qpx x C x B q px x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解 解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x CBx x A x A x A x R （3） 用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I k a x dx )()(； ()⎰<-+++II )04()(22q p dx q px x M Lx k ． 对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2px t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt r t NLt dx q px x M Lx kk 222)(⎰⎰+++=,)()(2222k k r t dt N dt r t t L （5） 其中.2,422L pM N p q r -=-=． 当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt r t t )ln(212222， .arctan 122C r t r rt dt +=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t t k k++-=+⎰-12222))(1(21)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r t dtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t r I k k ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r t t r I r k k )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r t I （7） 重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就完成了对不定积分（II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x x x ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x 现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x x x x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=t dtx x 由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222t dt t t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到 .)1arctan(23)22(23)22(12222C x x x x dx x x x +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
一般通过变换2tan xt =，可把它化为有理函数的不定积分。
这是因为,122tan12tan22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2222t t x x x x x x x +=+=+=（8） ,112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos cos 22222222t t x x x x x x x +-=+-=+-= ,122dt t dx += (9) 所以⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=dt t t t t t R dx x x R 22221211,12)cos ,(sin ．例3 求⎰++dxx x x)cos 1(sin sin 1解 令2tanxt =，将(8)、(9)、代人被积表达式， ⎰⎰+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=++dt t t t t t t t dx x x x 222221*********)cos 1(sin sin 1 .2tan ln 212tan 2tan 41ln 2221122122C x x x C t t t dt t t +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰ 例4 求).0(cos sin 2222≠+⎰ab xb x a dx解：由于⎰⎰⎰+=+=+22222222222tan )(tan tan sec cos sin b x a x d dx b x a x x b x a dx , 故令x t tan =,就有⎰⎰⎰+=+=+222222222)()(1cos sin b at at d a b t a dt x b x a dx C b at ab +=arctan 1.tan arctan 1C x b a ab +⎪⎭⎫⎝⎛= 三、某些无理根式的不定积分1.⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++dx d cx b ax x R n ,型不定积分)0(≠-bc ad ．对此只需令n d cx b ax t ++=，就可化为有理函数的不定积分．例5求⎰-+dx x x x 221. 解：令,22-+=x x t 则有,)1(8,1)1(22222dt t tdx t t x --=-+= ⎰⎰+-=-+dt t t t dx x x x)1)(1(4221222⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--=dt t t221212Ct t t+--+=arctan 211ln C x x x x x x +-+--+--++=22arctan 2)2/()2(1)2/()2(1ln 例6 求⎰-++.2)1(2xx x dx解：由于xxx x x x -++=-++21)1(12)1(122，故令xxt -+=21，则有,)1(6,1122222dt t t dx t t x +=+-= ⎰⎰-++=-++dx xxx xx x dx 21)1(12)1(22⎰⎰++--=+-==+⋅⋅+=C x x C t dt tdt t t t t t 12323232)1(69)1(222422（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
