5.4 简单有理函数的积分法

简单有理函数的积分
有理函数积分拆项原则求abc：通分，x^2+1=a（x-1）（x+3）+b（x+3）+c（x-1）^2，代入x＝1求得b，代入x＝-3求得c，再随便代入一个其它数字，求得a。

有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。

在数学中，理性函数就是可以由有理分数定义的任何函数，即为代数分数，使分子和
分母都就是多项式。

多项式的系数不须要就是有理数，它们可以在任何字段k中展开。

变量的情况可以在涵盖k的任何字段l中展开。

函数的域就是变量，分母不为零，代码区
为l。

代数几何定义编辑语音
设v为不容向量丛簇，座标环k[v]为整环，故存有商域k（v），称作v的函数域，
其元为v上的一个有理函数。

一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里f和g都是多项式函数。

有理函数
是特殊的亚纯函数，它的零点和极点个数有限。

有理函数的积分方法总结
学习高数时，不定积分问题一直是困扰我们的一个难点，因为解决这类问题，一是费脑，而是方法众多，根本就不知道用哪种方法，三是根本就没有记得那么多的方法，以至于见题不会。

而且，数学这种东西环环相扣，就感觉很麻烦，只要不定积分的问题不会，定积分问题与微分方程问题也都不可能达到精通，这要就会极大的打击我们学高数的积极心。

而我今天会给大家系统的介绍关羽有理函数的积分方法总结，希望对大家以后解决这类问题有所帮助。

有理函数的介绍
以例题的步骤讲解，将有理函数化为多项式与真分式之和形式的方法总结
万能公式：将三角函数化为有理函数进行积分
无理函数的积分与有理函数的积分之间的联系与转换方法，和例题分析
联系与转换方法
例题分析
内容方法总结
基本上关于有理函数的积分就有这么多方法，希望大家可以采纳，并且对解决这类问题有所帮助。

有理函数积分法解决不定积分有理函数积分法是解决不定积分的一种重要方法。

它的思路是将被积函数化为有理函数的形式，再利用有理函数积分的技巧求解积分。

本文将从以下几个方面进行介绍：一、什么是有理函数有理函数是指可以表示为分子是多项式函数，分母是非零多项式函数的函数。

例如，$\dfrac{1}{x^2+1}$就是一个有理函数，它的分子是常数函数$1$，分母是$x^2+1$这个二次多项式函数。

二、有理函数积分法的框架有理函数积分法的框架是将被积函数拆分成基本有理函数之和的形式，即：$$ \frac{N(x)}{D(x)}=A(x)+\frac{R(x)}{S(x)} $$其中，$A(x)$是整式函数，$R(x)$和$S(x)$均为非零多项式函数，且$S(x)$的次数大于$R(x)$的次数。

$R(x)/S(x)$是真分式函数，可以用部分分式分解的方法化为基本有理函数之和的形式。

例如，对于$\dfrac{1}{x(x-2)}$这个被积函数，可以进行部分分式分解，得到：$$ \frac{1}{x(x-2)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x-2)} $$这样，原来的被积函数就被化为了基本有理函数之和的形式。

三、基本有理函数的积分下面我们来介绍几种常见的基本有理函数的积分。

1. $\int \dfrac{1}{x-a}\mathrm{d}x=\ln|x-a|+C$，其中$a$为常数。

2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$，其中$a$为常数。

3. $\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $，其中$a$为常数。

4. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$，其中$a$为常数。

有理函数积分法范文一、有理函数的基本概念有理函数是指多项式函数与有理函数的商，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)不等于零。

有理函数的特点是在有理函数定义域内，有理函数都是连续的。

有理函数有两类基本类型：真分式和带余商。

如果多项式P(x)的次数小于Q(x)的次数，即P(x)的次数是m，Q(x)的次数是n且m<n，则有理函数R(x)是一个真分式。

如果多项式P(x)的次数大于等于Q(x)的次数，即P(x)的次数是m，Q(x)的次数是n且m≥n，则有理函数R(x)是带余商。

二、有理函数积分的基本方法1.真分式的积分如果R(x)是一个真分式，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)的次数小于Q(x)的次数，那么有理函数积分的方法如下：(1) 当Q(x)的次数是1时，即Q(x) = x-a，则有理函数积分公式为：∫R(x)dx = ln，x-a，+C。

(2) 当Q(x)的次数大于1时，即Q(x) = (x-a)^m，其中m>1，那么有理函数积分公式为：∫R(x)dx = A1ln，x-a， + A2ln，x-a，^2 + …+ Amln，x-a，^m + C，其中A1，A2，…，Am为常数。

2.带余商的积分如果R(x)是一个带余商，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)的次数大于等于Q(x)的次数，那么有理函数积分的方法如下：(1) 当P(x)的次数是Q(x)的次数加上1时，即P(x)的次数是n+1，Q(x)的次数是n，那么有理函数积分公式为：∫R(x)dx =∫(S(x)+P(x)/Q(x))dx = S(x) + ∫P(x)/Q(x)dx其中S(x)是带余商的部分。

(2)当P(x)的次数大于Q(x)的次数加上1时，即P(x)的次数大于n+1，Q(x)的次数是n，那么可以使用多项式除法将有理函数R(x)分解成S(x)和Q(x)的部分分式之和，然后分别对每个部分分式进行积分。

有理函数不定积分的几种计算方法一、直接法：直接法是指将有理函数展开为多项式的形式，然后利用多项式的不定积分公式逐项求积分。

例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，我们可以将f(x)展开为：f(x)=C1⋅x^n+C2⋅x^(n-1)+...+Cn⋅x+Cn+1然后根据多项式的不定积分公式∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)，依次对每一项求积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。

二、部分分式分解法：部分分式分解法适用于当有理函数的分母为两个或多个不可约因式的乘积时。

其基本思想是将有理函数的分母进行因式分解，然后将其分解为若干个分式的和，其中每个分式的分母为一个不可约因式的乘幂。

例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中Q(x)=(x-a)^m1*(x-b)^m2*...*(x-z)^mk，a、b、..、z为不同的数，m1、m2、..、mk为正整数，我们可以将f(x)进行部分分式分解，得到：f(x)=A1/(x-a) +A2/(x-a)^2 + ... + B1/(x-b) + B2/(x-b)^2 + ... + Z1/(x-z) +Z2/(x-z)^2 + ...然后对每个不同的分式进行不定积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。

三、倒代换法：倒代换法适用于当有理函数中含有不可分化的函数、有理函数表达式以及乘法、开方等特殊形式时。

其基本思想是将原有理函数中的自变量用一个新的变量代替，使得代换后的函数能够用常见的函数的积分公式来求积分。

例如，对于有理函数f(x)=(x^2-1)/x，我们可以进行倒代换x=1/t，那么原函数可以表示为：f(t)=(-1-t^2)/(t^3)，然后对代换后的函数求积分，再将积分结果转换回原来的自变量即可得到原函数的不定积分。

四、待定系数法：待定系数法适用于当有理函数中含有一些特殊形式的函数时，如指数函数、三角函数等。