1、整数的速算与巧算

本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。

要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。

一、基本运算律及公式一、加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。

即：a ＋b ＝b ＋a其中a ，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。

即：a ＋b ＋c ＝（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）其中a ，b ，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。

二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a －b －c ＝a －c －b ，a －b ＋c ＝a ＋c －b ，其中a ，b ，c 各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a ＋（b －c ）＝a ＋b －ca －（b ＋c ）＝a －b －ca －（b －c ）＝a －b ＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。

如：a ＋b －c ＝a ＋（b －c ）a －b ＋c ＝a －（b －c ）a －b －c ＝a －（b ＋c ）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做知识点拨教学目标整数加减法速算与巧算另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲模块一：分组凑整【例1】计算：【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算（1）117＋229＋333＋471＋528＋622 （2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）（3）756－248－352 （4）894－89－111－95－105－94【巩固】计算57911131517192123+++++++++=．【巩固】计算：991972+++=．【巩固】同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！也当一次小老师！⑴1847192862813664-+--⑵1234567887661594322++++⑶200077415923----⑷617271438315771+-+--【巩固】264451216136184149+-+-+【巩固】计算12233344445555666778+++++++【巩固】计算：（1）1348－234－76＋2234－48－24 （2）1847－1936＋536－154－46 （3）264+451-216+136-184+149【巩固】1192837465564738291____550+++++++++=【例2】看谁的方法最巧呢？⑴123181920+++⋅⋅⋅+++⑵468103234++++⋅⋅⋅+++【例 3】计算：20052004200320022001200019991998199719967654321 +--++--++-⋅⋅⋅--++--+【巩固】计算：123456789949596979899100101+--++--+++--++--+=。

1.快速计算乘法口诀表在小学三年级，学生已经开始学习乘法口诀表。

熟练掌握乘法口诀表是进行速算和巧算的基础。

学生应该掌握1乘以任意数等于该数本身，以及0乘以任意数等于0的原则。

另外，在计算乘法的过程中，还可以利用一些巧妙的方法，如利用乘法交换律和结合律，简化计算的步骤。

2.快速计算除法在小学三年级，学生已经开始学习除法运算。

为了进行快速计算除法，学生需要熟悉乘法和除法之间的关系。

例如，学生可以通过将除法问题转化为乘法问题来进行计算。

另外，学生还需要熟悉常见的除法口诀，如9除以任意数的口诀。

3.快速计算加法与减法在小学三年级，学生已经开始学习加法和减法运算。

为了进行速算和巧算，学生可以借助一些技巧。

例如，学生可以利用补数进行计算，将加法问题转化为减法问题或将减法问题转化为加法问题。

另外，在计算的过程中，学生还可以利用进位和借位的方法简化计算的步骤。

4.快速计算小数在小学三年级，学生已经开始学习小数的运算。

为了进行快速计算小数，学生需要熟悉小数的基本概念，如小数点的意义和小数的大小比较。

另外，在计算小数的过程中，学生还可以利用近似计算和适当舍入的方法简化计算的步骤。

5.快速计算整数问题在小学三年级，学生已经开始学习整数的运算。

为了进行速算和巧算，学生需要熟悉整数的基本概念，如正数、负数和零的概念。

另外，在计算整数的过程中，学生还可以利用相反数的概念简化计算的步骤。

6.快速计算组合问题在小学三年级，学生已经开始学习组合的概念。

为了进行快速计算组合问题，学生需要熟悉排列组合的基本原理，如乘法原理和加法原理。

另外，在计算组合的过程中，学生还可以利用化简问题和分类讨论的方法简化计算的步骤。

7.快速计算面积和周长问题在小学三年级，学生已经开始学习面积和周长的计算。

为了进行速算和巧算，学生需要熟悉面积和周长的基本公式，如长方形的面积和周长的计算公式。

另外，在计算面积和周长的过程中，学生还可以利用化简问题和近似计算的方法简化计算的步骤。

速算与巧算方法随着数学竞赛的蓬勃发展，数值计算充满了活力，除了遵循四则混合运算的运算顺序外，破局部考虑、立整体分析，巧妙、灵活地运用定律和方法，对处理一些貌似复杂的计算题常常有事半功倍的效果，常见适用的巧算方法如下：一、凑整法整数速算与巧算的基础是凑整思想，通过用交换律、结合律和分配律凑出1,10,100,1000，…，将复杂的计算变简便。

运算定律是巧算的支架，是巧算的理论依据，根据式题的特征，应用定律和性质“凑整”运算数据，能使计算比较简便。

1、加法“凑整”。

利用加法交换律、结合律“凑整”，例如：4673＋27689＋5327＋22311=（4673＋5327）＋（27689＋22311）= 10000＋50000= 600002、减法“凑整”。

利用减法的性质“凑整”，例如：50－13－7= 50－（13＋7）= 303、乘法“凑整”。

利用乘法交换律、结合律、分配律“凑整”，例如：125×4×8×25×78=（125×8）×（4×25）×78= 1000×100×78= 78000004、补充数“凑整”。

末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。

若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100-2）、（50＋1）等来代替，使运算变得比较简便、快速。

一般地我们把100叫作98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”；50叫作51的“大约弱数”，1叫作51的“补充数”。

把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，例如：（1）387＋99=387＋（100-1）=387＋100-1=486（2）1680-89=1680-（100-11）=1680-100+11=1580+11=1591（3）69×101=69×（100+1）=6900+69=6969二、基准数法根据数据特征，从诸多数中选择一个做计算基础的数，通过“割”、“补”，采用“以乘代加”的方法速算。

常用的巧算和速算方法巧算和速算方法是一种用来简化和加快数学计算的技巧或方法。

在日常生活和工作中，相信有很多人都希望能够迅速准确地进行计算。

以下将介绍一些常用的巧算和速算方法。

1.规律运算法规律运算法是根据数学规律进行计算的方法。

例如，对于两个数的和或差，我们可以利用「同补」的概念，将计算转化为更为简单的形式。

比如，计算79+73可以转化为80+72，利用整十数相加的规律进行计算，即得1522.乘数调整法乘数调整法是在乘法运算中，根据数值特征进行调整。

对于两个大数相乘，可以通过调整其中一个数，使其成为10的整数次幂的形式，进而简化计算。

例如，计算84×48可以调整为80×48+4×48，这样可以利用「倍数性质」和「分开计算」的原则，分别计算80×48和4×48，再将两个结果相加。

3.快速除法法快速除法法是利用数的倍数关系进行除法运算的方法。

例如，计算858÷6可以先观察858和6的倍数关系，可以发现858是6的140倍，因此可以直接得出商为140。

4.近似取数法近似取数法是在计算过程中，对于大数去除无关紧要的位数，简化计算。

例如，计算9876-4321时，可以将9876和4321两个数的千位、百位去掉，得到76-21=55、再将去掉的位数加回来，即可得到正确结果。

5.平方数的巧算法对于平方数，有一些特殊的巧算公式。

例如，计算49的平方，可以利用公式（a+b）×（a-b）=a²-b²，将49写为50-1，然后进行求解，即得49²=50²-1²=2500-1=24996.百分比计算法百分比计算是在计算过程中，利用常见的百分数换算进行计算。

例如，计算一个数值的5%，可以先将这个数值除以20，然后再乘以1，即可得到所求百分比的值。

例如，计算80的5%，可以先将80除以20得到4，再乘以1，即得到所求的百分比值为47.近似法在计算过程中，可以对数值进行近似处理，以便更快地进行计算。

巧算和速算方法，包括：九九乘法口诀：通过记忆乘法口诀表格，可以快速算出两个数的积。

平方差公式：对于两个整数 $a$ 和 $b$，可以快速计算 $(a+b)^2$ 和$(a-b)^2$，分别为 $a^2+2ab+b^2$ 和 $a^2-2ab+b^2$。

除法倒数法：通过求出某个数的倒数，然后用这个倒数乘以需要除的数，可以快速计算除法结果。

11乘法口诀：对于两位数相乘，可以通过将这两个数字的和放在中间，例如$24 \times 11$ 可以计算为 $2$ 和 $4+2$ 和 $4$，得到 $264$。

规律判断法：在一些数列中，如果存在规律，可以通过观察规律推算出下一个数字。

四舍五入法：在进行精确计算不必要的时候，可以使用四舍五入法，保留一定的有效数字即可。

近似取整法：在进行大致计算的时候，可以使用近似取整法，将一个数字取整到最接近的整数，例如 $23.6$ 取整到 $24$。

连加连乘法：对于一些需要进行连加或连乘的数列，可以通过提取公因子，将计算过程简化。

小数移位法：在对小数进行计算时，可以通过移位小数点来将小数转换为整数，然后进行整数运算，最后再将小数点移回原位。

分式化简法：在进行分式运算时，可以通过化简分数，将分式化为最简形式，简化运算。

凑整法：将一个数凑整为最近的整数或10的倍数，然后再进行计算，最后再进行减法运算补回凑整时的误差。

差积因式法：在进行乘法或除法时，将数字拆分为其因子的乘积，然后再进行计算。

近似数法：在进行加减运算时，将数近似为离它最近的10、100、1000等倍数，然后再进行计算。

最后，再将结果还原为原数的近似值。

线性加减法：对于两个数 $a$ 和 $b$，如果它们的差为 $k$，那么 $a\pmb$ 就等于 $a\pm k\pm (b-k)$，其中 $k$ 是某个整数，使得 $b-k$ 或$a-k$ 是一个整数。

平方法：在进行乘法时，如果两个数都离平方数的差不远，那么可以利用公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 来简化计算。

速算与巧算（一）☜知识要点在我们的日常生活和学习中，离不开数字计算。

为了做到计算又快速又准确，需要掌握一些速算技巧和方法。

本章主要介绍如何运用一定的方法，来进行加减法的简便计算。

一、加法运算定律1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们和不变。

即：a+b=b+a。

2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，他们的和不变。

即：(a+b)+c=a+(b+c)。

在整数的加法运算中，我们常常可以利用加法交换律和结合律把能凑成整十、整百、整千……的数先相加，然后再加上剩下的数，从而让计算简单。

二、加减混合运算中的巧算技巧1. 带着符号搬家：在加减混合运算中，可以交换加数、减数的位置。

但必须在交换位置时，连同前面的运算符号一起“搬家”，运算的结果不会改变。

2. 去括号：加减混合运算中，如果括号前面是“+”号，去掉括号的时候不改变括号里面的符号；如果括号前面是“—”号，去掉括号的时候括号里面的符号要改变：即“+”变“—”，“—”变“+”。

3. 添括号：加减混合运算中，可通过添加括号来改变运算顺序，添加括号时，如果括号前面是“+”号，不改变括号里面的符号；如果括号前面是“—”号，括号里面的符号要改变：即“+”变“—”，“—”变“+”。

三、补数如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“补数”。

例如；1+9=10，1叫做9的补数。

而一个数的个位数字和它的补数的个位数字之和是10，其他位的数字之和是9。

☜精选例题☝【例1】：请用简便方法计算下列各题。

（1）19+128+72（2）82+354+18（3）64+97+103+36☝思路点拨：运用加法的交换律和结合律，先计算互为补数的两个数，可使计算简单。

☝答案：（1）19+128+72 （2）82+354+18 =19+（128+72）=82+18+354=19+200 =100+354=219 =454（3）64+97+103+36=（64+36）+（97+103）=100+200=300✌活学巧用1.口算43+57= 237+63= 1358+642= 2347+7653= 100-28= 1000-367= 10000-4523= 4000-1238=2. 请用简便方法计算下列各题。

整数的速算和巧算在加法、减法和加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中有利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算。

整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。

要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简单化。

1. 同学们要记住一些速算结果，如2×5=10，25×4 =100，125×8=1000，625×8 =5000，625×16= 10000等，这样，在计算时才能迅速而准确。

2. 灵活地运用“头同尾合十”和“尾同头合十”的巧算法求积。

“头同尾合十”的巧算方法是：用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100，最后加上个位上两个数字的乘积。

如23×27 =2×(2+l)×100+3×7=621.“尾同头合十”的巧算方法是：十位数字的乘积加上个位数字的和，再乘100，最后加上个位上的数字的积。

如：如72×32=(7×3+2)×100+2×2 =2304。

4. 另外有一些常用方法。

(1)乘数凑整法乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算，如：5×2= 10，25×4= 100，125×8=1000，…运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子，实现速算。

例如：32×625 =4×8×125×5。

(2)乘法分配律、结合律该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点，直接利用乘法结合律，先求和再求积。

例如：87×28+28×73-28×10=28×(87+73-10)。