第二专题整数的速算与巧算

第二专题整数的速算与巧算【第二专题】整数的速算与巧算前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧，但这仅仅是运算的基础，本专题将更深入地介绍一些特定的速算、巧算的方法，以提高计算的效率、节省计算时间，锻炼记忆力，提高综合分析、判断能力，提高解决复杂问题的能力。

【必会知识点】一、基本运算定律⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：()()++=++a b c a b c⑶乘法交换律：a b b a⨯=⨯⑷乘法结合律：()()⨯⨯=⨯⨯a b c a b c⑸乘法分配律：()a b c a b a c⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）⑹减法的性质：()--=-+a b c a b c⑺除法的性质：()÷⨯=÷÷a b c a b c+÷=÷+÷()a b c a c b ca b c a c b c-÷=÷-÷()（8）其他性质：a-(b-c)=a-b+c=a+c-ba-(b+c)=a-b-ca÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷b[积不变性质]：同时乘以（或除以）同一个非零数，积不变，即： a×b=(a×n)×(b÷n)=(a÷n)×(b×n)(n≠0) [商不变性质]：被除数和除数除以（或乘以）同一个非0的数，商不变，即：a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)[在连除时，可以交换除数位置，商不变]，如a÷b÷c=a÷c÷b [在乘除混合运算中，被乘数、乘数（或除数）必须连同运算符号一起交换位置（即带符号搬家）[，如：a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，【尤其是】可以从右到左逆着用．二、在乘除运算中，去掉和添加括号的规则【去括号原则：】1、括号前是“×”，去括号后，括号内的乘除符号不变，即：a×（b×c）=a×b×c， a×（b÷c）=a×b÷c2、括号前是“÷”，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即：a÷（b×c）=a÷b÷c， a÷（b÷c）=a÷b×c；【添括号原则：】1、加括号时，括号前是“×”，原符号不变；但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；即：a×b×c=a×（b×c），a×b÷c=a×（b÷c）；2、括号前是“÷”，其中“×”号变成“÷”号，“÷”变为“×”，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．即，a÷b÷c=a÷（b×c）， a÷b×c=a÷（b÷c）。

第二讲整数的速算一.加减法速算1.运算定律和性质：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法运算性质：a-b-c=a-(b+c)a-b-c=a-c-b2.拆分凑整法：当一个数接近于整十、整百、整千……的数时，可以通过拆分凑整，使这个数变形成整十、整百、整千……的数加上或减去一个较小数的形式，便于简便计算；例：998=1000-21005=1000+53.分组凑整法：几个数相加减，其中的两个数可以通过加减凑成整十、整百、整千……的数，就可以将这两个数分成一组进行计算；例：589+125-189+75=(589-189)+(125+75)考法1：运算定律和性质计算：(1)158+395+105(2)369-45-155(3)7827-(827+1200)考法2：拆分凑整法计算：(1)658+997(2)614-402(3)9+99+999+99992考法3：分组凑整计算：(1)232+565+768-265(2)124+139+176+161+113+287二.乘除法速算1.乘法结合律和交换律：a ×b ×c=b ×(a ×c)2.乘法分配律：(a+b)×c=a ×c+b ×c(a-b)×c=a ×c-b ×c3.商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。

a ÷b=(a ×n)÷(b ×n)=(a ÷n)÷(b ÷n)(n ≠0)4.去括号原则：括号前是“÷”，去括号时，括号内要变号。

a ×(b ÷c)=a ×b ÷ca ÷(b ÷c)=a ÷b ×c5.除法运算性质：(a ±b)÷c =a ÷c ±b ÷c考法1：利用结合律和交换律（凑朋友数巧算）计算：(1)25×19×4(2)125×72(3)25×125×32考法2：乘法分配律及其逆用1.计算：(1)104×25(2)125×7922.计算：(1)256×33+256×67(2)65×68+68×72-68×37考法3：商不变性质计算：(1)6000÷125(2)36400÷25÷4考法4：利用去括号进行巧算计算：(1)400÷(20÷25）(2)5÷(7÷11)÷(11÷15)÷(15÷21)考法5：运用公式(a±b)÷c=a÷c±b÷c计算：(1)778÷9+122÷9(2)(320+560+720)÷81.计算：(1)25×96×125(2)125×312×4×8×252.计算：(1)2004×25(2)88×256+12×2563.计算：(1)400000÷125÷25÷32(2)10000÷(125×5)(3)255÷11-145÷114。

（四年级）备课教员：第4讲：整数的速算与巧算一、教学目标： 1. 通过观察、比较，领会速算与巧算的基本规律。

2. 通过对数字的对比、拆分等方式，体会数与数之间的联系，发展抽象思维能力。

3.通过即时的方法演练，领会复杂问题简单化的能力，掌握5×2=10， 25×4=100， 125×8=1000等这些特殊数字之间的联系，增强应用数学的意识。

4. 通过活动，培养口头表达能力、初步的观察推理能力和探究问题的能力。

进一步培养发散思维和逻辑思维能力。

二、教学重点： 1. 学会运用多种方式将复杂的算式简单化。

2. 引导学生比较数字之间的相互联系。

3. 学会将乘数拆分成两个数相乘的积，从而进行速算。

三、教学难点： 1. 探索发现找出特殊的数字，从而将式子进行简单化。

2. 学会将乘数拆分成两个数相乘的积，从而进行速算。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)同学们，昨天米德和卡尔进行“计算王”比赛，米德只用了5分钟就将试题写完了，而卡尔却才算了一半的试题，卡尔不服气地将米德的试卷抢过，看了之后捧腹大笑：“哈哈……米德，你写这么快有什么用？都是错的！哈哈……”博士走过来，看了看米德的试卷说：“卡尔，你啊最近肯定没好好学习，米德全做对了！”“博士怎么可能，你看这里有些数题目中根本就没有，怎么可能是对的呢？”PPT出示下图（部分试题）师：同学们，你们知道这是为什么吗？生：……师：这就是我们今天要学习的知识。

【板书课题：整数的速算与巧算】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）计算下面各题。

（1）11×5×2 （2）25×7×4 （3）25×8×4×125 师：同学们，刚才也讲了我们今天要学的是速算与巧算，那你们观察这三个算师：是的，X X同学观察得还不够仔细哦，下次要小心仔细点！不过还是很棒，敢说了。

脱口秀数学第二讲计算专题2——整数巧算第一部分：速算与巧算基本运算律及公式加法：加法交换律、加法结合律减法：在连减或者加减混合运算中，去括号、添括号的规则乘除法：乘法交换率、乘法结合率、乘法分配率（反过程是提取公因数）、积不变性质商不变性质在乘除混合运算中，去括号、添括号的规则加减法中的速算与巧算1、分组凑整法2、加补凑整法3、位值原理法4、“基准数”法乘除法中的速算与巧算1、乘法凑整：⨯=，81251000⨯⨯=⨯=，711131001⨯=，42510025102、乘法其他速算方法：（详细例子见第一讲）20以内的两位数相乘、首同尾非十的两位数相乘、首同尾十的两位数相乘、首十尾同的两位数相乘、任意多位数数x11。

3、在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b÷÷=÷÷两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即()()()()()()a b c d a c b d a d b c⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷计算的应用1、定义新运算：定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

2、平均数计算：平均数问题的数量关系式，总数量÷总份数=平均数,平均速度=总路程÷总时间.解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数。

【例1】计算：11+192+1993+19994所得和数的数字之和是多少？【考点】加补凑整【解析】观察后三位数，可分别补上8,7,6使得凑成整百整千整万的数11+192+1993+19994=200+2000+20000-10=22200-10=22190最终所得数的数字和是14【答案】14【例2】计算：（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋8＋1988）＝（）。

第二讲速算与巧算（二）一、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=10 25×4=100 125×8=10002.分解因数，凑整先乘3.应用乘法分配律① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+67=175×（34+66） =67×（12＋35＋52＋1）=175×100=17500 ＝67×100＝6700（原式中最后一项67可看成 67×1）① 123×101 ② 123×99=123×（100＋1） =123×（100-1）=123×100＋123 =12300-123=12177＝12300＋123=124234.几种特殊因数的巧算一个数×10，数后添0；一个数×100，数后添00；一个数×1000，数后添000；以此类推。

如：15×10=150 15×100=1500 15×1000＝15000一个数×9，数后添0，再减此数；一个数×99，数后添00，再减此数；一个数×999，数后添000，再减此数;以此类推。

如：12×9＝120-12＝108 12×99＝1200－12＝1188 12×999＝12000-12=11988一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”如 2222×11＝24442 2456×11＝27016二、除法及乘除混合运算中的巧算1.在除法中，利用商不变的性质巧算商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

第二讲速算与巧算第二讲速算与巧算第二讲速算与巧算（一）专题鼓励：1、凑成整十、整百、整千的数，把一些接近整十、整百、整千的数看成接近的数进行简算，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加减去，少加还要加，多减要加上，少减还要减”的原则进行处理。

2、利用运算定律使运算简便。

典型例题：例1、计算：(1)548+397(2)2867+502解析：(1)式中的397吻合400，548+400就化后原式加之397多提了“3”，所以必须在算式后面乘以“3”：548+397=58+400-3=948-3=945(2)式中的502接近500，2867+500就比原式加上502少加了“2”，所以应在算式后面再加上“2”：2867+502=2867+500+2=3367+2=3369基准2、排序：(1)736-197(2)2463-304解析：(1)式中的197接近200，用736-200就比原来减去197多减了“3”，所以要在算式后加之“3”：736-197=736-200+3=536+3=539(2)式中的304接近300，2643-300比原来减去304少减了“4”，所以要在后面再减去“4”：2463-304=2463-300-4=2163-4=2159恶搞训练：用简便方法计算下面各题：(1)、472+198(2)、402+2729(3)、278-199(4)、2645-403基准3、排序：(1)、2739-325-175(2)、856-（156+78）解析：(1)通过观察可以发现(1)式中的减数175和325正好可以凑成整百数，应用加法性质并使排序方便快捷。

（一个数边续乘以几个数，等同于这个数乘以这几个数的和。

）(1)2739-325-175=2739-(325+175)=2739-500=2239(2)题目中856与156有相同的尾数，可以先减，是上面减法性质的反用。

(1)856-(156+78)=856-156-78=700-78=622基准4、排序：(1)、3652-289+348(2)、497+303解析：(1)式中的3652与348可以凑成整千数，先加起来，然后再减去289。

整数加减法速算与巧算2.学生版
简介：
本文档旨在介绍整数加减法的速算和巧算方法，以帮助学生们更加高效地进行数学运算。

通过掌握这些方法，学生们可以快速准确地完成加减法的计算，提高数学运算能力和应试能力。

一、整数加减法速算方法
1.整数加减法基础
正整数加减法
负整数加减法
正负整数加减法
2.加减同号整数的速算方法
同号整数相加
同号整数相减
3.加减异号整数的速算方法
异号整数相加
异号整数相减
二、整数加减法巧算方法
1.巧算进位与借位
进位巧算法
借位巧算法
2.巧算连加连减
连加巧算法
连减巧算法
三、应用示例
通过一些实际应用示例的介绍，帮助学生们更好地理解整数加减法速算和巧算方法的运用。

结语：
掌握整数加减法的速算和巧算方法对于学生们来说是非常重要的。

这些方法可以提高计算效率，培养对整数加减法的敏感度，并加强数学思维能力。

希望本文档对学生们的数学学习和运算能力提升有所帮助。