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在向量 BC 方向上的投影是________．
【解析】
AB ( 5,2), BC (2, 2),
AB BC | AB || BC | cos AB , BC ( 5) 2 2 ( 2) 14
且 | BC | 2 2 ,
向量 AB 在向量 BC 方向上的投影是
| AB | cos AB , BC 14 7 2 .
13
解
(a 2b) (kab),(a 2b)(kab) 0 即ka2 (2k 1)ab 2b2 0, a2 | a |216,b2 | b |2 64, ab 48cos120o 16， 16k 16(2k 1) 264 0, 解得k 7.
14
规律总结 (1)非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常
重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关 垂直的问题十分有效，应熟练掌握．
(2)若a＝(x1, y1)，b＝ (x2, y2) ，则a⊥b⇔ x1x2y1y20.
15
变式训练３ (精选考题·浙江高考·改编)已知平面 向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β| ＝________.．
16
【解析】
( 2 ), ( 2 ) | |2 2 0, 2 1,
| 2 | 4 | |2 4 | |2
4 2 4 10.
【答案】
10
17
平面向量的综合应用问题
(12分) 在平面直角坐标系xOy中，经过点
(0，2 )且斜率为k的直线l与椭圆x2 y 2 1 有两
469 7
3
• 规律总结 (1)向量的数量积的运算结果是一个数量，
• 平面向量的数量积运算类似多项式的乘法．
• (2)利用数量积求模问题是数量积的重要
•
应用，根据实际合理选择以下公式：
① |a|2a2aa;
② |ab| a22abb2; ③ 若 a(x,y)则 , |a|x2y2.
4
变式训练1 已知点A(6,1)、B(1,3)、C(3,1)，则向量 AB
个不同的交点P和Q.
2
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为
A、B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB
共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由
18
分析 1)联立直线与椭圆方程，整理成关于x
的一元二次方程，由于直线与椭圆有两个不同的交
点，则Δ>0.(2)根据向量共线规律，转化为A，B的
8k a (cos , sin ), b (cos , sin ), a 2 1, b 2 1, a b k 2 1 .
4k
11
(2) k 0, k 2 1 2k , a b
k 2 1 1 ,即a b的最小值为 1 ，
4k
2
2
此时 k 1, cos a b 1 .
9
变式训练２ 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosφ， sinφ)，
且a与b之间满足关系|ka＋b|＝ 3 |a－kb|，其中
k∈R且k＞0. (1)用k表示a·b； (2)求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．
10
【解析】
(1) | ka b | 3 | a kb |, | ka b |2 3 | a kb |2 , k 2 a 2 2 ka b b 2 3(a 2 2 ka b k 2b 2 ), 即 a b （3 k 2） a 2 (3k 2 1)b 2 .
2 3 （
1 ） 2
3.
（2）a 2 b 2 | a |2 | b |2 4 9 5.
(3)( 2a b) (a 3b) 2a 2 5a b 3b 2 2 | a |2
5 | a || b | cos120 o 3 | b |2 8 15 27 34
(4) | a b | (a b)2 a 2 2a b b 2
坐标关系．
19
(1 )由已知条件，直线
l 的方程为 y kx 2 ,
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 1分
1 2 1 1 5 , 22 2
| a b |
10 . 2
设 a b 与 a b 的夹角为
，则
1
cos
(a b ) (a b )
2
5,
| (a b ) || (a b ) |
2 10
5
2
2
cos 5 . 5
8
规律总结 求两向量的夹角的余弦值需要求 两向量的数量积和两向量的模，由此我们可 进一步体会到向量的夹角、向量的模和向量 的数量积的关系．
第三节 平面向量的数量 积及平面向量应用举例
1
平面向量的数量积与向量的模
已知|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2) a2 b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)；
(4)|a＋b|.
2
分析 用数量积和模的定义以及运算性质，逐题计算．
解（1）a b
| a | | b | cos120 o
22
2
5
【答案】 7 2 2
平面向量的数量积与两向量的夹角
已知|a|＝1，a·b＝1 ，(a－b)·(a＋b)＝1
2
2
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
，：
6
分析 先求出|b|，|a－b|和|a＋b|的值，再运用 夹角公式即可求出．
解 (a b ) (a b ) | a |2 | b |2 1 , 2
| a ||b| 2
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的 夹角为60°.
12
平面向量的数量积与向量垂直
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°， k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
分析 向量垂直的充要条件可得(a＋2b)·(ka－b)＝0， 可得含k的方程组，则问题可解
又 | a | 1，| b | 2 . 2
设 a 与 b 的夹角为 ，则 1
cos a b 2 2 , |a ||b | 1 2 2 2
45 o
7
（ 2 ） （ a b ） 2 a 2 2 a b b 2
1 2 1 1 1 , 22 2
| a b |
2,
2
（ a b ） 2 a 2 2 a b b 2
