[原创]2012年数学一轮复习精品试题第25讲 平面向量的数量积

辽宁省营口市高考数学一轮复习：25 平面向量的数量积姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，，且，则在方向上的投影是（）A .B . -11C .D . 112. （2分） (2016高三上·湖北期中) 已知向量 =（2cos2x，）， =（1，sin2x）．设f（x）= •，若f（α﹣）=2，α∈[ ，π]，则sin（2α﹣）=（）A . ﹣B .C . ﹣D .3. （2分） (2016高三上·定州期中) 已知向量与的夹角为60°，| |=2，| |=5，则2 ﹣在方向上的投影为（）A .B . 2C .D . 34. （2分）(2020·重庆模拟) 已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·漳州模拟) 在中，，AD是BC边上的高，则等于（）A . 0B .C . 2D . 16. （2分） (2016高一下·南安期中) 若，且，则向量与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°7. （2分）已知向量=（sinα，cosα），向量=（cosα，sinα），则•=（）A . sin2αB . ﹣sin2αC . cos2αD . 18. （2分）已知，，若与的夹角为，则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）某同学在期末复习时得到了下面4个结论：①对于平面向量，，，若⊥，⊥，则⊥；②若函数f（x）=x2﹣2（1﹣a）x+3在区间[3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为[﹣2，+∞）；③若集合A={α|α=+，k∈Z}，B={β|β=kπ+，k∈Z}，则A=B．④函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有且仅有2个公共点．其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）如图所示,矩形中,点为中点,若,则（）A .B .C . 3D .11. （2分） (2016高一下·湖北期中) 已知△AOB中，∠AOB=120°，| |=3，| |=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则• 的值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则命题p是命题q的（）A . 充分不必要的条件B . 既不充分也不必要的条件C . 充要条件D . 必要不充分的条件二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）(2014·新课标I卷理) 已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则与的夹角为________．14. （1分）在边长为1的正方形ABCD中，向量，则向量的夹角为________．15. （1分）已知 =（，），是单位向量，且• = ，则 =________．16. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 在平面四边形ABCD中，E为BC的中点，且EA=1，ED= ．若•=﹣1，则• 的值是________．17. （1分） (2019高二上·桂林月考) 已知向量，，若，则实数等于________三、解答题 (共5题；共45分)18. （5分） (2019高一下·郑州期末) 已知平面向量 ,（I）若 ,求；（Ⅱ）若 ,求与所成夹角的余弦值．19. （10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos（•）的值；（3）求证A1B⊥C1M．20. （10分） (2016高一下·驻马店期末) 已知向量 =（cos2x， sinx）， =（1，cosx），函数f（x）=2 • +m，且当x∈[0， ]时，f（x）的最小值为2．（1）求m的值，并求f（x）图象的对称轴方程；（2）设函数g（x）=[f（x）2]﹣f（x），x∈[0， ]，求g（x）的最大值．21. （10分） (2016高一下·大连期中) 已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若• =12，其中O为坐标原点，求|MN|．22. （10分） (2016高三上·泰兴期中) 在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

安徽省滁州市高考数学一轮专题：第 25 讲 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·柳州模拟) 已知平面向量 ， 满足 夹角的余弦值为（ ），且，则向量 与A.B.C.D.-2. （2 分） (2013·浙江理) 设△ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足恒有则（ ）A . ∠ABC=90°B . ∠BAC=90°C . AB=ACD . AC=BC，且对于边 AB 上任一点 P，3. （2 分） 若向量 ， ， 满足 ∥ 且 ⊥ ， 则 •（ +2 ）=（ ） A.4 B.3 C.2 D.0第1页共9页4. （2 分） (2019 高三上·双鸭山月考) 已知向量，，为（ ）A.B.C.D.，则 与 的夹角5. （2 分） (2016 高一下·晋江期中) 若非零向量 ， 满足| |= （3 +2 ），则 与 的夹角为（ ）| |，且（ ﹣ ）⊥A.B.C.D.π6. （2 分） (2018 高三上·定州期末) 已知 为抛物线的两侧，而且（ 为坐标原点），若与值是（ ）的焦点，点在该抛物线上且位于 轴的面积分别为 和 ，则最小A. B. C. D. 7. （2 分） 已知向量 A.1,若， 则实数 n 的值是第2页共9页（）B . —1 C . —3 D.3 8. （2 分） (2017·内江模拟) 已知向量 =（1，﹣2）， =（1，1）， = + ， = ﹣λ ， 如果 ⊥ ，那么实数 λ=（ ） A.4 B.3 C.2 D.19.（2 分）(2018 高二上·石嘴山月考) 已知平面 的法向量是，平面 β 的法向量是，若，则 λ 的值是（ ）A . ﹣6B.6C.D. 10. （2 分） 已知 a,b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是 （ ） A . a 与 b 相等 B . 如果 a 与 b 平行，那么 a 与 b 相等 C . a2b=1 D . a2=b211. （2 分） (2018·榆社模拟) 已知向量满足第3页共9页，， 与 的夹角为，，则的最大值为（ ）A.B. C.D.12. （2 分） (2019 高二下·安徽月考) 已知向量 值为（ ），向量，若，则实数 的A . -5B.5C . -1D.1二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2017·泉州模拟) 已知| |=2， 是单位向量，且 与 夹角为 60°，则 •（ ﹣ ）等于________．14. （1 分） (2017·深圳模拟) 已知平面向量 =（1，2）， =（2，﹣m），且，则=________．15. （1 分） (2018·门头沟模拟) 已知两个单位向量 则 =________。

辽宁省锦州市高考数学一轮复习：25 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·柳州模拟) 已知平面向量 ， 满足 夹角的余弦值为（ ），且，则向量 与A. B.C. D.2. （2 分） 已知非零向量 ， 的夹角为 ， 且| |=1，| ﹣2 |=1，则| |=（ ）A. B.1 C. D.2 3. （2 分） (2016 高一上·黄冈期末) 如图，在△ABC 中，AD⊥AB， =2 =（ ），| |=1，则 •A.2 B.第 1 页 共 10 页C. D . ﹣24. （2 分） 已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且， 则| |=（ ）A.B.C.2D.2 5. （2 分） (2016 高二上·屯溪开学考) 已知| |=1，| |=6， •（ ﹣ ）=2，则向量 与向 量 的夹角是（ ）A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高二上·马山期中) 已知点 A.，，，则B.C.D.第 2 页 共 10 页7. （2 分） (2016·太原模拟) 向量 则点 B 的坐标为（ ）与向量A . （﹣7，8）B . （9，﹣4）C . （﹣5，10）D . （7，﹣6）的夹角为 π，，若点 A 的坐标是（1，2），8. （ 2 分 ） 已 知 平 面 向 量 的 夹 角 为 , 且， D 为 BC 中点，则（），在中，，A.2B.4C.6D.89. （2 分） (2016 高二上·山东开学考) 下列的四个命题：①| • |=| || |；②（ • ）2= 2• 2；③若 ⊥（ ﹣ ），则 • =；④若 • =0，则| + |=| ﹣ |． 其中真命题是（ ）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④第 3 页 共 10 页10. （2 分） (2018 高一下·四川期末) 已知，A . -4 B . -2 C.2D.4，则 在 方向上的投影为（ ）11. （2 分） (2017·孝义模拟) 若| |= 的最大值是（ ），| |=1，| |=，且 • =0，则 • + •A.1B.C. D.3 12. （2 分） ⊿ABC 的三个顶点分别是则 AC 边上的高 BD 长为（ ）A. B.4 C.5D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13. （1 分） 已知| |=1，| |= ，（ ﹣ ），则 与 的夹角是________．14. （1 分） (2020 高三上·兴宁期末) 已知向量 与 的夹角是 ，，与 的夹角为________．，则向量第 4 页 共 10 页15. （1 分） (2016 高二上·温州期末) 己知点 O 为坐标原点，△ABC 为圆 C1：（x﹣1）2+（y﹣内接正三角形，则 •（ ）的最小值为________．）2=1 的16. （1 分） (2016·北区模拟) 在 Rt△ABC 中，CA=CB=2，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN= ，则•的取值范围为________．17. （1 分） (2017·福州模拟) 已知向量三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)，则=________．18. （5 分） (2019 高一下·郑州期末) 已知平面向量,（I）若,求 ；（Ⅱ）若,求 与 所成夹角的余弦值．19. （10 分） (2016 高一下·芒市期中) 已知向量 =（3，0）， =（﹣5，5）， =（2，k） （1） 求向量 与 的夹角； （2） 若 ∥ ，求 k 的值； （3） 若 ⊥（ ） ，求 k 的值．20. （10 分） (2017 高三上·成都开学考) 已知 f（x）= • ，其中 =（2cosx，﹣ （cosx，1），x∈R．sin2x）， =（1） 求 f（x）的单调递减区间；（2） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f（A）=﹣1，a= =（2，sinC）共线，求边长 b 和 c 的值．，且向量 =（3，sinB）与21. （10 分） (2017·淮安模拟) 已知 =（cosα，sinα）， =（ ，﹣1），α∈（0，π）．（1） 若 ⊥ ，求角 α 的值；（2） 求| + |的最小值．第 5 页 共 10 页22. （10 分） (2016 高三上·泰兴期中) 在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1） 若，且 α∈（0，π），求角 α 的值；（2） 若，求的值．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、 17-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、19-1、 19-2、第 8 页 共 10 页19-3、 20-1、 20-2、 21-1、 21-2、 22-1、第 9 页 共 10 页22-2、第 10 页 共 10 页。

高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。

吉林省四平市高考数学一轮专题：第 25 讲 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·深圳模拟) 在中，，， 为 的中点，则（）A . -2B . -1C.0D.12. （2 分） (2016 高一上·西城期末) 设向量 ， 的模分别为 2 和 3，且夹角为 60°，则| + | 等于（ ）A. B . 13C. D . 19 3. （2 分） (2017 高一上·孝感期末) 已知三个共面向量 ， ， 两两所成角相等，且| |=1，| |=2，| |=3，则| + + |=（ ） A.5B. C . 5或6D . 6或4. （2 分） (2016 高一下·宜昌期中) 已知，，第1页共8页则 与 的夹角为（ ）A.B.C.D.π5. （2 分） 已知| |=| |=| |=1，且 + + = ，则 与 的夹角为（ ）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°6. （2 分） (2016·遵义) 已知圆 的半径为 ， 小值为（ ）为该圆的两条切线, 为两切点，那么的最A.B.C.D. 7. （2 分） 已知： =（tanθ，﹣1）， =（1，﹣2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则 tanθ=（ ） A.2 B . -2 C . 2 或﹣2 D.0第2页共8页8. （2 分） (2017 高二上·汕头月考) 已知平面向量 A . -12 B . 12，，若，则实数 k 为（ ）C.D.9. （2 分） 若 A. B. C. D.， 则 的夹角 θ 等于（ ）10. （2 分） (2020·鹤壁模拟) 已知向量 ， 的夹角为 ，且，则（）A.，，B. C. D.11. （2 分） 设向量 、 ，满足| |=| |=1， • =﹣ ，则| +2 |=（ ） A.B.C.第3页共8页D.12. （2 分） (2019 高二下·昭通月考) 已知向量直，则（）A.B.1，向量，若与垂C.D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2017 高一上·定州期末) 已知 ， 是平面单位向量，且 • =﹣ ，若平面向量 满足 • = • =1，则| |=________．14. （1 分） 已知向量 =（5，0）， =（﹣2，1）， ⊥ ，且 =t + （t∈R），t=________15. （1 分） 在等腰梯形中，已知上，且，则的值为________ 。

第二十五讲 平面向量的数量积班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12D ．不存在解析：由题设知：a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，∴a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)．∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m (m ＋2)＋(m －4)(－m －2)＝0，解之得m ＝－2.故应选A.答案：A2．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，则必有() A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，即f (x )的表达式是关于x 的一次函数．而(xa ＋b )·(a －xb )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a ·b －x |b |2，故a ·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量，∴a ⊥b ，故应选A.答案：A3．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：∵a 与a ＋2b 同向，∴可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则有b ＝λ－12a ，又∵|a |＝12＋12＝2，∴a ·b ＝λ－12·|a |2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴a ·b 的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC 中，,,AB a AC b == a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°.答案：C5．(·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设,,OA a OB b ==则△OAB 的面积等于() A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |， sin ∠AOB ＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫a ·b|a |·|b |2，所以S △OAB ＝12|a ||b |sin ∠AOB ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.答案：C6．(·湖南)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：解法一：因为cos A ＝ACAB ，故||||AB AC AB AC =cos A ＝AC 2＝16，故选D.解法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故||||AB AC AC AB =cos A ＝AC 2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(·江西)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1.答案：18．(·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10. 答案：109．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________.解析：由λb －a 与a 垂直，(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC +)的最小值是________． 解析：令|OM |＝x 且0≤x ≤2，则|OA |＝2－x .()2OA OB OC OA OM +=＝－2(2－x )x ＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2≥－2.∴()OA OB OC +的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1. 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a ·b ＋λ2a ·b －3λb 2＝λ2＋λ－6.设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23. 故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |去判断θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ， (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－ka ＋tb 满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值． 解：(1)证明：∵a ·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋ sin(－θ)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a ·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t ，∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t＝t 2＋t ＋3 ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114. 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.。

吉林省吉林市高考数学一轮专题：第 25 讲 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一下·珠海月考) 已知向量 和 满足为，则 为（ ）A.B. C.，， 和 的夹角D.2. （2 分） 在中，若A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2 分） (2020·漳州模拟) 在 （）A.0,则是（ ）中，，AD 是 BC 边上的高，则等于B. C.2 D.14. （2 分） (2016 高一下·新化期中) 已知平面向量 与 的夹角等于 ，若| |=2，| |=3，则第 1 页 共 10 页|2 ﹣3 |=（ ）A.B.C . 57D . 615. （2 分） (2017·襄阳模拟) 已知向量| |=3，| |=2， =m +n ，若 与 的夹角为 60°，且⊥ ，则实数 的值为（ ）A.B. C.6 D.46. （2 分） 在 R t △PAB 中，PA＝PB ， 点 C、D 分别在 PA、PB 上，且 CD∥AB ， AB＝3，AC＝ ， 则的值为（ ）A . －7B.7C . －3D.37. （2 分） 若向量 =（ ， 1）， =（0，﹣2），则与 +2 共线的向量可以是（ ）A . （ ， ﹣1）B . （﹣1，﹣ ）第 2 页 共 10 页C . （﹣ ， ﹣1）D . （﹣1， ）8. （2 分） (2018 高二上·黑龙江月考) 已知，则 的值为（ ）.，且 与互相垂直，A.B. C. D.19. （2 分） (2018·吉林模拟) 在小正方形边长为 1 的正方形网格中, 向量向量所成角的余弦值是（ ）的大小与方向如图所示，则A. B. C. D.第 3 页 共 10 页10. （2 分） 已知两不共线向量,则下列说法不正确的是 （ ）A.B. C . 与 的夹角等于D . 与 在 方向上的投影相等11. （2 分） (2020 高三上·贵阳期末) 已知非零向量 （）满足，则 与 的夹角为A. B.C.D. 12. （2 分） 已知向量， 如果向量与 垂直，则 x 的值为（ ）A.B. C.2D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2017·泉州模拟) 已知| |=2， 是单位向量，且 与 夹角为 60°，则 •（ ﹣ ）等于________．第 4 页 共 10 页14. （1 分） (2016 高二上·上海期中) 已知位置向量 =（log2（m2+3m﹣8），log2（2m﹣2））， 0），若以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB 的顶点 C 在函数 y= x 的图象上，则实数 m=________．=（1，15. （1 分） (2018 高一下·山西期中) 已知，则 在 方向上的投影为________．16. （1 分） (2016 高一下·揭西开学考) 已知 ________．，且，则 与 的夹角大小为17. （1 分） (2017 高一下·禅城期中) 已知向量 =（1，1）， =（2，0），则向量 ， 的夹角的余 弦值为________．18. （1 分） 已知向量 ， 满足| |=5，| |=3，| ﹣ |=7，则 • =________三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)19. （10 分） (2017·临沂模拟) 已知向量 （I）求 f（x）的单调递增区间；，若 f（x）=m•n．（II）己知△ABC 的三内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，且 a=3，f 的值．20. （10 分） (2019 高一下·雅安月考) 已知（1） 求；（2） 若，求 .，sinC=2sinB，求 A，c，b21. （10 分） (2016 高一下·南沙期末) 已知向量 ， 满足| |=3，| |= 2 ）=4．，（ + ）（ ﹣（1） 求 • ；（2） 求| ﹣ |．22. （10 分） (2018 高一下·阿拉善左旗期末)第 5 页 共 10 页（1） 已知,求；（2） 已知，，的夹角为，求23. （5 分） (2018 高二上·北京月考) 已知圆 且 OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.. 和直线交于 P、Q 两点第 6 页 共 10 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、 17-1、 18-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)19-1、 20-1、第 8 页 共 10 页20-2、 21-1、 21-2、 22-1、 22-2、第 9 页 共 10 页23-1、第 10 页 共 10 页。

安徽省阜阳市高考数学一轮专题：第 25 讲 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·榆林模拟) 已知向量 ， 满足，则A.2B.C.D.2. （2 分） 平面向量 、 的夹角为 ，，，则（）A.B.（）C. D.23. （2 分） (2017 高三下·武威开学考) 已知点 A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（ ）A. B. C. D.第 1 页 共 10 页4. （2 分） 已知 =（3，4）， =（5，12）， 与 则夹角的余弦为（ ） A. B.C. D.5. （2 分） 在中，,，则面积为（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） 若向量 满足 A. B.， 与 的夹角为 600 ， 则的值为（ ）C. D.27. （2 分） (2019 高二上·温州期中) 已知，，面内一点，且 A.，则的最大值等于（ ）.，若 点是所在平第 2 页 共 10 页B. C. D. 8. （2 分） (2018 高二上·宁波期末) 已知空间向量1， ，，且，则A. B. C.1 D.2 9. （2 分） 若，且则向量 与 的夹角为（ ）A. B.C.D.10. （2 分） A . 60 B . 90 C . 120 D . 150，且， 则 、 的夹角为 （ ）11. （2 分） (2019 高三上·北京月考) 已知向量 、 满足，且关于 的函数第 3 页 共 10 页在实数集 上单调递增，则向量 、 的夹角的取值范围是（ ）A. B. C.D.12. （2 分） 已知向量 A.2 B.4若，则的最小值为（ ）C.D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2018 高二上·海安期中) 已知向量 a，b 满足，，则 a·b = ________14. （1 分） (2016 高三下·习水期中) 在△ABC 中，A=30°，2 余弦值为________．=3 2 ， 则△ABC 的最大角的15. （1 分） (2017 高一上·石家庄期末) 已知向量 取值范围是________．=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则 k 的16. （1 分） =（2，3）， =（﹣3，5），则 在 方向上的投影为________17. （1 分） (2017 高一下·禅城期中) 已知向量 =（1，1）， =（2，0），则向量 ， 的夹角的余 弦值为________．18. （ 1 分 ） (2018 高 三 上 · 西 安 期 中 ) 在 △ABC 中 ,M 为 边 BC 的 中 点 ,N 为 线 段 BM 的 中 点 . 若,则的最小值为________。

广东省惠州市高考数学一轮专题：第 25 讲 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一下·安平期末) 在△ABC 中，b2=ac，且 a+c=3，cosB= ，则 • =（ ）A.B.﹣C.3D . ﹣32. （2 分） (2017·自贡模拟) △ABC 中，∠C=90°，且 CA=3，点 M 满足=2，则•的值为（ ）A.3B.6C.9D . 不确定3. （2 分） (2017·临翔模拟) 已知点 A（2，0），B（3，2），向量，若，则 为（ ）A.B.C.D.44. （2 分） (2018 高一上·佛山期末) 如图所示， （）是顶角为第1页共9页的等腰三角形，且，则A.B. C.D.5. （2 分） (2019 高三上·城关期中) 已知平面向量满足，且的夹角为（ ），则 与A. B. C.D.6. （2 分） (2017 高二上·汕头月考) 已知 与 均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）A.B.C. D.4 7. （2 分） 向量 =(2,4)， =(5,3)，则 ( - )=（ ）第2页共9页A . -10 B . 14 C . （﹣6，4） D . -2 8. （2 分） 如图，D 为等腰三角形 ABC 底边 AB 的中点，则下列等式恒成立的是（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2019 高一下·长春月考) 已知向量，且角为（ ）A.B.C.D.10. （2 分） 已知 A＝(1，－2)，若向量 与 ＝(2，－3)反向，| A . (10,7)第3页共9页，则向量 与 的夹 |，则点 B 的坐标为（ ）B . (－10,7) C . (7，－10) D . (－7,10)11. （2 分） (2018·榆社模拟) 已知向量满足，则的最大值为（ ），， 与 的夹角为 ，A.B. C.D.12. （2 分） (2017·山西模拟) 已知向量 =（x﹣1，3）， =（1，y），其中 x，y 都为正实数，若，则的最小值为（ ）A.2B.2 C.4D.2二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2019 高三上·深州月考) 在直角 ________.中，点 是斜边的中点，且，则14. （1 分） (2017 高二下·海淀期中) 已知平面向量 =（x1 ， y1）， =（x2 ， y2），那么 • =x1x2+y1y2；空间向量 =（x1 ， y1 ， z1）， =（x2 ， y2 ． z2），那么 • =x1x2+y1y2+z1z2 ． 由 此推广到 n 维向量： =（a1 ， a2 ， …，an）， =（b1 ， b2 ， …，bn），那么 • =________．第4页共9页15. （1 分） (2018·如皋模拟) 已知点 是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为________.16.（1 分）(2017 高一上·武清期末) 如图，边长为 l 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，，则=________．17. （1 分） (2018·鞍山模拟) 已知向量 ________．满足，18. （1 分） (2018 高一下·葫芦岛期末) 已知 ________．三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)19. （10 分） (2018 高一下·合肥期末) 已知（1） 若三点共线，求实数 的值；（2） 证明：对任意实数 ，恒有成立.20. （10 分） (2017 高一上·密云期末) 已知向量，（Ⅰ）若 ， 共线，求 x 的值；（Ⅱ）若 ⊥ ，求 x 的值；（Ⅲ）当 x=2 时，求 与夹角 θ 的余弦值．21. （10 分） (2018 高二下·临泽期末) 已知向量（1） 若,求的值；第5页共9页，则的夹角为，则的最小值为.．．（2） 记，在中，角的对边分别是且满足，求函数的取值范围．22. （10 分） (2018 高一下·阿拉善左旗期末)（1） 已知,求；（2） 已知，，的夹角为，求.23. （5 分） (2017 高一上·天津期末) 已知向量 =（1，0）， =（m，1），且 与 的夹角为 ． （1） 求| ﹣2 |； （2） 若（ +λ ）与 垂直，求实数 λ 的值．第6页共9页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第7页共9页16-1、 17-1、 18-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)19-1、19-2、20-1、21-1、第8页共9页21-2、 22-1、 22-2、23-1、23-2、第9页共9页。