函数的零点 学业分层测评

学业分层测评(二十二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．函数()＝＋的零点所在的一个区间是( )．(－)．(－，－)．()．()【解析】因为函数()的图像是连续不断的一条曲线，又(－)＝－－＜，()＝＞，所以(－)·()＜，故函数零点所在的一个区间是(－)．故选.【答案】．函数()＝－)的零点有( )．个．个．个．个【解析】由()＝－)＝得：＝，∴()＝－)只有一个零点．【答案】．若函数()＝＋＋没有零点，则实数的取值范围是( )．>．<．≥．≤【解析】由题意知，Δ＝－<，∴>.【答案】．(·湖南长沙一中高一期中)函数()＝＋－零点所在大致区间是( )．()．()．()．()【解析】∵()＝＋－，∴()＝＋－＝－<，()＝＋－＝－＜，()＝＋－＝>，()＝＋－＝＋＞，()＝＋－＝＋＞，∴函数()＝＋－零点所在大致区间是()．故选.【答案】．设函数()＝－ (＞)，则＝()( )．在区间，(，)内均有零点．在区间，(，)内均无零点．在区间内无零点，在区间(，)内有零点．在区间内有零点，在区间(，)内无零点【解析】因为＝－＝＋＞，()＝－＝＞，()＝－＝－＜.故函数()在内无零点，在区间(，)内有零点．【答案】二、填空题．(·威海高一检测)函数()＝＋－的一个零点是－，则另一个零点是．【解析】由题意(－)－－＝，解得＝，由＋－＝，解得＝－，＝.故另一个零点为.【答案】．若函数()＝－－(＞且≠)有两个零点，则实数的取值范围是．【解析】函数()的零点的个数就是函数＝与函数＝＋交点的个数，由函数的图像如图所示，可知＞时两函数图像有两个交点，＜＜时两函数图像有唯一交点，故＞.【答案】(，＋∞)．已知函数()＝＋－(＞，且≠)．当＜＜＜＜时，函数()的零点∈(，＋)，∈＋，则＝.【解析】∵＜＜＜＜，当＝时，。

学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【解析】因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.【答案】 B2．函数f(x)＝(x－1)ln xx－3的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由f(x)＝(x－1)ln xx－3＝0得：x＝1，∴f(x)＝(x－1)ln xx－3只有一个零点．【答案】 B3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a<1 B．a>1C．a≤1 D．a≥1【解析】由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.【答案】 B4．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】∵f(x)＝log3x＋x－3，∴f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0， f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1＜0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， f (4)＝log 34＋4－3＝log 34＋1＞0， f (5)＝log 35＋5－3＝log 35＋2＞0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点所在大致区间是(2,3)．故选B. 【答案】 B5．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点【解析】 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e －ln 1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13－ln 1＝13＞0， f (e)＝13e －ln e ＝13e －1＜0.故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．【答案】 C 二、填空题6．(2015·威海高一检测)函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________．【解析】 由题意(－6)2－6m －6＝0，解得m ＝5， 由x 2＋5x －6＝0，解得x 1＝－6，x 2＝1.故另一个零点为1. 【答案】 17．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像如图所示，可知a＞1时两函数图像有两个交点，0＜a＜1时两函数图像有唯一交点，故a＞1.【答案】(1，＋∞)8．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝log a2＋2－b＜0；当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.【答案】 2三、解答题9．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．【导学号：04100074】【解】令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.当a＝12时，则由⎝⎛⎭⎪⎫12x－1(x－2)＝0，解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2.当a≠0且a≠12时，则由(ax－1)(x－2)＝0，解得x＝1a或x＝2，则其零点为x＝1a或x＝2.10．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．【解】令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得⎩⎨⎧m >0，f (4)<0，或⎩⎨⎧m <0，f (4)>0，即⎩⎨⎧m >0，26m ＋38<0，或⎩⎨⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0.[能力提升]1．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 【解析】 ∵g (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，h (x )＝4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e －14－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 【答案】 C2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x ＞0的图像如图所示：则f (x )的零点个数为2. 【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．【解析】 令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m . 由题意函数f (x )与y ＝m 的图像有三个不同的交点． 由图可知故当－14＜m ＜0时，两函数有三个不同的交点， 故函数的取值范围为－14＜m ＜0. 【答案】 －14＜m ＜04．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．【证明】 (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，即ac ＜0. ∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根， ∴f (x )必有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]， 则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f(x1)－f(x2)]，g(x2)＝f(x2)－12[f(x1)＋f(x2)]＝12[f(x2)－f(x1)]．∵g(x1)·g(x2)＝－14[f(x1)－f(x2)]2，且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)＜0.∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．。

【高中数学新人教B 版必修1】2.4.1《函数的零点》测试一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ）Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）∙ｆ（４）的值（ ）Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．ｆ（ｘ）＝xx 1-，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５ 6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f (x ) = 12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ2x －２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围 ．11．若函数ｆ（ｘ）＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x －ａｘ－１的零点 ．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x －４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f （x ）=a 2x +bx （ａ，ｂ是常数且ａ≠０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f （x ）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1． Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．31,21-- 三、解答题 13．解：（１）由条件知；Δ＝24m -－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０ 即ｍ＞31 所以函数与ｘ轴有两个交点 （２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，∴有２（ｍ－１）⨯20－４ｍ0⋅＋２ｍ－１＝０∴ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a x 2+（b －１）x＝０．有等根∴Δ＝)1(2-b ＝０， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-0024)1(2b b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，∴ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ （２）ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ＝－212121)1(2≤+-x ∴２ｎ21≤ ，∴ ｎ41≤∴函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０。

学业分层测评(十五) 函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007【解析】 因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)． 【答案】 D3．函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( )【导学号：97512031】A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y＝x3－16x的零点有3个．【答案】 D4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()A．1 B．2C．0 D．不能确定【解析】由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.故方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点．【答案】 B5．若函数f(x)的零点与g(x)＝2x－2的零点相同，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x2＋4x－5 D．f(x)＝x2－1【解析】令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，∴g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)＝0只有x＝1一个根．只有选项B中函数f(x)＝(x－1)2满足．【答案】 B二、填空题。

学业分层测评(十六) 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用二分法求如图2-4-3所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()图2-4-3A．x1B．x2C．x3D．x4【解析】由题图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出．【答案】 C2．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0，f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0，∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点，故选C.【答案】 C3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于()【导学号：60210065】A．[－2,1] B．[2.5,4]C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]【解析】∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0，f(1.75)＝－1.515 625<0.∴f(x)在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选D.【答案】 D4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6【解析】已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始。

学 习 资 料 专 题3.4.1 第1课时 函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________． 【解析】 由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m .∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，由g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.【答案】 0和－122．方程2x＋x ＝0在下列哪个区间内有实数根________．(填序号) ①(－2，－1)；②(0,1)；③(1,2)；④(－1,0)． 【解析】 令f (x )＝2x＋x ，则f (－2)＝－74＜0，f (－1)＝－12＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＝3＞0，f (2)＝6＞0.∵f (－1)·f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＜0， ∴f (x )＝2x＋x 的零点在区间(－1,0)内， 故2x＋x ＝0在区间(－1,0)内有实数根． 【答案】 ④3．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x ＋log 2 x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 在同一坐标系中画出y ＝2x和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .【答案】 b >c >a4．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值为________．①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．【解析】 因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x 1＜x 0，所以有f (x 1)＜f (x 0)＝0. 【答案】 ①5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x的方程f (x )＝x 的解的个数是________.【解析】 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋x ，x作图象(略)得函数有2个零点． 【答案】 26．关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由 f (x )＝3x 2－5x ＋a 满足条件的大致图象(略)可知⎩⎪⎨⎪⎧f－＞0， f ＜0， f ＜0， f＞0，解得－12＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－12,0)．【答案】 (－12,0)7．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．若f (x )有2 015个零点，则这2 015个零点之和为________．【解析】 设x 0为其中一根，即f (x 0)＝0，因为函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0， 即－x 0也为方程一根，又因为方程f (x )＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 015个实数解之和为0. 【答案】 08．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有________个．【解析】 依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点． 【答案】 2 二、解答题9．求函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点个数．【解】 函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点即2x|log 0.5 x |－1＝0的解，即|log 0.5 x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5 x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由图象可知，两函数共有两个交点， 故函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1有2个零点．10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．[能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，零点的个数为________．【解析】 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3，x ＝1(舍去)， ∴f (x )在(－∞，0]上有一个零点；x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0.∵f (1)·f (e 3)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f (x )在R 上有2个零点． 【答案】 22．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 【解析】 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 【答案】 03．若方程x 2－2|x |－a ＝0恰有3个实根，则a 的取值范围是________．【解析】 本题可化为y ＝x 2－2|x |与y ＝a 这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a ＝0时两个图象才恰有3个交点．【答案】 a ＝04．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围.【解】 当0＜x ≤1时，方程化为1＋kx ＝0， 可知两解在(0,1]范围内不可能． 当1＜x ＜2时，方程化为2x 2＋kx －1＝0，若两解在(1,2)范围内，则x 1·x 2＞1，这与x 1·x 2＝－12矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜1－k≤1，f 1 f 2＜0，解得－72＜k ＜－1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1.。

3.1.1 方程的根与函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤11＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0【解析】 当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x－1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】 D3．函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 ∵f (1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f (2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f (x )的零点必在区间(1,2)上，故选C.【答案】 C4．已知0＜a ＜1，则函数y ＝|log ax |－a |x |零点的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个【解析】 ∵0＜a ＜1，函数y ＝|log ax |－a |x |的零点的个数就等于方程a |x |＝|log ax |的解的个数，即函数y ＝a |x |与y ＝|log ax |图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝a |x |与y ＝|log ax |的交点的个数为2，故选B.【答案】 B5．已知方程|2x－1|＝a 有两个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(1,2) C ．(0，＋∞)D ．(0,1)【解析】 若关于x 的方程|2x－1|＝a 有两个不等实数根，则y ＝|2x－1|的图象与y ＝a 有两个不同的交点．函数y ＝|2x －1|的图象如图所示由图可得，当a ∈(0,1)时，函数y ＝|2x－1|的图象与y ＝a 有两个交点，故实数a 的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】 D 二、填空题 6．函数f (x )＝x －ln xx －3的零点是________．【解析】 令f (x )＝0，即x －ln xx －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.【答案】 17．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)8．已知函数f (x )＝3x＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.【解析】 画出函数y ＝3x，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f (x )＝3x＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .【答案】 a ＜b ＜c 三、解答题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x x2x x，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示：①0＜a ＜4时，方程有四个解； ②a ＝4时，方程有三个解； ③a ＝0或a ＞4时，方程有二个解； ④a ＜0时，方程没有实数解．10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．【解】(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．[能力提升]1．函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)【解析】易知函数f(x)＝x＋lg x－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3＜0，f(2)＝2＋lg 2－3＜0，f(3)＝3＋lg 3－3＞0，故函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.【答案】 C2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]上只有一个零点，设为x0，则f(x0)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函数在[－a,0]内唯一的零点，故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.【答案】 B3．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号) 【解析】 设f (x )＝x 3＋x 2－2x －1， 则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1>0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0， f (2)＝7>0，则f (x )在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确． 【答案】 ①②③4．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围. (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．【解】 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0f＝5－2a >0a >1，解得2≤a <52，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f＝4>0f＝5－2a <0f＝40－12a <0f＝68－16a >0，解得103<a <174，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

学业分层测评(十六)求函数零点近似解的一种计算方法——二分法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用二分法求如图2-4-4所示函数f (x)的零点时，不可能求出的零点是()图2-4-4A.x1B.x2C.x3D.x4【解析】由题图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出.【答案】 C2.已知连续函数f (x)的部分对应值如下表：x 123456789f (x)148－2273－2－18A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】∵f (2)＝8>0，f (3)＝－2<0，f (4)＝2>0，f (6)＝3>0，f (7)＝－2<0，f (8)＝－1<0，f (9)＝8>0，∴f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (6)·f (7)<0，f (8)·f (9)<0，∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点，故选C.【答案】 C3.函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2,4]上的零点必定属于( ) 【导学号：60210065】A.[－2,1]B.[2.5,4]C.[1,1.75]D.[1.75,2.5]【解析】 ∵f (－2)＝－28<0，f (4)＝38>0， f (1)＝－4<0，f (2.5)＝4.625>0， f (1.75)＝－1.515 625<0.∴f (x )在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D. 【答案】 D4.在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.68B.0.72C.0.7D.0.6【解析】 已知 f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数 f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72].又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.【答案】 C5.在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[－2,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.【答案】 D 二、填空题6.(2016·福州高一检测)用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________.【解析】 设函数f (x )＝x 3－2x －5，∵f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3).【答案】 (2,3)7.用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经过计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________.【解析】 由零点的存在性可知，x 0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25. ∴第二次应计算f (0.25). 【答案】 (0,0.5) f (0.25)8.已知函数f (2x )＝3x 2＋1，则f (x ＋5)有________个零点. 【解析】 ∵f (2x )＝3x 2＋1， ∴f (x )＝3x 24＋1， ∴f (x ＋5)＝3(x ＋5)24＋1， 令f (x ＋5)＝0，方程无解. 即f (x ＋5)无零点. 【答案】 0 三、解答题9.用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点.(精确度为0.01)【解】 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5<0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点.10.用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解.(精确度为0.1)【解】令f (x)＝x2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1.若函数y＝f (x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f (－1)·f (1)的值() 【导学号：60210066】A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断【解析】如图，根据连续函数零点的性质，若f (－1)·f (1)<0，则f (x)在(－1,1)内必有零点，即方程f (x)＝0在(－1,1)内有实根；反之，若方程f (x)＝0在(－2,2)内有实根，不一定有f (－1)·f (1)<0，也可能有f (－1)·f (1)>0.故选D.【答案】 D2.二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a是()A.(－3，－1)和(2,4)B.(－3，－1)和(－1,1)C.(－1,1)和(1,2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)【解析】∵f (－3)·f (－1)<0，f (2)·f (4)<0.故选A.【答案】 A3.用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200f (1.587 5)≈0.133f (1.575 0)≈0.067f (1.562 5)≈0.003f (1.556 2)≈－0.029f (1.550 0)≈－0.060精确度为0.01)【解析】 f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 54.已知函数f (x)＝|x2－2x|－a，(1)若函数f (x)没有零点，求实数a的取值范围；(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围；(3)若函数f (x)有三个零点，求实数a的取值范围；(4)若函数f (x)有四个零点，求实数a的取值范围.【解】令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a的图象(如图所示)，由图象可知：(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，此时函数y＝a与y＝g(x)的图象没有交点.即函数f (x)没有零点.(2)当a＝0或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有两个交点，即f (x)有两个零点.(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有三个交点，即f (x)有三个零点.(4)当0<a<1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有四个交点，即f (x)有四个零点.。