第3讲 导数与函数的切线及函数零点问题
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点.
真 题 感 悟
(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1). (1)设a ＝2，b ＝12. ①求方程f (x )＝2的根；
②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＝2，
即2x ＋1
2x ＝2.∴(2x )2－2·2x ＋1＝0，
解得2x ＝1，∴x ＝0. ②f (x )＝2x
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＝2x
＋2－x ，
令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2，
故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6，
即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4t ≥2t ·
4
t ＝4(当且仅当t ＝2时等号成立)，
∴m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t min ＝4，即m 的最大值为4.
(2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0. g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2，
g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 且g ′(x )为单调递增，值域为R 的函数.∴g ′(x )一定存在唯一的变号零点，
∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.
由题意g(x)有且仅有一个零点，
则g(x)的极值一定为0，
而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0.
∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1.
考点整合
1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法
研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下：
①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，
b )内至少有一个零点；
②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g (x )＝0有解问题，将方程分离参数后(a ＝f (x ))转化为求y ＝f (x )的值域问题；
③数形结合：将问题转化为y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题.
(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法
①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案. ②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.
热点一 函数图象的切线问题 【例1】已知函数f (x )＝2x 3－3x . （1）求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；
（2）若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围. 解 （1）由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝2
2.
因为f (－2)＝－10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，
f (1)＝－1，
所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22＝ 2.
（2）设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，
则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 2
0－3，
所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，
因为t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0). 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，
设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，
则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”. g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)，
当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1)和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.
当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间
(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切时，t的取值范围是(－3，－1).
探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).
【训练1】已知函数f (x)＝x3－x.
(1)设M(λ0，f (λ0))是函数f (x)图象上的一点，求图象在点M处的切线方程；
(2)证明：过点N(2，1)可以作曲线f (x)＝x3－x的三条切线.
(1)解因为f ′(x)＝3x2－1.
所以曲线f (x)＝x3－x在点M(λ0，f (λ0))处的切线的斜率为k＝f ′(λ0)＝3λ20－1.
所以切线方程为y－(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0)，
即y＝(3λ20－1)x－2λ30.
(2)证明由(1)知曲线f (x)＝x3－x在点(λ，f (λ))处的切线的方程为y＝(3λ2－1)x －2λ3.若切线过点N(2，1)，则1＝2(3λ2－1)－2λ3，即2λ3－6λ2＋3＝0.
过点N可作曲线f (x)的三条切线等价于方程2λ3－6λ2＋3＝0有三个不同的解.
设g(λ)＝2λ3－6λ2＋3，则g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2).
