常州2015-2016高一数学第二学期期末试卷(含答案)

江苏省常州市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷-Word版含答案高一数学（必修1必修4）综合训练试题注意事项：1．本试卷满分100分，考试用时120分钟．2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则UA B=．函数y =的最小正周期为 ▲ ． {1,2,3}，则()f x 的值(2,2)--，则||a b -的值为▲ ．6．已知函数1()1(0,1)x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为 ▲ ．7．若πtan()24α+=，则tan α= ▲ ．8．函数()ln(42)813xf x x =++-的定义域为 ▲ ．9．已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为 ▲ cm 2．10．已知123a -=，31log 2b =，121log3c =，则,,a b c 按从大到小的顺序排列为 ▲ ． 11．已知函数()3sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤的部分图象如图所示，则该函数的解析式为()f x =▲ ．12．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 在线段DC 上，且2CF DF =．若AC AE AF λμ=+，,λμ均为实数，则λμ+的值为 ▲ ．13．已知()f x 是定义在R 上且周期为6的奇函数，当(0,3)x ∈时，2()lg(2)f x x x m =-+.若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围 是 ▲ ．14．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义α和β之间的新运算：αβαβββ⋅=⋅.已知非零的平面向量,a b满足：a b 和b a 都在集合3{|,}kx x k =∈Z 中，且||||a b ≥．设a 与b 的夹角ππ(,)64θ∈，则()sin ab θ=（第11求函数()f x 的单调区间；（2）若)(x f 在区间(0,2)上有且只有1个零点，求实数m 的取值范围．B ．已知函数1()2(0)f x x x=- >．（1）当0a b <<且()()f a f b =时，①求11a b +的值；②求2212a b+的取值范围；（2）已知函数()g x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆，当[,]x m n ∈时，()g x 的值域为[,]m n ，则称函数()g x 是D 上的“保域函数”，区间[,]m n 叫做“等域区间”.试判断函数()f x 是否为(0,)+∞上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由.参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分． 1．{1} 2．12 3．π2 4．{2,0}- 5．5 6．(1,0)- 7．138．(2,4]-9．110．,,c a b11．ππ3sin()44x+12．7513．19(,1]{}8814．23二、解答题：本大题共6小题，共计58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）解：（1）{|26}A B x x=-<≤. …………………………2分（2）∵{|13}A B x x=<≤，∵x∈Z，∴{2,3}C=. …………………………5分∴集合C的所有子集为：,{2},{3},{2,3}∅. …………………………8分16．（本小题满分8 分）解：（1）∵4cos5α=，α为锐角，∴3sin5α==，…………………………2分∴3424sin22sin cos25525ααα==⨯⨯=. …………………………4分（2）∵,αβ均为锐角，∴(0,)αβπ+∈，又∵5cos()13αβ+=， ∴12sin()13αβ+===， …………………………6分∴1245333sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=. …………………………8分 17．（本小题满分10 分） 解：（1）∵73a b ⋅=-，∴7sin cos 23θθ-=-，∴1sin cos 3θθ=-. ………………………2分∴25(sin cos )12sin cos 3θθθθ-=-=.…………………………4分 ∵θ为第二象限角，∴sin 0,cos 0θθ><， ∴sin cos θθ-.…………………………5分（2）∵a ∥b ，∴2sin cos 0θθ--=，∴1tan 2θ=-. …………………………7分 ∴2222223cos 3sin 2cos 2311sin sin tan θθθθθθ-+==+=， …………………………8分22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，…………………………9分 ∴223cos 3tan 211473sin θθθ-+=-=.…………………………10分 18．（本小题满分10分） 解：（1）由题意，20160e ,40e.b k b+⎧=⎨=⎩∴10e 160,1e .2b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………………2分 ∴当30x =时，301031e (e )e 160208k b k by +==⋅=⋅=. …………………………4分答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时. …………………………5分 （2）由题意e 80kx by +=≥，∴10801e e 1602kxk==≥， …………………………7分∴10kx k ≥.由101e 2k=可知0k <，故10x ≤. …………………………9分答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃. ………………10分 19．（本小题满分10 分） 解：（1）由题意，22()(4log )log h x x x=-⋅， 令2log t x=，则224(2)4y t t t =-+=--+， …………………………2分 ∵1(,8)2x ∈，∴(1,3)t ∈-，(5,4]y ∈- 即函数()h x 的值域为(5,4]-. …………………………4分（2）∵32()()()f x f x kg x ⋅>，令2log t x =，则[0,3]t ∈﹒∴(43)(42)t t kt-->对[0,3]t ∈恒成立. …………………………5分 令()t ϕ=2(43)(42)6(20)16t t kt t k t ---=-++，则[0,3]t ∈时，()0t ϕ>恒成立. …………………………6分∵()t ϕ的图象抛物线开口向上，对称轴2012k t +=，∴①当2012k +≤0，即k ≤-20时，∵(0)0ϕ>恒成立，∴k ≤-20；…………………………7分②当20312k +≥，即16k ≥时， 由(3)0ϕ>，得103k <，不成立； …………………………8分③当200312k +<<，即2016k -<<时，由20()012k ϕ+>，得2020k --<-+∴2020k -<<-+.…………………………9分 综上，20k <-+.…………………………10分 20．（本小题满分12 分） A ：解：（1）当3m =时，22()3|1|f x x x x =+--.①当11x -≤≤时，22317()2312()48f x x x x =+-=+-.∴()f x 在3(1,)4--递减，在3(,1)4-递增. …………………………2分②当1x <-或1x >时，()31f x x =+. ∴()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞递增. …………………………4分综上，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和3(,)4-+∞，单调递减区间为3(1,)4--. …………………………5分（2）∵)(x f 在区间(0,2)上有且只有1个零点， ∴方程22|1|0x mx x +--=在区间(0,2)上有且只有1解， …………………………6分即方程2|1|x m xx-=-在区间(0,2)上有且只有1解，从而函数2|1|,(0,2)x y x x x-=-∈图象与直线y m =有且只有一个公共点. ……………8分 作出函数12,01,1,12x x x y x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤，的图象，结合图象知实数m 的取值范围是：12m -≥或1m =-. …………………………12分B ：解：（1）由题意，112,0,2()112,.2x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩∴)(x f 在1(0,)2上为减函数，在1(,)2+∞上为增函数． ………………………1分①∵0a b <<，且()()f a f b =，∴102a b <<<，且1122a b -=-， ∴114a b+=.………………………3分②由①知114a b=-， ∴2222221212381432(4)163()33a b b b b b b +=-+=-+=-+， ∵102b<<，∴221232[,16)3a b +∈. ………………………5分（2）假设存在[,](0,)m n ⊆+∞，当[,]x m n ∈时，()f x 的值域为[,]m n ，则0m >.∵1()02f =，∴1[,]2m n ∉.………………………7分①若102m n <<<，∵()f x 在1(0,)2上为减函数， ∴12,12.n m m n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1m n =或=1m n =-，不合题意. ………………………9分②若12m n<<，∵()f x在1(,)2+∞上为增函数，∴12,12.mmnn⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,1.mn=⎧⎨=⎩不合题意. ………………………11分综上可知，不存在[,](0,)m n⊆+∞，当[,]x m n∈时，()f x的值域为[,]m n，即()f x不是(0,)+∞上的“保域函数”.………………………12分。

2015—2016学年上期期末联考高一数学参考答案1--4BDAA 5--8BABB 9--12CDBB13.314.log 3215.1216.①③④17.(1)由A ⊆B ，得1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．…………5分(2)由已知，得2m ≤1，1－m ＝2⇒m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1.…………………………………………10分18.(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.…………………………………………6分(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210.∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得a ＝－3，b ＝6或a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.……………………………12分19证明：（1） ∠ACB ＝90︒，4AB =，2AC =∴23BC =23ABC S ∆∴= PA ⊥底面ABC ，33PA =，6P ABC V -∴=.………………………………………6分（2） PA ⊥底面ABC PA BC∴⊥ ∠ACB ＝90︒BC AC∴⊥ ,,PA AC A PA PAC AC PAC=⊂⊂ 平面平面BC PAC ∴⊥平面BC AD∴⊥∴异面直线BC 与AD 所成的角为90︒.………………………………………………12分20证明：（1） 点F ，M 分别是DC 1，BC 1的中点∴MF //BD,MF EMF BD EMF⊂⊄ 平面平面∴BD //平面EMF ．…………………………4分（2）∵四边形ABCD 是菱形∴BD AC ⊥，∴,BD AO BD CO ⊥⊥，∴1BD C O⊥1111,,AO C O O AO AC O C O AC O =⊂⊂ 平面平面，∴1BD AC O ⊥平面，∴1BD AC ⊥．…………………………8分（3）∵菱形ABCD 中，AB =4，60BAD ∠=，∴DA DB =，ＣB =4∵点E 是AB 的中点，∴DE AB⊥11,,,EF AB EF DE E EF C DE DE C DE⊥=⊂⊂ 又平面平面∴1AB C DE ⊥平面，∴1AB C E ⊥，∴114C A C B ==.……………………………………12分21.(1)因为()f x 在定义域为R 上是奇函数，所以(0)f =0，即1012bb a-+=∴=+………………2分又由(1)(1)f f -=- ，即1112214a a a -+-=-∴=++……………………………………4分（2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，任取12,x x R ∈，设12x x <则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++因为函数y=2x在R 上是增函数且12x x <∴2122xx->0又12(21)(21)xx ++>0∴12()()f x f x ->0即12()()f x f x >∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.．．．．．．．8分（3）因()f x 是奇函数，从而不等式：)12()(2>-+x f kx f 等价于)21()12()(2x f x f kx f -=-->，………...….8分因()f x 为减函数，由上式推得：x kx 212-<．即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有：212xk x-<恒成立，．．．．．．．10分设221211()2x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，令11,,23t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,则有21()2,,23h t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，min min ()()(1)=-1g x h t h ∴==1k ∴<-，即k 的取值范围为(),1-∞-。

高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c = 120b B == ，则边a 等于（ ）A.B. C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos 622b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。

2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A.B. 34C.D. 13【答案】A【解析】试题分析： 1sin sin sin 2b B a A a C -=，则由正弦定理可得2212b a ac -=，又2c a = ， 222222132224a cb b a ac a cosB ac +-∴=+=∴==.故选B.【考点】正弦定理，余弦定理3．各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S .若25378,13a a S -=-=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（ ） A. 2n B. 12n - C. 3n D. 13n -【答案】D【解析】各项均为正数,公比为q 的等比数列{a n }，a 2−a 5=−78,S 3=13， 可得421111178,13a q a q a a q a q -=-++=， 解得113a q ==，，则11*13n n n a a q n N --==∈，， 本题选择D 选项.4．已知数列{}n a 的通项为()()143nn a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T =（ ）A. 98B. 99C. 100D. 101 【答案】C【解析】数列{a n }的通项为()()143nn a n =--， 前50项和()()()()5015913171971591317211931974444425100.T =-+-+-+⋯+=-++-++-++⋯+-+=+++⋯+=⨯=本题选择C 选项.点睛：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解． (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．5．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 9 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴()7820a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.【考点】等差数列的前n 项和．6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A. 48B. 56C. 64D. 72 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由两个长方体组成的组合体，上面的长方体长宽高分别为4,2,5，线面的长方体长宽高分别为4,6,1，据此可得该几何体的体积为42546164⨯⨯+⨯⨯=. 本题选择C 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7．设0,0a b >>，若2是4a 和2b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 4 C. 92D. 5【答案】C【解析】∵2是4a和2b 的等比中项， ()22424,22,22,1,2a b a b b a b a +∴⋅=∴=∴+=∴+=又∵0,0a b >>，21215592222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b a a b =，即23a b ==时等号成立. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0248121824324050......、、、、、、、、、，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 162 【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a 2n =2n 2. 则此数列第20项=2×102=200. 本题选择B 选项. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M N P 、、三点共线， O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则20S 等于（ ） A. 20 B. 10 C. 40 D. 15 【答案】B【解析】∵M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），∴a 6+a 15=1，∴a 1+a 20=1， ∴()1202020102a a S +==.本题选择B 选项.10．已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，由又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=，则222a b +的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】∵已知a >b ,二次不等式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立， ∴a >0，且△=4−4ab ⩽0，∴ab ⩾1.再由∃x 0∈R ,使20020ax x b ++=成立，可得△=0，∴ab =1，222a b ∴+=…当且仅当222a b =即b =时等号成立， 本题选择D 选项.11．若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是（ ） A. a b > B. a b < C. a b ≤ D. a b ≥ 【答案】B【解析】∵a 、b ∈(0,1)，且满足()114a b ->，()112211.22a b a b b a -+>-+∴>∴>，又， 本题选择B 选项.12．()()3,1,1,3,(0,0)OA OB OC mOA nOB m n ==-=->>若[]1,2m n +∈则OC的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,向量()()()3,1,1,33,3OA OB OC mOA nOB m n m n ==-=-=+-，，则OC =令t =,则OC =，而m +n ∈[1,2]，即1⩽m +n ⩽2，在直角坐标系表示如图，t =表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离， 分析可得：22t ，又由OC =，OC剟本题选择A 选项.二、填空题13．已知向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角余弦值为__________．【答案】12【解析】()22,1,5,42,51,2a b a a b a a b cos a b cos a b cos a b ==⋅+=∴+⋅=+=∴=，，即向量a与b 夹角余弦值为12.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积S =，则ab 的值为__________． 【答案】13【解析】在△ABC 中,由条件用正弦定理可得2sinCcosB =2sinA +sinB =2sin (B +C )+sinB ，即2sinCcosB =2sinBcosC +2sinCcosB +sinB ,∴2sinBcosC +sinB =0,12,.23cosC C π∴=-=由于△ABC 的面积为11sin .23S ab C ab =⋅==∴= 156、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____. 【答案】88.【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.【考点】1、简单几何体的体积的求法.16．设等比数列{}n a满足公比*q N∈，*na N∈，且{}n a中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a=，则q的所有可能取值的集合为．【答案】{}8127932,2,2,2,2【解析】试题分析：由题意，8112nna q-=，设该数列中任意两项为,m la a，它们的积为pa，则811811811222m l pq q q---=，即8112p m lq--+=，故1p m l--+必须是81的正约数，即1p m l--+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2【考点】等比数列三、解答题17．请推导等比数列的前n项和公式.【答案】见解析【解析】试题分析：由等比数列的特点分类讨论，然后结合错位相减的方法即可求得等比数列前n项和公式.试题解析：若数列{}n a为公比为q的等比数列，则其前n项和公式()()11,11nna qS qq-=≠-，当1q=时，1nS na=.下面证明：21123111......nn nS a a a a a a q a q aq-=++++=++++，①23111...nnqS a q a q a q aq∴=++++，②①-②可得()11nnq S a aq-=-，当1q ≠时，上式两边同除以1q -可得()111nn a q S q-=-，当1q =时，数列各项均为1a ，故1n S na =.点睛：一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．【答案】（1）()2163555f x x x =---；（2）((),22-∞-⋃-【解析】试题分析：（1）抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（2）结合二次函数的图象来解决是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，（3）当a>0时，配方法最大值，也可用顶点坐标，或在对称轴处取得最大值 试题解析：由题意可设()()()213f x x a x x +=--，且0a <， 即()()()132f x a x x x =---， 2分（1）()()()613260f x a a x x x a +=---+=， 即()24290ax a x a -++=有两个相等的实根，得()2242360a a ⎡⎤∆=-+-=⎣⎦，即25410a a --=， 而0a <，得15a =-，即()()()11325f x x x x =----，整理得()2163555f x x x =---． 6分（2）()()22max 124204a a f x a-+=>，即2410a a a--->，而0a <，得2410a a ---<，即2410a a ++>， 9分2a >-2a <-0a <，得a 的取值范围为((),22-∞-⋃-． 12分【考点】二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值19．已知函数f (x )＝226xx +.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）－25（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25(2)∵x >0，f (x )＝226xx +＝26x x+，当且仅当x已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t t 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sinAsinC C ． 【答案】（Ⅰ）0120B =（Ⅱ）015C =或045C =【解析】试题分析：（1）由()()a b c a b c ac ++-+=得222a c b ac +-=-，结合余弦定理可求出B ;（2）由三角形内角和定理可知060A C +=，由()()cos cos 2sin sin A C A C A C -=++=可求出030A C -=或030A C -=-，解之即可.试题解析： （1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-因此0120B =（2）由（1）知060A C +=，所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()cos 2sin sin A C A C =++112242=+⨯= 故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C = 【考点】1.余弦定理；2.三角恒等变换.21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为 （1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积. 【答案】（1）20（2）50π 【解析】试题分析：(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；(2)结合(1)的结论可得外接球半径为r =，则外接球的表面积为2450S r ππ==.试题解析：（1） 四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为,,a b c，则5===，解得4{3 5a b c ===，∴四面体的体积1142063V abc abc abc =-⨯==.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体=∴外接球的半径为2r =， ∴外接球的表面积为2450S r ππ==.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*22n nn S a n N =-∈. （1）求1a 的值，若2n n n a c =，证明数列{}n c 是等差数列；（2）设()22log log 1n n b a n =-+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意*n N ∈且2n ≥，都有320n n mB B ->成立，求m 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）18. 【解析】试题分析：(1)由题意可得112,1n n c c c -=-=，则数列{}n c 是首项为2，公差为1的等差数列.(2)由题意可得3111123n n B B n n n-=+++++ ，结合恒成立的条件可得m 得最大值为18.试题解析：（1）由22n n n Sa =-，则122n n n S a +=-，则21122S a =-可得14a =，又()11222n n n S a n --=-≥两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即()1222n n n a a n --=≥， 于是11122n n n n a a ---=即112,1n n c c c -=-=， 所以数列{}n c 是112,1n n c c c -=-=以首项为2，公差为1的等差数列. （2）()12,n n n a n b n =+⋅=12311111112111123n n n n B b b b nB B n n n∴=+++=+++∴-=+++++令()111123f n n n n=+++++ 则()1111111233313233f n n n n n n n +=+++++++++++ 所以()()111113132331f n f n n n n n +-=++-++++ 1111120313233333333n n n n n n =++>+-=++++++. 所以当2n ≥时， ()f n 的最小值为()1111192345620f =+++=.据题意， 192020m <，即19m <，又m 为整数，故m 得最大值为18.。

2014-2015学年江苏省常州市武进区高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是．2．（5分）过两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，则m的值是．3．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=．4．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b=ab，则a+b的最小值是．5．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．6．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为．7．（5分）设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是．8．（5分）已知等比数列的前n项和为S n，若S3：S2=3：2，则公比q=．9．（5分）若变量x，y满足，则2x+y的最大值为，的取值范围．10．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是．11．（5分）如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是．12．（5分）若关于x的不等式ax2﹣|x|+2a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（﹣1，2），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣（2c ﹣b）cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．17．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？19．（16分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx﹣4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB=时，求k的值．（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．20．（16分）已知数列{a n}满足：a1=，a2=，2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n=n（n≥2，n∈R），数列{b n}的前n项和为S n．﹣1（Ⅰ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．2014-2015学年江苏省常州市武进区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）2．（5分）过两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，则m的值是0．【解答】解：两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，可得，解得m=0，故答案为：0．3．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=17．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=9，∴S2=1，S4﹣S2=9，∴S6﹣S4=2×9﹣1=17．故答案为：17．4．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b=ab，则a+b的最小值是9．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+4b=ab，∴=1，即+=1，∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9当且仅当=即a=6且b=3时取等号，故答案为：95．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．6．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为4．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣1=4故答案为：47．（5分）设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是①③．【解答】解：：①若a∥b，a⊥α，根据两平行线中一条垂直与平面，则另一条也垂直与平面，所以b⊥α，故正确；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故不正确；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β，根据垂直与同一直线的两平面平行可知，正确；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故不正确；故答案为：①③8．（5分）已知等比数列的前n项和为S n，若S3：S2=3：2，则公比q=．【解答】解：若q=1，必有S3：S2=3a1：2a1=3：2，满足题意；故q≠1，由等比数列的求和公式可得S3：S2=：=3：2，化简可得2q2﹣q﹣1=0，解得q=﹣，综上，q=．故答案为：．9．（5分）若变量x，y满足，则2x+y的最大值为8，的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=x+y，由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=x+y=1+2=3．此时2x+y的最大值为23=8．设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最小为k==﹣3，OD的斜率最大为k==，故﹣3，故答案为：8，．10．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是．【解答】解：点（0，2）与点（4，0）关于折痕对称，两点的中点坐标为（，）=（2，1），两点确定直线的斜率为=﹣则折痕所在直线的斜率为2，所以折痕所在直线的方程为：y﹣1=2（x﹣2）由点（0，2）与点（4，0）关于y﹣1=2（x﹣2）对称，得到点（7，3）与点（m，n）也关于y﹣1=2（x﹣2）对称，则，得所以m+n=故答案为：11．（5分）如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是．【解答】解：∵AC∥平面EFGH，AC、EF在平面ABC内，∴AC∥EF，∴△BEF∽△BAC，∴，同理，得，又∵EF=HG，∴，∴EH∥BD，∴△AEH∽△ABD，∴=，①，同理得，②又∵EH=EF，∴①÷②得：=，∴=．故答案为：．12．（5分）若关于x的不等式ax2﹣|x|+2a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为．【解答】解：不等式即a＜=，∵此不等式解集为∅，∴a大于或等于的最大值．又|x|+≥2，∴的最大值是=，∴a≥，故答案为：a≥．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（﹣1，2），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y=0．【解答】解：将圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0化为标准式得（x﹣（3﹣m））2+（y﹣2m）2=9∴圆心C（3﹣m，2m），半径r=3，令，消去m得2x+y﹣6=0，所以圆心在直线2x+y﹣6=0上，又∵直线l经过点（﹣1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，∴直线l与圆心所在直线平行，∴设l方程为2x+y+C=0，将（﹣1，2）代入得C=0，∴直线l的方程为2x+y=0．故答案为2x+y=0．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．【解答】解：a n2+=a n2+[na1+n（n﹣1）d]2=a n2+[a1+（n﹣1）d]2令（n﹣1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值即（n﹣1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣（2c ﹣b）cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）因为acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，由正弦定理得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0，所以可得：sinC（1﹣2cosA）=0．…（2分）因为0＜C＜π，所以sinC＞0，…（4分）所以，又0＜A＜π，所以．…（7分）（2）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，所以4=b2+c2﹣bc≥bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时，上式取“=”，…（10分）所以△ABC面积为，所以△ABC面积的最大值为．…（14分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．【解答】证明：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE，∵G为AD中点，F为BD中点，∴GF∥AB且EF=，同理EH∥CD且EF=，∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴GF∥EH，GF=EH，∴EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，又∵GH⊂面PAD，EF⊄面PAD，∴EF∥面PAD．（2）∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，又∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥面PAD又∵CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．17．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．18．（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？【解答】（本题满分16分）解：（1）由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n）．∴f（n）=25n﹣[6+8+…+（2n+4）]﹣49=﹣n2+20n﹣49，…（3分）获利即为：f（n）＞0∴﹣n2+20n﹣49＞0，即n2﹣20n+49＜0⇒10﹣，又n∈N，∴n=3，4，5，…，17．…6 分∴当n=3时，即第3年开始获利；…（7分）（2）方案①：年平均收入（万元），此时n=7，出售该设备后，年平均收益为（万元）；…11 分方案②：f（n）=﹣（n﹣10）2+51，∴当n=10时，f（n）max=51，出售该设备后，年平均收益为（万元），…15 分故第一种方案年平均收益较大．…16 分19．（16分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx﹣4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB=时，求k的值．（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．【解答】（本题满分16分）解：（1）∵∠AOB=，∴点O到l的距离…2 分∴=•2⇒…4 分（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t ﹣4）．其方程为：x（x﹣t）+y（y﹣t+4）=0即x2﹣tx+y2﹣（t﹣4）y=0，…6 分又C、D在圆O：x2+y2=4上，∴l CD：tx+（t﹣4）y﹣4=0即（x+y）t﹣4y﹣4=0…8 分由得∴直线CD过定点（1，﹣1）…10 分（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．则，…12 分∴，∴，当且仅当即时，取“=”，…14 分∴四边形EGFH的面积的最大值为5．…16 分20．（16分）已知数列{a n}满足：a1=，a2=，2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n=n（n≥2，n∈R），数列{b n}的前n项和为S n．﹣1（Ⅰ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），∴{a n}是等差数列．又∵a1=，a2=，∴，∵，（n≥2，n∈N*），∴b n+1﹣a n+1====．又∵，∴{b n﹣a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）∵b n﹣a n=（b1﹣）•（）n﹣1，．∴．当n≥2时，b n﹣b n﹣1=．又b1＜0，∴b n﹣b n﹣1＞0．∴{b n}是单调递增数列．（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S n取最小值．∴，即，∴b1∈（﹣47，﹣11）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

1．已知数列{n a }满足：11a =，2210,1n n n a a a +>-= ()*n N ∈，那么使n a ＜3成立的n 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】试题分析：由题知{}2n a 是等差数，221(1)1n a a n n =+-⨯=，3n a <，29n a ∴<，9n ∴<，则n 的最大值为8.故选C.2．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，第k 项满足1310<<k a ，则=k （ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，可求得通项公式210n a n =-，所以1021013k <-<，解得1011.5k <<，因为*k N ∈，所以11k =，故选C.3．已知数列{}n a 满足134()n n a a n N +++=∈且19a =，其前n 项和为n S ，则满足1|6|125n S n --<的最小正整数n 为（ ）A. 6B.7C.8D.9 【答案】B4．已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意n N *∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D5．已知数列{}n a 的通项公式为327n a n =-，记数列S n 的前n 项和为，则使S 0n ≤成立的n 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】C 【解析】 试题分析：123433333,1,3,32175227237247a a a a ==-==-==-==⨯-⨯-⨯-⨯-,531257a ==⨯-6332675a ==⨯-,7332777a ==⨯-,…，所以使0n S ≤成立的n 的最大值为6，故选C.6．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*n N ∈都有2n a n bn =+成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ．7(,)2-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(3,)-+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：因为*n N ∈，{}n a 递增，所以322b -<，3b >-．故选D ． 7．若，a ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则a 的值是（ ）A ．4或5B ．3或4C ．3或2D ．1或2 【答案】A8．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B 【解析】试题分析：由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=, 由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足515S =-，3172d <<，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列求和公式得251551522d d S a ⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭ ，整理得132a d =--，故22215323222222n d d d d d d S n a n n d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴35=2n d +，因为3172d <<，n Z ∈，故=9n 时取得最小值. 10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1 【答案】C11．在数列}{n a 中，12a =，11(1)(1)220()n n n n a a a a n N *++--+-=∈，若5150n a <，则n 的最小值为__________. 【答案】100 【解析】试题分析：令1n n a b -=，则∵11(1)(1)220()n n n n a a a a n N *++--+-=∈，∴11220n n n n b b b b +++-=，∴11112n n b b +-=，∵12a =，∴111b =，∴1111(1)22n n n b +=+-=，∴21n b n =+，∴211n a n -=+，∴211n a n =++，∵5150n a <，∴2511150n +<+，∴99n >，∴n 的最小值为100．所以答案应填：100． 12．数列{}n a 满足141,1211=+=+n n a a a ，记2232221n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=，若3012m S S n n ≤-+对任意*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为_______. 【答案】10 【解析】 试题分析：由1n a +=，得221114n n a a +-=，可知数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为4的等差数列，所以()2111443nn n a =+-⨯=-，则2143n a n =-，22212n nS a a a =+++，考查()()222212*********418589n n n n n n n S S S S a a a n n n ++++++---=--=--+++，又1111082858289n n n n ⎛⎫⎛⎫-+->⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，即()()212311*********n n n n S S S S n n n +++---=-->+++，则可知数列{}21n n S S +-是一个递减数列，所以数列{}21n n S S +-的最大项为22313211149545S S a a -=+=+=，又3012m S S n n ≤-+对任意*∈N n 恒成立，所以144530m ≤，即283m ≥，所以m 的最小值是10.13．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式222122n n S a ma n+≥对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为____________． 【答案】11014．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ,2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为_______.【答案】1(2,1][,1)2-- 【解析】试题分析：由2(1)n n S n a =+得，当2n ≥时有112n n S na --=，所以11222(1)n n n n n a S S n a na --=-=+-，即1(1)n n n a na --=，11n n a na n -=-，又11a =，所以121211n n nn n n a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅==，所以2220n n a ta t --≤等价于2220n tn t --≤，设22()2f n n tn t =--，由于2(0)20f t =-≤，所以由题意有2222(1)120(2)2220f t t f t t ⎧=--<⎪⎨=--≥⎪⎩，解之得21t -<≤-或112t ≤<，所以应填1(2,1][,1)2--. 15．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若23n nS S N ≤-≤M 对n *∈N 恒成立，则M -N 的最小值为 ． 【答案】251216．已知数列{}n a 通项为98.5n n a n -=-，若n a ≤M 恒成立，则M 的最小值为 ．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意可知M 的最小值为数列的最小项，因为90.518.58.5n n a n n -==---，可知当8n =时取得最小值，而82a =，所以M 的最小值为2．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ,且点(,)n n T 在函数23122y x x =-上，且423log 0n n a b ++=（n N *∈）．（I ）求{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（III ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，设21n n nd b B =⋅，证明：1212n d d d +++<.【答案】（I ）n n b 41=；（II ）nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛+-=4132332；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）由点()n T n ,在函数x x y 21232-=上，得：n n T n 21232-= （ⅰ）当1=n 时，1212311=-==T a . （ⅱ）当2≥n 时，231-=-=-n T T a n n n ，∴23-=n a n ． 又∵0log 324=++n n b a ， ∴n n n b 414==- （II ）∵()nn n n n b a c ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=4123且n n c c c c S +++=321，∴()nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=4123417414411321 ……①()1432412341741441141+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n S …②由①-②得：()132412341414134143+⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n S()141412341141116134143+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-+=n n n n S整理得：nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛+-=4132332.18．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）12n a n =；（2）证明见解析；（3）29≥λ． 【解析】试题分析：（1）本小题是已知n S 与n a 的关系求通项公式的题型，方法是先由11a S =，求出1a ，然后利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-得到n a 与1n a -的关系，再求通项；（2）由已知得1n n b b n --=，已知前后项的差，因此可用累加法求得通项，即由121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-得(1)2n n n b +=，从而用裂项求和法求出1{}nb 的前n 项和n T ，并证得题设结论；（3）不等式2(4)1n λn n ≤++恒成立，可变形为2(1)(4)n λn n ≥++，为此只要求得2(1)(4)nn n ++的最大值即可，这可由基本不等式得到结论．试题解析：（1）1n =时，211111122a a a a =+∴= 21112211211121222n n n n n n nn n n n S a a a a a a a S a a+++--⎧=+⎪⎪⇒=-+-⎨⎪=+⎪⎩ 111()()02n n n n a a a a --⇒+--= 1102n n n a a a ->∴-=∴{}n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 12n a n ∴=（3）由2(4)1n λn n ≤++得224(1)(4)5n n n n n λ≥=++++， 当且仅当2n =时，245n n++有最大值29，29λ∴≥19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知()241n n S a =+，要求通项公式，可再写一式2n ≥时，()21141n n S a --=+，利用1n n n a S S -=-，把两式相减可得n a 的递推关系，本题可得{}n a 是等差数列，易得通项；（2）要证明题设不等式，必须求得和n T ，由于12211(21)(21)2121n n a a n n n n +==--+-+，即可用裂项相消法求得和n T 1121n =-+，注意到*n N ∈，不等式易得证． 试题解析：（1）1n =时，11a =；2n ≥时，()21141n n S a --=+，又()241n n S a =+，两式相减得()()1120n n n n a a a a --+--=,{}10,2,n n n n a a a a ->∴-=为是以1位首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来 （2）设()()13211211n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求使不等式20n kT >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．【答案】（1）5n a n =+；（2）max 19k =． 【解析】试题分析：（1）由题意，得11122n S n n =+，化为211122n S n n =+，利用递推关系即可得出；（2）利用“裂项求和”可得Tn ，再利用数列的单调性、不等式的性质即可得出． 试题解析：（1）由题意，得11122n S n n =+，即211122n S n n =+故当2n ≥时，()()2211111111152222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当n=1时，11615a S ===+, 所以5n a n =+.。

2015—2016学年度高一下学期期末考试数学试题命题人：陈文科 考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．等差数列{}n a 中，若464=+a a ,则132a a -的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．设βα,为不重合的两个平面，n m ,为不重合的两条直线，则下列判断正确的是 ( ) A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 3．若两直线0343=++y x 与016=++my x 平行，则它们之间的距离为（ ）A ．21B ．25 C ．52 D ．552 4．在如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ,G F E ,,分别是11,,CC AB DD 的中点，则异面直线E A 1与FG 所成角的余弦值是 ( )A ．515B ．22 C ．510D ．05．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 6．在空间直角坐标系中，点)2,3,2(),2,3,1(--B A ，则B A ,两点间的距离为 （ ） A ．14B ．5C ．31D ．257．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知4,6π==A b ，若三角形有两解，则边a 的取值范围为 （ ）A ．)6,0(B ．)6,1(C ．)6,3(D ．),3(+∞8．半径为1，圆心角为π32的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为 ( ) A ．8122πB ．2722πC ．27π D ．3π 9．过点)2,4(P 作圆222=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，点O 为坐标原点，则AOB ∆的外接圆方程是 （ ） A ．()5)1(222=+++y xB ．()20)2(422=+++y xC ．()5)1(222=-+-y xD ．()20)2(422=-+-y x10．一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知圆4:22=+y x O 上到直线m y x l =+:的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（ ） A ．(),2()2,+∞-∞- B ．)23,2()2,23( -- C ．)23,23(- D ． )2,2(-12．已知圆1)1(:22=+-y x M ，设)25(),6,0(),,0(-≤≤-+t t B t A ，若圆M 是ABC ∆的内切圆，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．215B ．429C ．7D ．427 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上） 13．经过直线01:,05:21=--=-+y x l y x l 的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程为 .正视图侧视图14．已知y x ,满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(0≤k )，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k 的值为 .15．已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，则222PC PB PA ++的最大值为 .16．已知正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，下列说法：①对角线C A '被平面BD A '和平面D C B ''三等分；②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是61； ③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积 之比为3:2:1；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积为3π； 则正确的是 . （写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设直线l 的方程为R a a y x a ∈=-+++,02)1(；（Ⅰ）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与坐标轴围成三角形的面积为2，求实数a 的值.18．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ． （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,边上的点，AE AD =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABC ∆沿AF 折叠，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC； （Ⅰ）证明：//DE 平面BCF ；（Ⅱ）证明：⊥CF 平面ABF ；（III ）当32=AD 时， 求三棱锥DEG F -的体积．20．（12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元； （Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）若400=a ，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（12分）已知点))(,(*N n b a P n n n ∈都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1； （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若)(n f =⎩⎨⎧)(b )(n 为偶数为奇数n n a n 问是否存在*N k ∈,使得2)(2)5(-=+k f k f 成立；若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由； （III ）求证：*21231221,2,52111N n n P P P P P P n∈≥<+⋅⋅⋅++.22．（12分）已知⎩⎨⎧+-≥≤+--+501810222a x y y x y xR y x ∈,，若由不等式组围成的区域为P ，设两曲线的交点为B A ,，)5,(a C 且P C ∈； （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0=a ，求ABC ∆的面积； （III ）求ABC ∆的面积的最大值.2015—2016学年度高一下学期期末考试数学答案一、选择题1~5 BDADC 6~10 BCACD 11~12 BA 二、填空题13. 012=+-y x 14. 88 15. 6- 16. ①③ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧≤-≥+-020)1(a a ∴1-≤a（Ⅱ）由题意知：1-≠a 令2,0-==a y x 令12,0+-==a a y y ∴212221=+--=a a a S ∴0=a ，或8=a 18.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B )4c o s ()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ（Ⅱ）由（Ⅰ）知1027sin =C 由正弦定理知：C c A a sin sin = ∴ 725=a∴7353272521sin 21=⋅⋅⋅==B ac S19.（Ⅰ）在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC .在折叠后的三棱锥A -BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF . （Ⅱ）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥FC ，BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A -BCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2，∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .（III ）由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F -DEG ＝V E -DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝⎛⎭⎫13×32×13＝3324. 20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。

2015～2016学年度第二学期期末考试高一数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．参考公式：棱锥的体积公式：V棱锥13sh =，其中s 为棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知(1,1)A ，(2,2)B ，则直线AB 的斜率为 ． 2．在公差为2的等差数列}{n a 中，若21a =，则5a 的值是 ．3．若ABC ∆满足：60A =︒，75C =︒，BC =AC 的长度为 ． 4．已知π4αβ+=，且tan 2α=，则tan β的值是 ． 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 3 cm AB =， 4 cm BC =， 5 cm CA =，1 6 cm AA =，则四棱锥111A B BCC -的体积为 3cm ．6．在平面直角坐标系x O y 中，直线210x a y +-=和直线(21)10a x y --+=互相垂直，则实数a 的值是 ．7．已知正实数,a b 满足24a b +=，则ab 的最大值是 ．8．在平面直角坐标系x O y 中，(1,3)A ，(4,2)B ，若直线20ax y a --=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知实数,x y 满足：11x y -≤+≤，11x y -≤-≤，则2x y +的最小值是 ． 10．如图，对于正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：①直线// AC 平面1111A B C D ②直线1// AC 直线1A B ③直线AC ⊥平面11DD B B ④直线1AC ⊥直线BD 其中正确结论的序号为 ．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知πsin()62bC a+=，则角A 的值是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)(3)9x y -+-=，若过点(0,3)M 的直线与圆C 交于,P Q 两点（其中点P 在第二象限），且2PMO PQO ∠=∠，则点Q 的横坐标为 ．13．已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=()n N *∈，且120a a =，则1a 的最大值是 ．14．如图，边长为1a b ++（0,0a b >>）的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x by b ++=． （1）若直线l 与直线20x y -+=平行，求实数b 的值；（2）若1b =，(0,1)A ，点B 在直线l 上，已知AB 的中点在x 轴上，求点B 的坐标． 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c （a b c <<），已知2cos 2cos a C c A a c +=+．（1）若35c a =，求sin sin AB的值； （2）若2sin 0c A =，且8c a -=，求ABC ∆的面积S ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AB BC =，点M ，N 分别为PC ，AC 的中点．求证：（1）直线 //PA 平面BMN ；（2）平面PBC ⊥平面BMN ．18．（本题满分16分）如图，某隧道的截面图由矩形ABCD 和抛物线型拱顶DEC 组成（E 为拱顶DEC 的最高点），以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，已知拱顶DEC 的方程为2164y x =-+(44)x -≤≤．（1）求tan AEB ∠的值；（2）现欲在拱顶上某点P 处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB 的张角APB ∠最大，求此时点P 到AB 的距离．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为 (0)y kx k =>． （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（ⅰ）若AB ≤，求实数k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分）已知数列}{n a 的首项10a >，前n 项和为n S ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎭⎩是公差为12a的等差数列．（1）求62a a 的值； （2）数列}{nb 满足：1(1)2n a pn n n b b ++-=，其中,N*n p ∈． （ⅰ）若11p a ==，求数列}{n b 的前4k 项的和，N*k ∈；（ⅱ）当2p =时，对所有的正整数n ，都有1n n b b +>，证明：1112111222a a a b ---<<．2015～2016学年度第二学期期末考试高一数学参考答案一、填空题1．1； 2．7； 3 4．13-； 5．24； 6．23； 7．2； 8．(,3][1,)-∞-+∞ ； 9． 2-； 10．①③④； 11．π6； 12．1； 13．512 ； 14．2. 二、解答题15. 解：（1）∵直线l 与直线20x y -+=平行， ∴1(1)10b ⨯--⨯=，∴1b =-，经检验知，满足题意． ………………７分 （2）由题意可知：:30l x y ++=， 设00(,3)B x x --， 则AB 的中点为002(,)22x x --， ………………１０分 ∵AB 的中点在x 轴上，∴02x =-，∴(2,1)B --． ………………１４分 16. 解：（1）∵2cos 2cos a C c A a c +=+由正弦定理：2sin cos 2sin cos sin sin A C C A A C+=+∴sin sin 2sin()2sin(π)2sin A C A C B B +=+=-= ………………２分 ∵35c a =由正弦定理：3sin 5sin C A =， ………………４分∴82sin sin sin sin 3B A C A =+=，∴sin 3sin 4A B =． ………………7分（2）由2sin 0c A =得：sin C =，∵(0,π)C ∈，∴π3C =或2π3C = 当π3C =时， ∵a b c <<，∴A B C <<，此时πA B C ++<，舍去， ∴23C π=， ………………9分 由（1）可知：2a c b +=， 又∵8c a -=， ∴4,8b a c a =+=+，∴2222(8)(4)2(4)cos3a a a a a π+=++-⋅+， ∴6a =或4a =-（舍） ………………12分所以11sin 61022S ab C ==⨯⨯= ………………14分 17.（1）证明：∵点M ，N 分别为PC ，AC 的中点，∴//MN PA ， ………………2分 又∵PA ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，∴直线 //PA 平面BMN ． ………………6分 （2）证明：∵AB BC =，点N 为AC 中点， ∴BN AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BN ⊂平面ABC ，BN AC ⊥， ∴BN ⊥平面PAC ， ………………9分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴PC BN ⊥， 由（1）可知：//MN PA ， ∵PA PC ⊥，∴PC MN ⊥，∵PC BN ⊥，PC MN ⊥，BN MN N = ，,BN MN 在平面BMN 内，∴PC ⊥平面BMN ， ………………12分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴平面PBC ⊥平面BMN ． ………………14分18. （1）解：由题意：(0,6)E ，(4,0)B ， ∴2tan 3BO BEO EO ∠==， ∴222123tan tan 2251()3AEB BEO ⨯∠=∠==-， ………………5分 （2）（法1）设00(,)P x y ，026y ≤≤， 过P 作PH AB ⊥于H ，设,APH BPH αβ∠=∠=，则000044tan ,tan x x y y αβ+-==， ………………8分 ∴00222000088tan tan()1648y y APB y x y y αβ∠=+==---+00828()4y y =≤=+- ………………12分∵026y ≤≤，∴当且仅当0y =tan APB ∠最大，即APB ∠最大．答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB的距离为 ………………14分 （法2）设00(,)P x y ，026y ≤≤，∴22200000000(4,)(4,)1648PA PB x y x y x y y y ⋅=---⋅--=-+=-+ ，∴200||||cos 48PA PB AFB y y ⋅∠=-+ ，∴20048cos y y AFB PA PB-+∠=⋅ ………………8分∵011||||sin 822AFB S PA PB APB y ∆=⋅∠=⋅⋅ ，∴08sin y APB PA PB∠=⋅∴0200008sin 8tan 28cos 48()4y APB APB APB y y y y ∠∠====≤=∠-++- ………12分∵026y ≤≤，∴当且仅当0y =tan APB ∠最大，即APB ∠最大．答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB的距离为 ………………14分 19．（1）解：由题意，0k >，∴圆心C 到直线l的距离d =， ………………2分∵直线l 与圆C相切，∴1d ==，∴k =，∴直线:l y ． ………………4分 （2）解：由题意得：0AB <=≤，1d ≤<， ………………６分 由（1）可知：d =，1<，∴14k ≤<． ………………９分 （3）证明：1:(3)AM l y k x =-，与圆C 22:(4)1x y -+=联立， 得：2211(3)[(1)(35)]0x k x k -+-+=， ∴3M x =，2121351A k x k +=+，∴2112211352(,)11k k A k k +++， 同理可得：2222222532(,)11k k B k k +-++， ………………12分 ∵OA OB k k =，∴122212221222122211355311k k k k k k k k -++=++++，即1212(1)(35)0k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴2135k k =-， ………………14分 设00(,)P x y ，∴010020(3)(5)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩， ∴1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，∴12121212352(,)k k k k P k k k k ----，即1315(,)44kP ，∴1313141554k k k ==， ∴1213225k k k k +==，∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立． ………………16分 20. （1）解：由题意，1111(1)122n S S a n n a n +=+-⋅=， ∴1(1)2n n n S a +=， 当2n ≥时，1111(1)(1)22n n n n n n n a S S a a na -+-=-=-=，当1n =时，上式也成立，∴1n a na =，*n N ∈， ∵10a > ∴6121632a a a a ==． ………………3分 （2）（ⅰ）由题意：1(1)2n n n n b b ++-=，当N*k ∈时，4342432k k k b b ----=，4241422k k k b b ---+=，414412k k k b b ---=， ∴4243434341222k k k k k b b -----+=-=，4142424242232k k k k k b b ----+=+=⋅，∴43434241472k k k k k b b b b ----+++=⨯， ………………6分 ∴前4k 项的和4123456784342414()()()k k k k k T b b b b b b b b b b b b ---=++++++++++++154314(161)72727215k k --=⨯+⨯++⨯=． ………………8分 （ⅱ）证明：由题意得：1112(2)na a n n n b b ++==，令12a t =，(1,)t ∈+∞， ∴11()(1)(1)n n nn nb b t ++-=----， ∴112211112211()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n b b b b b b b b ------=-+-++-+-------- 12111()[()()()]()11nn t t t t t b b t t--=--+-++--=-+-+ ，∴1()(1)11n nn t t b b t t=--+++， ………………11分 ∵1n n b b +>,N*n ∈，∴11111()(1)()(1)1111n n n nn n t t t t b b b b t t t t +++-=--+----++++ 12()(1)(1)011n nt t b t t t=---+->++，∴1(1)()(1)12(1)n nt t t b t t --->++，N*n ∈， ①当n 为偶数时，1(1)2(1)1n t t tb t t->+++，∵(1,)t ∈+∞，2(1)(1)(2)2(1)12(1)12n t t t t t t t t t t t t ---+≤+=++++，∴1(2)2t t b ->， ………………13分 ②当n 为奇数时，1(1)2(1)1n t t tb t t-<+++，∵(1,)t ∈+∞，1(1)(1)2(1)12(1)12n t t t t t t tt t t t --+≥+=++++， ∴12tb <， ………………15分高一数学试题 第 11 页 共 11 页 综上：1(2)22t t t b -<<，即1112111222a a a b ---<<． ………………16分。

江苏省常州市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共16分)1. （1分） (2020高一下·哈尔滨期末) 不等式的解集为________.2. （2分） (2019高一下·宁波期中) 中，，，，则 ________；边上的高为________.3. （1分） (2016高一下·韶关期末) 若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=________．4. （1分）对某学校n名学生的体重进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则体重在75kg以上的学生人数为32人，则n=________．5. （1分） (2019高一下·潮州期末) 下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．6. （1分）(2013·山东理) 执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为________．7. （1分）(2013·安徽理) 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=________．8. （1分）(2017·黄石模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数z=﹣3y﹣2x的最大值为________．9. （2分） (2019高一上·衢州期末) 已知，且，则 ________，________.10. （1分） (2017高二下·和平期末) 端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是________．11. （1分） (2020高一下·南宁期末) 已知为等差数列的前n项和，且，，则 ________.12. （1分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为________13. （1分）(2020·南通模拟) 若中，，45°，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为________14. （1分） (2020高一下·昌吉期中) 数列满足，，则 ________．二、解答题： (共6题；共65分)15. （10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，1），C（3，3）．（1）求边BC的垂直平分线的方程；（2）求△ABC的面积．16. （10分）已知角θ的终边在射线y=2x（x≥0）上．（1）求tanθ的值；（2）求的值．17. （10分）(2019高三上·黑龙江月考) 的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且 c=1 ，求面积的取值范围．18. （10分）设数列{an}的前n项和为Sn ，已知2Sn=3n+3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足an•bn=log3an ，求{bn}的前n项和Tn ．19. （10分） (2019高三上·柳州月考) 随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求的分布列与数学期望.20. （15分） (2015高一下·湖州期中) 已知数列{an}满足：a1= ，a2= ，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N•），数列{bn}满足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{bn}的前n项和为Sn ．（1）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；（2）求证：数列{bn}为递增数列；（3）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．参考答案一、填空题： (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．）1、下列结论正确的是 （ ）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+c Da<b2. 在△ABC 中，若2cosAsinB=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）3、不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则（ ）A. P ∉D ，且Q ∉DB. P ∉D ，且Q ∈DC. P ∈D ，且Q ∉DD. P ∈D ，且Q ∈Dx ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ）A ．73B ．83C ．2D ． 3 5．已知等比数列{a n }中， 有 31174a a a •= ，数列 {}n b 是等差数列，且 77b a =，则 59b b +=( )A ． 2B ． 4C ．6D ． 86．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 117. n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若424S =，836S =，则12S 等于 ( )A. 42B. 63C. 75D. 838. 下列函数中，最小值为2的为 ( ) A. 1y x x=+ B. 1lg (110)lg y x x x =+<< C. (1)x x y a a a -=+> D. 1cos (0)cos 2y x x x π=+<< 9．正数a 、b 的等差中项是12，且11,,a b a b αβαβ=+=++则的最小值是 （ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 10．已知2()1f x ax ax =+-<0在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．4a <-C ．40a -<<D ．40a -<≤11．已知△ABC 的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC 的周长等于（ ） A.3+ B.3 C.2+ D.12. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，56S S >，67S S =，78S S <，以下给出了四个式子：① 公差0d <；②70a =；③94S S >； ④n S 的最小值有两个，其中正确的式子共有（ ）二、填空题( 每小题5分，共20分 )240x -≤的解集为 14. 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝，则＝________.15．数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=，则n a = ； 16.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为,n n S T ,且(5.),,ks u com 则220715a a b b ++等于 。