决胜2017高考之全国优质试题文数分项汇编系列 专题12推理、证明与复数(第01期)解析版 Word版含解析

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4 复数 文1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应法则． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( ×)(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.( ×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √)1．(2015·安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________.答案3＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i.2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝__________.答案2－i解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是________________________．答案2＋4i解析∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2＝__________.答案3－4i解析∵a，b∈R，a＋i＝2－b i，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.5．(教材改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.答案2＋i解析∵z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i，∴z＝2＋i.题型一复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位．若复数z ＝a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为________． (3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的____________条件．答案 (1)3 (2)1 (3)充分不必要解析 (1)z ＝a －103－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且z ＝a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝ 2＋a i 1＋2i 5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． 引申探究1．对本例(1)中的复数z ，若|z |＝10，求a 的值． 解 若|z |＝10，则(a －3)2＋1＝10， ∴|a －3|＝3，∴a ＝0或a ＝6.2．在本例(2)中，若z 1z 2为实数，则a ＝________. 答案 －4解析 若z 1z 2为实数，则4＋a5＝0.∴a ＝－4.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．(2)(2014·浙江改编)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________________条件． 答案 (1)－1 (2)充分不必要解析 (1)由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.(2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件． 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2015·湖北改编)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为________． (2)(2015·北京改编)复数i(2－i)＝________. 答案 (1)i (2)1＋2i 解析 (1)方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.(2)i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2015·湖南改编)已知 1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________.(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)－1－i (2)－1＋i解析 (1)由 1－i 2z ＝1＋i ，知z ＝ 1－i 21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i.(2)原式＝[ 1＋i 22]6＋ 2＋3i 3＋2i3 2＋ 2 2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题例 4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．(2)(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 (1)－2 (2)21解析 (1)(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2. (2)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2 ＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 命题点4 复数的综合运算例5 (1)(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z＝________.(2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________． 答案 (1)2 (2)45解析 (1)∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i＝－i 2＋ii＝1－i ，∴zi ＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.(2)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东改编)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________. (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________.答案 (1)1－i (2)1 (3)1＋i解析 (1)∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. (3)原式＝i 1＋23i 1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i.题型三 复数的几何意义例6 (1)(2014·重庆改编)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限． 答案 二解析 由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限． (2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是________．答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z . (2)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8 a －2 >0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．23．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思维点拨 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3 a 2＋b 2＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．[方法与技巧]1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识． 3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合． [失误与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2015·福建改编)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于__________． 答案 3，－2解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2.2．设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.答案22解析 ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i 1＋i 1－i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 3．(2015·课标全国Ⅱ改编)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝________. 答案 0解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0.4．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是________．答案 H解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝ 3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .5．(2014·江西改编)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝__________.答案 1－i解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.6．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案5解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5.7．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3 解析3＋b i 1－i ＝ 3＋b i 1＋i 2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.8．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 m <23解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.9．计算：(1) －1＋i 2＋ii 3； (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ；(3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2； (4)1－3i 3＋i2. 解 (1) －1＋i 2＋i i 3＝－3＋i－i ＝－1－3i. (2) 1＋2i 2＋3 1－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝ 3＋i －i 3＋i 2＝－i3＋i＝ －i 3－i 4＝－14－34i.10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13 a ＋5 a －1＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 12．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________． 答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________．答案 3解析 ∵|z －2|＝ x －2 2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.14．设a 是实数，若复数z ＝a 1－i ＋1－i 2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为________．答案 0解析 ∵z ＝a 1＋i 2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ， ∴依题意得a ＋12＋a －12＝0，∴a ＝0.15．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝_________.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知， ⎩⎨⎧ 1＋2i ＋ 1－2i ＝－b ， 1＋2i 1－2i ＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5 a －b i a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.。

2017年全国各省市高考试题选（复数）考点1 复数的有关概念1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2:p 若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈； 3:p 若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4:p 若复数z R ∈，则z R ∈. 其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p2.（2017·全国卷Ⅰ·文科）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2(1)i i +B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i +3.（2017·天津卷·文理科）已知a R ∈，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 .4.（2017·浙江卷）已知,a b R ∈，234a bi i +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = .考点2 复数的运算1.（2017·全国卷Ⅱ·文科） (1)(2)i i ++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i +2.（2017·山东卷·文科）已知i 是虚数单位,若复数z 满足1zi i =+,则2z =A.2i -B.2iC.2-D.23.（2017·全国卷Ⅱ·理科）31i i+=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -考点3 复数的模1.（2017·全国卷Ⅲ·理科）设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =A ．12B ．2C ．22.（2017·山东卷·理科）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =A ．1或1-B ．3.（2017·上海卷）已知复数z 满足30z z+=，则||z = 4.（2017·江苏卷）已知复数(1)(12)z i i =++,其中i 是虚数单位，则z 的模是 . 考点4 复数的几何意义1.（2017·全国卷Ⅲ·文科）复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（2017·北京卷·文理科）若复数(1)()i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A.(,1)-∞B.(,1)-∞-C.(1,)+∞D.(1,)-+∞。

回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0. ②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ；其中a ，b ，c ，d ∈R . 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示. (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.2.复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i 答案 A解析 z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m ＝8，n ＝10，则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120 答案 C解析 第一次循环：S ＝10，k ＝1； 第二次循环：S ＝10×92＝45，k ＝2；第三次循环：S ＝45×83＝120，k ＝3；第四次循环：S ＝120×74＝210，k ＝4；第五次循环：S ＝210×65＝252，k ＝5；第六次循环：S ＝252×56＝210，k ＝6；第七次循环：S ＝210×47＝120，k ＝7；第八次循环：S ＝120×38＝45，k ＝8＝m ；结束循环，输出S ＝45.4.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于( ) A.n B.2n C.n 2 D.n n 答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1， 第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝n n.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法. 8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32答案 B解析列表分析如下是否继续循环S n循环前0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案S21＋S22＋S23＝S24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.10.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________. 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.。

山东省13市2017届高三最新考试数学文试题分类汇编复数与推理2017.03一、复数1、（滨州市2017届高三上期末）若复数421i z i-=+（为虚数单位），则z =（ ）A B D 2、（德州市2017届高三第一次模拟考试）已知212z i i=++，则复数5z +的实部与虚部的和为（ ）A ．10B ．10-C ．D ．5-3、（菏泽市2017年高考一模）若复数z 满足：z +2i=（i 为虚数单位），则|z |等于（ ）A ．B ．3C ．5D ．4、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））复数满足(32)43i z i -=+（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、（聊城市2017届高三上期末）已知为虚数单位，复数满足(1)z i i +=，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1122i +D ．1122i - 6、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））已知i 为虚数单位，则复数11z i =-在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限7、（青岛市2017年高三统一质量检测）已知是的共轭复数，若1i z =+（是虚数单位），则2z= A. 1i - B. 1i + C.i 1-+ D. i 1--8、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）已知复数()3bi z b R i-=∈的实部和虚部相等，则z =(A) (B) (C) (D) 9、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））已知复数z 满足2z i i ⋅=-(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、（潍坊市2017届高三下学期第一次模拟）已知复数z 满足(1－i )z =i ，则复数在复平面内的对应点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））复数37i z i+=的实部与虚部分别为（ ） A ．7,3- B ．7,3i - C ．7,3- D ．7,3i - 12、（枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试）若复数z 满足11i z i -=+ (i 为虚数单位)，则=zA ．21B ．1C ．2 D13、（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知11x yi i=-+，其中,x y 是实数，是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ）. A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -参考答案1、D2、C3、A4、A5、D6、B7、B 8、D 9、C 10、C 11、A 12、B13、B二、推理1、（德州市2017届高三第一次模拟考试）观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，…，则1010a b += ．2、（菏泽市2017年高考一模）a 1= ‘a 2=（1﹣a 1）=；a 3=（1﹣a 1﹣a 2）=；a 4=（1﹣a 1﹣a 2﹣a 3）=； …照此规律，当n ∈N*时，a n = ．3、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））已知0i a >（1i =，2,3，…，），观察下列不等式：122a a +≥1233a a a ++≥；12344a a a a +++≥……照此规律，当*n N ∈（2n ≥）时，12n a a a n+++≥… ．4、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）有下列各式：111113111111122323722315++>+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，， 则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_______________5、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））观察下列等式：3211=，332333233332123,1236,123410+=++=+++=，……，根据上述规律，第n 个等式为 ▲ ．6、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））若定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数λ（R λ∈），使得()()0f x f x λλ++=对任意实数都成立，则称()f x 是一个“λ-伴随函数”，给出下列四个关于“λ-伴随函数”的命题：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；② ()1f x x =+是“λ-伴随函数”；③ ()2x f x = 是“λ-伴随函数”；④当0λ>时， “λ-伴随函数” ()f x 在(0,)λ内至少有一个零点，所有真命题的序号为 ．7、（淄博市2017届高三3月模拟考试）在研究函数()f x =某同学受两点间距离公式启发，将()f x 变形为()f x ，并给出关于函数()f x 以下五个描述： ①函数()f x 的图像是中心对称图形；②函数()f x 的图像是轴对称图形；③函数()f x 在0,6]上使增函数；④函数()f x 没有最大值也没有最小值；⑤无论m 为何实数，关于的方程()0f x m -=都有实数根.其中描述正确的是 .参考答案1、1232、【解答】解：a 1=；a 2=（1﹣a 1）=；a 3=（1﹣a 1﹣a 2）=；a 4=（1﹣a 1﹣a 2﹣a 3）=； …照此规律，当n ∈N*时，a n =（1﹣a 1﹣a 2﹣…﹣a n ﹣1）=，故答案为．34、答案111111()23212n n n ++++++>∈-N ．解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3,7,15，故可猜想第个式子中应有121+-n 项，不等式右侧分别写成234,,222故猜想第个式子中应为12+n ，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为： 111111()23212n n n ++++++>∈-N ． 5、6、③7、①③④.。

2017年全国卷高考数学复习专题——推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案 B2.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A3.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=24.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T 1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T 2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d 时,T 2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T 2(P)≤T 2(P'). 所以无论m=a 还是m=d,T 2(P)≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P)值最小,T 1(P)=10,T 2(P)=26,T 3(P)=42,T 4(P)=50,T 5(P)=52. 考点二 直接证明与间接证明5.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x 3+ax+b=0没有实根B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根 答案 A考点三 数学归纳法6.(2014安徽,21,13分)设实数c>0,整数p>1,n∈N *. (1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p >1+px; (2)数列{a n }满足a 1>c 1,a n+1=p -1p a n +cpa n 1-p.证明:a n >a n+1>c 1. 解析 (1)证明:用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x 2>1+2x,原不等式成立. ②假设p=k(k≥2,k∈N *)时,不等式(1+x)k >1+kx 成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k >(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x. 所以p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p >1+px 均成立. (2)证法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n=1时,由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N *)时,不等式a k >c 1成立. 由a n+1=p -1pa n +c p a n 1-p易知a n >0,n∈N *.当n=k+1时,a k +1a k=p -1p+c p a k -p=1+1p ca kp -1 .由a k >c 1>0得-1<-1p <1p ca kp -1 <0.由(1)中的结论得a k +1a kp = 1+1p ca kp -1 p>1+p·1p c a kp -1 =ca kp .因此a k +1p>c,即a k+1>c 1.所以n=k+1时,不等式an >c1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an >c1p均成立.再由a n+1a n =1+1pca n p-1可得a n+1a n<1,即an+1<an.综上所述,an >an+1>c1,n∈N*.证法二:设f(x)=p-1p x+cpx1-p,x≥c1p,则x p≥c,并且f '(x)=p-1p +cp(1-p)x-p=p-1p1-cx>0,x>c1p.由此可得, f(x)在[c 1p,+∞)上单调递增.因而,当x>c 1p时, f(x)>f(c1p)=c1p,①当n=1时,由a1>c1>0,即a1p>c可知a 2=p-1pa1+cpa11-p=a11+1pca1p-1<a1,并且a2=f(a1)>c1p,从而a1>a2>c1p.故当n=1时,不等式an >an+1>c1成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak >ak+1>c1p成立,则当n=k+1时, f(ak )>f(ak+1)>f(c1p),即有a k+1>a k+2>c1p.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an >an+1>c1均成立.7.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其中f '(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=x1+x(x≥0).(1)由已知,g1(x)=x1+x,g2(x)=g(g1(x))=x1+x1+x=x1+2x,g 3(x)=x1+3x,…,可得gn(x)=x1+nx.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=x1+x,结论成立.②假设n=k 时结论成立,即g k (x)=x1+kx . 那么,当n=k+1时, g k+1(x)=g(g k (x))=g k (x )1+gk(x )=x 1+kx1+x =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N +成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ax1+x 恒成立. 设φ(x)=ln(1+x)-ax1+x (x≥0), 即φ'(x)=11+x -a (1+x )2=x +1-a (1+x )2,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立), ∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥ax1+x 恒成立(仅当x=0时等号成立). 当a>1时,对x∈(0,a -1]有φ'(x)<0, ∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥ax 1+x不恒成立,综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=12+23+…+nn +1, n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n -ln(n+1). 证明如下:证法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n+1), 在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>x 1+x ,x>0. 令x=1n ,n∈N +,则1n +1<lnn +1n.下面用数学归纳法证明. ①当n=1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n=k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln(k+1). 那么,当n=k+1时,1 2+13+…+1k+1+1k+2<ln(k+1)+1k+2<ln(k+1)+ln k+2k+1=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于12+13+…+1n+1<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>x1+x,x>0.令x=1n ,n∈N+,则ln n+1n>1n+1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,……ln(n+1)-ln n>1n+1,上述各式相加可得ln(n+1)>12+13+…+1n+1.结论得证.证法三:如图,nxx+1dx是由曲线y=xx+1,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而1 2+23+…+nn+1是图中所示各矩形的面积和,∴12+23+…+nn+1>nxx+1dx=n1-1x+1dx=n-ln(n+1),结论得证.8.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)=sin xx(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1π2+π2f2π2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式 nfn-1π4+π4f nπ4=22都成立.解析(1)由已知,得f1(x)=f '(x)=sin xx'=cos xx-sin xx2,于是f2(x)=f' 1(x)=cos xx'-sin xx2'=-sin xx-2cos xx2+2sin xx3,所以f1π2=-4π2, f2π2=-2π+16π3.故2f1π2+π2f2π2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f(x)+xf '(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin x+π2,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin x+3π2,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin x+kπ2.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf 'k-1(x)+fk(x)+xf 'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),sin x+kπ2'=cos x+kπ2· x+kπ2'=sin x+(k+1)π2,所以(k+1)fk (x)+xfk+1(x)=sin x+(k+1)π2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.令x=π4,可得nfn-1π4+π4fnπ4=sinπ4+nπ2(n∈N*).所以 nfn-1π4+π4f nπ4=22(n∈N*).9.(2014重庆,22,12分)设a1=1,an+1=a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n <c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=2+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(an -1)2=n-1,即an=n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=2+1,可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k 时结论成立,即a k = k -1+1,则a k+1= (a k -1)2+1+1= (k -1)+1+1= (k +1)-1+1. 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以a n = n -1+1(n∈N *).(2)解法一:设f(x)= (x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 令c=f(c),即c= (c -1)2+1-1,解得c=14. 下用数学归纳法证明加强命题a 2n <c<a 2n+1<1.当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(0)= 2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立. 假设n=k 时结论成立,即a 2k <c<a 2k+1<1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a 2k+1)>f(1)=a 2,即1>c>a 2k+2>a 2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a 2k+2)<f(a 2)=a 3<1. 故c<a 2k+3<1,因此a 2(k+1)<c<a 2(k+1)+1<1. 这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)= (x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n∈N *).① 当n=1时,结论明显成立.假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)= 2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)= -1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N *成立.由②得a2n<a2n2-2a2n+2-1,即(a2n +1)2<a2n2-2a2n+2,因此a2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n )>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>a2n+12-2a2n+1+2-1,解得a2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a2n<c<a2n+1对一切n∈N*成立.。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数 B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值 D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i） C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B． C．D．5．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF 与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）（2017•新课标Ⅰ）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+211．（5分）（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA （sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B． C． D．12．（5分）（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。