清华数学实验整数规划习题答案

大学数学实验课后习题答案(清华大学出版)实验名称：MA TLAB 程序设计(1)作马鞍面：22,66,8823x y z x y =--≤≤-≤≤程序: x=-6:0.5:6;y=-8:0.5:8[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=X.^2./2-Y .^2./3;mesh(X,Y ,Z)(2)P441第5题程序1:n=18;I(1)=1-exp(-1);%I(1)对应I0for k=1:n-1I(k+1)=1-(k+1)*I(k);end I程序2:n=18;I1=(1/(n+1))*exp(-1);I2=1/(n+1);I(18)=(I1+I2)/2;for k=n:-1:2I(k-1)=(1-I(k))/n;endI（3）自定义函数：lnsin cos ln tan y x x x =-，并求()?3y π =程序：function y=fun(x);y=log(sin(x))-cos(x)*log(tan(x));>>fun(pi/3)（4）P441第10题的（1）、（2）小题。

要求建立函数M 文件求解。

并求：201!n T n ==∑程序1：求!n 自定义函数function y=fun(n)A=1;for k=1:nA=A*k;endA程序2：求：201!n T n ==∑s=0; for n=1:20A=1;for k=1:nA=A*k;ends=s+A;endsC程序3：求nmfunction y=funa(n,m) A=1;%求for k=1:nA=A*k;endB=1;for k=1:mB=B*k;endC=1;for k=1:n-mC=C*k;endD=A/(B*C) %求组合数一元函数的图形练习解答： 1．用ezplot画出的图象.程序：ezplot('asin(x)') 2．用ezplot画出用在(0,)之间的图象.程序：ezplot('sec(x)',[0 pi])3．在同一坐标系中画出,,,,的图象.并用gtext加以标记ezplot('sqrt(x)')hold onezplot('x^2')hold onezplot('x^(1/3)')hold onezplot('x^3')hold onezplot('x')axis([-2 3 -2 2])gtext('sqrt(x)')gtext('x^2')gtext('x^(1/3)')gtext('x^3')gtext('x')4．画出及其反函数的图象. x=-2:0.01:20;y=1+log(x+2+eps);plot(x,y)holdplot(y,x,'r')axis([-4 4 -4 4])8题：x=100;y=50;n=50; r1=0.2;r2=0.3;a1=0.001;a2=0.002;for k=1:nx(k+1)=(1+r1-a1*y(k))*x(k);y(k+1)=(1-r2+a2*x(k))*y(k);endk=0:n;round([k',x',y'])plot(k,x,k,y),grid,2题：function z=exf14(x0,y0,n,r,N,d,a,b); x=x0;y=y0;for k=1:nx(k+1)=x(k)+r*(1-x(k)/N)*x(k)-a*y(k)*x(k)/N; y(k+1)=(1-d+b*x(k)/N)*y(k);endz=[x',y'];z=exf14(1000,100,100,0.8,3000,0.9,1.6,1.5); k=0:100;plot(k,z(:,1),k,z(:,2)),grid。

运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第五章）5.1设长度为a j的毛坯截取x j根，则min z = L - ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n即max z’ = ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n5.2设x j = 1, 当第j队员上场；x j = 0, 当第j队员不上场，则max z = 1.92x1 + 1.90x2 + 1.88x3 + 1.86x4 + 1.85x5 + 1.83x6 + 1.80x7 + 1.78x8s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8= 5x1 + x2 = 1x6 + x7 + x8 ≥ 1x6 ≤ 2 – (x1 + x4)x2 + x8 ≤ 1x j ={0 or 1}, j = 1, 2, …, 85.3max z = ∑i=1,2,...,m c i x is.t. ∑i=1,2,...,m a i x i≤ a∑i=1,2,...,m b i x i≤ bx i = 0 or 1, i = 1, 2, …, m5.4(1) x* = (3, 1); z* = 7(2) x* = (0, 9); z* = 95.5(1) 无可行解(2) x* = (1, 0, 0); z* = 25.6设x j = 1, 当消防站j不关闭；x j = 0, 当消防站j关闭min w = x1 + x2 + x3 + x4s.t. x1 + x2≥ 1 （区域1有消防站负责）x1 + x2≥ 1 （区域2有消防站负责）x1 ≥ 1 （区域3有消防站负责）x1 + x3≥ 1 （区域4有消防站负责）x3≥ 1 （区域5有消防站负责）x1 + x3 + x4≥ 1 （区域6有消防站负责）x1 + x4≥ 1 （区域7有消防站负责）x1 + x2 + x4≥ 1 （区域8有消防站负责）x2 + x4≥ 1 （区域9有消防站负责）x4≥ 1 （区域10有消防站负责）x3 + x4≥ 1 （区域11有消防站负责）x1, x2, x3, x4 = 0 或1最优解：x* = (1, 0, 1, 1); z* = 35.7设y i = 0，当条件i被选；y i = 1，当条件i不选∑j=1,2,…n a ij x j ≥ b i - My i, ( i = 1, 2, …, p)∑i=1,2,...,p y i = p - q5.11(1) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1(2) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1。

实验 9：整数规划习题9：（原油采购与加工）某公司用两种原油（A 和B ）混合加工成两种汽油（甲和乙），甲、乙两种汽油含原油A 的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。

该公司现有原油A 和B 的库存量分别为500t 和1000t ，还可以从市场上买到不超过1500T 的原油A 。

原油A 的市场价为：购买量不超过500t 时单价为10000元/t ；购买量超过500t 但是不超过1000t 时，超过500t 的部分8000元/t ；购买量超过1000t 时，超过1000t 的部分6000元/t 。

该公司应该如何安排原油的采购和加工？用连续规划和证书规划分别求解这个问题。

1． 模型建立研究该公司原油的采购和加工过程，需要对两个过程中的各个参数设置变量：a1,a2 A 原油分别用来制造甲、乙两种产品的质量(t)b1,b2 B 原油分别用来制造甲、乙两种产品的质量(t)y1,y2,y3 购买的A 原油质量：y1为<500t 部分，y2为>500t 且<1000t 部分,y3 为>1000t 部分(t)cost 购买原油A 所需要的总花销(元)问如何规划投资和生产，实际上就是问如何将利润最大化，根据题目中给出的约束条件建立优化模型的基本形式：max4800(11)5600(22)..1/(11)50%2/(22)60%1250012312100010000*18000*26000*3(1500)*20(2500)*301,2,3500a b a b Cost s t a a b a a b a a y y y b b Cost y y y y y y y y y y +++-+<+<+<++++<=++-=-=<其中，约束条件的1、2行为对两种产品含原油A 比例的最低限定条件；3、4行的意义是用来制造产品的原料不能大于库存和购买来的原料总量；Cost 为总花销；6、7、8行实现了y1、y2、y3的意义。

2020年北京市清华大学强基计划数学试卷一、解答题1．已知x 2+y 2≤1，求x 2+xy ﹣y 2的最值． 二、选择题2．非等边三角形ABC 中，BC ＝AC ，O ，P 分别为△ABC 的外心和内心，D 在BC 上且OD ⊥BP ，下列选项正确的是（ ） A ．BODP 四点共圆 B ．OD ∥ACC ．OD ∥AB D ．DP ∥AC三、解答题3．A ，B ，C 均为{1，2，3，…，2020}子集，且A ⊆C ，B ⊆C ，问有序的（A ，B ，C ）共有多少？ 四、选择题4．a 0＝0，|a i +1|＝|a i +1|，令A ＝|∑ 20k=1a k |（ ） A ．A 可以等于0 B ．A 可以等于2C ．A 可以等于10D ．A 可以等于125．P 为椭圆x 24+y 23=1上一点，A （1，0），B （1，1），求|P A |+|PB |的最值．6．△ABC 三边均为整数，且面积为有理数，则边长a 可以为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．P 为双曲线x 24−y 2＝1上一点，A （﹣2，0），B （2，0），令∠P AB ＝α，∠PBA ＝β，下列为定值的是（ ） A ．tan αtan β B ．tan α2tan β2C ．S △P AB tan （α+β）D ．S △P AB cos （α+β）8．甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（ ） A ．甲对 B ．乙对C ．丙对D ．以上说法均不对9．Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB =√3，BC ＝1，PA →|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→，以下正确的A ．∠APB ＝120° B ．∠BPC ＝120° C ．2BP ＝PCD ．AP ＝2PC10．lim n→∞∑ n k=1arctan2k =（ ） A ．34πB ．πC ．3π2D ．7π3五、填空题11．从0﹣9共10个数中任取5个组成一个5位或4位（0在首位）数，则该数被396整除概率为 ．12．随机变量X 等于k 的概率为P （x ＝k ）=12k ，Y为X 除以3的余数，求Y 的数学期望E（Y ）． 六、选择题13．|a →|≤1，|b →|≤1，|a →+2b →+c →|＝|a →−2b →|，则|c →|的最值为（ ） A ．最大值为4√2B ．最大值为2√5C ．最小值为0D ．最小值为214．x ，y ∈N +，下列说法正确的是（ ） A ．x 2+2y 与y 2+2x 可以均为完全平方数 B ．x 2+4y 与y 2+4x 可以均为完全平方数 C ．x 2+5y 与y 2+5x 可以均为完全平方数D ．x 2+6y 与y 2+6x 可以均为完全平方数 15．sin （arctan1+arccos√10+arcsin√5）＝ ．16．已知函数f （x ）=2e x e x +e −x +sin x ，则f （x ）在[﹣2，2]上的最大值与最小值之和为 ．17．f （x ）的图象如图所示，f （x ）与直线x ＝a ，x ＝t ，x 轴围成图形的面积为S （t ），问S '（t ）的最大值为 ，f '（x ）的最大值为 ．1．；二、选择题2．D；三、解答题3．；四、选择题4．C；5．；6．CD；7．A；8．A；9．ABCD；10．A；五、填空题11．2945；12．；六、选择题13．BC；14．CD；15．1；16．2；17．f（c）；f′（a）；。

２０２０年清华大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年清华大学强基计划数学试题共２０道不定项选择题ꎬ该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.本文给出该试题(回忆版)的详细解答ꎬ对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.关键词:清华大学强基计划ꎻ数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ详细解答中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６３－０７收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ男ꎬ湖北省竹溪人ꎬ硕士ꎬ中学正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀全卷共２０道不定项选择题.以下试题是回忆版ꎬ但对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.针对下面的试题题号按难度渐升的顺序叙述如下:第８题是简易逻辑问题ꎻ第１６题是立体几何中的空间角问题ꎻ第１题是求二元函数的最值ꎻ第１７题考查函数的奇偶性ꎻ第５ꎬ７题是平面解析几何问题(后者是双曲线与三角函数的综合)ꎻ第１５题是反三角函数问题ꎻ第２题是平面几何问题ꎻ第９题是平面向量问题ꎻ第１３题是空间向量问题ꎻ第１２题是求期望(但涉及无穷递缩等比数列各项的和)ꎻ第１８题涉及定积分与导数ꎻ第１９题是关于数列前ｎ项和的新定义问题ꎻ第１０题是求极限(涉及反三角函数及不易想到的裂项法求数列前ｎ项和)ꎻ第３题是集合与排列组合的综合ꎻ第４题是递推数列问题ꎻ第６ꎬ１４题是初等数论中的整数性质问题ꎻ第１１题是概率与整数性质的综合问题(用枚举法求解时情况较多)ꎻ第２０题是定积分.㊀㊀一㊁试题呈现１.若ｘ２＋ｙ２ɤ１(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－３２ꎬ３２[]㊀㊀㊀Ｂ.[－１ꎬ１]Ｃ.－５２ꎬ５２[]Ｄ.[－２ꎬ２]２.在非等边ΔＡＢＣ中ꎬＢＣ＝ＡＣꎬ点ＯꎬＰ分别是ΔＡＢＣ的外心与内心.若点Ｄ在边ＢＣ上且ＯＤʅＢＰꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀).Ａ.ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆㊀㊀㊀Ｂ.ＯＤʊＡＣＣ.ＯＤʊＡＢＤ.ＤＰʊＡＣ３.若ＡꎬＢꎬＣ⊆１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬＡ⊆ＣꎬＢ⊆Ｃꎬ则有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是(㊀㊀).Ａ.２２０２０㊀Ｂ.３２０２０㊀㊀Ｃ.４２０２０㊀㊀Ｄ.５２０２０４.若ａ０＝０ꎬａｉ＋１＝ａｉ＋１(ｉɪＮ)ꎬ则ð２０ｋ＝１ａｋ的值可以是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１２５.已知点Ａ(１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ１).若Ｐ为椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１上的动点ꎬ则ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是(㊀㊀).㊀Ａ.４＋２ꎬ４－２㊀㊀Ｂ.４＋３ꎬ４－３Ｃ.４＋５ꎬ４－５Ｄ.４＋６ꎬ４－６６.若一个三角形的各边长均为整数且其面积为有理数ꎬ则该三角形某一边的长可以是(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４７.已知两点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＰ为双曲线ｘ２４－ｙ２＝１上不是顶点的动点.若øＰＡＢ＝αꎬøＰＢＡ＝βꎬ则下列各式中为定值的是(㊀㊀).Ａ.ｔａｎαｔａｎβ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｔａｎα２ｔａｎβ２３６Ｃ.ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)Ｄ.ＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)８.甲㊁乙㊁丙三人做同一道题.甲说 我做错了 ꎬ乙说甲做对了 ꎬ丙说 我做错了 ꎬ老师说 有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若老师说的话一定正确ꎬ则(㊀㊀).Ａ.甲说的对㊀㊀Ｂ.乙说的对Ｃ.丙说的对Ｄ.甲㊁乙㊁丙说的均不对９.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＢＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝１ꎬＰＡңＰＡң＋ＰＢңＰＢң＋ＰＣңＰＣң＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.øＡＰＢ＝１２０ʎＢ.øＢＰＣ＝１２０ʎＣ.２ＢＰ＝ＰＣ㊀㊀Ｄ.ＡＰ＝２ＰＣ１０.ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝(㊀㊀).Ａ.３π４㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.７π３１１.若从０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎬ９中选取５个两两互异的数字依次排成一个五位数(包括０在首位的五位数ꎬ其大小就是把０去掉后的四位数)ꎬ则它能被３９６整除的概率是(㊀㊀).㊀Ａ.１３９６㊀Ｂ.１３２４㊀㊀Ｃ.１３１５㊀㊀Ｄ.１２１０１２.已知Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝１２ｋ(ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ )ꎬ若Ｙ为Ｘ除以３所得的余数ꎬ则随机变量Ｙ的期望是(㊀㊀).Ａ.４７㊀Ｂ.８７㊀㊀Ｃ.１２７㊀㊀Ｄ.１６７１３.若空间向量ａꎬｂꎬｃ满足｜ａ｜ɤ１ꎬ｜ｂ｜ɤ１ꎬ｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜＝｜ａ－２ｂ｜ꎬ则｜ｃ｜的最值为(㊀㊀).Ａ.最大值为４２Ｂ.最大值为２５Ｃ.最小值为０Ｄ.最小值为２１４.若ｘꎬｙɪＮ∗ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋２ｙ与ｙ２＋２ｘ可以均为完全平方数Ｂ.ｘ２＋４ｙ与ｙ２＋４ｘ可以均为完全平方数Ｃ.ｘ２＋５ｙ与ｙ２＋５ｘ可以均为完全平方数Ｄ.ｘ２＋６ｙ与ｙ２＋６ｘ可以均为完全平方数１５.ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀Ｄ.１１６.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为αꎬ侧棱与底面所成线面角的大小为βꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃｏｓα＋ｔａｎ２β＝１㊀㊀Ｂ.ｓｅｃα＋ｔａｎ２β＝－１Ｃ.ｃｏｓα＋２ｔａｎ２β＝１Ｄ.ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１１７.函数ｆ(ｘ)＝２ｅｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.２㊀Ｂ.ｅ㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４图１１８.已知ｙ＝ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬｘ＝ｃ是其极大值点ꎬ函数ｙ＝ｆ(ｘ)的部分图象如图１所示.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象与直线ｘ＝ａꎬｘ＝ｔ(ａ<ｔ<ｂ)ꎬｙ＝０围成图形的面积为Ｓ(ｔ)ꎬ则当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)ꎬＳᶄ(ｘ)的最大值分别是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｂ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｂ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｂ)Ｃ.ｆ(ｃ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｄ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｃ)１９.把数列ａｎ{}的前ｎ项和记作Ｓｎ.若∀ｎɪＮ∗ꎬ∃ｍɪＮ∗ꎬＳｎ＝ａｍꎬ则称数列ａｎ{}为 某数列 .以下选项中正确的是(㊀㊀).Ａ.若ａｎ＝１ꎬｎ＝１２ｎ－２ꎬｎȡ２{ꎬ则ａｎ{}为 某数列Ｂ.若ａｎ＝ｋ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为 某数列 Ｃ.若ａｎ＝ｋｎ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为 某数列Ｄ.对于任意的等差数列ａｎ{}ꎬ均存在两个 某数列ｂｎ{}ꎬｃｎ{}ꎬ使得ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ２０.ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(㊀㊀).Ａ.π㊀Ｂ.２π㊀㊀Ｃ.２π㊀㊀Ｄ.５π㊀㊀二㊁试题解析１.Ｃ.可设ｘ＝ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｒｓｉｎθ(０ɤθ<２πꎬ０ɤｒɤ１)ꎬ得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝ｒ２１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θæèçöø÷.由辅助角公式ꎬ可得１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ的取值范围是－５２ꎬ５２[].再由０ɤｒɤ１ꎬ可得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的最大值与最图２小值分别是５２ꎬ－５２.２.ＡＤ.由题设ꎬ可得点ＯꎬＰ不重合.㊀如图２所示ꎬ可得点ＯꎬＰ在等腰әＡＢＣ底边上的高ＣＥ上(点Ｅ是边ＡＢ的中点).可设直线ＯＤꎬＢＰ交于点Ｒꎬ可得øＲ＝øＣＥＢ＝９０ʎꎬ所以ＯꎬＲꎬＥꎬＢ四点共圆.４６再由题设 点Ｐ是әＡＢＣ的内心 ꎬ可得øＣＢＰ＝øＲＢＥ＝øＲＯＰꎬ所以ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ得选项Ａ正确.㊀由ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ可得øＢＤＰ＝øＢＯＰ.由题设 点Ｏ是әＡＢＣ的外心 ꎬ可得øＢＯＰ＝２øＢＣＯ＝øＢＣＡꎬ所以øＢＤＰ＝øＢＣＡ.所以ＤＰʊＡＣꎬ得选项Ｄ正确ꎬ选项Ｂ错误.若ＯＤʊＡＢꎬ由ＣＥʅＡＢꎬ可得ＣＥʅＯＤ.又由ＰＢʅＯＤꎬ可得ＰＢʊＣＥ.而直线ＰＢꎬＣＥ交于点Ｐꎬ所以选项Ｃ错误.３.解法１㊀Ｄ.若集合Ｃ已确定ꎬ由Ａ⊆Ｃ可得集合Ａ有２Ｃ种可能(其中Ｃ表示集合Ｃ的元素个数)ꎻ同理ꎬ由Ｂ⊆Ｃ可得集合Ｂ有２Ｃ种可能.所以有序集合组(ＡꎬＢ)的组数是２Ｃ２Ｃ＝４Ｃ.所以有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是ð２０２０Ｃ＝０(ＣＣ２０２０４Ｃ)＝(１＋４)２０２０＝５２０２０.图３解法２㊀Ｄ.如图３所示ꎬ其中Ｕ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬ可得元素１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０均有５种填法:∁ＵＣꎬ∁Ｕ(ＡɣＢ)ꎬ∁Ａ(ＡɘＢ)ꎬＡɘＢꎬ∁Ｂ(ＡɘＢ).由分步乘法计数原理ꎬ可得所求答案是５２０２０.４.ＢＣ.先用数学归纳法证明ａ２ｋꎬａ２ｋ＋１(ｋɪＮ)分别是偶数㊁奇数.当ｋ＝０时成立ꎬａ０＝０ꎬａ１＝ʃ１.假设ｋ＝ｎ时成立ꎬ即ａ２ｎꎬａ２ｎ＋１分别是偶数㊁奇数.可得ａ２ｎ＋２＝ａ２ｎ＋１＋１ꎬ所以ａ２ｎ＋２是偶数ꎻ再由ａ２ｎ＋３＝ａ２ｎ＋２＋１ꎬ可得ａ２ｎ＋３是奇数.所以ｋ＝ｎ＋１时也成立.所以欲证结论成立.由题设ꎬ得ａ２ｋ＝ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ＝－ａ２ｋ－１－１(ｋɪＮ∗)ꎬ所以ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝－１(ｋɪＮ∗).可设ａ２ｋ－１＝２ｍ－１(ｍɪＺ)ꎬ当ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１时ꎬ可得ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝４ｍ－１.所以总有ａ２ｋ－１＋ａ２ｋʉ－１(ｍｏｄ４).因而ð２０ｋ＝１ａｋʉ２(ｍｏｄ４)ꎬ进而可排除选项ＡＤ.当(ａ０ꎬａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａ２０)＝(０ꎬ－１ꎬ０ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ４)时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝２ꎬ所以选项Ｂ正确.当ａ０＝ａ２＝ａ４＝ ＝ａ２０＝０ꎬａ１＝ａ３＝ａ５＝ ＝ａ１９＝－１时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝１０ꎬ所以选项Ｃ正确.５.Ｃ.由题意ꎬ得椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右焦点分别为Ａᶄ(－１ꎬ０)ꎬＡ(１ꎬ０).由椭圆定义ꎬ得ＰＡ＋ＰＢ＝４＋(ＰＢ－ＰＡᶄ)ꎬＰＢ－ＰＡᶄɤＡᶄＢ＝(１＋１)２＋(１－０)２＝５.所以ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是４＋５ꎬ４－５.㊀６.ＣＤ.因为三边长分别是３ꎬ４ꎬ５的三角形的面积６是有理数ꎬ所以选项Ｄ正确.若满足题设的三角形的某一边长可以是１ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(１ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得１＋ｂ>ｃꎬ即１＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃꎬ所以ｂ＝ｃ.可得该三角形的面积１２１ｂ２－１４＝４ｂ２－１４ꎬ因而设４ｂ２－１＝(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２(ｂ２－ｎ２＋ｎ)＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!所以选项Ａ错误.若满足题设的三角形的某一边长可以是２ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(２ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得２＋ｂ>ｃꎬ即２＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃ－１.所以ｂ＝ｃ－１或ｃ.若ｂ＝ｃ－１ꎬ由海伦公式ꎬ可得该三角形的面积是１４３[４ｂ(ｂ＋１)－３]ꎬ因而设４ｂ(ｂ＋１)－３＝３(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２[ｂ(ｂ＋１)－３ｎ２＋３ｎ－１]＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!若ｂ＝ｃꎬ可得该三角形的面积１２２ ｂ２－１＝ｂ２－１(ｂȡ２).由(ｂ－１)２<ｂ２－１<ｂ２ꎬ可得ｂ２－１∉Ｑꎬ与题设矛盾!所以选项Ｂ错误.７.ＡＣ.由对称性知ꎬ可不妨设点Ｐ(ｍꎬｎ)(ｍ>２ꎬｎ>０)ꎬ得ｍ２４－ｎ２＝１ꎬ即４－ｍ２＝－４ｎ２.所以ｔａｎα＝ｎｍ＋２ꎬｔａｎβ＝－ｎｍ－２＝ｎ２－ｍ.所以ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２ ｎ２－ｍ＝ｎ２４－ｍ２＝－１４.故选项Ａ正确.所以ｔａｎ(α＋β)＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２＋ｎ２－ｍ１＋１４＝１６５ ｎ４－ｍ２＝－４５ｎꎬｃｏｔ(α＋β)＝－５４ｎꎬＳәＰＡＢ＝１２(２＋２)ｎ＝２ｎ.５６所以ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)＝－８５ꎬＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)＝－５２ｎ２.故选项Ｃ正确㊁Ｄ错误.可选(ｍꎬｎ)＝(４ꎬ３)ꎬ得ｔａｎα＝１２３ꎬｔａｎβ＝－３２ꎬ所以ｔａｎα２＝１３－２３ꎬｔａｎβ２＝２３＋２１３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝２３９＋２７３－６７－１２３.还可选(ｍꎬｎ)＝(６ꎬ２２)ꎬ得ｔａｎα＝１２２ꎬｔａｎβ＝－１２ꎬ所以ｔａｎα２＝３－２２ꎬｔａｎβ２＝２＋３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝３２＋３３－２６－４.可证得２３９＋２７３－６７－１２３<３２＋３３－２６－４ꎬ所以选项Ｂ错误.８.Ａ.若仅甲说的对ꎬ则甲做错了ꎻ可得乙㊁丙均说错了ꎬ得丙做对了.满足题设 有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若仅乙说的对ꎬ则甲做对了ꎻ可得甲㊁丙均说错了ꎬ得丙也做对了.不满足题设 有且仅有一人做对 .若仅丙说的对ꎬ则丙做错了ꎻ可得甲说错了ꎬ得甲做对了ꎻ还可得乙说错了ꎬ得甲也做错了.前后矛盾!综上所述ꎬ可得仅甲说的对.图４９.ＡＢＣＤ.如图４ꎬ设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＤң＋ＰＥң＝ＰＦңꎬ可得菱形ＰＤＦＥꎬ且射线ＰＦ平分øＡＰＢ.所以ＰＦң＋ＰＣңＰＣң＝０.所以ＣꎬＰꎬＦ三点共线ꎬ得øＡＰＣ＝øＢＰＣ.同理ꎬ可得øＢＰＣ＝øＢＰＡ.再由øＡＰＣ＋øＢＰＣ＋øＢＰＡ＝３６０ʎꎬ可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ因而选项ＡꎬＢ均正确.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬ可得øＢＡＣ＝３０ʎꎬøＡＣＢ＝６０ʎ.设øＰＡＣ＝θ(０ʎ<θ<３０ʎ)ꎬ可得øＰＣＡ＝６０ʎ－θꎬøＰＣＢ＝θꎬ所以әＰＡＣʐәＰＣＢꎬ得ＰＣＰＢ＝ＰＡＰＣ＝ＡＣＣＢ＝２ꎬ即２ＢＰ＝ＰＣꎬＡＰ＝２ＰＣꎬ因而选项ＣꎬＤ均正确.注㊀在图４中ꎬ若设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＣңＰＣң＝ＰＨңꎬ由题设可得ＰＤң＝ＰＥң＝ＰＨң＝１ꎬＰＤң＋ＰＥң＋ＰＨң＝０ꎬ进而可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ也得选项ＡꎬＢ均正确.点Ｐ是әＡＢＣ的费马点.１０.Ａ.先证明ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)(ｋɪＮ∗)成立.因为ｔａｎ[ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)]＝(ｋ＋１)－(ｋ－１)１＋(ｋ＋１)(ｋ－１)＝２ｋ２ꎬ又ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２[öø÷(ｋɪＮ∗)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)>ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ꎬ所以ａｒｃｔａｎ２ｋ２ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ所以欲证结论成立.因而ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ－ａｒｃｔａｎ１－ａｒｃｔａｎ０]＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ]－π４＝ｌｉｍｎң¥π－ａｒｃｔａｎ２ｎ＋１ｎ２＋ｎ－１[]－π４＝π－π４＝３π４.１１.Ｃ.可得３９６＝４ˑ９ˑ１１.若排成的五位数是９的倍数ꎬ则这５个数字之和是９的倍数ꎬ进而可得所选取的５个数字只可能是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ５ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ９ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎻ０ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ０ꎬ３ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ８ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎻ１ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ９ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ８之一.若所选取的５个数字是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎬ由排成的五位数是４的倍数ꎬ可得末两位数只可能是２０ꎬ６０ꎬ１２ꎬ９２ꎬ１６ꎬ９６之一.再由排成的五位数是１１的倍数ꎬ可得排成的五位数只可能是１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６之一.又由４ꎬ９ꎬ１１两两互质ꎬ所以得到的４个五位数均满足题设.进而可得满足题设的五位数共９６个:１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６ꎬ１７８２０ꎬ８７１２０ꎬ２１７８０ꎬ７１２８０ꎬ０８７１２ꎬ７８０１２ꎬ０７１２８ꎬ１７０２８ꎬ１３８６０ꎬ８３１６０ꎬ３１６８０ꎬ６１３８０ꎬ０８３１６ꎬ３８０１６ꎬ０３１６８ꎬ１３０６８ꎬ１５８４０ꎬ８５１４０ꎬ４１５８０ꎬ５１４８０ꎬ０１５８４ꎬ５１０８４ꎬ０５１４８ꎬ１５０４８ꎬ３０４９２ꎬ４０３９２ꎬ２９３０４ꎬ３９２０４ꎬ３７６２０ꎬ６７３２０ꎬ２３７６０ꎬ７３２６０ꎬ０６７３２ꎬ７６０３２ꎬ０２３７６ꎬ３２０７６ꎬ４７５２０ꎬ５７４２０ꎬ２５７４０ꎬ７５２４０ꎬ０４７５２ꎬ７４０５２ꎬ０７５２４ꎬ５７０２４ꎬ３５６４０ꎬ６５３４０ꎬ４３５６０ꎬ５３４６０ꎬ０３５６４ꎬ５３０６４ꎬ０４３５６ꎬ３４０５６ꎬ６８９０４ꎬ９８６０４ꎬ６０９８４ꎬ９０６８４ꎬ３８４１２ꎬ４８３１２ꎬ２１３８４ꎬ３１２８４ꎬ１４６５２ꎬ６４１５２ꎬ１４２５６ꎬ２４１５６ꎬ８７９１２ꎬ９７８１２ꎬ８１９７２ꎬ９１８７２ꎬ４７９１６ꎬ９７４１６ꎬ６６４１９７６ꎬ９１４７６ꎬ５７８１６ꎬ８７５１６ꎬ５１８７６ꎬ８１５７６ꎬ８５９３２ꎬ９５８３２ꎬ８３９５２ꎬ９３８５２ꎬ７６８２４ꎬ８６７２４ꎬ７２８６４ꎬ８２７６４ꎬ４６７２８ꎬ７６４２８ꎬ４２７６８ꎬ７２４６８ꎬ４５９３６ꎬ９５４３６ꎬ４３９５６ꎬ９３４５６.所以所求答案是９６Ａ５１０＝１３１５.注㊀用电脑编程可以验证上述答案是正确的.１２.Ｂ.可得Ｐ(Ｙ＝０)＝１２３＋１２６＋１２９＋ ＝１２３１－１２３＝１７ꎻＰ(Ｙ＝１)＝１２１＋１２４＋１２７＋ ＝１２１１－１２３＝４７ꎻＰ(Ｙ＝２)＝１２２＋１２５＋１２８＋ ＝１２２１－１２３＝２７所以随机变量Ｙ的期望是Ｅ(Ｙ)＝０ˑ１７＋１ˑ４７＋２ˑ２７＝８７.１３.ＢＣ.由题设ꎬ可得｜ａ－２ｂ｜＝｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜ȡ｜ｃ｜－｜ａ＋２ｂ｜ꎬ｜ｃ｜ɤ１ ｜ａ＋２ｂ｜＋１ ｜ａ－２ｂ｜.由柯西不等式ꎬ可得(１ ｜ａ＋２ｂ｜＋１ ｜ａ－２ｂ｜)２ɤ(１２＋１２)(｜ａ＋２ｂ｜２＋｜ａ－２ｂ｜２)＝４(｜ａ｜２＋４｜ｂ｜２)ɤ２０.所以｜ｃ｜ɤ２５.当ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(－４ꎬ－２)时满足题设ꎬ且｜ｃ｜＝２５.综上ꎬ｜ｃ｜的最大值为２５ꎬ故选项Ａ错误ꎬＢ正确.还可得ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(０ꎬ０)满足题设ꎬ进而可得｜ｃ｜的最小值为０ꎬ故选项Ｃ正确ꎬＤ错误.１４.ＣＤ.由对称性知ꎬ可不妨设ｘɤｙ.对于选项Ａꎬ由ｙ２<ｙ２＋２ｘɤｙ２＋２ｙ<(ｙ＋１)２ꎬ所以ｙ２＋２ｘ不为完全平方数ꎬ故选项Ａ错误.对于选项Ｂꎬ由ｙ２<ｙ２＋４ｘɤｙ２＋４ｙ<(ｙ＋２)２ꎬ所以若ｙ２＋２ｘ为完全平方数ꎬ则ｙ２＋４ｘ＝(ｙ＋１)２ꎬ２(２ｘ－ｙ)＝１ꎬ这不可能!故选项Ｂ错误.选ｘ＝ｙ＝４ꎬ得ｘ２＋５ｙ＝ｙ２＋５ｘ＝６２ꎬ故选项Ｃ正确.选ｘ＝ｙ＝２ꎬ得ｘ２＋６ｙ＝ｙ２＋６ｘ＝４２ꎬ故选项Ｄ正确.１５.１.设复数ｚ１＝１＋ｉꎬｚ２＝２＋ｉꎬｚ３＝３＋ｉꎬ可得ａｒｇｚ１＝ａｒｃｔａｎ１ꎬａｒｇｚ２＝ａｒｃｓｉｎ１５ꎬａｒｇｚ３＝ａｒｃｃｏｓ３１０.所以ｚ１ｚ２ｚ３＝(１＋ｉ)(５＋５ｉ)＝１０ｉꎬａｒｇ(ｚ１ｚ２ｚ３)＝π２.所以ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝ｓｉｎπ２＝１.１６.Ｄ.如图５ꎬ设正四棱锥的底面边长ＡＢ＝２ꎬ高ＰＯ图５＝ｈꎬ可得ｔａｎβ＝ｔａｎøＰＡＯ＝ＰＯＡＯ＝ｈ２.㊀㊀在ＲｔәＰＯＢ中ꎬ可求得ＰＢ＝ＰＯ２＋ＯＢ２＝ｈ２＋２.设等腰әＰＡＢ的底边ＡＢ的中点是Ｍꎬ可得ＰＭʅＡＢ.还可求得ＰＭ＝ＰＡ２＋ＡＭ２＝ｈ２＋１.作ＡＨʅＰＢ于点Ｈꎬ连接ＣＨꎬ可得α＝øＡＨＣꎬＣＨ＝ＡＨ.还可得２ＳәＰＡＢ＝ＡＢ ＰＭ＝ＡＨ ＰＢ.所以ＣＨ＝ＡＨ＝ＡＢ ＰＭＰＢ＝２ｈ２＋１ｈ２＋２ꎬＡＣ＝２２.在әＡＣＨ中ꎬ由余弦定理ꎬ可求得ｃｏｓα＝ｃｏｓøＡＨＣ＝ＡＨ２＋ＣＨ２－ＡＣ２２ＡＨ ＣＨ＝ ＝－１ｈ２＋１.进而可得ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１.１７.Ａ.由 闭区间上的连续函数存在最大值与最小值 ꎬ可得函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值均存在.可得ｆ(ｘ)－１＝ｅｘ－ｅ－ｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１(－２ɤｘɤ２)是奇函数.当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬｇ(ｘ)<２ꎬ所以函数ｇ(ｘ)的最大值与最小值均存在且互为相反数ꎬ可分别设为Ｍꎬ－Ｍ.所以函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值分别是１＋Ｍꎬ１－Ｍ.所以所求答案是(１＋Ｍ)＋(１－Ｍ)＝２.１８.Ｄ.由ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬ可得ｆᶄ(ｘ)是减函数ꎬ所以当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)的最大值是ｆᶄ(ａ).还可得Ｓ(ｔ)＝ʏｔａｆ(ｘ)ｄｘꎬ所以Ｓᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ).由题设及图１ꎬ可得Ｓᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｃ).１９.ＡＢＤ.对于选项Ａꎬ可求得Ｓｎ＝２ｎ－１(ｎɪＮ∗)ꎬ所以Ｓｎ＝ａｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬ故选项Ａ正确.选项Ｂ错误.若ｋ＝１２ꎬ则∀ｍɪＮ∗ꎬＳ２＝１ʂａｍ.选项Ｃ正确.∀ｎɪＮ∗ꎬＳｎ＝ｋ(１＋２＋ ＋ｎ)＝ａ１＋２＋ ＋ｎ.选项Ｄ正确.设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ可得ａｎ＝ｄｎ＋(ａ１－ｄ)(ｎɪＮ∗).选ｂｎ＝ｄｎꎬｃｎ＝ａ１－ｄꎬｎ＝１０ꎬｎȡ２{(ｎɪＮ∗)ꎬ易知ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ.由于∀ｎɪＮ∗ꎬＴｎ＝ａ１(其中Ｔｎ表７６示数列ｃｎ{}的前ｎ项和)ꎬ所以ｃｎ{}是 某数列 .由选项Ｃ正确ꎬ知ｂｎ{}是 某数列 .２０.解法１㊀Ｂ.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ(ｘɪＲ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋π)ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(π－ｘ)(ｘɪＲ)ꎬ所以π是函数ｆ(ｘ)的一个周期且函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝π２对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏπ０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏπ/２０１－ｃｏｓ２ｘ１－１２ｓｉｎ２２ｘｄ(２ｘ)＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ２－ｓｉｎ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ－２ʏπ０ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｔ＝ｕ＋π２)２ʏπ/２－π/２１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＋２ʏπ/２－π/２ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕｄｕ.再由ｙ＝１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕꎬｙ＝ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕ－π２ɤｕɤπ２æèçöø÷分别是偶函数㊁奇函数ꎬ可得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＝(设ｕ＝π/２－ｖ)－４ʏ０π/２１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝４ʏπ/２０１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝２２ʏπ/２０ｄｔａｎｖ２æèçöø÷ｔａｎｖ２æèçöø÷２＋１＝(设ｗ＝ｔａｎｖ２)２２ʏ＋¥０ｄｗｗ２＋１＝２２ａｒｃｔａｎｗ＋¥０＝２２π２－０æèçöø÷＝２π.解法２㊀Ｂ.在解法１中ꎬ已得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(设ｘ＝ｔ＋π２)ʏ０－π/２ｃｏｓ２ｔｓｉｎ４ｔ＋ｃｏｓ４ｔｄｔ＝(设ｔ＝－ｘ)ʏπ/２０ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｔａｎ２ｘ＋１ｔａｎ４ｘ＋１ｄｔａｎｘ＝(设ｔａｎｘ＝ｔ)２ʏ＋¥０ｔ２＋１ｔ４＋１ｄｔ＝２ʏ＋¥０ｄｔ－１ｔæèçöø÷ｔ－１ｔæèçöø÷２＋２＝(设ｔ－１ｔ＝ｕ)２ʏ＋¥－¥ｄｕｕ２＋２＝２２ａｒｃｔａｎｕ２＋¥－¥＝２π２－－π２æèçöø÷[]＝２π.解法３㊀Ｂ.由降幂公式ꎬ可得ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ２１－ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＋１＋ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋ｃｏｓ２２ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋１＋ｃｏｓ４ｘ２＝２(１－ｃｏｓ２ｘ)３＋ｃｏｓ４ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ２π０１－ｃｏｓ２ｘ３＋ｃｏｓ４ｘｄ(２ｘ)＝(设ｔ＝２ｘ)ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ.设函数ｆ(ｔ)＝１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓｔ(ｔɪＲ)ꎬ可得ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋２π)ꎬｆ(ｔ)＝ｆ(２π－ｔ)(ｔɪＲ)ꎬ所以２π是函数ｆ(ｔ)的一个周期且函数ｆ(ｔ)的图象关于直线ｘ＝π对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏ２π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝４ʏπ０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｕ＝ｃｏｓｔ)２ʏ１－１１－ｕ(１＋ｕ２)１－ｕ２ｄｕ＝２ʏ１－１１１＋ｕ２１－ｕ１＋ｕｄｕ＝(设ｖ＝１－ｕ１＋ｕ)４ʏ＋¥０ｖ２ｖ４＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖｖ２－２ｖ＋１ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖｖ２＋２ｖ＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２æèçöø÷＋１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２æèçöø÷－１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ８６＋ʏ＋¥０ｄｖｖ－１２æèçöø÷２＋１２＋ʏ＋¥０ｄｖｖ＋１２æèçöø÷２＋１２＝２ʏ＋¥－ｗｗ２＋１２ｄｗ－２ʏ＋¥ｗｗ２＋１２ｄｗ＋ʏ＋¥－ｄｗｗ２＋１２＋ʏ＋¥ｄｗｗ２＋１２＝２ʏ－ｗｗ２＋１２ｄｗ＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥－＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥＝２π２－－π４æèçöø÷[]＋２π２－π４æèçöø÷＝２π.(因为ｙ＝ｗｗ２＋１２－１２ɤｗɤ１２æèçöø÷是奇函数)解法４㊀Ｂ.因为ｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ)２－２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＝１－１２ｓｉｎ２２ｘꎬ可得１２ɤｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ１ꎬｓｉｎ２ｘɤｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ２ｓｉｎ２ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ.再由ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｘ－ｓｉｎ２ｘ４２π０＝πꎬ可得π<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２π.再由排除法ꎬ可知答案是Ｂ.[责任编辑:李㊀璟]换元转化㊀化难为易叶文明㊀李㊀阳(浙江省松阳二中㊀３２３４０６)摘㊀要:换元法是解数学题的一种常用方法ꎬ它的实质是通过换元转化ꎬ从而把复杂问题简单化ꎬ有利于问题的解决.关键词:换元ꎻ绝对值ꎻ最值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:叶文明(１９６７－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.李阳(１９９１－)ꎬ男ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解数学题时ꎬ常把某个式子看成一个整体ꎬ用一个变量去代替它ꎬ从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元法的实质是转化ꎬ把复杂问题简单化.换元法在研究方程㊁不等式㊁函数㊁数列㊁解析几何等问题中有广泛的应用ꎬ它几乎涵盖高中阶段的所有内容ꎬ是一种常用的解题方法.例１㊀(２０２０浙江新高考学考模拟卷五)已知正数ｘꎬｙ满足ｘ＋ｙ＝１ꎬ则ｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１的最小值为.解析㊀方法一㊀４ｘ＋２＋１ｙ＋１＝１４ˑ４ｘ＋２＋１ｙ＋１æèçöø÷ｘ＋２＋ｙ＋１()ȡ９４ʑｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１＝ｘ－２＋４ｘ＋２＋ｙ－１＋１ｙ＋１＝４ｘ＋２＋１ｙ＋１＋ｘ＋ｙ－３ȡ１４ꎬ即最小值为１４.方法二㊀(换元)令ｘ＋２＝ａꎬｙ＋１＝ｂꎬ则ａ＋ｂ＝４.９６。

运筹学清华第4版答案解析1. 引言本文是针对《运筹学清华第4版》这本教材的答案解析。

运筹学是一门研究在资源有限的情况下如何做出最优决策的学科。

该教材由清华大学出版社出版，是运筹学领域的经典教材之一。

通过对每章习题的解析，读者可以更好地掌握运筹学的基本知识和解题方法。

2. 第1章线性规划问题2.1 习题解析2.1.1 习题1题目描述：某公司生产两种产品A和B，每单位A产品的利润为30元，每单位B产品的利润为50元。

公司每天可支配的生产时间为8小时，A产品每单位需要2小时的生产时间，B产品每单位需要4小时的生产时间。

问应该生产多少单位的A和B产品，才能使利润最大化？解析：这是一个经典的线性规划问题。

我们可以用数学模型描述如下：目标函数：最大化利润，即 max Z = 30A + 50B约束条件：2A + 4B <= 8变量范围：A >= 0, B >= 0根据上述模型，我们可以使用线性规划求解器来求解最优解。

最终的答案是A=2, B=1，此时利润最大。

2.2 课后练习解析2.2.1 习题2题目描述：某公司生产三种产品A、B和C，每单位A产品的利润为10元，每单位B产品的利润为20元，每单位C产品的利润为30元。

公司每天可支配的生产时间为10小时。

A产品每单位需要1小时的生产时间，B产品每单位需要2小时的生产时间，C产品每单位需要3小时的生产时间。

问应该生产多少单位的A、B和C产品，才能使利润最大化？解析：同样是一个线性规划问题。

我们可以建立以下数学模型：目标函数：最大化利润，即 max Z = 10A + 20B + 30C约束条件：A + 2B + 3C <= 10变量范围：A >= 0, B >= 0, C >= 0通过求解上述模型，我们可以得到最优解为A=4, B=3, C=0，此时利润最大。

3. 第2章整数规划问题3.1 习题解析3.1.1 习题1题目描述：某公司有5个项目需要投资，每个项目的投资额为500万元。