2020年北京市高考数学试卷(附答案及详细解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-， 所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=， 故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减； 故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（ ）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==， 故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数， 若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=， 所以10.11210E E =； 故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2， 故圆心为（1,0），半径为2， 所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线， 若m αP ，则l m ⊥； 故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可， 根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元， 故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯， 故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤； 故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列， 可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125； （III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； （II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率； （III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ， 故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形， 而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面； （Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面 在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可； （Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=； （II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程； （II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==， 因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6， 则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==， 故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦， 所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ， 则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==， 故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==， 故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩， 故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A. 12i + B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）．A. 5-B. 5C. 10-D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】()52x -展开式的通项公式为：()()()55215522r rrrr r r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A. 63B. 623+C. 123+D. 123+【答案】D 【解析】 【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6. 已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP【答案】B 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9. 已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.5；1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17. 在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sin C 和ABC 面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】 【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===，下面我们用反证法来证明451a a q ，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la a a a a a a ==>，从而5k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =， 即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===， 若214k l --=，则451a a q ，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q . 同理可得：566171,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.衡石量书整理。

2020年北京市高考数学试卷-解析版2020年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,1,2}，A={A|0<A<3}，则A∩A=()A.{−1,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则A⋅A=()A.1+2AB.−2+AC.1−2AD.−2−A3.在(√A−2)的5的展开式中，A²的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数A(A)=2A−A−1，则不等式A(A)>的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为A。

A是抛物线上异于O的一点，过P作AA⊥A于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{AA}中，A1=−9，A5=−1.记AA=A1A2…AA(A=1,2，…)，则数列{AA}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知A，A∈A，则“存在A∈A使得A=AA+(−1)AA”是“AAAA=AAAA”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(AAAA)。

历史上，求圆周率A的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家___的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2A的近似值。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i +B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5- B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6+B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)- B.(,1)(1,)-∞-+∞ C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞+∞ 7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题:共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.参考答案一、选择题.1.【答案】D【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D.2.【答案】B【解析】由题意得12z i =+，∴2iz i =-.故选B.3.【答案】C【解析】)52-展开式的通项公式为()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得1r =，则2x 的系数为()()11522510C -=-⨯=-.故选C.4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭D.5.【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，∴圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆，∴||1||OC OM +≥5==，∴||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A.6.【答案】D【解析】∵()21xf x x =--，∴()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.∴不等式()0f x >的解集为()(),01,-∞+∞ .故选D.7.【答案】B【解析】如图所示，线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8.【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，通项公式为()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，50T <，∴()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，∴数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.∴数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选B.9.【答案】C【解析】（1）当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数,则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数,则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦（2）当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，∴存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．∴“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C.10【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn ︒，∴单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ︒，其周长为3012tan n n︒，∴303012sin 12tan303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选A.二、填空题.11【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，∴0x >,故答案为(0,)+∞.12【答案】(1)()3,0.【解析】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，∴双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+.故答案为()3,0;3.13【答案】(1)5；(2)1-.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，∴()22215PD =-+= ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .故答案为5；1-.14【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】∵()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1sin f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，∴()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.15【答案】①②③【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，∴甲的斜率的相反数比乙的大，∴甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，当甲企业在[]12,t t 这段时间内时，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，∴甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，都已达标；③正确；故答案为①②③.三、解答题16【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【解析】（Ⅰ）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，∴11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，∴1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.17【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）3sin 2C =,63S =；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）7sin 4C =,1574S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=2222cos a b c bc A =+- ,∴2221(11)72(11)7()7a a a =-+--⋅⋅-,∴8a =.（Ⅱ）2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得873sin sin sin sin 2437a c C A C C=∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈ ，∴223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B =-==-=,由正弦定理得：116sin sin 3757816a b a aa A B -=∴=∴=（Ⅱ）sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A=+=+918161684=+=11sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=.18【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p <.【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，∴3人中恰有2人支持方案一概率为2121311313((1()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <19【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）∵()212f x x =-，∴()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，∴切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，∵()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，∴()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果相同)，则()423241441144(2444t t S t t t t t++==++，∴()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，∴()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，∴2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.20【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆方程为22182x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得()222448x k x ++=，即()()222241326480k x k x k +++-=，则2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-，可得()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得()()222142Q k x y x -++=+.显然0P Q y y <，且PQPB y PQy =，注意到()1212442122P Q x x y y k x x ⎛⎫+++=-++ ⎪++⎝⎭()()()()()()()12211242422122x x x x k x x +++++=-+⨯++，而()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，∴0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.21【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详解解析；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）∵2*(2)1*,,,2,2i j i ja i j N i j i j N a --∀∈>=-∈，∴22i i j ja a a -=，∴{}n a 具有性质①；∵2*(2)11,3,1,2,22k l n k n la n N n k n l n a a ---∀∈≥∃=-=-===，∴{}n a 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k la a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a q s k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为11n n a a q-=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kkk la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，利用性质①取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24k l a a a =，若3,2k l ==，则：2341k la a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411k la a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，同理可得：455161,,a a q a a q == ，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.。

2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（北京卷）一、选择题1.已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B =（ ） A.{}1,0,1- B.{}0,1C.{}1,1,2-D.{}1,2【答案】D【解析】由题意得，{}12A B ⋂=，，故选D. 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z =·（ ） A.12i + B.2i -+ C.12i - D.2i --【答案】B【解析】由题意知，12i z =+，所以()i i 12i 2i z ⋅=⋅+=-+，故选B.3.在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A.5-B.5C.10-D.10【答案】C【解析】由二项式定理得52)的展开式的通项552155C (2)C (2)r rrrr rr T x--+=-=-，令522r -=，得1r =，所以12225C (2)10T x x =-=-，所以2x 的系数为10-，故选C. 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A.6 B.6+ C.12+ D.12+【答案】D【解析】将三视图还原为直观图(图略)，知该三棱柱是正三棱柱，其高为2，底面是边长为2的等边三角形，正三棱柱的上、下两个底面的面积均为1122sin 602222︒⨯⨯⨯=⨯⨯=面的面积均为224⨯=，故其表面积为12+，选D.5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】A【解析】设该圆的圆心为()a b ，，则圆的方程为22()()1x a y b -+-=，该圆过点(34)，，22(3)(4)1a b ∴-+-=，此式子表示点()a b ，在以()34，为圆心，1为半径的圆上，则点()a b ，到原点14=，故选A.6.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ） A.()1,1- B.()(),11,+-∞-∞ C.()0,1 D.()(),01,+-∞∞【答案】D【解析】函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集即21x x >+的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数2x y =，1y x =+的图象(图略)，结合图象易得21x x >+的解集为(0)(1)-∞⋃+∞，，，故选D.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP【答案】B【解析】连接PF ，由题意及抛物线的定义可知PQ FP =，则QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-，记()121,2,n n T a a a n ==……,则数列{}n T （ ） A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，19a =-，51a =-，5941a d ∴=-+=-，2d ∴=，9(1)2211n a n n ∴=-+-⨯=-.令2110n a n =-≤，则 5.5n ≤，5n ∴≤时，0n a <；6n ≥时，0n a >.190T ∴=-<，2(9)(7)630T =-⨯-=>，3(9)(7)(5)3150T =-⨯-⨯-=-<，4(9)(7)(5)(3)9450T =-⨯-⨯-⨯-=>，5(9)(7)(5)(3)(1)9450T =-⨯-⨯-⨯-⨯-=-<，当6n ≥时，0n a >，且1n a ≥，10n n T T +∴<<，12(12)n n T a a a n ∴==，，有最大项4T ，无最小项，故选B.9.已知R αβ∈，，则“存在k Z ∈使得()=1kk απβ+-”是“sin =sin αβ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-，则当2k n =，n ∈Z 时，2πn αβ=+，则sin sin(2π)sin n αββ=+=；当21k n =+，n ∈Z 时，(21) πn αβ=+-，则sin sin(2ππ)sin(π)sin n αβββ=+-=-=.若sin sin αβ=，则2πn αβ=+或2ππn αβ=+-，n ∈Z ，即π(1)k k αβ=+-，k ∈Z ，故选C.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ） A.30303sin tan n n n +（）°°B.30306sin tan n n n +（）°°C.60603sin tan n n n+（）°° D.60606sin tan n n n+（）°° 【答案】B【解析】连接圆心与圆内接正6n 边形的各顶点，则圆内接正6n 边形被分割成6n 个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为360606n n=︒︒，底角均为6018030902n n-=-︒︒︒︒，所以等腰三角形的底边长均为30302cos 902sinn n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭︒︒︒，故单位圆的内接正6n 边形的周长为3062sinn n⨯︒；连接圆心与圆外切正6n 边形的各顶点，则圆外切正6n 边形被分割成6n 个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为360606n n =︒︒，顶角的一半均为30n︒，所以等腰三角形的底边长均为302tann ︒，故单位圆的外切正6n 边形的周长为3062tann n︒⨯.因为单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以303062sin 62tan 30302π6sin 6tan 2n n n n n n n n︒︒⨯+⨯=⨯+⨯︒︒≈，所以30303030π3sin3tan 3sin tan n n n n n n n ⎛⎫≈⨯+⨯=+ ⎪⎝︒︒︒⎭︒，故选A. 二、填空题 11.函数1()In 1f x x x =++的定义域是_________. 【答案】()0+∞， 【解析】函数1()ln 1f x x x =++的自变量满足100x x +≠⎧⎨>⎩，，0x ∴>，即定义域为()0+∞，.12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________.【答案】(3,0)【解析】双曲线22:163x y C -=中，2639c =+=，3c ∴=，则C 的右焦点的坐标为(30)，， C 的渐近线方程为y x =，即y =，即0x ±=，则C 的焦点到其渐近线的距离d =.13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PD =_________；PB PD ·=_________.；1-【解析】解法一 如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P 为BC 的中点，在三角形PCD 中，||5cos cosPD DPB DPC =⋅∠=-∠=，||||cos 11PB PD PB PD DPB ⎛∴⋅=⋅∠==- ⎝.解法二 以A 为坐标原点，AB AD ，所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(00)(20)(22)(02)A B C D ，，，，，，，，1()(21)2AP AB AC ∴=+=，，(21)P ，，(21)PD ∴=-，，(01)PB =-，，||5PD ∴=(01)(21)1PB PD ⋅=-⋅-=-，，.14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数φ的一个取值为_________. 【答案】π2（符合π2π+,2k k ∈Z 都可以，答案不唯一） 【解析】易知当sin()y x ϕ=+，cos y x =同时取得最大值1时，函数()sin()cos f x x x ϕ=++取得最大值2，故sin()cos x x ϕ+=，则π2π,2k k ϕ=+∈Z ，故常数ϕ的一个取值为π2. 15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱。

2020年北京市⾼考数学试卷-解析版2020年北京市⾼考数学试卷⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共40.0分）1.已知集合A={?1,0，1，2}，B={x|0A. {?1,0，1}B. {0,1}C. {?1,1，2}D. {1,2}2.在复平⾯内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i?z=()A. 1+2iB. ?2+iC. 1?2iD. ?2?i3.在(√x?2)5的展开式中，x2的系数为()A. ?5B. 5C. ?10D. 104.某三棱柱的底⾯为正三⾓形，其三视图如图所⽰，该三棱柱的表⾯积为()A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆⼼到原点的距离的最⼩值为()A. 4B. 5C. 6D. 76.已知函数f(x)=2x?x?1，则不等式f(x)>0的解集是()A. (?1,1)B. (?∞,?1)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (?∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的⼀点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()A. 经过点OB. 经过点PC. 平⾏于直线OPD. 垂直于直线OP8.在等差数列{a n}中，a1=?9，a5=?1.记T n=a1a2…a n(n=1,2，…)，则数列{T n}()A. 有最⼤项，有最⼩项B. 有最⼤项，⽆最⼩项C. ⽆最⼤项，有最⼩项D. ⽆最⼤项，⽆最⼩项9.已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(?1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.2020年3⽉14⽇是全球⾸个国际圆周率⽇(πDay).历史上，求圆周率π的⽅法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔?卡西的⽅法是：当正整数n 充分⼤时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔?卡西的⽅法，π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）11. 函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是______． 12. 已知双曲线C ：x 26y 23=1，则C 的右焦点的坐标为______；C 的焦点到其渐近线的距离是______．13. 已知正⽅形ABCD 的边长为2，点P 满⾜AP =12(AB +AC )，则|PD |=______；PB ????? ?PD =______．14. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最⼤值为2，则常数φ的⼀个取值为______． 15. 为满⾜⼈民对美好⽣活的向往，环保部门要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，⽤f(b)?f(a)b?a的⼤⼩评价在[a,b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所⽰．给出下列四个结论：①在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；②在t 2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；③在t 3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；④甲企业在[0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]这三段时间中，在[0,t 1]的污⽔治理能⼒最强．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共85.0分）16. 如图，在正⽅体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点．(Ⅰ)求证：BC 1//平⾯AD 1E ；(Ⅱ)求直线AA 1与平⾯AD 1E 所成⾓的正弦值．17.在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择⼀个作为已知，求：(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)sinC和△ABC的⾯积．条件①：c=7，cosA=?17；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第⼀个解答计分．18.某校为举办甲、⼄两项不同活动，分别设计了相应的活动⽅案；⽅案⼀、⽅案⼆．为假设所有学⽣对活动⽅案是否⽀持相互独⽴．(Ⅰ)分别估计该校男⽣⽀持⽅案⼀的概率、该校⼥⽣⽀持⽅案⼀的概率；(Ⅱ)从该校全体男⽣中随机抽取2⼈，全体⼥⽣中随机抽取1⼈，估计这3⼈中恰有2⼈⽀持⽅案⼀的概率；(Ⅲ)将该校学⽣⽀持⽅案⼆的概率估计值记为p0.假设该校⼀年级有500名男⽣和300名⼥⽣，除⼀年级外其他年级学⽣⽀持⽅案⼆的概率估计值记为p1.试⽐较p0与p1的⼤⼩．(结论不要求证明)19.已知函数f(x)=12?x2．(1)求曲线y=f(x)的斜率等于?2的切线⽅程；(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三⾓形的⾯积为S(t)，求S(t)的最⼩值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(?2,?1)，且a=2b．(Ⅰ)求椭圆C的⽅程；(Ⅱ)过点B(?4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=?4于点P，Q.求|PB||BQ|的值．21.已知{a n}是⽆穷数列．给出两个性质：①对于{a n}中任意两项a i，a j(i>j)，在{a n}中都存在⼀项a m，使得?a i2=a m；②对于{a n}中任意⼀项a n(n≥3)，在{a n}中都存在两项a k，a l(k>l)，使得a n=a k2a l．(Ⅰ)若a n=n(n=1,2，…)，判断数列{a n}是否满⾜性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n=2n?1(n=1,2，…)，判断数列{a n}是否同时满⾜性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{a n}是递增数列，且同时满⾜性质①和性质②，证明：{a n}为等⽐数列．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题⽬．【解答】解：集合A={?1,0，1，2}，B={x|0故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，结合复数的⼏何意义求出复数的表达式是解决本题的关键．⽐较基础．根据复数的⼏何意义先求出z的表达式，结合复数的运算法则进⾏计算即可．【解答】解：∵复数z对应的点的坐标是(1,2)，∴z=1+2i，则i?z=i(1+2i)=?2+i，故选：B．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查⼆项式定理的应⽤，⼆项展开式的通项公式，⼆项式系数的性质，属于基础题．在⼆项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：(√x?2)5的展开式中，通项公式为Tr+1=C5r?(?2)r?x5?r2，令5?r=2，求得r=1，可得x2的系数为C51?(?2)=?10，故选：C．4.【答案】D【解析】解：⼏何体的直观图如图：是三棱柱，底⾯边长与侧棱长都是2，⼏何体的表⾯积为：3×2×2+2×12×2×√32×2=12+2√3．故选：D．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据求解⼏何体的表⾯积即可．本题考查三视图求解⼏何体的表⾯积，判断⼏何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查．5.【答案】A【解析】解：如图⽰：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆⼼轨迹为(3,4)为圆⼼，1为半径的圆，故当圆⼼到原点的距离的最⼩时，连结OB，A在OB上且AB=1，此时距离最⼩，由OB=5，得OA=4，即圆⼼到原点的距离的最⼩值是4，故选：A．结合题意画出满⾜条件的图象，结合图象求出答案即可．本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是⼀道常规题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．不等式即2x>x+1.由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【解答】解：不等式f(x)>0，即2x>x+1．由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过(1,2)，如图所⽰：不等式f(x)>0的解集是(?∞,0)∪(1,+∞)，故选：D．7.【答案】B【解析】解：不妨设抛物线的⽅程为y2=4x，则F(1,0)，准线为l为x=?1，不妨设P(1,2)，∴Q(?1,2)，设准线为l与x轴交点为A，则A(?1,0)，可得四边形QAFP为正⽅形，根据正⽅形的对⾓线互相垂直，故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，故选：B．本题属于选择题，不妨设抛物线的⽅程为y2=4x，不妨设P(1,2)，可得可得四边形QAFP 为正⽅形，根据正⽅形的对⾓线互相垂直可得答案．本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能⼒，是中档题．由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，⾃第6项开始为正值，进⼀步分析得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的⾸项为d，由a1=?9，a5=?1，得d=a5?a15?1=?1?(?9)4=2，∴a n=?9+2(n?1)=2n?11．由a n=2n?11=0，得n=112，⽽n∈N?，可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，⾃第6项开始为正值．可知T1=?9<0，T2=63>0，T3=?315<0，T4=945>0为最⼤项，⾃T5起均⼩于0，且逐渐减⼩．∴数列{T n}有最⼤项，⽆最⼩项．故选：B．9.【答案】C【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三⾓函数值的性质，利⽤分类讨论思想进⾏判断是解决本题的关键．难度不⼤．根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成⽴即可．【解答】解：当k=2n，为偶数时，α=2nπ+β，此时sinα=sin(2nπ+β)=sinβ，当k=2n+1，为奇数时，α=2nπ+π?β，此时sinα=sin(π?β)=sinβ，即充分性成⽴，当sinα=sinβ，则α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π?β，n∈Z，即α=kπ+(?1)kβ，即必要性成⽴，则“存在k∈Z使得α=kπ+(?1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件，故选：C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学中的⽂化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能⼒，属于基础题．设内接正6n 边形的边长为a ，外切正6n 边形的边长为b ，运⽤圆的性质，结合直⾓三⾓形的锐⾓三⾓函数的定义，可得所求值．【解答】解：如图，设内接正6n 边形的边长为a ，外切正6n 边形的边长为b ，可得a =2sin 360°12n =2sin 30°n，b =2tan 360°12n=2tan30°n，则2π≈6na+6nb2=6n(sin 30°n+tan30°n)，即π≈3n(sin30°n+tan30°n)，11.【答案】{x|x >0}【解析】【分析】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成⽴的条件建⽴不等式是解决本题的关键，属于基础题．根据函数成⽴的条件建⽴不等式组，解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则{?x +1≠0x >0，得{?x ≠?1x >0，即x >0，即函数的定义域为{x|x >0}，故答案为：{x|x >0}．12.【答案】(3,0)； √3【解析】解：双曲线C ：x 26?y 23=1，则c 2=a 2+b 2=6+3=9，则c =3，则C 的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线⽅程为y =±√3√6x ，即x ±√2y =0，则点(3,0)到渐近线的距离d =3√1+2=√3，故答案为：(3,0)，√3．根据双曲线的⽅程可得焦点，再根据点到直线的距离可得．本题考查了双曲线的⽅程和其性质，以及点到直线的距离公式，属于基础题．13.【答案】√5 ；?1【解析】【分析】本题考查了向量的⼏何意义和向量的数量积的运算，属于基础题．根据向量的⼏何意义可得P 为BC 的中点，再根据向量的数量积的运算和正⽅形的性质即可求出．【解答】解：由AP =12(AB +AC )，可得P 为BC 的中点，则|CP|=1，∴|PD|=√22+12=√5，∴PB ????? ?PD ????? =PB ????? ?(PC ????? +CD ????? )=?PC ????? ?(PC ????? +CD ????? )=?PC ????? 2 PC CD =1，故答案为：√5，?1．14.【答案】π2(答案不唯⼀)【解析】【分析】本题考查三⾓恒等变换，辅助⾓公式，三⾓函数最值，以及考查运算能⼒，属于中档题．由两⾓和差公式，及辅助⾓公式化简得f(x)=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，sinθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，结合题意可得√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，解得φ，即可得出答案．【解答】解：f(x)=sin(x +φ)+cosx=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx =sinxcosφ+(1+sinφ)cosx=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，sinθ=22，所以f(x)最⼤值为√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，所以cos 2φ+(1+sinφ)2=4，即2+2sinφ=4，所以sinφ=1，所以φ=π2+2kπ，k ∈Z ，当k =0时，φ=π2．故答案为：π2(答案不唯⼀)．15.【答案】①②③【解析】解：设甲企业的污⽔排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，⼄企业的污⽔排放量W 与时间t 的关系为W =g(t)．对于①，在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒为?f(t 2)?f(t 1)t 2?t 1，⼄企业的污⽔治理能⼒为?g(t 2)?g(t 1)t 2?t 1．由图可知，f(t 1)?f(t 2)>g(t 1)?g(t 2)，∴?f(t 2)?f(t 1)t 2?t 1>?g(t 2)?g(t 1)t 2?t 1，即甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故①正确；对于②，由图可知，f(t)在t 2时刻的切线的斜率⼩于g(t)在t 2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，∴在t 2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故②正确；对于③，在t 3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都⼩于污⽔达标排放量，∴在t 3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]这三段时间中，在[t 1,t 2]的污⽔治理能⼒最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．由两个企业污⽔排放量W 与时间t 的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐⼀分析四个命题得答案．本题考查利⽤数学解决实际⽣活问题，考查学⽣的读图视图能⼒，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由正⽅体的性质可知，AB//C 1D 1中，且AB =C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平⾏四边形，∴BC 1//AD 1，⼜BC 1?平⾯AD 1E ，AD 1?平⾯AD 1E ，∴BC 1//平⾯AD 1E .(Ⅱ)以A 为原点，AD 、AB 、AA 1分别为x 、y 和z 轴建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，设正⽅体的棱长为a ，则A(0,0，0)，A 1(0,0，a)，D 1(a,0，a)，E(0,a ，12a)，∴AA 1 =(0,0,a)，AD 1 =(a,0,a)，AE =(0,a,12a)，设平⾯AD 1E 的法向量为m =(x,y,z)，则{m ??? ?AD 1??? =0m ??? ?AE ? =0，即{a(x +z)=0a(y +12z)=0，令z =2，则x =?2，y =?1，∴m=(?2,?1,2)，设直线AA 1与平⾯AD 1E 所成⾓为θ，则sinθ=|cos |=|m ??? ?AA 1|m ??? |?|AA 1||=2a a?3=23，故直线AA 1与平⾯AD 1E 所成⾓的正弦值为23．【解析】(Ⅰ)根据正⽅体的性质可证得BC 1//AD 1，再利⽤线⾯平⾏的判定定理即可得证；(Ⅱ)以A 为原点，AD 、AB 、AA 1分别为x 、y 和z 轴建⽴空间直⾓坐标系，设直线AA 1与平⾯AD 1E 所成⾓为θ，先求出平⾯AD 1E 的法向量m ，再利⽤sinθ=|cos |=|m ??? ?AA 1|m ??? |?|AA 1||以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查空间中线⾯的位置关系和线⾯夹⾓问题，熟练掌握线⾯平⾏的判定定理和利⽤空间向量求线⾯夹⾓是解题的关键，考查学⽣的空间⽴体感和运算能⼒，属于基础题．17.【答案】解：选择条件①(Ⅰ)由余弦定理得a 2=b 2+c 2?2bccosA ，即a 2?b 2=49?14b ×(?17)=49+2b ，∴(a +b)(a ?b)=49+2b ，∵a +b =11，∴11a ?11b =49+2b ，即11a ?13b =49，联⽴{a +b =1111a ?13b =49，解得a =8，b =3，故a =8．(Ⅱ)在△ABC 中，sinA >0，∴sinA =√1?cos 2A =4√37，由正弦定理可得?asinA =csinC ，∴sinC =csinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12absinC =12×8×3×√32=6√3．选择条件②(Ⅰ)在△ABC 中，sinA >0，sinB >0，C =π?(A +B)，∵cosA =1 8，cosB =916，∴sinA =√1?cos 2A =3√78，sinB =2B =5√716，由正弦定理可得asinA =bsinB ，∴ab =sinAsinB =65，∵a +b =11，∴a =6，b =5，故a =6；(Ⅱ)在△ABC 中，C =π?(A +B)，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =3√78×916+5√716×18=√74，∴S △ABC =12absinC =12×6×5×√74=15√74【解析】选择条件①(Ⅰ)由余弦定理求出(a +b)(a ?b)=49+2b ，再结合a +b =11，即可求出a 的值，(Ⅱ)由正弦定理可得sin C ，再根据三⾓形的⾯积公式即可求出，选择条件②(Ⅰ)根据同⾓的三⾓函数的关系和正弦定理可得ab =sinAsinB =65，再结合a +b =11，即可求出a 的值，(Ⅱ)由两⾓和的正弦公式求出sin C ，再根据三⾓形的⾯积公式即可求出．本题考查了同⾓的三⾓函数的关系，两⾓和的正弦公式，正余弦定理，三⾓形的⾯积公式等知识，考查了运算能⼒求解能⼒，转化与化归能⼒，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设“该校男⽣⽀持⽅案⼀”为事件A ，“该校⼥⽣⽀持⽅案⼀”为事件B ，则P(A)=200200+400=13,P(B)=300300+100=34； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(A)=13,P(B)=34，设“这3⼈中恰有2⼈⽀持⽅案⼀”为事件C ，则P(C)=C 22(13)2(1?34)+C 21?13?(1?13)?34=1336； (Ⅲ)p 0>p 1．【解析】(Ⅰ)根据古典概型的概率公式直接求解即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)及相互独⽴事件同时发⽣的概率直接求解即可； (Ⅲ)直接写出结论即可．本题考查古典概型及相互独⽴事件同时发⽣的概率求法，考查计算能⼒及推理能⼒，属于基础题．19.【答案】解：(1)f(x)=12?x 2的导函数f′(x)=?2x ，令切点为(m,n)，可得切线的斜率为?2m =?2，∴m =1，∴n =12?1=11，∴切线的⽅程为y =?2x +13；(2)曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线的斜率为k =?2t ，切线⽅程为y ?(12?t 2)=?2t(x ?t)，令x =0，可得y =12+t 2，令y =0，可得x =12t +6t ，∴S(t)=12|12t +6t|?(12+t 2)，由S(?t)=S(t)，可知S(t)为偶函数，不妨设t >0，则S(t)=14(t +12t)(12+t 2)，∴S′(t)=14(3t 2+24?144t )=34?(t 2?4)(t 2+12)t ，由S′(t)=0，得t =2，当t >2时，S′(t)>0，S(t)单调递增；当0【解析】本题考查导数的运⽤：求切线的⽅程和利⽤导数研究函数的单调性、极值和最值，考查⽅程思想和运算能⼒，属于较难题．(1)求得f(x)=12?x 2的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解⽅程可得m ，n ，进⽽得到切线的⽅程；(2)求得切线的斜率和⽅程，分别令x =0，y =0，求得切线的横截距和纵截距，可得三⾓形的⾯积，考虑t >0的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出S(t)的最⼩值．20.【答案】解：(Ⅰ)椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1过点A(?2,?1)，且a =2b ，则{4a2+1b 2=1a =2b，解得b 2=2，a 2=8，∴椭圆⽅程为x 28+y 22=1，(Ⅱ)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线⽅程为y =k(x +4)，由{y =k(x +4)x 28+y 22=1，消y 整理可得(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2?8=0，∴△=?32(4k 2?1)>0，解得?1 22，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=?32?k 21+4k2，x 1x 2=64k 2?81+4k 2，则直线AM 的⽅程为y +1=?y 1+1x 1+2(x +2)，直线AN 的⽅程为y +1=y 2+1x 2+2(x +2)，分别令x =?4，可得y P =2(y 1+1)x 1+21=(1+2k)x 1+(8k+4)x 1+2，y Q =?(1+2k)x 2+(8k+4)x 2+2∴|PB|=|y P |=|(1+2k)x 1+(8k+4)x 1+2|，|QB|=|y Q |=|(1+2k)x 2+(8k+4)x 2+2|，∴|PB||BQ|=|[(2k +1)x 1+(8k +4)](x 2+2)[(2k +1)x 2+(8k +4)](x 1+2)|=|(2k +1)x 1x 2+(4k +2)(x 1+x 2)+8(2k +1)+(4k +2)x 2(2k +1)x 1x 2+(4k +2)(x 1+x 2)+8(2k +1)+(4k +2)x 1|∵(2k +1)x 1x 2+(4k +2)(x 1+x 2)+8(2k +1)=32k 2(2k+1)1+4k 2，∴|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|=|(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k24k 2+1+2x 1)|=|?(x 1+x 2)+2x2?(x 1+x 2)+2x 1|=1，故|PB||BQ|=1．【解析】(Ⅰ)由题意可得{4a 2+1b 2=1a =2b，解得b 2=2，a 2=8，即可求出椭圆⽅程；(Ⅱ)设直线⽅程为y =k(x +4)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得直线AM 的⽅程为y +1=+2(x +2)，直线AN 的⽅程为y +1=y 2+1x 2+2(x +2)，分别令x =?4，求出y P =?(1+2k)x 1+(8k+4)x 1+2，y Q =?(1+2k)x 2+(8k+4)x 2+2，代⼊化简整理即可求出．本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能⼒，转化与化归能⼒，分类与整合能⼒，属于难题．21.【答案】解：(Ⅰ)不满⾜，理由：a 32a 2=92?N ?，不存在⼀项a m 使得a 32a 2=a m ．(Ⅱ)数列{a n }同时满⾜性质①和性质②，理由：对于任意的i 和j ，满⾜a i2a j =22i?j?1，因为i ∈N ?，j ∈N ?且i >j ，所以2i ?j ∈N ?，则必存在m =2i ?j ，此时，2m?1∈{a i }且满⾜a i2a j=22i?j?1=a m ，性质①成⽴，对于任意的n ，欲满⾜a n =2n?1=a k2a l=22k?l?1，满⾜n =2k ?l 即可，因为k ∈N ?，l ∈N ?，且k >l ，所以2k ?l 可表⽰所有正整数，所以必有⼀组k ，l 使n =2k ?l ，即满⾜a n =a k2a l②成⽴．(Ⅲ)⾸先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有⼀项a l 绝对值最⼩或者有a l 与a l+1同时取得绝对值最⼩，如仅有⼀项a l 绝对值最⼩，此时必有⼀项a m =a l 2a j，此时|a m |<|a l |与前提⽭盾，如有两项a l 与a l+1 同时取得绝对值最⼩值，那么必有a m =a i 2a i+1，此时|a m |<|a l |，与前提条件⽭盾，所以数列必然恒正或恒负，在数列恒正的情况下，由②知，存在k ，l 使得a k2al =a 3，因为是递增数列，a 3>a k >a l ，即3>k >l ，所以a 22a 1=a 3，此时a 1，a 2，a 3成等⽐数列，数学归纳法：(1)已证n =3时，满⾜{a n }是等⽐数列，公⽐q =a2a 1，(2)假设n =k 时，也满⾜{a k }是等⽐数列，公⽐q =a2a 1，那么由①知a k 2a k?1=qa k 等于数列的某⼀项a m ，证明这⼀项为a k+1即可，反证法：假设这⼀项不是a k+1，因为是递增数列，所以该项a m =a l 2al?1=qa k >a k+1，那么a k2a la m2a l>a m >a l ，所以k +1>m >l ，所以a m ，a l 分别是等⽐数列{a k }中两项，即a m =a 1q m?1，a l =a 1q l?1，原式变为a 1q k?1所以k ?1<2m ?l ?1所以知a k 2ak?1=qa k =a k+1，前{a k+1}为等⽐数列，由数学归纳法知，{a n }是等⽐数列得证，同理，数列恒负，{a n }也是等⽐数列．【解析】(Ⅰ)由a 32a 2=92?N ?，即可知道不满⾜性质．(Ⅱ)对于任意的i 和j ，满⾜a i 2a j=22i?j?1，?2i ?j ∈N ?，必存在m =2i ?j ，可得满⾜性质①；对于任意的n ，欲满⾜a n =2n?1=a k2a l=22k?l?1，?n =2k ?l 即可，必存在有⼀组k ，l 使使得它成⽴，故满⾜性质②．(Ⅲ)先⽤反证法证明数列必然恒正或恒负，再⽤数学归纳法证明{a n }也是等⽐数列，即可．本题属于新定义题，考查等⽐数列的性质，数学归纳法等，考查逻辑思维能⼒，属于难题．。

2020年北京市高考数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={x|0＜x＜3}.则A∩B=（）A.{-1.0.1}B.{0.1}C.{-1.1.2}D.{1.2}2.（单选题.4分）在复平面内.复数z对应的点的坐标是（1.2）.则i•z=（）A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i3.（单选题.4分）在（√x -2）5的展开式中.x2的系数为（）A.-5B.5C.-10D.104.（单选题.4分）某三棱柱的底面为正三角形.其三视图如图所示.该三棱柱的表面积为（）A.6+ √3B.6+2 √3C.12+ √3D.12+2 √35.（单选题.4分）已知半径为1的圆经过点（3.4）.则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.76.（单选题.4分）已知函数f （x ）=2x -x-1.则不等式f （x ）＞0的解集是（ ） A.（-1.1）B.（-∞.-1）∪（1.+∞）C.（0.1）D.（-∞.0）∪（1.+∞）7.（单选题.4分）设抛物线的顶点为O.焦点为F.准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点.过P 作PQ⊥l 于Q.则线段FQ 的垂直平分线（ ） A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP8.（单选题.4分）在等差数列{a n }中.a 1=-9.a 5=-1．记T n =a 1a 2…a n （n=1.2.…）.则数列{T n }（ ）A.有最大项.有最小项B.有最大项.无最小项C.无最大项.有最小项D.无最大项.无最小项9.（单选题.4分）已知α.β∈R .则“存在k∈Z 使得α=kπ+（-1）k β”是“sinα=sinβ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题.4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上.求圆周率π的方法有多种.与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n 充分大时.计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长.将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法.π的近似值的表达式是（ ） A.3n （sin30°n +tan 30°n）B.6n （sin 30°n +tan 30°n） C.3n （sin60°n +tan 60°n ） D.6n （sin60°n +tan 60°n） 11.（填空题.5分）函数f （x ）= 1x+1 +lnx 的定义域是___ ．12.（填空题.5分）已知双曲线C ： x 26- y 23=1.则C 的右焦点的坐标为___ ；C 的焦点到其渐近线的距离是___ ．13.（填空题.5分）已知正方形ABCD 的边长为2.点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）.则| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ； PB⃗⃗⃗⃗⃗ • PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 14.（填空题.5分）若函数f （x ）=sin （x+φ）+cosx 的最大值为2.则常数φ的一个取值为___ ． 15.（填空题.5分）为满足人民对美好生活的向往.环保部门要求相关企业加强污水治理.排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W=f （t ）.用-f (b )−f (a )b−a的大小评价在[a.b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内.甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：① 在[t 1.t 2]这段时间内.甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在t 2时刻.甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在t 3时刻.甲.乙两企业的污水排放都已达标；④ 甲企业在[0.t 1].[t 1.t 2].[t 2.t 3]这三段时间中.在[0.t 1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是___ ．16.（问答题.13分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.E 为BB 1的中点． （Ⅰ）求证：BC 1 || 平面AD 1E ；（Ⅱ）求直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值．17.（问答题.13分）在△ABC中.a+b=11.再从条件① 、条件② 这两个条件中选择一个作为已知.求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件① ：c=7.cosA=- 17；条件② ：cosA= 18 .cosB= 916．注：如果选择条件① 和条件② 分别解答.按第一个解答计分．18.（问答题.14分）某校为举办甲、乙两项不同活动.分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持.对学生进行简单随机抽样.获得数据如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人.全体女生中随机抽取1人.估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0．假设该校一年级有500名男生和300名女生.除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1．试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）19.（问答题.15分）已知函数f（x）=12-x2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率等于-2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（t.f（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S （t）.求S （t）的最小值．20.（问答题.15分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1过点A（-2.-1）.且a=2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（-4.0）的直线l交椭圆C于点M.N.直线MA.NA分别交直线x=-4于点P.Q．求|PB||BQ|的值．21.（问答题.15分）已知{a n}是无穷数列．给出两个性质：① 对于{a n}中任意两项a i.a j（i＞j）.在{a n}中都存在一项a m.使得 a i2a j=a m；② 对于{a n}中任意一项a n（n≥3）.在{a n}中都存在两项a k.a l（k＞l）.使得a n= a k2a l．（Ⅰ）若a n=n（n=1.2.…）.判断数列{a n}是否满足性质① .说明理由；（Ⅱ）若a n=2n-1（n=1.2.…）.判断数列{a n}是否同时满足性质① 和性质② .说明理由；（Ⅲ）若{a n}是递增数列.且同时满足性质① 和性质② .证明：{a n}为等比数列．2020年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={x|0＜x＜3}.则A∩B=（）A.{-1.0.1}B.{0.1}C.{-1.1.2}D.{1.2}【正确答案】：D【解析】：根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】：解：集合A={-1.0.1.2}.B={x|0＜x＜3}.则A∩B={1.2}.故选：D．【点评】：本题考查了交集的定义与运算问题.是基础题目．2.（单选题.4分）在复平面内.复数z对应的点的坐标是（1.2）.则i•z=（）A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i【正确答案】：B【解析】：根据复数的几何意义先求出z的表达式.结合复数的运算法则进行计算即可．【解答】：解：∵复数z对应的点的坐标是（1.2）.∴z=1+2i.则i•z=i（1+2i）=-2+i.故选：B．【点评】：本题主要考查复数的运算.结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关键．比较基础．3.（单选题.4分）在（√x -2）5的展开式中.x2的系数为（）A.-5B.5C.-10D.10【正确答案】：C【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于2.求出r的值.即可求得x2的系数．【解答】：解：（√x -2）5的展开式的通项公式为 T r+1= C5r•（-2）r• x 5−r 2 .令5−r2=2.求得r=1.可得x2的系数为C51•（-2）=-10.故选：C．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．4.（单选题.4分）某三棱柱的底面为正三角形.其三视图如图所示.该三棱柱的表面积为（）A.6+ √3B.6+2 √3C.12+ √3D.12+2 √3【正确答案】：D【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】：解：几何体的直观图如图：是三棱柱.底面边长与侧棱长都是2.几何体的表面积为：3×2×2+2× 12×2×√32×2=12+2 √3．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解几何体的表面积.判断几何体的形状是解题的关键.是基本知识的考查．5.（单选题.4分）已知半径为1的圆经过点（3.4）.则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：结合题意画出满足条件的图象.结合图象求出答案即可．【解答】：解：如图示：.半径为1的圆经过点（3.4）.可得该圆的圆心轨迹为（3.4）为圆心.1为半径的圆.故当圆心到原点的距离的最小时.连结OB.A在OB上且AB=1.此时距离最小.由OB=5.得OA=4.即圆心到原点的距离的最小值是4.故选：A．【点评】：本题考查了圆的基础知识.考查数形结合思想.是一道常规题．6.（单选题.4分）已知函数f（x）=2x-x-1.则不等式f（x）＞0的解集是（）A.（-1.1）B.（-∞.-1）∪（1.+∞）C.（0.1）D.（-∞.0）∪（1.+∞）【正确答案】：D【解析】：不等式即 2x＞x+1．由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点（0.1）、（1.2）.数形结合可得结论．【解答】：解：不等式f（x）＞0.即 2x＞x+1．由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点（0.1）、（1.2）.如图所示：不等式f（x）＞0的解集是（-∞.0）∪（1.+∞）.故选：D．【点评】：本题主要考查其它不等式的解法.函数的图象和性质.属于中档题．7.（单选题.4分）设抛物线的顶点为O.焦点为F.准线为l．P是抛物线上异于O的一点.过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线（）A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【正确答案】：B【解析】：本题属于选择题.不妨设抛物线的方程为y2=4x.不妨设P（1.2）.可得可得四边形QAFP为正方形.根据正方形的对角线互相垂直可得答案．【解答】：解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y2=4x.则F（1.0）.准线为l为x=-1.不妨设P（1.2）.∴Q（-1.2）.设准线为l与x轴交点为A.则A（-1.0）.可得四边形QAFP为正方形.根据正方形的对角线互相垂直.故可得线段FQ的垂直平分线.经过点P.故选：B．【点评】：本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质.考查了转化思想.属于中档题．8.（单选题.4分）在等差数列{a n}中.a1=-9.a5=-1．记T n=a1a2…a n（n=1.2.…）.则数列{T n}（）A.有最大项.有最小项B.有最大项.无最小项C.无最大项.有最小项D.无最大项.无最小项【正确答案】：B【解析】：由已知求出等差数列的通项公式.分析可知数列{a n}是单调递增数列.且前5项为负值.自第6项开始为正值.进一步分析得答案．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d.由a1=-9.a5=-1.得d= a5−a15−1=−1−(−9)4=2 .∴a n=-9+2（n-1）=2n-11．由a n=2n-11=0.得n= 112.而n∈N*.可知数列{a n}是单调递增数列.且前5项为负值.自第6项开始为正值．可知T1=-9＜0.T2=63＞0.T3=-315＜0.T4=945＞0为最大项.自T5起均小于0.且逐渐减小．∴数列{T n}有最大项.无最小项．故选：B ．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.考查数列的函数特性.考查分析问题与解决问题的能力.是中档题．9.（单选题.4分）已知α.β∈R .则“存在k∈Z 使得α=kπ+（-1）k β”是“sinα=sinβ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：根据充分条件和必要条件的定义.分别讨论k 为偶数和奇数时.是否成立即可．【解答】：解：当k=2n.为偶数时.α=2nπ+β.此时sinα=sin （2nπ+β）=sinβ. 当k=2n+1.为奇数时.α=2nπ+π-β.此时sinα=sin （π-β）=sinβ.即充分性成立. 当sinα=sinβ.则α=2nπ+β.n∈Z 或α=2nπ+π-β.n∈Z .即α=kπ+（-1）k β.即必要性成立. 则“存在k∈Z 使得α=kπ+（-1）k β”是“sinα=sinβ”的充要条件. 故选：C ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合三角函数值的性质.利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键．难度不大．10.（单选题.4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上.求圆周率π的方法有多种.与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n 充分大时.计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长.将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法.π的近似值的表达式是（ ） A.3n （sin 30°n +tan 30°n） B.6n （sin 30°n +tan 30°n） C.3n （sin60°n +tan 60°n ） D.6n （sin60°n +tan 60°n） 【正确答案】：A【解析】：设内接正6n 边形的边长为a.外切正6n 边形的边长为b.运用圆的性质.结合直角三角形的锐角三角函数的定义.可得所求值．【解答】：解：如图.设内接正6n 边形的边长为a.外切正6n 边形的边长为b. 可得a=2sin 360°12n =2sin 30°n. b=2tan 360°12n =2tan 30°n. 则2π≈6na+6nb 2 =6n （sin 30°n +tan 30°n）. 即π≈3n （sin 30°n +tan 30°n）. 故选：A ．【点评】：本题考查数学中的文化.考查圆的内接和外切多边形的边长的求法.考查运算能力.属于基础题．11.（填空题.5分）函数f （x ）= 1x+1 +lnx 的定义域是___ ． 【正确答案】：[1]{x|x ＞0}【解析】：根据函数成立的条件建立不等式组.解不等式即可．【解答】：解：要使函数有意义.则 { x +1≠0x ＞0 .所以 { x ≠−1x ＞0 .所以x ＞0.所以函数的定义域为{x|x ＞0}. 故答案为：{x|x ＞0}．【点评】：本题主要考查函数定义域的求解.根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键．比较基础．12.（填空题.5分）已知双曲线C ： x 26 - y 23 =1.则C 的右焦点的坐标为___ ；C 的焦点到其渐近线的距离是___ ．【正确答案】：[1]（3.0）; [2] √3【解析】：根据双曲线的方程可得焦点.再根据点到直线的距离可得．【解答】：解：双曲线C ： x 26- y 23=1.则c 2=a 2+b 2=6+3=9.则c=3.则C 的右焦点的坐标为（3.0）.其渐近线方程为y=± √3√6 x.即x± √2 y=0. 则点（3.0）到渐近线的距离d= √1+2= √3 . 故答案为：（3.0）. √3 ．【点评】：本题考查了双曲线的方程和其性质.以及点到直线的距离公式.属于基础题．13.（填空题.5分）已知正方形ABCD 的边长为2.点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）.则| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ； PB ⃗⃗⃗⃗⃗ • PD⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1] √5 ; [2]-1【解析】：根据向量的几何意义可得P 为BC 的中点.再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】：解：由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）.可得P 为BC 的中点. 则|CP|=1.∴|PD|= √22+12 = √5 .∴ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ • PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = PB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2- PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 故答案为： √5 .-1．【点评】：本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算.属于基础题．14.（填空题.5分）若函数f （x ）=sin （x+φ）+cosx 的最大值为2.则常数φ的一个取值为___ ． 【正确答案】：[1] π2【解析】：由两角和差公式.及辅助角公式化简得f （x ）= √cos 2φ+(1+sinφ)2 sin （x+θ）.其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2.sinθ= √cos 2φ+(1+sinφ)2.结合题意可得 √cos 2φ+(1+sinφ)2 =2.解得φ.即可得出答案．【解答】：解：解法1：f （x ）=sin （x+φ）+cosx=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx=sinxcosφ+（1+sinφ）cosx= √cos 2φ+(1+sinφ)2 sin （x+θ）.其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2.sinθ=1+sinφ.√cos2φ+(1+sinφ)2所以f（x）最大值为√cos2φ+(1+sinφ)2 =2.所以cos2φ+（1+sinφ）2=4.即2+2sinφ=4.所以sinφ=1.+2kπ.k∈Z时φ均满足题意.所以φ= π2．故可选k=0时.φ= π2解法2：∵sin（x+φ）≤1.cosx≤1.又函数f（x）=sin（x+φ）+cosx的最大值为2.所以当且仅当sin（x+φ）=1.cosx=1时函数f（x）取到最大值.此时x=2kπ.k∈Z.则sin（x+φ）=sinφ=1.+2kπ.k∈Z时φ均满足题意.于是φ= π2．故可选k=0时.φ= π2．故答案为：π2【点评】：本题考查三角恒等变换.辅助角公式.三角函数最值.以及考查运算能力.属于中档题．15.（填空题.5分）为满足人民对美好生活的向往.环保部门要求相关企业加强污水治理.排放未的达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f（t）.用- f(b)−f(a)b−a大小评价在[a.b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内.甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：① 在[t1.t2]这段时间内.甲企业的污水治理能力比乙企业强；② 在t2时刻.甲企业的污水治理能力比乙企业强；③ 在t3时刻.甲.乙两企业的污水排放都已达标；④ 甲企业在[0.t1].[t1.t2].[t2.t3]这三段时间中.在[0.t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：由两个企业污水排放量W与时间t的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．【解答】：解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f（t）.乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g（t）．对于① .在[t1.t2]这段时间内.甲企业的污水治理能力为−f(t2)−f(t1)t2−t1.乙企业的污水治理能力为- g(t2)−g(t1)t2−t1．由图可知.f（t1）-f（t2）＞g（t1）-g（t2）.∴ −f(t2)−f(t1)t2−t1＞- g(t2)−g(t1)t2−t1.即甲企业的污水治理能力比乙企业强.故① 正确；对于② .由图可知.f（t）在t2时刻的切线的斜率小于g（t）在t2时刻的切线的斜率.但两切线斜率均为负值.∴在t2时刻.甲企业的污水治理能力比乙企业强.故② 正确；对于③ .在t3时刻.甲.乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量.∴在t3时刻.甲.乙两企业的污水排放都已达标.故③ 正确；对于④ .由图可知.甲企业在[0.t1].[t1.t2].[t2.t3]这三段时间中.在[t1.t2]的污水治理能力最强.故④ 错误．∴正确结论的序号是① ② ③ ．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题考查利用数学解决实际生活问题.考查学生的读图视图能力.是中档题．16.（问答题.13分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1 || 平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据正方体的性质可证得BC 1 || AD 1.再利用线面平行的判定定理即可得证； （Ⅱ）解法一：以A 为原点.AD 、AB 、AA 1分别为x 、y 和z 轴建立空间直角坐标系.设直线AA 1与平面AD 1E 所成角为θ.先求出平面AD 1E 的法向量 m ⃗⃗ .再利用sinθ=|cos ＜ m ⃗⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= |m ⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|AA 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 以及空间向量数量积的坐标运算即可得解． 解法二：设正方体的棱长为2a.易知 S △AA 1D =2a 2.结合勾股定理和余弦定理可求得cos∠EAD 1=√1010 .再求得 S △EAD 1 = 12AD 1•AE•sin∠EAD 1；设点A 1到平面EAD 1的距离为h.根据等体积法V A 1−EAD 1 = V E−AA 1D .可求出h 的值.设直线AA 1与平面AD 1E 所成角为θ.则sinθ= ℎAA 1.从而得解．【解答】：解：（Ⅰ）由正方体的性质可知.AB || C 1D 1中.且AB=C 1D 1. ∴四边形ABC 1D 1是平行四边形.∴BC 1 || AD 1.又BC 1⊄平面AD 1E.AD 1⊂平面AD 1E.∴BC 1 || 平面AD 1E ．（Ⅱ）解法一：以A 为原点.AD 、AB 、AA 1分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为a.则A （0.0.0）.A 1（0.0.a ）.D 1（a.0.a ）.E （0.a. 12 a ）.∴ AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，a) . AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，0，a) . AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，a ，12a) .设平面AD 1E 的法向量为 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) .则 {m ⃗⃗ •AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {a (x +z )=0a (y +12z)=0 . 令z=2.则x=-2.y=-1.∴ m ⃗⃗ =（-2.-1.2）.设直线AA 1与平面AD 1E 所成角为θ.则sinθ=|cos ＜ m ⃗⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= |m ⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|AA 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2a a•3=23 .故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．解法二：设正方体的棱长为2a.则AD1= 2√2 a.AE= √5 a.ED1=3a. S△AA1D = 12•2a•2a=2a2.由余弦定理知.cos∠EAD1= AD12+AE2−ED122•AD1•AE = 2222•2√2a•√5a= √1010.∴sin∠EAD1= 3√1010.∴ S△EAD1 = 12AD1•AE•sin∠EAD1=3a2.设点A1到平面EAD1的距离为h.∵ V A1−EAD1 = V E−AA1D.∴ 1 3ℎ•3a2=13•2a•2a2 .∴h= 43a .设直线AA1与平面AD1E所成角为θ.则sinθ= ℎAA1 =43a2a=23．故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．【点评】：本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题.熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键.考查学生的空间立体感和运算能力.属于基础题．17.（问答题.13分）在△ABC中.a+b=11.再从条件① 、条件② 这两个条件中选择一个作为已知.求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件① ：c=7.cosA=- 17；条件② ：cosA= 18 .cosB= 916．注：如果选择条件① 和条件② 分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：选择条件① （Ⅰ）由余弦定理求出（a+b）（a-b）=49+2b.再结合a+b=11.即可求出a的值.（Ⅱ）由正弦定理可得sinC.再根据三角形的面积公式即可求出.选择条件② （Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得ab = sinAsinB= 65.再结合a+b=11.即可求出a的值.（Ⅱ）由两角和的正弦公式求出sinC.再根据三角形的面积公式即可求出．【解答】：解：选择条件 ① （Ⅰ）由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA.即a 2-b 2=49-14b×（- 17）=49+2b.∴（a+b ）（a-b ）=49+2b. ∵a+b=11. ∴11a -11b=49+2b. 即11a-13b=49.联立 {a +b =1111a −13b =49 .解得a=8.b=3.故a=8．（Ⅱ）在△ABC 中.sinA ＞0. ∴sinA= √1−cos 2A =4√37 . 由正弦定理可得 asinA = csinC .∴sinC= csinAa = 7×4√378 = √32 .∴S △ABC = 12 absinC= 12 ×8×3× √32 =6 √3 ．选择条件 ② （Ⅰ）在△ABC 中.sinA ＞0.sinB ＞0.C=π-（A+B ）. ∵cosA= 18 .cosB= 916 . ∴sinA= √1−cos 2A = 3√78.sinB= √1−cos 2B =5√716. 由正弦定理可得 a sinA = b sinB. ∴ ab = sinAsinB = 65 . ∵a+b=11. ∴a=6.b=5. 故a=6；（Ⅱ）在△ABC 中.C=π-（A+B ）. ∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB= 3√78 × 916 + 5√716 × 18 = √74. ∴S △ABC = 12 absinC= 12 ×6×5× √74 = 15√74【点评】：本题考查了同角的三角函数的关系.两角和的正弦公式.正余弦定理.三角形的面积公式等知识.考查了运算能力求解能力.转化月化归能力.属于中档题．18.（问答题.14分）某校为举办甲、乙两项不同活动.分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持.对学生进行简单随机抽样.获得数据如表：（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人.全体女生中随机抽取1人.估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0．假设该校一年级有500名男生和300名女生.除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1．试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式直接求解即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；（Ⅲ）直接写出结论即可．【解答】：解：（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件A.“该校女生支持方案一”为事件B.则P(A)=200200+400=13，P(B)=300300+100=34；（Ⅱ）由（Ⅰ）知. P(A)=13，P(B)=34.设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C.则P(C)=C22(13)2(1−34)+C21•13•(1−13)•34=1336；（Ⅲ）p0＞p1．理由如下：p0=350+150350+250+150+250=12.设该校总人数为a.则该校支持方案二的人数约为12a .由表可知.男生支持方案二的概率为P男=350350+250=712.女生支持方案二的概率为P女=150 150+250=38.所以一年级支持方案二的人数约为500×712+300×38≈404 .故除一年级外其他年级支持方案二的概率为p1≈12a−404a−800=a−8082(a−800)＜a−8002(a−800)=12=p0．【点评】：本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法.考查计算能力及推理能力.属于基础题．19.（问答题.15分）已知函数f（x）=12-x2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率等于-2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（t.f（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S （t）.求S （t）的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求得f（x）=12-x2的导数.设切点为（m.n）.可得切线的斜率.解方程可得m.n.进而得到切线的方程；（Ⅱ）求得切线的斜率和方程.分别令x=0.y=0.求得切线的横截距和纵截距.可得三角形的面积.考虑t＞0的情况.求得导数和单调区间、极值.然后求出S（t）的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=12-x2的导数f′（x）=-2x.令切点为（m.n）.可得切线的斜率为-2m=-2.∴m=1.∴n=12-1=11.∴切线的方程为y=-2x+13；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t.f（t））处的切线的斜率为k=-2t.切线方程为y-（12-t2）=-2t（x-t）.令x=0.可得y=12+t2.令y=0.可得x= 12 t+ 6t.∴S （t）= 12•| 12t+ 6t|•（12+t2）.由S（-t）=S（t）.可知S（t）为偶函数.不妨设t＞0.则S（t）= 14（t+ 12t）（12+t2）.∴S′（t）= 14（3t2+24- 144t2）= 34• (t2−4)(t2+12)t2.由S′（t）=0.得t=2.当t＞2时.S′（t）＞0.S（t）递增；当0＜t＜2时.S′（t）＜0.S（t）递减.则S （t ）在t=2处取得极小值.且为最小值32.同理可得t ＜0时.S （t ）在t=-2处取得极小值.且为最小值32. 所以S （t ）的最小值为32．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的方程和利用导数研究函数的单调性、极值和最值.考查方程思想和运算能力.属于中档题．20.（问答题.15分）已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1过点A （-2.-1）.且a=2b ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （-4.0）的直线l 交椭圆C 于点M.N.直线MA.NA 分别交直线x=-4于点P.Q ．求|PB||BQ|的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得 {4a 2+1b 2=1a =2b.解得b 2=2.a 2=8.即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为y=k （x+4）.设M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）.可得直线AM 的方程为y+1= y 1+1x 1+2 （x+2）.直线AN 的方程为y+1= y 2+1x 2+2 （x+2）.分别令x=-4.求出y P =-(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2.y Q =-(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2.代入化简整理即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1过点A （-2.-1）.且a=2b.则 {4a 2+1b 2=1a =2b.解得b 2=2.a 2=8.∴椭圆方程为 x 28 + y 22 =1.（Ⅱ）由题意可得直线l 的斜率存在.设直线方程为y=k （x+4）. 由 {y =k (x +4)x 28+y 22=1 .消y 整理可得（1+4k 2）x 2+32k 2x+64k 2-8=0. ∴△=-32（4k 2-1）＞0. 解得- 12 ＜k ＜ 12 .设M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）. ∴x 1+x 2=- 32 k 21+4k 2 .x 1x 2= 64k 2−81+4k 2 .则直线AM 的方程为y+1= y 1+1x 1+2 （x+2）.直线AN 的方程为y+1= y 2+1x 2+2 （x+2）.分别令x=-4. 可得y P =−2(y 1+1)x 1+2 -1=- (2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2 .y Q =- (2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2∴|PB|=|y P |=|(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2|.QB|=|y Q |=|(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2|.∴ |PB||BQ| =| [(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2) |=| (2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|∵（2k+1）x 1x 2+（4k+2）（x 1+x 2）+8（2k+1）= 32k 2(2k+1)1+4k 2 .∴| (2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1 |=| (2k+1)(32k 24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 1)|=| −(x 1+x 2)+2x 2−(x 1+x 2)+2x 1 |=1. 故 |PB||BQ| =1．【点评】：本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了运算求解能力.转化与化归能力.分类与整合能力.属于难题．21.（问答题.15分）已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：① 对于{a n }中任意两项a i .a j （i ＞j ）.在{a n }中都存在一项a m .使得 a i 2a j=a m ；② 对于{a n }中任意一项a n （n≥3）.在{a n }中都存在两项a k .a l （k ＞l ）.使得a n = a k 2a l．（Ⅰ）若a n =n （n=1.2.…）.判断数列{a n }是否满足性质 ① .说明理由；（Ⅱ）若a n =2n-1（n=1.2.…）.判断数列{a n }是否同时满足性质 ① 和性质 ② .说明理由； （Ⅲ）若{a n }是递增数列.且同时满足性质 ① 和性质 ② .证明：{a n }为等比数列．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由a32a2 = 92∉N*.即可知道不满足性质．（Ⅱ）对于任意的i和j.满足a i 2a j=22i-j-1.⇒2i-j∈N*.必存在m=2i-j.可得满足性质① ；对于任意的n.欲满足a n=2n-1= a k2a l=22k-l-1.⇒n=2k-l即可.必存在有一组k.l使使得它成立.故满足性质② ．（Ⅲ）先用反证法证明数列必然恒正或恒负.再用数学归纳法证明{a n}也是等比数列.即可．【解答】：解：（Ⅰ）不满足.理由：a32a2 = 92∉N*.不存在一项a m使得a32a2=a m．（Ⅱ）数列{a n}同时满足性质① 和性质② .理由：对于任意的i和j.满足a i 2a j=22i-j-1.因为i∈N*.j∈N*且i＞j.所以2i-j∈N*.则必存在m=2i-j.此时.2m-1∈{a i}且满足a i2a j=22i-j-1=a m.性质① 成立.对于任意的n.欲满足a n=2n-1= a k2a l=22k-l-1.满足n=2k-l即可.因为k∈N*.l∈N*.且k＞l.所以2k-l可表示所有正整数.所以必有一组k.l使n=2k-l.即满足a n= a k2a l.性质② 成立．（Ⅲ）首先.先证明数列恒正或恒负.反证法：假设这个递增数列先负后正.那么必有一项a l绝对值最小或者有a l与a l+1同时取得绝对值最小.如仅有一项a l绝对值最小.此时必有一项a m= a l2a j.此时|a m|＜|a l|与前提矛盾.如有两项a l与a l+1同时取得绝对值最小值.那么必有a m= a l2a l+1.此时|a m|=|a l|.与前提条件矛盾.所以数列必然恒正或恒负.在数列恒正的情况下.由② 知.存在k.l且k＞l.因为是递增数列.a k＞a l＞0.使得a k2a l=a3＞a k.即3＞k＞l.所以a22a1=a3.此时a1.a2.a3成等比数列.数学归纳法：（1）已证n=3时.满足{a n}是等比数列.公比q= a2a1.（2）假设n=k时.也满足{a k}是等比数列.公比q= a2a1.那么由① 知a k 2a k−1=qa k等于数列的某一项a m.证明这一项为a k+1即可. 反证法：假设这一项不是a k+1.因为是递增数列.所以该项a m= a k2a k−1=qa k＞a k+1. 那么a k＜a k+1＜qa k.由等比数列{a k}得a1q k-1＜a k+1＜a1q k.由性质② 得a1q k-1＜a m2a l ＜a1q k.同时a k+1= a m2a l＞a m＞a l.s所以k+1＞m＞l.所以a m.a l分别是等比数列{a k}中两项.即a m=a1q m-1.a l=a1q l-1.原式变为a1q k-1＜a1q2m-l-1＜a1q k.所以k-1＜2m-l-1＜k.又因为k∈N*.m∈N*.l∈N*.不存在这组解.所以矛盾.所以知a k 2a k−1=qa k=a k+1.{a k+1}为等比数列.由数学归纳法知.{a n}是等比数列得证.同理.数列恒负.{a n}也是等比数列．【点评】：本题属于新定义题.考查等比数列的性质.数学归法等.考查逻辑思维能力.属于难题．。