2019届河南省信阳高级中学高三3月月考数学(理)试题(word版) (1)

第1页，共15页河南省信阳高中2018-2019学年高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合，，则 A ={x|22‒x>1}B ={x||x +1|<3}A ∩B =()A. B. C. D. (‒∞,‒4)(‒∞,‒2)(‒4,2)(‒2,2)【答案】C【解析】解：集合，∵A ={x|22‒x>1}={x|x <2}，B ={x||x +1|<3}={x|‒4<x <2}．∴A ∩B ={x|‒4<x <2}=(‒4,2)故选：C ．求出集合A ，B ，由此能求出．A ∩B 本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则 z =m ‒3+(m ‒1)i(m ∈Z)|1|=()A. B. 2 C. D.222D 12【答案】C【解析】解：由，解得．{m ‒3<0m ‒1>01<m <3又，．m ∈Z ∴m =2，则，∴z =‒1+i 1z =1‒1+i=‒1‒i (‒1+i)(‒1‒i)=‒12‒12i．∴|1z |=22故选：C ．由已知列式求得m ，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，结合复数模的个数求1z 解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.下列命题中正确命题的个数是 ()命题“函数的最小值不为2”是假命题；①y =x 2+9+1x 2+9(x ∈R)“”是“”的必要不充分条件；②a ≠0a 2+a ≠0若为假命题，则p ，q 均为假命题；③p ∧q 若命题p ：，，则：，；④∃x 0∈R x 20+x 0+1<0￢p ∀x ∈R x 2+x +1≥0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：令，则函数，在①x 2+9=t(t ≥3)y =x 2+9+1x 2+9(x ∈R)=t +1t上为增函数，[3,+∞)则当时，有最小值为，t =33+13=103命题“函数的最小值不为2”是真命题，故错误；∴y =x 2+9+1x 2+9(x ∈R)①由，不一定有，反之，由，一定有，②a ≠0a 2+a ≠0a 2+a ≠0a ≠0“”是“”的必要不充分条件，故正确；∴a ≠0a 2+a ≠0②若为假命题，则p ，q 中至少一个为假命题，故错误；③p ∧q ③若命题p ：，，则：，，故正确．④∃x 0∈R x 20+x 0+1<0￢p ∀x ∈R x 2+x +1≥0④命题中正确命题的个数是2个．∴故选：B ．换元后利用函数单调性求最值判定；由充分必要条件的判定方法判断；利用复合①②命题的真假判断判定；写出特称命题的否定判断．③④本题考查命题的真假判断与应用，考查函数最值的求法，考查复合命题的真假判断与充分必要条件的判定，是中档题．4.设，若是与的等比中项，则的最小值为 a >0b >0.33a 3b1a+1b()A. 8B. 4C. 1D.14【答案】B【解析】解：因为，所以，3a ⋅3b=3a +b =1，1a+1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +ab ≥2+2b a⋅ab =4当且仅当即时“”成立，ba=aba =b =12=故选：B ．由题设条件中的等比关系得出，代入中，将其变为，利用基本a +b =11a+1b2+b a +ab不等式就可得出其最小值本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．5.若是的一个内角，且，则的值为 θ△ABC sinθcosθ=‒18sin(2π+θ)‒sin(π2‒θ)()A.B. C.D. ‒3232‒5252第3页，共15页【答案】D【解析】解：由已知可得，，0<θ<π又，可得，．sinθcosθ=‒18sinθ>0cosθ<0∴sin(2π+θ)‒sin(π2‒θ)=sinθ‒cosθ．=(sinθ‒cosθ)2=1‒2sinθcosθ=1+14=52故选：D ．由已知可得，，则sinθ>0cosθ<0，展开可得答案．sin(2π+θ)‒sin(π2‒θ)=sinθ‒cosθ=(sinθ‒cosθ)2本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.已知双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，若C ：x 2a2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)x =030∘以双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，则双曲线C 的标准方83程为 ()A.B.C.D.x 24‒y 212=1x 24‒y 28=1x 212‒y 24=1x 28‒y 24=1【答案】C【解析】解：由于双曲线的渐近线为，y =±ba x渐近线与直线的夹角为，∵x =030∘，∴ba =tan 30∘=33①双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，∵83，∴12×2a ⋅2b =83②由，解得解得，，①②a =23b =2则双曲线方程为，x 212‒y 24=1故选：C ．由条渐近线与直线的夹角为可得，，由双曲线C 的实轴和x =030∘b a=tan 30∘=33①虚轴为对角线的四边形的面积为，可得，，由，解得8312×2a ⋅2b =83②①②，，即可求出双曲线的方程．a =23b =2本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．7.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 ()A. 720B. 520C. 600D. 264【答案】D【解析】解：根据题意，分2种情况讨论，若甲乙其中一人参加，则有种情况；C 12⋅C 34⋅A 44=192若甲乙两人都参加，有种情况；C 22⋅C 24⋅A 22⋅A 23=72则不同的发言顺序种数种．192+72=264故选：D ．根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键．8.函数的部分图象大致为 f(x)=(x 2‒1)cosπx|x|()A. B.C.D.【答案】A 【解析】解：数满足，f(x)=(x 2‒1)cosπx|x|f(‒x)=f(x)故函数图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当时，，排除C ，x ∈(0,12)f(x)=(x 2‒1)cosπx|x|<0故选：A ．分析函数的奇偶性，及时函数的符号，利用排除法可得答案．x ∈(0,12)本题考查的知识点是函数的图象，根据已知分析出函数的奇偶性，是解答的关键．第5页，共15页9.我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面《》体称为刍童如图所示为一个刍童的三视图，其中正视.图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为 ()A. 125B. 40C. 16+123D. 16+125【答案】D【解析】解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：，22+12=5几何体的表面积为，．2×2×4+4×2+42×5=16+125故选：D ．画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．10.已知实数x ，y 满足约束条件，则的取值范围为 {x ≤2x ‒2y +2≥0x +y +2≥0z =x ‒5y ()A. B.[‒23,43][‒43,23]C.D.(‒∞,‒32]∪[34,+∞)(‒∞,‒34]∪[32,+∞)【答案】C【解析】解：作出的可行域为三角形包括边(界，)把改写为，z =x ‒5y 1z=y ‒0x ‒5所以可看作点和之间的斜率，1z (x,y)C(5,0)记为k ，由可行域可知，，A(2,2)B(2,‒4)则，所‒23≤k ≤43以．z∈(‒∞,‒32]∪[34,+∞)故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．11.已知抛物线C ：，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交y 2=4x P(x 0,y 0)于M ，N 两点，连接MN ，若直线MN ，PM ，PN 与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，，点，则直线PQ 的斜率为 k MN =11k PM +1k PN =3Q(2,1)()A.B.C.D.34454332【答案】D【解析】解：设点，，M(x 1,y 1)N(x 2,y 2)点在抛物线上，∵P(x 0,y 0)y 2=4x ，∴P(14y 20,y 0)设，，k PM =k 1k PN =k 2故直线PM 的方程为，y ‒y 0=k 1(x ‒14y 20)由，得，{y ‒y 0=k 1(x ‒14y 20)y 2=4xy 2‒4k 1y +4k 1y 0‒y 20=0此方程的两个根分别为，，，y =y 0y =y 1y 0+y 1=4k1，，∴y 1=4k 1‒y 0x 1=y 214=(4‒k 1y 0)24k 21，∴M((4‒k 1y 0)24k 21,4k1‒y 0)同理可得，N((4‒k 2y 0)24k 22,4k2‒y 0)，k MN =4k 2‒y 0‒4k 1+y 0(4‒k 2y 0)24k 2‒(4‒k 1y 0)24k 1=22(11+12)‒y 0=1，∵1k PM+1k PN=3，∴y 0=4，∴x 0=4∵Q(2,1)直线PQ 的斜率为，∴1‒42‒4=32故选：D ．设点，，求出M ，N 的坐标，确定相应的斜率，即可得到结论．M(x 1,y 1)N(x 2,y 2)本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题12.已知点P 是曲线上任意一点，记直线为坐标系原点的斜率为y =sinx +lnx OP(O )k ，则 ()第7页，共15页A. 至少存在两个点P 使得B. 对于任意点P 都有k =‒1k <0C. 对于任意点P 都有D. 存在点P 使得k <1k ≥1【答案】C【解析】解：任意取x 为一正实数，一方面，y =sinx +lnx ≤lnx +1另一方面由和直线的图象容易证成立，所以y =lnx y =x ‒1lnx +1≤x ，y =sinx +lnx ≤x 因为与中两个等号成立条件不一样，y =sinx +lnx ≤lnx +1lnx +1≤x 所以恒成立，所以，排除D ；y =sinx +lnx <x k <1当时，，所以，所以排除B ；π2≤x <πy =sinx +lnx >0k >0对于A 选项，至少存在两个点P 使得，也就是至少存在两解，k =‒1sinx +lnxx=‒1即至少存在两解，恒成立，sinx +lnx +x =0(sinx +lnx +x)'=cosx +1x +1>0所以至多存在一解，故排除A ，sinx +lnx +x =0故选：C ．结合正弦函数的值域和对数函数和直线的关系，即可判断D ；当y =lnx y =x ‒1时，，即可判断B ；，即至π2≤x <πy =sinx +lnx >0sinx +lnx x=‒1sinx +lnx +x =0少存在两解，运用导数判断单调性，即可判断A ，由排除法思想即可得到结论．本题考查直线的斜率的范围，考查分类讨论思想方法，以及正弦函数的性质、函数的导数与单调性的运用，考查分析问题和判断能力、推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为______⃗a ⃗b |⃗a‒⃗b|=|⃗a|⃗a⋅(⃗a‒⃗b)=0⃗a‒⃗b ⃗b 【答案】135∘【解析】解：根据题意⃗a 2‒2⃗a ⋅⃗b+⃗b2=⃗a2又∴⃗b2=2⃗a ⋅⃗b⃗a2=⃗a ⋅⃗b，∴2⃗a 2=⃗b2∴cos <⃗a‒⃗b ⃗b>=⃗a ⋅⃗b‒⃗b2∣⃗a ∣×∣⃗b ∣=‒⃗a22⃗a2=‒22故答案为．135∘运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．14.设为数列的前n 项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数S n {a n }S 2nS n (n ∈N ∗)列”若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比.{C n }C 1d(d ≠0){C n }数列”，则d 与的关系式为______．C 1【答案】d =2C 1【解析】解：数列是首项为，公差为的等差数列，{C n }C 1d(d ≠0)则，S n =nC 1+n(n ‒1)2d ，S 2n =2nC 1+2n(2n ‒1)2d 数列是“和等比数列”，∵{C n }为非零常数，设，∴S 2nS n S 2nS n =x(x ≠0)即，2nC 1+2n(2n ‒1)d2nC 1+n(n ‒1)d2=x 整理得，4C 1+2(2n ‒1)d2C 1+(n ‒1)d =x，∴4C 1+2(2n ‒1)d =x[2C 1+(n ‒1)d]即，4C 1+4nd ‒2d =2C 1x +(n ‒1)xd ，∴4C 1+4nd ‒2d =2C 1x +nxd ‒xd 则，{x =44C 1‒2d =2C 1x ‒xd ，∴{x =44C 1‒2d =8C 1‒4d即，4C 1=2d 解得．d =2C 1故答案为：d =2C 1根据等差数列的前n 项和公式，先求和，然后根据“和等比数列”的定义，得到S n S 2n 为非零常数，从而得到d 与的关系．S 2nS n C 1点评：本题考主要查和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义，并能根据定义构造出满足条件的方程考查学生的运算推导能力．.15.若是函数的极值点，则的极小值为______．x =‒2f(x)=(x 2+ax ‒1)e x ‒1f(x)【答案】‒1【解析】解：函数，f(x)=(x 2+ax ‒1)e x ‒1可得，f'(x)=(2x +a)ex ‒1+(x 2+ax ‒1)e x ‒1是函数的极值点，x =‒2f(x)=(x 2+ax ‒1)e x ‒1可得：，即．f'(‒2)=(‒4+a)e‒3+(4‒2a ‒1)e ‒3=0‒4+a +(3‒2a)=0解得．a =‒1可得，f'(x)=(2x ‒1)ex ‒1+(x 2‒x ‒1)e x ‒1，函数的极值点为：，，=(x 2+x ‒2)e x ‒1x =‒2x =1当或时，函数是增函数，时，函数是减函数，x <‒2x >1f'(x)>0x ∈(‒2,1)时，函数取得极小值：．x =1f(1)=(12‒1‒1)e 1‒1=‒1故答案为：．‒1求出函数的导数，利用极值点，求出a ，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．第9页，共15页本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16.曲线与其在点处的切线及直线所围成的封闭图形的面积为y =e x(0,1)x =1______．【答案】e ‒52【解析】解：的导数为，y =e x y'=e x则在处的切线斜率，切线方程为，(0,1)k =1y =x +1则所求封闭图形的面积S =∫10(e x ‒x ‒1)dx．=(e x ‒12x 2‒x)|10=e ‒12‒1‒1=e ‒52故答案为：．e ‒52利用导数的几何意义，求出切线方程，利用积分的几何意义，即可求出封闭区域的面积．本题主要考查导数的几何意义以及积分的几何意义，熟练掌握函数的导数公式和积分公式是解题的关键，属于基础题．.17.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，且满足．△ABC c.b =acosC +33csinA求角A 的大小；(1)若边长，求面积的最大值．(2)a =2△ABC 【答案】解：由于．(1)b =acosC +33csinA利用正弦定理：，sinB =sinAcosC +33sinCsinA =sin(A +C)整理得：，cosAsinC =33sinCsinA由于：，sinC ≠0解得：tanA =3(0<A <π)则：．A =π3根据余弦定理得：，(2)a 2=b 2+c 2‒2bccosA 则：，4=b 2+c 2‒bc ≥2bc ‒bc =bc 解得：，bc ≤4则：S △ABC =12bcsinA ≤3【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出A 的值．(1)利用的结论和余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值．(2)(1)本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理得余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．18.如图，四边形ABCD 为梯形，，，点E 在线段CD 上，满足AB//CD ∠C =60∘，且，现将沿AE 翻折到AME 位置，使得BE ⊥CD CE =AB =14CD =2△ADE ．MC =210Ⅰ证明：；()AE ⊥MB Ⅱ求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．()【答案】本题满(分15分证明：Ⅰ连()BD ，交AE 于N ，则，BD =BE 2+DE 2=(16‒4)+36=43，分∴BC ⊥BD (2)又，，分BC//AE ∴AE ⊥BD …(4)，，∴AE ⊥BN AE ⊥MN ，平面MNB ，分∵BN ∩MN =N ∴AE ⊥...(6)分∴AE ⊥MB. (7)解：Ⅱ设直线CM 与面AME 所成角为，()θ则，其中h 为C 到面AME 的距离分sinθ=ℎMC (9)，到面AME 的距离即B 到面AME 的距离．∵AE//BC ∴C 由分V M ‒ABE =13⋅S △ABE ⋅BM =V B ‒AME =13S △AEM ⋅ℎ (12)所以，ℎ=S △ABE ⋅BM S △AEM=263第11页，共15页．∴sinθ=ℎMC =1515故直线CM 与面AME 所成角的正弦值为分1515.……………………………………………(15)【解析】Ⅰ连BD ，交AE 于N ，推导出，，从而平面()AE ⊥BN AE ⊥MN AE ⊥MNB ，由此能证明．AE ⊥MB Ⅱ设直线CM 与面AME 所成角为，则，其中h 为C 到面AME 的距离，()θsinθ=ℎMC由，得C 到面AME 的距离即B 到面AME 的距离由AE//BC .求出，由此能求出直线CM 与V M ‒ABE =13⋅S △ABE ⋅BM =V B ‒AME =13S △AEM ⋅ℎℎ=263面AME 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴通过对.年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额亿元与该地区粮2014～2018x()食产量万亿吨之间存在着线性相关关系统计数据如下表：y().年份2014年2015年2016年2017年2018年补贴额亿元x/91012118粮食产量万y/亿吨2325302621Ⅰ请根据如表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程；()^y =^bx +^a Ⅱ通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7()亿元，请根据Ⅰ中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量．()参考公式：，(b =∑ni =1(x i ‒‒x )(y i ‒‒y )∑ni =1(x i ‒‒x )2a =‒y ‒b ‒x )【答案】解：Ⅰ由已知数据得：，()‒x =15(9+10+12+11+8)=10故，‒y =15(23+25+30+26+21)=25代入公式，b =∑ni =1(x i ‒‒x )(y i ‒‒y )∑n i =1(x i ‒‒x )2=2.1故，a =‒y ‒b ‒x =25‒2.1×10=4故回归方程为：；^y =2.1x +4Ⅱ由题意得，将代入；()x =7x =7^y =2.1x +4得，y =18.7故预测2019年该地区的粮食产量为亿万吨．18.7【解析】Ⅰ求出x ，y 的平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；()Ⅱ代入x 的值，求出y 的预报值即可．()本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值，是一道基础题．20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)F 1F 2C 2的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆上，且，．C 1C 1|PF 1|=2+2|PF 2|=2‒2Ⅰ求椭圆的方程和点P 的坐标；()C 1Ⅱ过点P 的直线与圆相交于A 、B 两点，过点P 与垂直的直线与椭圆()l 1C 2l 1l 2相交于另一点C ，求的面积的取值范围．C 1△ABC 【答案】解：设，，可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，(I)F 1(‒c,0)F 2(c,0)C 2b =c 由题意知，得，由，得，2a =|PF 1|+|PF 2|=4a =2b 2+c 2=a 2b =c =2所以椭圆的方程为，点P 的坐标为．C 1x 24+y 22=1(2,0)由过点P 的直线与椭圆相交于两点，知直线的斜率存在，(II)l 2C 1l 2设的方程为，由题意可知，l 2y =k(x ‒2)k ≠0联立椭圆方程，得，(2k 2+1)x 2‒8k 2x +8k 2‒4=0设，则，得，所以；C(x 2,y 2)2⋅x 2=8k 2‒42k 2+1x2=4k 2‒22k 2+1|PC|=1+k2|x2‒2|=4k 2+12k 2+1由直线与垂直，可设的方程为，即，l 1l 2l 1y =‒1k (x ‒2)x +ky ‒2=0圆心到的距离，又圆的半径，(0,0)l 1d =21+k 2r =2所以，，(|AB|2)2=r 2‒d 2=2‒4k 2+1=2(k 2‒1)k 2+1|AB|=22k 2‒1k 2+1由即，得，d <r 21+k 2<2k 2>1，S △ABC =12|AB|⋅|PC|=2k 2‒1k 2+1×4k 2+12k 2+1=42k 2‒12k 2+1设，则，，t =k 2‒1t >0S △ABC =42t2t 2+3=422t +3t ≤4226=233当且仅当即时，取“”，t =62k =±102=所以的面积的取值范围是△ABC (0,233].【解析】Ⅰ由题意可知，根据椭圆的定义即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆()b =c 方程及P 点坐标；Ⅱ设直线的方法，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C 点坐标，求得，同()l 2|PC|理求得，根据三角形的面积公式，利用换元法，根据基本不等式的性质，即可求|AB|得的面积的取值范围．△ABC第13页，共15页本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查基本不等式求函数的最值，考查转化思想，属于中档题．21.已知函数．f(x)=e x ‒1‒x ‒ax 2Ⅰ当时，求证：；()a =0f(x)≥0Ⅱ当时，若不等式恒成立，求实数a 的取值范围；()x ≥0f(x)≥0Ⅲ若，证明．()x >0(e x ‒1)ln(x +1)>x 2【答案】解：Ⅰ时，，()a =0f(x)=e x‒1‒x 分f'(x)=e x ‒1…(1)当时，；x ∈(‒∞,0)当时，0…(2'/>分x ∈(0,+∞))故在单调递减，在单调递增，，分f(x )min =f(0)=0∴f(x)≥0…(3)Ⅱ，令，则．(ℎ(x)=e x‒1‒2ax 当时，在上，，递增，，1)2a ≤1[0,+∞)ℎ(x)ℎ(x)≥ℎ(0)即，在为增函数，∴f(x)[0,+∞)，时满足条件；分∴f(x)≥f(0)=0∴a ≤12…(5)当时，令，解得，2)2a >1x =ln2a 当上，，单调递减，x ∈[0,ln2a)ℎ(x)时，有，即，∴x ∈(0,ln2a)ℎ(x)<ℎ(0)=0在区间为减函数，∴f(x)(0,ln2a)，不合题意分∴f(x)<f(0)=0…(7)综上得实数a 的取值范围为分(‒∞,12]…(8)Ⅲ由Ⅱ得，当时，，，即，()()a =12x >0e x >1+x +x 22e x‒1>x +x 22欲证不等式，只需证分(e x‒1)ln(x +1)>x 2ln(x +1)>2x…(10)设，则，F(x)=ln(x +1)‒2xx +2F'(x)=x 2(x +1)(x +2)2时，恒成立，且，∵x >0F'(x)>0F(0)=0恒成立．∴F(x)>0所以原不等式得证分 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于x 的不等式，求出函数的单调区间，得到函数()的最小值，证出结论即可；Ⅱ求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据()本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为为参数，{x =tcosαy =1+tsinα(t以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C 的极坐0≤α<π)..标方程为．ρcos 2θ=4sinθ求直线l 与曲线C 的平面直角坐标方程；(1)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若，求的值．(2)|AB|=8α【答案】解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为：(1)．sinαx ‒cosαy +cosα=0曲线C 的极坐标方程为，即，ρcos 2θ=4sinθρ2cos 2θ=4ρsinθ曲线C 的标准方程：．x 2=4y 将代入曲线C 的标准方程：得：(2){x =tcosαy =1+tsinαx 2=4y ，t 2cos 2α‒4tsinα‒4=0，∴|AB|=|t 1‒t 2|=(4sinαcos 2α)2‒4×‒4cos 2α=8．∴cosα=±22或．∴α=π43π4【解析】先利用消去参数t 得到曲线C 的直角坐标方程再将原极坐标方程(1).两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐ρcos 2θ=4sinθρ标方程；将代入曲线C 的标准方程：得：，利(2){x =tcosαy =1+tsinαx 2=4y t 2cos 2α‒4tsinα‒4=0用直线的参数方程中t 的几何意义结合根与系数的关系建立关于的方程即可求出求出α的值．α本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题利用直.角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即ρcosθ=x ρsinθ=y ρ2=x 2+y 2得．23.已知函数．f(x)=|x +1|+|2x ‒1|解不等式；(1)f(x)≤x +2若，对，，使成立，求(2)g(x)=|3x ‒2m|+|3x ‒1|∀x 1∈R ∃x 2∈R f(x 1)=g(x 2)实数m 的取值范围．【答案】解：不等式等价于或或，(1){x ≤‒1‒3x ≤x +2{‒1<x ≤12‒x +2≤x +2{x >123x ≤x +2解得：或或，x ∈⌀0≤x ≤1212<x ≤1故不等式的解集是；{x|0≤x ≤1}第15页，共15页由知，(2)f(x)={‒3x,x ≤‒1‒x +2,‒1<x ≤13x,x >12当时，，x =12f(x )min =f(12)=32，g(x)≥|(3x ‒2m)‒(3x ‒1)|=|2m ‒1|当且仅当时取“”，(3x ‒2m)(3x ‒1)≤0=故，解得：，|2m ‒1|≤32‒14≤m ≤54故实数m 的范围是[‒14,54].【解析】通过讨论x 的范围，去掉绝对值号，求出各个区间上的x 的范围，取并集(1)即可；求出的最小值，问题转化为，解出即可．(2)f(x)|2m ‒1|≤3本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。

2019届河南省信阳高级中学高三第一次大考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x｜－2x－3≤0}，B＝{x｜y＝ln（2－x）}，则A∩B＝A. （1，3）B. （1，3]C. [－1，2）D. （－1，2）【答案】C【解析】分析：解一元二次不等式得到集合A，求对数函数的定义域得到集合B，然后再求交集即可．详解：由题意得，，∴A∩B＝．故选C．点睛：本题考查二次不等式的解法、函数定义域的求法和集合的交集，考查学生的运算能力，属于容易题．2. 下列命题中，正确的是A. ∈R，sinx0＋cosx0＝B. 复数z1，z2，z3∈C，若＋＝0，则z1＝z3C. “a＞0，b＞0”是“＋≥2”的充要条件D. 命题“∈R，－x－2≥0”的否定是：“∈R，－x－2＜0”【答案】D【解析】分析：对四个选项分别分析、排除后可得结论．详解：对于A，由于，所以A不正确．对于B，当时，则，所以＋＝0，但，故B不正确．对于C，“＋≥2”的充要条件是“a＞0，b＞0”或“a＜0，b＜0”，即同号，故C不正确．对于D，由含量词的命题的否定得结论正确．故选D．点睛：解答判断所给命题是否正确的问题时，一是要注意综合法在解题中的应用，即通过推理来验证所给命题是否正确；二是要注意举反例的应用，特别是说明一个命题不正确时只需通过一个反例来说明即可．3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．4. 若x∈（，1），a＝lnx，b＝，c＝，则A. b＞c＞aB. c＞b＞aC. b＞a＞cD. a＞b＞c【答案】A【解析】分析：根据函数的性质得到的取值范围后可得结果．详解：由题意得，∵，∴，∴．∴．故选A．点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行判断．若给出的数不属于同一类型时，可先判断出各数的符号（或各数所在的范围），然后再比较大小．5. 设＝，则的展开式中常数项是A. 160B. －160C. －20D. 20【答案】B【解析】【解析】,所以展开式的通项为：，令，常数项是，故选A.6. 执行如图所示的程序框图。

2018-2019学年河南省信阳高中高二（下）3月月考数学试卷（理科）试题数：23.满分：01.（单选题.3分）已知集合A={x|22-x＞1}.B={x||x+1|＜3}.则A∩B=（）A.（-∞.-4）B.（-∞.-2）C.（-4.2）D.（-2.2）2.（单选题.3分）已知复数z=m-3+（m-1）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第二象限.则| 1z |=（）A. √2B.2C. √22D.D 123.（单选题.3分）下列命题中正确命题的个数是（）① 命题“函数y=√x2+9√x2+9x∈R)的最小值不为2”是假命题；② “a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件；③ 若p∧q为假命题.则p.q均为假命题；④ 若命题p：∃x0∈R. x02+x0+1＜0 .则￢p：∀x∈R.x2+x+1≥0；A.1B.2C.3D.44.（单选题.3分）设a＞0.b＞0．若√3是3a与3b的等比中项.则1a +1b的最小值为（）A.8B.4C.1D. 145.（单选题.3分）若θ是△ABC的一个内角.且sinθcosθ=- 18 .则sin（2π+θ）-sin（π2−θ）的值为（）A.- √32B. √32C.- √52D. √526.（单选题.3分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°.若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8√3 .则双曲线C的标准方程为（）A. x24−y212=1B. x24−y28=1C. x212−y24=1D. x28−y24=17.（单选题.3分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言.要求甲、乙2人中至少有一人参加.且若甲、乙同时参加.则他们发言时顺序不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为（）A.720B.520C.600D.2648.（单选题.3分）函数f（x）= (x2−1)cosπx|x|的部分图象大致为（）A.B.C.D.9.（单选题.3分）我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨．如图所示为一个刍童的三视图.其中正视图及侧视图均为等腰梯形.两底的长分别为2和4.高为2.则该刍薨的表面积为（）A. 12√5B.40C. 16+12√3D. 16+12√510.（单选题.3分）已知实数x.y满足约束条件{x≤2x−2y+2≥0x+y+2≥0.则z= x−5y的取值范围为（）A.[- 23，43]B.[- 43，23]C.（−∞，−32]∪[ 34，+∞）D.（−∞，−34]∪[ 32，+∞）11.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.过抛物线上一点P（x0.y0）作两条直线分别与抛物线相交于M.N两点.连接MN.若直线MN.PM.PN与坐标轴都不垂直.且它们的斜率满足k MN=1.1 k PM +1k PN=3 .点Q（2.1）.则直线PQ的斜率为（）A. 34B. 45C. 43D. 3212.（单选题.3分）已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点.记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k.则（）A.至少存在两个点P使得k=-1B.对于任意点P都有k＜0C.对于任意点P都有k＜1D.存在点P使得k≥113.（填空题.5分）非零向量a⃗ . b⃗⃗满足：| a⃗−b⃗⃗ |=| a⃗ |. a⃗•（a⃗−b⃗⃗）=0.则a⃗−b⃗⃗与b⃗⃗夹角的大小为___14.（填空题.5分）曲线y=e x与其在点（0.1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为___ ．（n∈N*）是非零常数.则称该数列为“和等15.（填空题.5分）设S n为数列{a n}的前n项和.若S2nS n比数列”．若数列{C n}是首项为C1.公差为d（d≠0）的等差数列.且数列{C n}是“和等比数列”.则d 与C1的关系式为___ ．16.（填空题.5分）若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点.则f（x）的极小值为___ ．csinA．17.（问答题.0分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．且满足b=acosC+ √33（1）求角A的大小；（2）若边长a=2.求△ABC面积的最大值．18.（问答题.0分）如图.四边形ABCD为梯形.AB || CD.∠C=60°.点E在线段CD上.满足BE⊥CD.CD=2 .现将△ADE沿AE翻折到AME位置.使得MC=2 √10．且CE=AB= 14（Ⅰ）证明：AE⊥MB；（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．19.（问答题.0分）为保护农民种粮收益.促进粮食生产.确保国家粮食安全.调动广大农民粮食生产的积极性.从2004年开始.国家实施了对种粮农民直接补贴．通过对2014～2018年的数据进行调查.发现某地区发放粮食补贴额x （亿元）与该地区粮食产量y （万亿吨）之间存在着线性相关关系．统计数据如下表：年份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 补贴额x/亿元91012118 粮食产量y/万亿吨23 25 30 26 21̂（Ⅱ）通过对该地区粮食产量的分析研究.计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元.请根据（Ⅰ）中所得的线性回归直线方程.预测2019年该地区的粮食产量．（参考公式： b ̂=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ）20.（问答题.0分）已知椭圆 C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2.圆C 2经过椭圆C 1的两个焦点和两个顶点.点P 在椭圆C 1上.且 |PF 1|=2+√2 . |PF 2|=2−√2 ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程和点P 的坐标；（Ⅱ）过点P 的直线l 1与圆C 2相交于A 、B 两点.过点P 与l 1垂直的直线l 2与椭圆C 1相交于另一点C.求△ABC 的面积的取值范围．21.（问答题.0分）已知函数f （x ）=e x -1-x-ax 2． （Ⅰ）当a=0时.求证：f （x ）≥0；（Ⅱ）当x≥0时.若不等式f （x ）≥0恒成立.求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若x ＞0.证明（e x -1）ln （x+1）＞x 2．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.直线l 的参数方程为 {x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数.0≤α＜π）．以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=4sinθ．（1）求直线l 与曲线C 的平面直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B.若|AB|=8.求α的值．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|x+1|+|2x-1|． （1）解不等式f （x ）≤x+2；（2）若g （x ）=|3x-2m|+|3x-1|.对∀x 1∈R .∃x 2∈R .使f （x 1）=g （x 2）成立.求实数m 的取值范围．2018-2019学年河南省信阳高中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：01.（单选题.3分）已知集合A={x|22-x＞1}.B={x||x+1|＜3}.则A∩B=（）A.（-∞.-4）B.（-∞.-2）C.（-4.2）D.（-2.2）【正确答案】：C【解析】：求出集合A.B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|22-x＞1}={x|x＜2}.B={x||x+1|＜3}={x|-4＜x＜2}.∴A∩B={x|-4＜x＜2}=（-4.2）．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（单选题.3分）已知复数z=m-3+（m-1）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第二象限.则| 1z |=（）A. √2B.2C. √22D.D 12【正确答案】：C.结合复数模的个数求【解析】：由已知列式求得m.再由复数代数形式的乘除运算化简求得1z解．【解答】：解：由 {m −3＜0m −1＞0 .解得1＜m ＜3．又m∈Z .∴m=2．∴z=-1+i.则 1z =1−1+i =−1−i(−1+i )(−1−i )=−12−12i . ∴| 1z |= √22 ． 故选：C ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础题． 3.（单选题.3分）下列命题中正确命题的个数是（ ） ① 命题“函数 y =√x 2+9√x 2+9x ∈R ) 的最小值不为2”是假命题；② “a≠0”是“a 2+a≠0”的必要不充分条件； ③ 若p∧q 为假命题.则p.q 均为假命题；④ 若命题p ：∃x 0∈R . x 02+x 0+1＜0 .则￢p ：∀x∈R .x 2+x+1≥0；A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：换元后利用函数单调性求最值判定 ① ；由充分必要条件的判定方法判断 ② ；利用复合命题的真假判断判定 ③ ；写出特称命题的否定判断 ④ ．【解答】：解： ① 令 √x 2+9=t （t≥3）.则函数 y =√x 2+9+√x 2+9x ∈R ) =t+ 1t.在[3.+∞）上为增函数.则当t=3时.有最小值为 3+13=103. ∴命题“函数 y =√x 2+9+√x 2+9x ∈R ) 的最小值不为2”是真命题.故 ① 错误；② 由a≠0.不一定有a 2+a≠0.反之.由a 2+a≠0.一定有a≠0. ∴“a≠0”是“a 2+a≠0”的必要不充分条件.故 ② 正确；③ 若p∧q 为假命题.则p.q 中至少一个为假命题.故 ③ 错误；④ 若命题p ：∃x 0∈R . x 02+x 0+1＜0 .则￢p ：∀x∈R .x 2+x+1≥0.故 ④ 正确．∴命题中正确命题的个数是2个． 故选：B ．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查函数最值的求法.考查复合命题的真假判断与充分必要条件的判定.是中档题．4.（单选题.3分）设a＞0.b＞0．若√3是3a与3b的等比中项.则1a +1b的最小值为（）A.8B.4C.1D. 14【正确答案】：B【解析】：由题设条件中的等比关系得出a+b=1.代入1a +1b中.将其变为2+ ba+ab.利用基本不等式就可得出其最小值【解答】：解：因为3a•3b=3.所以a+b=1.1 a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba•ab=4 .当且仅当ba =ab即a=b=12时“=”成立.故选：B．【点评】：本小题考查指数式和对数式的互化.以及均值不等式求最值的运用.考查了变通能力．5.（单选题.3分）若θ是△ABC的一个内角.且sinθcosθ=- 18 .则sin（2π+θ）-sin（π2−θ）的值为（）A.- √32B. √32C.- √52D. √52【正确答案】：D【解析】：由已知可得sinθ＞0.cosθ＜0.则sin（2π+θ）-sin（π2−θ）=sinθ-cosθ= √(sinθ−cosθ)2 .展开可得答案．【解答】：解：由已知可得.0＜θ＜π.又sinθcosθ=- 18.可得sinθ＞0.cosθ＜0．∴sin（2π+θ）-sin（π2−θ）=sinθ-cosθ= √(sinθ−cosθ)2 = √1−2sinθcosθ=√1+14=√52．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题．6.（单选题.3分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°.若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8√3 .则双曲线C的标准方程为（）A. x24−y212=1B. x24−y28=1C. x212−y24=1D. x28−y24=1【正确答案】：A【解析】：由条渐近线与直线x=0的夹角为30°可得ba=tan60°= √3 . ① .由双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8√3 .可得12×2a•2b=8 √3 . ② .由① ② .解得b=2 √3 .a=2.即可求出双曲线的方程．【解答】：解：由于双曲线的渐近线为y=± bax.∵渐近线与直线x=0的夹角为30°.∴ ba=tan60°= √3 . ①∵双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为8√3 .∴ 12×2a•2b=8 √3 . ②由① ② .解得解得b=2 √3 .a=2.则双曲线方程为x 24 - y212=1.故选：A．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.考查渐近线方程的运用.考查运算能力.属于基础题．7.（单选题.3分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言.要求甲、乙2人中至少有一人参加.且若甲、乙同时参加.则他们发言时顺序不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为（）A.720B.520C.600D.264【正确答案】：D【解析】：根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况.再由加法原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意.分2种情况讨论.若甲乙其中一人参加.则有C21• C43• A44 =192种情况；若甲乙两人都参加.有C22• C42• A22•A32 =72种情况；则不同的发言顺序种数192+72=264种．故选：D．【点评】：本题考查了排列、组合知识的应用问题.利用加法原理.正确分类是关键．8.（单选题.3分）函数f（x）= (x2−1)cosπx的部分图象大致为（）|x|A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：分析函数的奇偶性.及x∈（0. 12）时函数的符号.利用排除法可得答案．【解答】：解：数f（x）= (x 2−1)cosπx|x|满足f（-x）=f（x）.故函数图象关于y轴对称.排除B.D；当x∈（0. 12）时.f（x）= (x2−1)cosπx|x|＜0.排除C.故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的图象.根据已知分析出函数的奇偶性.是解答的关键．9.（单选题.3分）我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨．如图所示为一个刍童的三视图.其中正视图及侧视图均为等腰梯形.两底的长分别为2和4.高为2.则该刍薨的表面积为（）A. 12√5B.40C. 16+12√3D. 16+12√5【正确答案】：D【解析】：画出几何体的三视图.利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】：解：三视图对应的几何体的直观图如图.梯形的高为：√22+12 = √5 . 几何体的表面积为.2× 2×4+4×2+42×√5 =16+12 √5．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解几何体的表面积.判断几何体的形状是解题的关键．10.（单选题.3分）已知实数x.y满足约束条件{x≤2x−2y+2≥0x+y+2≥0.则z= x−5y的取值范围为（）A.[- 23，43]B.[- 43，23]C.（−∞，−32]∪[ 34，+∞）D.（−∞，−34]∪[ 32，+∞）【正确答案】：C【解析】：作出不等式组对应的平面区域.利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】：解：作出的可行域为三角形（包括边界）.把z= x−5y 改写为1z=y−0x−5.所以1z可看作点（x.y）和C（5.0）之间的斜率. 记为k.由可行域可知A（2.2）.B（2.-4）.则−23≤k≤43.所以z∈ (−∞，−32]∪[34，+∞)．故选：C．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.利用z 的几何意义.通过数形结合是解决本题的关键． 11.（单选题.3分）已知抛物线C ：y 2=4x.过抛物线上一点P （x 0.y 0）作两条直线分别与抛物线相交于M.N 两点.连接MN.若直线MN.PM.PN 与坐标轴都不垂直.且它们的斜率满足k MN =1.1k PM+1k PN=3 .点Q （2.1）.则直线PQ 的斜率为（ ）A. 34 B. 45 C. 43 D. 32【正确答案】：D【解析】：设点M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）.求出M.N 的坐标.确定相应的斜率.即可得到结论．【解答】：解：设点M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）. ∵点P （x 0.y 0）在抛物线y 2=4x 上. ∴P （ 14 y 02.y 0）. 设k PM =k 1.k PN =k 2.故直线PM 的方程为y-y 0=k 1（x- 14y 02）.由 {y −y 0=k 1(x −14y 02)y 2=4x.得y 2- 4k 1 y+ 4k 1y 0-y 02=0.此方程的两个根分别为y=y 0.y=y 1.y 0+y 1= 4k 1.∴y 1= 4k 1 -y 0.x 1= y 124 = (4−k 1y 0)24k 12 . ∴M （(4−k 1y 0)24k 12 . 4k 1-y 0）.同理可得N （ (4−k 2y 0)24k 22 . 4k 2-y 0）.k MN = 4k 2−y 0−4k 1+y 0(4−k 2y 0)24k 22−(4−k 1y 0)24k 12 =22(1k 1+1k 2)−y 0 =1.∵1k PM+1k PN=3 .∴y 0=4. ∴x 0=4 ∵Q （2.1）.∴直线PQ 的斜率为 1−42−4 = 32 . 故选：D ．【点评】：本题考查抛物线的方程与性质.考查直线与抛物线的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题12.（单选题.3分）已知点P 是曲线y=sinx+lnx 上任意一点.记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k.则（ ）A.至少存在两个点P 使得k=-1B.对于任意点P 都有k ＜0C.对于任意点P 都有k ＜1D.存在点P 使得k≥1 【正确答案】：C【解析】：结合正弦函数的值域和对数函数y=lnx 和直线y=x-1的关系.即可判断D ；当 π2 ≤x ＜π时.y=sinx+lnx ＞0.即可判断B ；sinx+lnxx=-1.即sinx+lnx+x=0至少存在两解.运用导数判断单调性.即可判断A.由排除法思想即可得到结论．【解答】：解：任意取x 为一正实数.一方面y=sinx+lnx≤lnx+1.另一方面由y=lnx 和直线y=x-1的图象容易证lnx+1≤x 成立.所以y=sinx+lnx≤x . 因为y=sinx+lnx≤lnx+1与lnx+1≤x 中两个等号成立条件不一样. 所以y=sinx+lnx ＜x 恒成立.所以k ＜1.排除D ； 当 π2 ≤x ＜π时.y=sinx+lnx ＞0.所以k ＞0.所以排除B ； 对于A 选项.至少存在两个点P 使得k=-1.也就是sinx+lnxx=-1至少存在两解.即sinx+lnx+x=0至少存在两解.（sinx+lnx+x ）′=cosx+ 1x +1＞0恒成立. 所以sinx+lnx+x=0至多存在一解.故排除A.故选：C ．【点评】：本题考查直线的斜率的范围.考查分类讨论思想方法.以及正弦函数的性质、函数的导数与单调性的运用.考查分析问题和判断能力、推理能力.属于中档题．13.（填空题.5分）非零向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足：| a ⃗ −b ⃗⃗ |=| a ⃗ |. a ⃗ •（ a ⃗ −b ⃗⃗ ）=0.则 a ⃗ −b ⃗⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角的大小为___【正确答案】：[1]135°【解析】：运用向量的夹角公式可解决此问题．【解答】：解：根据题意 a ⃗2-2 a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗2= a ⃗2 ∴ b ⃗⃗2=2 a ⃗ • b ⃗⃗ 又 a ⃗2= a ⃗ • b ⃗⃗ ∴2 a ⃗2= b⃗⃗2 ∴cos ＜ a ⃗ - b ⃗⃗ . b ⃗⃗ ＞= a ⃗⃗•b ⃗⃗−b ⃗⃗2|a ⃗⃗|×|b ⃗⃗|= 2√2a ⃗⃗2 =- √22故答案为135°．【点评】：本题考查向量的夹角公式的应用．14.（填空题.5分）曲线y=e x 与其在点（0.1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为___ ．【正确答案】：[1]e- 52【解析】：利用导数的几何意义.求出切线方程.利用积分的几何意义.即可求出封闭区域的面积．【解答】：解：y=e x 的导数为y′=e x .则在（0.1）处的切线斜率k=1.切线方程为y=x+1. 则所求封闭图形的面积S= ∫10 （e x -x-1）dx =（e x - 12x 2-x ）| 01 =e- 12-1-1=e- 52 ． 故答案为：e- 52 ．【点评】：本题主要考查导数的几何意义以及积分的几何意义.熟练掌握函数的导数公式和积分公式．是解题的关键.属于基础题．15.（填空题.5分）设S n 为数列{a n }的前n 项和.若 S2nS n（n∈N *）是非零常数.则称该数列为“和等比数列”．若数列{C n }是首项为C 1.公差为d （d≠0）的等差数列.且数列{C n }是“和等比数列”.则d 与C 1的关系式为___ ． 【正确答案】：[1]d=2C 1【解析】：根据等差数列的前n 项和公式.先求S n 和S 2n .然后根据“和等比数列”的定义.得到 S2n S n为非零常数.从而得到d 与C 1的关系．【解答】：解：数列{C n }是首项为C 1.公差为d （d≠0）的等差数列. 则S n =nC 1+ n (n−1)2d . S 2n =2nC 1+2n (2n−1)2d . ∵数列{C n }是“和等比数列”.∴ S 2n S n为非零常数.设 S2nS n=x.（x≠0） 即2nC 1+2n (2n−1)d2nC 1+n (n−1)d2=x .整理得4C 1+2(2n−1)d 2C 1+(n−1)d=x .∴4C 1+2（2n-1）d=x[2C 1+（n-1）d]. 即4C 1+4nd-2d=2C 1x+（n-1）xd. ∴4C 1+4nd-2d=2C 1x+nxd-xd. 则 {x =44C 1−2d =2C 1x −xd .∴ {x =44C 1−2d =8C 1−4d . 即4C 1=2d. 解得d=2C 1．故答案为：d=2C1【点评】：点评：本题考主要查和等比关系的确定和性质.解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义.并能根据定义构造出满足条件的方程．考查学生的运算推导能力．16.（填空题.5分）若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点.则f（x）的极小值为___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：求出函数的导数.利用极值点.求出 a.然后判断函数的单调性.求解函数的极小值即可．【解答】：解：函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1.可得f′（x）=（2x+a）e x-1+（x2+ax-1）e x-1.x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点.可得：f′（-2）=（-4+a）e-3+（4-2a-1）e-3=0.即-4+a+（3-2a）=0．解得a=-1．可得f′（x）=（2x-1）e x-1+（x2-x-1）e x-1.=（x2+x-2）e x-1.函数的极值点为：x=-2.x=1.当x＜-2或x＞1时.f′（x）＞0函数是增函数.x∈（-2.1）时.函数是减函数.x=1时.函数取得极小值：f（1）=（12-1-1）e1-1=-1．故答案为：-1．【点评】：本题考查函数的导数的应用.函数的单调性以及函数的极值的求法.考查计算能力．csinA．17.（问答题.0分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．且满足b=acosC+ √33（1）求角A的大小；（2）若边长a=2.求△ABC面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值．csinA．【解答】：解：（1）由于b=acosC+ √33sinCsinA =sin（A+C）.利用正弦定理：sinB=sinAcosC+√33sinCsinA .整理得：cosAsinC=√33由于：sinC≠0.解得：tanA=√3（0＜A＜π）．则：A= π3（2）根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA.则：4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.解得：bc≤4.bcsinA≤√3则：S△ABC=12【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理、余弦定理的应用.三角形面积公式的应用及相关的运算问题．18.（问答题.0分）如图.四边形ABCD为梯形.AB || CD.∠C=60°.点E在线段CD上.满足BE⊥CD.CD=2 .现将△ADE沿AE翻折到AME位置.使得MC=2 √10．且CE=AB= 14（Ⅰ）证明：AE⊥MB；（Ⅱ）求直线CM与面AME所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）连BD.交AE于N.推导出AE⊥BN.AE⊥MN.从而AE⊥平面MNB.由此能证明AE⊥MB．（Ⅱ）设直线CM与面AME所成角为θ.则sinθ= ℎMC.其中h为C到面AME的距离.由AE || BC.得C到面AME的距离即B到面AME的距离．由V M-ABE= 13•S△ABE•BM =V B-AME= 13S△AEM•ℎ求出h= 2√63.由此能求出直线CM与面AME所成角的正弦值．【解答】：证明：（Ⅰ）连BD.交AE于N.则BD= √BE2+DE2 = √(16−4)+36 =4 √3 .∴BC⊥BD.又BC || AE.∴AE⊥BD.∴AE⊥BN.AE⊥MN.∵BN∩MN=N.∴AE⊥平面MNB.∴AE⊥MB．解：（Ⅱ）设直线CM与面AME所成角为θ.则sinθ= ℎMC.其中h为C到面AME的距离．∵AE || BC.∴C到面AME的距离即B到面AME的距离．由V M-ABE= 13•S△ABE•BM =V B-AME= 13S△AEM•ℎ．所以h= S△ABE•BMS△AEM = 2√63.∴sinθ= ℎMC = √1515．故直线CM与面AME所成角的正弦值为√1515．【点评】：本题考查线线垂直的证明.考查线面角的正弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．19.（问答题.0分）为保护农民种粮收益.促进粮食生产.确保国家粮食安全.调动广大农民粮食生产的积极性.从2004年开始.国家实施了对种粮农民直接补贴．通过对2014～2018年的数据进行调查.发现某地区发放粮食补贴额x （亿元）与该地区粮食产量y （万亿吨）之间存在着线性相关关系．统计数据如下表：（Ⅱ）通过对该地区粮食产量的分析研究.计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元.请根据（Ⅰ）中所得的线性回归直线方程.预测2019年该地区的粮食产量．（参考公式： b ̂=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出x.y 的平均数.求出相关系数.从而求出回归方程即可； （Ⅱ）代入x 的值.求出y 的预报值即可．【解答】：解：（Ⅰ）由已知数据得： x = 15 （9+10+12+11+8）=10. 故 y = 15（23+25+30+26+21）=25. 代入公式 b̂=i −x )n i=1i −y )∑(x −x )2n =2.1. 故 a ̂=y −b ̂x =25-2.1×10=4. 故回归方程为： y ̂ =2.1x+4；（Ⅱ）由题意得x=7.将x=7代入 y ̂ =2.1x+4； 得 y ̂ =18.7.故预测2019年该地区的粮食产量为18.7亿万吨．【点评】：本题考查了求回归方程问题.考查函数代入求值.是一道基础题．20.（问答题.0分）已知椭圆 C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2.圆C 2经过椭圆C 1的两个焦点和两个顶点.点P 在椭圆C 1上.且 |PF 1|=2+√2 . |PF 2|=2−√2 ．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程和点P 的坐标；（Ⅱ）过点P 的直线l 1与圆C 2相交于A 、B 两点.过点P 与l 1垂直的直线l 2与椭圆C 1相交于另一点C.求△ABC 的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可知b=c.根据椭圆的定义即可求得a 和b 的值.即可求得椭圆方程及P 点坐标；（Ⅱ）设直线l 2的方法.代入椭圆方程.利用韦达定理即可求得C 点坐标.求得|PC|.同理求得|AB|.根据三角形的面积公式.利用换元法.根据基本不等式的性质.即可求得△ABC 的面积的取值范围．【解答】：解：（I ）设F 1（-c.0）.F 2（c.0）.可知圆C 2经过椭圆焦点和上下顶点.得b=c. 由题意知2a=|PF 1|+|PF 2|=4.得a=2.由b 2+c 2=a 2.得b=c= √2 . 所以椭圆C 1的方程为 x 24+y 22=1 .点P 的坐标为（2.0）．（II ）由过点P 的直线l 2与椭圆C 1相交于两点.知直线l 2的斜率存在. 设l 2的方程为y=k （x-2）.由题意可知k≠0. 联立椭圆方程.得（2k 2+1）x 2-8k 2x+8k 2-4=0.设C （x 2.y 2）.则2•x 2= 8k 2−42k 2+1 .得x 2= 4k 2−22k 2+1 .所以|PC|= √1+k 2 |x 2-2|= 4√k 2+12k 2+1 ； 由直线l 1与l 2垂直.可设l 1的方程为y=- 1k （x-2）.即x+ky-2=0. 圆心（0.0）到l 1的距离d= √1+k 2.又圆的半径r= √2 .所以（|AB|2）2=r 2-d 2=2-4k 2+1 = 2(k 2−1)k 2+1 .|AB|=2 √2 √k 2−1k 2+1.由d ＜r 即√1+k 2√2 .得k 2＞1.S △ABC = 12|AB|•|PC|= √2 √k 2−1k 2+1 × 4√k 2+12k 2+1=4 √2 √k 2−12k 2+1 . 设t= √k 2−1 .则t ＞0.S △ABC = 4√2t2t 2+3 = 4√22t+3t≤ √22√6 =2√33. 当且仅当t= √62 即k=±√102时.取“=”. 所以△ABC 的面积的取值范围是（0. 2√33]．【点评】：本题考查椭圆的标准方程.直线与椭圆的位置关系.考查韦达定理.弦长公式的应用.考查基本不等式求函数的最值.考查转化思想.属于中档题．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x-1-x-ax2．（Ⅰ）当a=0时.求证：f（x）≥0；（Ⅱ）当x≥0时.若不等式f（x）≥0恒成立.求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x＞0.证明（e x-1）ln（x+1）＞x2．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.解关于x的不等式.求出函数的单调区间.得到函数的最小值.证出结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数.根据不等式f（x）≥0恒成立.分2a≤1和2a＞1两种情况求出a的范围；成立.然后构造函数F（x）=ln （Ⅲ）要证（e x-1）ln（x+1）＞x2.只需证ln（x+1）＞2xx+2.证明F（x）＞0即可．（x+1）- 2xx+2【解答】：解：（Ⅰ）a=0时.f（x）=e x-1-x.f′（x）=e x-1…（1分）当x∈（-∞.0）时.f'（x）＜0；当x∈（0.+∞）时.f'（x）＞0…（2分）故在单调递减.在单调递增.f（x）min=f（0）=0.∴f（x）≥0…（3分）（Ⅱ）f'（x）=e x-1-2ax.令h（x）=e x-1-2ax.则h'（x）=e x-2a．1）当2a≤1时.在[0.+∞）上.h'（x）≥0.h（x）递增.h（x）≥h（0）.即f'（x）≥f'（0）=0.∴f（x）在[0.+∞）为增函数.时满足条件；…（5分）∴f（x）≥f（0）=0.∴ a≤122）当2a＞1时.令h'（x）=0.解得x=ln2a.当x∈[0.ln2a）上.h'（x）＜0.h（x）单调递减.∴x∈（0.ln2a）时.有h（x）＜h（0）=0.即f'（x）＜f'（0）=0.∴f（x）在区间（0.ln2a）为减函数.∴f （x ）＜f （0）=0.不合题意…（7分） 综上得实数a 的取值范围为 (−∞，12] …（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）得.当a= 12 时.x ＞0.e x ＞1+x+ x 22 .即e x -1＞x+x 22. 欲证不等式（e x -1）ln （x+1）＞x 2.只需证ln （x+1）＞ 2xx+2 …（10分） 设F （x ）=ln （x+1）- 2xx+2 .则F′（x ）= x 2(x+1)(x+2)2 .∵x ＞0时.F′（x ）＞0恒成立.且F （0）=0. ∴F （x ）＞0恒成立． 所以原不等式得证…（12分）【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用以及分类讨论思想.转化思想以及不等式的证明.是一道综合题．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.直线l 的参数方程为 {x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数.0≤α＜π）．以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=4sinθ．（1）求直线l 与曲线C 的平面直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B.若|AB|=8.求α的值．【正确答案】：【解析】：（1）先利用消去参数t 得到曲线C 的直角坐标方程．再将原极坐标方程ρcos 2θ=4sinθ两边同时乘以ρ.利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程； （2）将 {x =tcosαy =1+tsinα 代入曲线C 的标准方程：x 2=4y 得：t 2cos 2α-4tsinα-4=0.利用直线的参数方程中t 的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．【解答】：解：（1）消去参数t.得直线l 的直角坐标方程为：sinαx -cosαy+cosα=0． 曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=4sinθ.即ρ2cos 2θ=4ρsinθ. 曲线C 的标准方程：x 2=4y ．（2）将 {x =tcosαy =1+tsinα 代入曲线C 的标准方程：x 2=4y 得：t 2cos 2α-4tsinα-4=0.∴|AB|=|t 1-t 2|= √(4sinαcos 2α)2−4×−4cos 2α =8. ∴cosα= ±√22 ． ∴ α=π4 或 3π4 ．【点评】：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化.以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系.即利用ρcosθ=x .ρsinθ=y .ρ2=x 2+y 2.进行代换即得． 23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|x+1|+|2x-1|． （1）解不等式f （x ）≤x+2；（2）若g （x ）=|3x-2m|+|3x-1|.对∀x 1∈R .∃x 2∈R .使f （x 1）=g （x 2）成立.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过讨论x 的范围.去掉绝对值号.求出各个区间上的x 的范围.取并集即可； （2）求出f （x ）的最小值.问题转化为|2m-1|≤ 32 .解出即可．【解答】：解：（1）不等式等价于 {x ≤−1−3x ≤x +2 或 {−1＜x ≤12−x +2≤x +2 或 {x ＞123x ≤x +2 .解得：x∈∅或0≤x≤ 12 或 12 ＜x≤1. 故不等式的解集是{x|0≤x≤1}；（2）由f （x ）= {−3x ，x ≤−1−x +2，−1＜x ≤123x ，x ＞12 知.当x= 12 时.f （x ）min =f （ 12 ）= 32 . g （x ）≥|（3x-2m ）-（3x-1）|=|2m-1|. 当且仅当（3x-2m ）（3x-1）≤0时取“=”. 故|2m-1|≤ 32 .解得：- 14 ≤m≤ 54 .故实数m的范围是[- 14 . 54 ]．【点评】：本题考查了解绝对值不等式问题.考查分类讨论思想以及转化思想.是一道常规题．。

河南省信阳高级中学2019届高三上学期期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数（且），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为（）A．B．C．D．3．已知，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．4．下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（）4．D【解析】对，2009年产值比2008年产值多万元，故错误；对 ，从2011年到2015年，产值年增量逐年增加，故 错误； 对 ，产值年增量的增量最大的不是2017年，故 错误；对 ，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低， 对，故选D.A ．2009年产值比2008年产值少B ．从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C ．产值年增量的增量最大的是2017年D ．2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低5．等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若对任意正整数n 等式243n n S S +=+成立，则1a 的值为（ ） A ．-3 B ．1 C ．-3或1 D ．1或3、 5．C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为243n n S S +=+，所以1143n n S S +-=+，两式相减，有24n n a a +=，而22n n a a q +=⋅，所以2q =±，当2q =时，令1n =得314+3S S =，解得11a =；当2q =-时，令1n =得314+3S S =，解得13a =-，所以11a =或13a =-，6．已知 ABC 中， ，延长BD 交AC 于E ，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．D【解析】取特殊三角形，令，则有，直线BD的方程为，化简得，令，解得，所以，，故选D.7．函数的图象大致为（）7．D【解析】因为，，所以为奇函数，不选A,C，又因为时，所以选D.8．已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为（）A．B．C．D．8．A【解析】因为所以，因为，所以为边长为1得正方体四个顶点，外接球半径为，因此球的体积为，选A.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为（）A．B．2 C．D．39．C【解析】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为（）（参考数据：）A．B．C．D．10．C【解析】在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是，顶角是，所以正边形面积是，当时，；当时，；当时，；符合，输出，故选C.11．已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y 2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点（）A．（-1，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（-2，0）11．B【解析】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，设直线的方程为，与抛物线方程联立，消元得，设，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，所以，结合根与系数之间的关系，整理得出，即，，解得，所以过定点，12．设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 12．A【解析】令 因为仅存在两个正整数 使得 ，即仅有两个整数使得 ，令 ，解得且当， ；当， 所以且 ， 所以当 时， ，另一个满足条件的整数为2所以 ，代入解得 综上， 的取值范围为第II 卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．若的展开式中常数项为－12，则a =____． 13．-1【解析】因为的展开式中常数项为112255325-=∴-=-a C a C ，14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为____．14．【解析】从图中可以发现，对应的圆锥的高是2，底面圆的半径是，故剩余部分的底面的面积为，所以该几何体的体积为，故答案是.15．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式_______．15．【解析】时，由可得化为是公差为，首项为的等差数列，，时，，又因为，故答案为.16．如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_________.16． 【解析】设 分别为 边上的中点,则 四点共面，且平面 平面 ，又 面 ， 落在线段 上， 是 与平面 所成的角，，设 的中点为,则当 与重合时 最小，此时 与平面 所成角的正切值有最大值为，故答案为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 3cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上， 2AB AC AM +=， 32AM =求ABC ∆的面积.16． 【解析】设 分别为 边上的中点,则 四点共面，且平面 平面 ，又 面 ， 落在线段 上， 是 与平面 所成的角，，设 的中点为,则当 与重合时 最小，此时 与平面 所成角的正切值有最大值为，故答案为 .17．解：（1）因为()cos 3cos a B c b A =- ，由正弦定理得： ()sin cos 3sin sin cos A B C B A =- 即sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=, sin 3sin cos C C A = 在ABC ∆中， sin 0C ≠，所以1cos 3A =2AB AC AM +=，两边平方得： 22224AB AC AB AC AM ++⋅=由3b =， 32AM = 1cos 3A =得219234183c c ++⨯⨯⨯=⨯ 解得： 79c c ==-或（舍）所以ABC ∆的面积1732S =⨯⨯=18．如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 平面BEC ，BE EC ，AB =BE =EC =2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．18． 解法一：（Ⅰ）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，，又F 是CD 中点，1DF=CD 2所以，由四边形ABCD 是矩形得，AB CD /D /AB=C ，，所以GH DF /D /GH=F ，且．从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ，,又，所以F D //G A E 平面．（Ⅱ）如图，在平面BEC 内，过点B 作,因为．又因为AB 平面BEC ，所以AB BE ，AB BQ以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （0,0,2），B （0,0,0），E （2,0,0），F （2,2,1）．因为AB ^平面BEC ，所以A=(B 0,0,2)为平面BEC 的法向量，设(x,y,z)n =为平面AEF 的法向量.又AE (2,0,-2)AF=(2,2,-1)=，由取2z =得=(2,-1,2)n .从而所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． 解法二：（Ⅰ）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ， 又AE ⊂面ADE ，GM ⊄面ADE ，所以//GM 平面ADE ． 在矩形ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得//MF AD ． 又AD ⊂面ADE ，MF ⊄面ADE ，所以//MF 面ADE ． 又因为GMMF M =，GM ⊂面GMF ，MF ⊂面GMF ，所以面//GMF 平面ADE ，因为GF ⊂面GMF ，所以//GM 平面ADE ．19．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N （50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标． （1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量，则％，％，％）19．解：（Ⅰ）该工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值：，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（Ⅱ）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162）标准分在［18，34）内的概率，∴60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:万元，标准分低于18分的概率，，∴万元故信阳市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有万元20．已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．解：（1）由已知得，∴，则的方程为；（2）假设存在点,使得为定值，当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，联立, 得设，则，要使上式为定值, 即与无关，应有解得，此时当直线的斜率为时，不妨设，当的坐标为时综上，存在点使得为定值．21．设是在点处的切线．（1）求证：；（2）设()()()()ax x f x g x h -+=ln ，其中 ．若 对 恒成立，求 的取值范围．21．解：（1）设 ，则 ，所以 ．所以 ． 令 ． 满足 ，且 ． 当 时， ，故 单调递减； 当 时， ，故 单调递增．所以， ．所以 ． （2）法一： 的定义域是 ，且．① 当 时，由（1）得 ，所以．所以 在区间 上单调递增， 所以 恒成立，符合题意． ② 当 时，由 ，且的导数，所以 在区间 上单调递增． 因为， 于是存在 ，使得 ．所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以，此时不会恒成立，不符合题意．综上，的取值范围是．法二：∵在上恒成立∴当时，恒成立，当时，令=令,则，进而在，递增故,故，综上，.（二）选考题：共10分。

河南省信阳市商城中学2018-2019学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的导函数满足：当时，，则（）A．B．C．D．参考答案：C令，则，因为当时，，所以当时，即函数g(x)在上单调递减，则，即，即．2. 设{a n}是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D. 与均为的最大值参考答案：C分析：利用等比数列的通项公式，解出的通项公式，化简整理，这三个表达式，得出结论。

详解：设等比数列，是其前项的积所以，由此，，所以，所以B正确，由，各项为正数的等比数列，可知，所以A正确可知，由，所以单调递减，在时取最小值，所以在时取最大值，所以D正确。

故选C点睛：本题应用了函数的思想，将等比数列当作指数型函数对其单调性进行研究，为复合函数，对于复合函数的单调性“同增异减”。

3.（）A、 B、 C、D、参考答案：C4. 设a，b∈R+，则“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】首先，将a2﹣b2＞1化简为（a﹣b）（a+b）＞1，然后，结合条件a，b∈R+，做出判断．【解答】解：设命题p：a﹣b＞1；命题q：a2﹣b2＞1∵a2﹣b2＞1化简得（a﹣b）（a+b）＞1又∵a，b∈R+，∴p?q，q推不出p，∴P是q的充分不必要条件，即“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要条件．【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题．5. 已知函数是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y= f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x).若，则A. －2B.C.D. 2参考答案：C【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可。

河南省信阳高中2019届毕业年级第三次大考数学（理）试题命题人： 高三数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1错误！未指定书签。

．设,a b R ∈, “0a =”是 “复数a bi +是纯虚数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件错误！未指定书签。

2．集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则MN =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 （ ） A ．16 B ．15 C ．8 D ．7 4．设函数f （x ）＝ax 2＋b （a ≠0），若3⎰f （x ）d x ＝3f （x 0），则x 0＝（ ）A ．±1B ． 2C ．±3D ．25．已知函数y ＝f （x ）是偶函数，且函数y ＝f （x －2）在[0,2]上是单调减函数，则 （ ）A ．f （－1）<f （2）<f （0）B ．f （－1）<f （0）<f （2）C ．f （0）<f （－1）<f （2）D ．f （2）<f （－1）<f （0） 6． 定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 （ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3- 7．命题p ：∀x ∈[0，＋∞），（log 23）x ≤1，则（ ）A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞），（log 23）x >1B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞），（log 23）x ≥1C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞），（log 23）x >1D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞），（log 23）x ≥18．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln （x ＋2）－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 9．若函数f （x ）＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间（k －1，k ＋1）内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1，＋∞）B ．[1，32）C ．[1,2）D ．[32，2）10．已知函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如右图所示，且|x 1|<|x 2|，则有 （ ） A ．a >0，b >0，c <0，d >0B ．a <0，b >0，c <0，d >0[来源:Zxxk ．Com]C ．a <0，b >0，c >0，d >0D ．a >0，b <0，c >0，d <011．已知曲线方程f （x ）＝sin 2x ＋2ax （a ∈R ），若对任意实数m ，直线l ：x＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f （x ）的切线，则a 的取值范围是 （ ） A ．（－∞，－1）∪（－1,0） B ．（－∞，－1）∪（0，＋∞） C ．（－1,0）∪（0，＋∞） D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－1 12．对于三次函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0），定义：设f ″（x ）是函数y ＝f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++的值是 （ ）A ．2019B ．2019C ．2019D ．2019二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸中横线上。

2019届河南省信阳高级中学高三高考模拟（二）数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．复数的共轭复数为，满足，则复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题意求得，然后根据求得，进而可得．【详解】根据题意可得，所以，解得，所以复数．故选D．【点睛】本题考查共轭复数的概念和复数模的运算，考查运算能力，属于基础题．2．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求得集合A，根据对数函数的单调性求得集合B，然后确定出集合，进而可得真子集的个数．【详解】由题意得，，∴，∴的真子集的个数为个．故选C．【点睛】一个含有个元素的集合的子集个数为个，真子集的个数为（）个，非空子集的个数为（）个，非空真子集的个数为（）个．3．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A．2 B．C．D．4【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线互相垂直可得渐近线为，故；根据定点到渐近线的距离为1可得，于是得到焦点坐标，最后根据点到直线的距离公式可得所求．【详解】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为，∴．∵顶点到一条渐近线的距离为1，∴，∴，∴双曲线的方程为，焦点坐标为，∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．【点睛】本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解．4．已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】借助于古典概型的概率公式求解，即所求概率为从5个球（2个红球和3个白球）中取出一个球，则该球是红球的概率．【详解】方法一：由题意得，从6个球（其中3个红球，3个白球）中取出一个红球后，则袋子中还有5个球（2个红球和3个白球），所以再从中取出一个球，则该球是红球的概率为．故选C．方法二：设“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到红球”为事件B，则，∴．故选C．【点睛】条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．5．设＝，则的展开式中常数项是（）A．160 B．－160 C．－20 D．20【答案】B【解析】【分析】根据定积分求得，然后再根据二项展开式的通项求得常数项即可．【详解】由题意得＝．∴二项式为，其展开式的通项为，令，则得常数项为．故选B．【点睛】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数，代回通项公式即可．6．已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由可得，故表示可行域内的点和点连线的斜率，画出不等式组表示的可行域后结合图形求解即可．【详解】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得．由得，所以可看作点和连线的斜率，记为，由图形可得，又，所以，因此或，所以的取值范围为．故选C．【点睛】本题考查非线性目标函数的最值的求法，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．解答本题容易出现的错误是缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．7．如图是一个算法流程图，若输入的值为13，输出的值是46，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果．【详解】对于A，函数，当时，；当时，，所以不满足题意．对于B，当时，单调递增，不满足题意．对于C，当时，，不满足题意．对于D，函数为偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意．故选D．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9．已知数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用，分别求出，即可得到结论．【详解】∵，,∴．∵，∴，整理得，解得或，∵，∴．∴．∴．故选C．【点睛】本题考查递推数列的应用，考查运算能力和推理能力，其中探求得到题目条件中给出的数列的规律性是解题的关键．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．11．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（）A．至少存在两个点使得B．对于任意点都有C．对于任意点都有D．存在点使得【答案】C【解析】【分析】利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论．【详解】设点的坐标为，则．对于D ，当时，一方面，另一方面容易证成立，所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D 不成立．对于B ，当时，，所以，所以B 不成立．对于A ，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，即至少存在两解，恒成立，所以至多存在一解，所以A 不成立．综合以上分析可得选项C 正确． 故选C ． 【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．二、填空题 13．已知1sin24α=，则22cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】54【解析】22cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 151cos 21sin21.244παα⎛⎫+-=+=+= ⎪⎝⎭14．已知正方形的边长为1，为面内一点，则的最小值为____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将数量积转化为函数问题处理可得结果．【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，．设，则，，，，∴，∴当，时，有最小值，且最小值为．【点睛】在平面向量数量积的有关计算中，若给出的图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出向量的坐标，通过坐标运算法则求得，体现了向量具有数形两方面性质的特点．15．若对任意的，都有，且，，则的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据题意可得函数的周期为，于是可得，然后再在中，令可得所求．【详解】∵①，∴②，①+②得，，∴，∴，∴函数的周期，∴．在中，令得，∵，，∴．【点睛】解答本题时求得函数的周期是解题的关键，其中对于抽象函数的问题，解答时要注意赋值法的运用，通过对变量进行合理的取值达到解题的目的．16．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前项和为，那么的值为_________．【答案】714【解析】【分析】由已知得，当为偶数时，；当为奇数时，．结合所求，构造，通过递推的方法求得，然后可得714．【详解】由已知得，当为偶数时，；当为奇数时，．∵，∴，∴，∴，∴714．【点睛】本题属于新概念问题，解题时由题意得到：当为偶数时，；当为奇数时，是解题的基础，然后在此基础上根据题意构造并求出的表达式，最后可得所求的结果．三、解答题17．在中，，．（1）求证：平分；（2）当时，若，，求和的长．【答案】(1)见解析;(2),.【解析】 【分析】（1）在中由正弦定理和三角形的面积公式及条件可得，由于，所以，即证得结论成立．（2）由，所以．在和中，分别利用余弦定理及，可得，又，故．又， 所以可得．【详解】（1）在中，由正弦定理得，因为，所以， 所以， 因为，所以， 即平分．（2）因为，所以，所以，在和中，由余弦定理得，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以．【点睛】三角形中几何计算问题的解题要点及关键(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．18．国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育2个孩子．在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎．在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有对，其余情形有对，且．现用样本的频率来估计总体的概率．（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出，，的值；（2）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行贴补政策：凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元．第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元．这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性：原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩．设为该地区的一对夫妇享受的生育贴补，求．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题意中的分类的特点可得“其余情形”的含义，然后利用，可设，由题意求得后进而可得所求．（2）由题意得到原先的5种生育情况的频率，由题意可知随机变量的可能取值为15000，25000，5000，然后求出的每一个取值的概率，从而得到的分布列，最后可求得期望．【详解】（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩．由，可设，，，由已知得，所以，解得，所以，，．（2）一对夫妇中，原先的生育情况有以下5种：第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率为，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，频率为，男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率为，男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000对，频率为，其余情形即男方、女方都不愿意生育二孩的有9900对，频率为，由题意可知随机变量的可能取值为15000，25000，5000，，，，所以随机变量的概率分布表如下：所以（元）．【点睛】求随机变量分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．19．在三棱锥中，，，．（1）求证：；（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则得，同理，于是可得平面，所以．（2）由条件可证得两两垂直，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解可得所求的最大值．【详解】（1）取中点，连接，，∵，又为中点，∴，同理可得，又，∴平面，又平面，∴．（2）∵，，∴为直角三角形，且，，∴，∴，即，又，所以平面．以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图直角坐标系．则，，，，设，，，，∴，∴，即，∴，，，，设是平面的法向量，由，令，得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最大值为．【点睛】（1）利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．（2）求线面角时，可通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．20．已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．（1）求椭圆的方程；（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意可求得，，从而可得椭圆的方程．（2）设，则，可得直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，然后根据二次方程根与系数的关系得到点的坐标．同理可得点的坐标，最后通过计算可得．【详解】（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，又，所以，由在椭圆上，可得，所以，可得，，所以椭圆的方程为．（2）设，则，故直线的方程为，由消去整理得，又，代入上式化简得，设，，则，所以，．又直线的方程为，同理可得，．所以，所以．【点睛】在解答直线和圆锥曲线位置关系的问题时，一般要遇到大量的运算，所以在解题时为了减少运算量要注意合理运用“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少运算，提高解题的效率，尽量避免出现计算中的错误．21．已知函数；（1）讨论的极值点的个数；（2）若，且恒成立，求的最大值．参考数据：【答案】(1)见解析;(2)10.【解析】【分析】（1）求导数得到，然后分和两种情况讨论函数的极值点的个数．（2）由（1）知有极大值，且满足①，且，要使恒成立，只需②，代换后可得只需，又，所以只需．然后通过分析可得函数的零点，且．又由②可得，且当时，，不等式显然恒成立；当时，，，然后令，，可得，于是可得的最大值．【详解】（1）根据题意可得，，①当时，，函数单调递减，无极值点；②当时，令，得，又在上是增函数，且当时，，所以在上存在一解，不妨设为，所以函数在上单调递增，在上单调递减．所以函数有一个极大值点，无极小值点；总上可得：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点．（2）因为，由（1）知有极大值，且满足①，且，要使恒成立，只需②，由①可得，代入②得，即，因为，所以，因为，，且在是增函数，设为的零点，则，可知，由②可得，当时，，不等式显然恒成立；当时，，，令，，，所以上是减函数，且，，所以，所以，又，所以的最大值为．【点睛】（1）在利用导数研究函数的问题时，若函数的解析式中含有参数，则在解题时要注意对参数进行分类讨论，分类时要做到分类合理、不重不漏．（2）不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题求解，若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ＝4sinθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|＝8，求α的值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，由，得，根据转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理得二次方程，然后根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义求得弦长，进而可得或．详解：（Ⅰ）将（为参数，）消去参数，整理得，∴直线普通方程为．∵，∴，将代入上式，得，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）将（为参数，）代入方程整理得：，显然．设两点对应的参数分别为，则，∴，解得又，∴或．点睛：用直线参数方程的几何意义求长度问题时，要注意参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这种形式下，||才表示直线上的动点到定点的距离，这才是直线的参数方程中参数的几何意义．23．设，（1）求不等式的解集；（2）若不等式满足对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)R;(2)【解析】【分析】（1）根据分类讨论的方法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．（2）原不等式可化为，然后利用绝对值的三角不等式可得，再解不等式可得所求．【详解】（1）根据题意可得，原不等式为，等价于或或，解得或或．综上可得不等式的解集为．（2）不等式等价于，因为，当且仅当时取等号，因为，所以，解得或，故实数的取值范围为．【点睛】（1）对于含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（2）绝对值不等式中的恒成立问题的常见解法①分离参数法：运用“f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数取值范围问题．②数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题．。

信阳高中2019届高三上学期期末考试理数试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数（），其中i 为虚数单位，若为实数，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知，则下列关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（ ）A ．2009年产值比2008年产值少B ．从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C ．产值年增量的增量最大的是2017年D ．2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低5．等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若对任意正整数n 等式243n n S S +=+成立，则1a 的值为（ ） A ．-3 B ．1 C ．-3或1 D ．1或3 6．已知ABC 中，，延长BD 交AC 于E ，则（ ）A ．B ．C ．D ． 7．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．8．已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A．B．2 C．D．310．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为（）（参考数据：）A．B．C．D．11．已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y 2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点（）A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（-2，0）12．设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若的展开式中常数项为－12，则a=____．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为____． 15．设数列的前n 项和为,若且（n≥2）则的通项公式_______．16．如右图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 3cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上， 2AB AC AM +=， 32AM =求ABC ∆的面积. 18．如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 平面BEC ，BE EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．19．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染G F B ACD E情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标．（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量，则，，）20．已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．设是在点处的切线．（1）求证：；（2）设()()()()ax x f x g x h -+=ln ，其中．若对恒成立，求的取值范围．（二）选考题：共10分。

河南省信阳市2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322223log 8log 9<==<=<Q，当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以xy e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题. 2．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56 B ．72 C ．88 D ．40【答案】B 【解析】 【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可. 【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 4．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<„ D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.5．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=u u u r u u u r u u u r，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】D 【解析】由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解． 【详解】将OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r平方得2212cos m n mn AOB =++∠，222211()2331cos 1122222()2m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-+⨯ （当且仅当1m n ==时等号成立），0AOB π<∠<Q ，AOB ∴∠的最小值为23π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题． 6．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}2x x >- B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <【答案】C 【解析】 【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84C ．120D ．360【答案】B 【解析】 【分析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ． 8．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()()2222221414f x x x x xxx f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦，该函数为偶函数，排除B 、D 选项； 当01x <<时，()()()222140f x x xx =-->，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=【答案】B 【解析】 【分析】把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项． 【详解】 由题意2sin()13πϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22k πϕπ=+，k Z ∈，不妨取6πϕ=-或2ϕπ=， 若2ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴．故选：B ． 【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键． 10．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.11．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。

信阳高中2019届高三第一次大考试题文 科 数 学一．选择题1.已知集合{}{}20,21x A x x x B x =-<=<,则 A ．{}0AB x x =<，B ．AB R =C ．{}1A B x x =>。

D ．A B =∅2．已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为（2，－1），（0，－1），则12z z ＝ A ．1＋2i B ．1－2i C ．－2＋i D ．－2－i3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是A ．12B ．15C ．20D ．214.己知函数()()log 1201a y x a a =-+>≠且恒过定点A ．若直线2mx ny +=过点A ，其中,m n 是正实数，则12m n+的最小值是 A．3+B．3+C ．92D．55.已知抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于两点,若为直角三角形,其中为直角顶点,则A.B.C.D.6．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，则“n S ＜n na 对n≥2恒成立”是“数列{n a }为递增数列”的A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．若x ，y 满足约束条件20,20,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最大值为A. 2B. 6-C. 10-D.不存在8.将函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在(,)64ππ-上为增函数，则ω的最大值为 A.6B.4C.3D.29．函数()sin()2f x x x π=+的导函数在[,]ππ-上的图象大致是A . B. C. D.10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11==AB AA ，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A. 12+B.13+10.11. 双曲线E ：22221x y ab-=的半焦距为c ，12,F F E 分别为的左右焦点.若E 上存在一点P ，使得2122c PF PF =-，则E 离心率的取值范围是A. B.)+∞ C. D.)+∞12.定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≥x 时，12,[0,1)()1|3|,[1,).x x f x x x ⎧-∈=⎨--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A. 21a- B. 12a-- C. 2log (1)a -+ D. 2log (1)a -二．填空题13. 已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝4，则OA →·OB →＝________．14. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = .15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 16.下面有四个命题：①在等比数列{}n a 中，首项10a >是等比数列{}n a 为递增数列的必要条件.②已知lg 2a =，则aaa a a a <<. ③将2tan()6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到tan y x =的图象.④设03a <<，则函数3()(01)f x x ax x =-<<有最小值无最大值. 其中正确命题的序号为___________.(填入所有正确的命题序号) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223sin 2a A bc =，1cos cos 6B C =.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3a =，求ABC △的面积和周长.18.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为边长为2的菱形，60BAD ο∠=，2PD =（Ⅰ）证明：面PAC ⊥面PDB ；（Ⅱ）在图中作出点D 在平面PBC 内的正投影M （说明作法及其理由），并求四面体PBDM 的体积.19.（本小题满分12分）如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）由散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：正视图侧视图俯视图当 月 在 售二 手 房 均 价 y（Ⅰ）请利用相关指数R 判断哪个模型的拟合效果更好；（Ⅱ）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区(70160)m m ≤≤平方米的二手房（欲 购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款），征收方式见下表：增值税（卖方缴纳） 房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征 或4.12≈， 4.36≈. 参考公式：相关指数22121()1()ni i i nii y y R y y ==-=--∑∑.20.（本小题满分12分）已知直线:1l x =-，()1,0F ，P 是l 上的动点，过点P 作l 的垂线1l ，线段PF 的中垂线交1l 于点M ，M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）过F 且与坐标轴不垂直的直线交曲线C 于,A B 两点，若以线段AB 为直径的圆 与直线3430x y ++=相切，求直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数ln ()m xf x x+=，m R ∈，1x >. （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x mx <恒成立，求m 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:2C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（异于极点O ）， 定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数1()|2|||f x x a x a=-++，（实数0a >） （Ⅰ）当1a =，求不等式()3f x >的解集；（Ⅱ）求证：()f x 文数答案一．选择题1---6DAABDA 7---12BDDCDC 二．填空题 13.16； 14.22； 15.16； 16；（3），（4） 17. （本小题满分12分）（1）由正弦定理以及223sin 2a A bc =得22sin 3sin sin sin 2A ABC =，………………2分又因为()0,A π∈，所以sinA 0>，所以可得2sin sin 3B C =……………………3分 ()()1cos cos cos cos sin sin 2A B C B C B C π-=+=-=-……………………5分所以1cos 2A =，且()0,A π∈，得3A π= …………………………6分（2）将3A π=和3a =代入223sin 2a A bc =得8bc =，所以1sin 2ABC S bc A ∆==8分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2217b c +=…………………………10分()222233b c b c bc +=++=，所以ABC △3……………………12分18. （1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ABCD ⊂面，所以PD AC ⊥……1分在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且PDBD D =，所以AC PBD ⊥面…………………………………………3分 又因为AC PAC ⊂面，所以面PAC ⊥面PDB …………4分 (2)取BC 的中点E ，连接,DE PE ，易得BDC ∆是等边三角形， 所以BC DE ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又PDDE D =，所以BC PDE ⊥面……………………6分在面PDE 中，过D 作DM PE ⊥于M ，则DM BC ⊥， 又BCPE E =，所以DM PBC ⊥面，即M 是点D 在平面PBC 内的正投影………………………………8分经计算得DE =Rt PDE ∆中，2PD =，PE2322177DM ⨯==，124747PM =-=11113327721D PBM PBM V S DM -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=………………12分19.（1）设模型0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+的相关指数分别为21R 和22R ，则22110.0005910.0001641,10.006050.00605R R =-=-，2212R R <，………………3分所以模型0.95540.0306ln y x =+拟合的效果好.…………………………4分（2）由（1）知模型0.95540.0306ln y x =+拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为()0.95540.0306ln180.95540.0306ln 22ln 3 1.044y =+=++≈万平方米……6分设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以 ①当7090m ≤≤时，契税为计税价格的1%，故()1.0441%1 1.05444h m m =⨯⨯+=；……………………………………8分 ②当90144m <≤时，契税为计税价格的1.5%，故()1.044 1.5%1 1.05966h m m =⨯⨯+=；…………………………………10分③当144160m <≤时，契税为计税价格的3% 故()1.0443%1 1.07532h m m =⨯⨯+=；所以 1.05444,70901.05966,901441.07532,144160m m h m m m m ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩……………………………………12分20.（1）依题意可得MF MP =,即M 到定点F 的距离等于M 到定直线l 的距离，所以M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，方程为24y x =……………………5分 （2）依题意设直线AB 的方程为()1y k x =-，0k ≠与24y x =联立，并整理得()2222240k x k x k -++=………………6分12242x x k +=+，121x x =…………………………………………7分 由抛物线的定义知1224114AB x x k =+++=+，…………………………8分 线段AB 的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭即2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭………………………………9分 因为以线段AB 为直径的圆与直线3430x y ++=相切，所以2222314312252k k AB k⎛⎫⨯++⨯+ ⎪⎝⎭==+……………………………………10分解得1k =，…………………………………………………………………………11分 所以直线AB 的方程为1y x =-……………………………………………………12分 21.解：（1）()21ln 'm xf x x --=，1x >………………………………1分当10m -≤时，即1m ≥时，1ln 0m x --≤在[1,)+∞上恒成立，所以()f x 的单调减区间是[1,)+∞，无单调增区间。