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压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳数学科学学院 数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师 官厅摘 要 本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用. 关键词 不动点;压缩映射原理;方程.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩.半个多世纪以来,其影响可以说遍及整个数学.函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()f x 的取值过程中,如果有0x 使00(),f x x =就称0x 为()f x 的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:1）代数意义:若方程()f x x =有实数根0x ,则()y f x =有不动点0x . 2）几何意义:若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ,则0x 为()y f x =的不动点.压缩映射原理是最简单的不动点定理,它不但证明了不动点的存在性与唯一性,同时还提供了求不动点的方法-迭代法.就是说,在完备度量空间中,T 是一个压缩映射,从任意选取的一个"初始值"0x 出发,逐次作点列1(1,2,),n n x Tx n -==这个点列必然收敛到方程Tx x =的解.因此这种方法叫做逐次逼近法.压缩映射原理在线性代数方程组,微分方程,积分方程等方面都有广泛的应用.1相关定义及定理 1.1不动点的定义[1]设X 为一非空集,:T X X →是一个映射,如果有*,x X ∈使得**,Tx x =则称*x 为映射T 的一个不动点.1.2压缩映射的定义[2]设X 是度量空间,:T X X →是一个映射,如果存在一个数α,01,α<<使得对所有的,,(,)(,),x y X d Tx Ty d x y α∈≤则称T 是压缩映射,α称为压缩常数.注 压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后,它们像的距离缩短了,不超过(,)d x y 的α倍(1).α<1.3压缩映射原理[2]设X 是完备度量空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点(就是说,方程Tx x =有且只有一个解).证明 设0x 是X 中任意一点.21021010,,,,.n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -=====我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列.事实上,21111212(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m d x x d Tx Tx d x x d Tx Tx d x x ααα+------=≤=≤ 10(,).m d x x α≤≤由三点不等式,当n m >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101011()(,)(,).1n mm m n md x x d x x αααααα-+--≤+++=⋅-因01,α<<所以11,n mα--<于是得到01(,)(,)().1mm n d x x d x x n m αα≤>-所以当,m n →∞→∞时,(,)0,m n d x x →即点列{}n x 是X 中柯西点列,由X 完备,存在,x X ∈使(),m x x m →→∞又由三点不等式和条件(,)(,),d Tx Ty d x y α≤我们有1(,)(,)(,)(,)(,).m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+这个不等式右端当m →∞时趋于0,所以(,)0,d x Tx =即.x Tx =下面证唯一性.如果又有~,x X ∈使得~~,T x x =则由条件得~~~(,)(,)(,).d x x d Tx T x d x x α=≤因01,α<<所以必有~(,)0,d x x =即~.x x =2压缩映射原理在代数方程方面的应用 2.1压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用例1[1] 在n 维实向量空间n R 中,n R 是一个完备度量空间,我们定义距离1(,)max ,i i i nd x y ξη≤≤=-其中1212(,,,),(,,,).n n x y ξξξηηη==我们在n R 中讨论下列线性代数方程组1ni ij j i j a b ξξ=-=∑ 1,2,,.i n = (1)在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解 首先将(1)式写成下列向量形式:.X AX B =+其中12(,,,);T n X ξξξ=();ij n n A a ⨯=12(,,,).T n B b b b =令,TX AX B =+则(1)式可以写成.TX X =于是求方程组(1)的唯一解的问题就化为T 是否有唯一的不动点的问题.显然T 是n n R R →的一个映射.下面来讨论当()ij a 满足什么条件时,T 是一个压缩映射.任取12112212,,(,,,),(,,,).n T T n n X X R X X ξξξηηη∈==于是121212(,)(,)(,)d TX TX d AX B AX B d AX AX =++=1111max()max nnij jj ij j j i ni nj j a a ξηξη≤≤≤≤===-≤-∑∑1211111max max (max )(,).n nij j j ij i nj ni nj j a a d X X ξη≤≤≤≤≤≤==≤-=∑∑由此可见,当11,nij j a α=≤<∑对一切i 成立时,T 是n R 上的一个压缩映射.于是T 满足压缩映射原理的条件,从而T 有唯一的不动点****12(,,,),n X ξξξ=而*X 就是方程组(1)的唯一解.2.2压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例2 证明Kepler 方程sin x x a ε=+存在唯一解,其中,a ε为已知常数,0 1.ε<<证明 1R 空间是完备度量空间,在其上定义距离(,).d x y x y =- 作映射sin ,Tx x a ε=+则有.Tx x =显然T 是11R R →的映射,且1,,x y R ∀∈有(,)sin sin sin sin cos ,d Tx Ty Tx Ty x y x y x y x y εεεεξε=-=-=-≤-≤-ξ在,x y 之间,令.αε=则0 1.α<<有(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知T 存在唯一不动点,即Kepler 方程存在唯一的解.3压缩映射原理在积分方程方面的应用例3[1] 设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,且存在常数,M 使得(,).baK s t dt M ≤<+∞⎰则当1Mλ<时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2)存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记.M αλ=则 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()a s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰max ()()a s bM s s λϕψ≤≤≤-(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈例3'[3]设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,令(,)[,][,]max(,),s t a b a b M k s t ∈⨯=<+∞则在1()M b a λ<-时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2) 存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记().M b a αλ=- 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()baa s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰()max ()()a s bM b a s s λϕψ≤≤≤--(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈4压缩映射原理在微分方程方面的应用4.1压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例4[2]设(,)f t x 是矩形00{(,)|,}D t x t t a x x b =-≤-≤上的二元函数,设(,),(,),f t x M t x D ≤∈又(,)f t x 在D 上关于x 满足利普希茨()Lipschitz 条件,即存在常数L ,使得对任意的(,),(,),t x t y D ∈有(,)(,)f t x f t y L x y -≤- (3)那么方程(,)dxf t x dt=在区间00[,]J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =得连续函数解,其中1min{,,}.b a M L β<证明 设00[,]C t t ββ-+表示区间00[,]J t t ββ=-+上的连续函数全体按距离(,)max ()()t Jd x y x t y t ∈=-所成的完备度量空间.又令C 表示00[,]C t t ββ-+中满足条件0()()x t x M t J β-≤∈得连续函数全体所成的子空间,且C 是闭子空间.则C 也是完备度量空间.令00()()(,())tt Tx t x f t x t dt =+⎰ (4)则T 是C 到C 中的映射.因为,M b β<所以若,x C ∈那么当00[,]t t t ββ∈-+时,(,()).t x t D ∈又因为(,)f t x 是D 上的二元连续函数,所以(4)式右端积分有意义.又对一切000,()()(,()),tt t J Tx t x f t x t dt M t t M β∈-=≤-≤⎰所以有当,x C ∈.Tx C ∈下面证T 是压缩映射.由条件(3),对C 中任意两点x 和y ,有 0(,)max ()()()()max[(,)(,)]tt t Jt Jd Tx Ty Tx t Ty t f t x f t y dt ∈∈=--⎰0max ()()(,).a t bt t L x t y t L d x y β≤≤≤-⋅-≤令,L αβ=则01,α<<且(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是C 上的压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的,x C ∈使得.Tx x =即00()(,()).tt x t x f t x t dt =+⎰且00().x t x =两边对t 求导,即得()(,()).dx t f t x t dt =这说明()x t 是方程(,)dxf t x dt=满足初值条件 00()x t x =的解.4.2压缩映射原理证明n 阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形式:111()()()n n n n n d y d y a x a x y F x dx dx--+++= (5)方程的初值条件记为:(1)000101(),(),,()n n y x c y x c y x c --'=== (6)有如下结论:例5[4] （n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性）设()(1,2,,)i a x i n =和()F x 均于区间I 上连续,则对任一0x I ∈和任意n 个常数011,,,,n c c c -方程(5)恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件(6)的解.注 有时,映射T 不满足压缩映射原理的条件,但T 的某次幂却满足这些条件,于是,可把压缩映射原理推广到下面的情形:推论 设(,)X d 是完备度量空间,:,T X X →如果存在自然数,,n 使得对所有,,(,)(,).n n x y X d T x T y d x y α∈≤其中01,α≤<则T 有唯一的不动点.下面对定理进行证明:证明 对n 阶线性微分方程(5)(6)作如下变化:设(),n n d yx dxϕ=则0111()n x n n x d y t dt c dxϕ---=+⎰0002121022[()]()()n x u x x n n n n n x x x t d yt dt c du c dt t du c x x c dx ϕϕ------=++=+-+⎰⎰⎰⎰102()()()xn n x x t t dt c x x c ϕ--=-+-+⎰00310233[()()()]n x u n n n n x x d yx t t dt c x x c du c dx ϕ-----=-+-++⎰⎰ 0221020311()()()()2!2!x n n n x x t t dt c x x c x x c ϕ---=-+-+-+⎰01121020100111()()()()()(1)!(1)!(2)!x n n n n n x y x t t dt c x x c x x c x x c n n n ϕ-----=-+-+-++-+---⎰代入原方程得:121212()()n n n n n d y d yx F x a a a y dx dxϕ----=----整理后得到积分方程:()(,)()()xx x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ (7)其中2112311(,)[()()()]2!(1)!n n k x t a a x t a x t a x t n -=-+-+-++--21121023102031()()[()][()()]2!n n n n n n f x F x a c a c x x c a c x x c x x c ------=---+--+-+ 1101001[()()](1)!n n n a c x x c x x c n -----++-+-此方程为第二类Volterra 积分方程,显然(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续.并且方程(7)与方程(5)(6)等价. 下面考虑积分方程 ()(,)()()xax k x t t dt f x ϕϕ=+⎰[,]t a b ∈(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续,()[,].f x C a b ∈设,sup (,),a x t bk x t M ≤≤=<+∞考虑映射:[,][,]T C a b C a b →()(,)()()xaT x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ [,]C a b ϕ∀∈则 1221()()(,)(()())xaT x T x k x t x x dt ϕϕϕϕ-=-⎰21sup ()()()a x bM x x x a ϕϕ≤≤≤-- 12()((),())M x a d x x ϕϕ≤- 归纳的,若11111212()()()(,)(1)!n n n n x a T x T x M d n ϕϕϕϕ------≤-则 1212()()(,)(()())xn n n n aT x T x k x t T t T t dt ϕϕϕϕ-=-⎰1121()(,)!x nn a M t a dt d n ϕϕ-≤-⎰ 12()(,)!nnx a Md n ϕϕ-≤ 由此得到对于任何自然数n 有:121212()(,)sup (,)!nnnnnna x bb a d T T T T M d n ϕϕϕϕϕϕ≤≤-=-≤由于()0(),!n nb a Mn n -→→∞于是对于充分大的,n 总可使()0 1.!nn b a M n -≤< 因此对于充分大的,n nT 满足推论中压缩映射原理的条件,所以方程(7)有唯一解.由方程的等价性可知,n 阶线性微分方程(5)(6)有唯一解.5压缩映射原理证明隐函数存在定理例6[2]设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<+∞中处处连续,且处处有关于y 的偏导数'(,).y f x y 如果还存在常数m 和M 满足'0(,),,y m f x y M m M <≤≤< 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ= 作为解:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈证明 在完备度量空间[,]C a b 中作映射T ,使对任意的函数[,],C a b ϕ∈有1()()()(,()).T x x f x x Mϕϕϕ=-按照题中条件,(,)f x y 是连续的,故()()T x ϕ也连 续,即[,].T C a b ϕ∈所以T 是[,]C a b 到自身的映射.下面证T 是压缩映射. 任取12,[,],C a b ϕϕ∈根据微分中值定理,存在01,θ<<满足21212111()()()()()()((,())(,()))T x T x x x f x x f x x M Mϕϕϕϕϕϕ-=---'21121211()()[,()(()())](()())y x x f x x x x x x Mϕϕϕθϕϕϕϕ=--+-⋅-21()()(1).m x x Mϕϕ≤--由于01,m M <<所以令1,mMα=-则有01,α<<且 2121()()()()(()().T x T x x x ϕϕαϕϕ-≤-按[,]C a b 中距离的定义可知2121(,)(,).d T T d ϕϕαϕϕ≤因此T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知,存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足,T ϕϕ=即1()()(,()),x x f x x Mϕϕϕ≡-这就是说:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈ 根据压缩映射原理,若取00(x)=y ϕ作为初始函数,通过迭代111()()(,()),1,2,n n n x x f x x n Mϕϕϕ--=-=得到的函数列{()}n x ϕ将一致收敛于隐函数()y x ϕ=.参考文献:]1[大华.应用泛函简明教程.华中科技大学.2003.]2[程其襄,奠宙,国强,善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础.高等教育,2010. [3]秀芹.非线性分析中的几类不动点定理及其应用.东北大学.2008. [4]汪斌.n 阶线性微分方程解的存在与唯一性.华中师大学.2007.。
9 显式非线性动态分析在前面的章节中，已经考察了显式动态程序的基本内容；在本章中，将对这个问题进行更详细的讨论。
显式动态程序对于求解广泛的、各种各样的非线性固体和结构力学问题是一种非常有效的工具。
它常常对隐式求解器是一个补充，如ABAQUS/Standard；从用户的观点来看，显式与隐式方法的区别在于：•显式方法需要很小的时间增量步，它仅依赖于模型的最高固有频率，而与载荷的类型和持续的时间无关。
通常的模拟需要取10,000至1,000,000个增量步，每个增量步的计算成本相对较低。
•隐式方法对时间增量步的大小没有内在的限制；增量的大小通常取决于精度和收敛情况。
典型的隐式模拟所采用的增量步数目要比显式模拟小几个数量级。
然而，由于在每个增量步中必须求解一套全域的方程组，所以对于每一增量步的成本，隐式方法远高于显式方法。
了解两个程序的这些特性，能够帮助你确定哪一种方法是更适合于你的问题。
9.1 ABAQUS/Explicit适用的问题类型在讨论显式动态程序如何工作之前，有必要了解ABAQUS/Explicit适合于求解哪些类问题。
贯穿这本手册，我们已经提供了贴切的例题，它们一般是应用ABAQUS/Explicit求解的如下类型问题：高速动力学（high-speed dynamic）事件最初发展显式动力学方法是为了分析那些用隐式方法（如ABAQUS/Standard）分析起来可能极端费时的高速动力学事件。
作为此类模拟的例子，在第10章“材料”中分析了一块钢板在短时爆炸载荷下的响应。
因为迅速施加的巨大载荷，结构的响应变化的非常快。
对于捕获动力响应，精确地跟踪板内的应力波是非常重要的。
由于应力波与系统的最高阶频率相关联，因此为了得到精确解答需要许多小的时间增量。
复杂的接触（contact）问题应用显式动力学方法建立接触条件的公式要比应用隐式方法容易得多。
结论是ABAQUS/Explicit能够比较容易地分析包括许多独立物体相互作用的复杂接触问题。
㊀第52卷第3期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.3㊀2020年9月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Sep.2020收稿日期:2020-03-16基金项目:国家自然科学基金项目(11501232);湖南省自然科学基金面上项目(2017JJ2213);湖南省教育厅科学研究项目(19B450;19C1474)㊂作者简介:周珏良(1993 ),女,辽宁丹东人,助教,主要从事非线性泛函分析研究,E-mail:188****3659@;通信作者:何郁波(1979 ),男,湖南岳阳人,副教授,主要从事微分方程解的理论分析及数值研究,E-mail:heyinprc@㊂非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性周珏良,㊀何郁波,㊀谢乐平(怀化学院数学与计算科学学院㊀湖南怀化418008)摘要:研究无限区间[0,+ɕ)上非线性Caputo 型分数阶微分方程耦合系统解的存在性和唯一性㊂运用Banach 压缩映射原理,得到了该耦合系统解的存在性和唯一性的充分条件㊂关键词:非线性分数阶微分方程;Banach 压缩映射原理;存在性中图分类号:O177.91㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)03-0087-05DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20200790㊀引言分数阶微分系统的初边值问题具有深刻的科学背景㊂与整数阶微分系统相比,分数阶微分系统能够更加精确地描述动态的变化过程[1-3],主要体现在对生物㊁物理㊁化学反应等方面㊂近几十年,分数阶微分系统作为非线性分析的一个重要分支开始广泛应用于水动力学㊁生物力学㊁量子力学㊁控制论等领域,并取得了许多重要成果[4-11]㊂与单个分数阶微分系统相比,耦合系统的研究条件更加复杂,因此关于分数阶微分耦合系统初边值问题的研究结果相对较少㊂据我们所知,文献[12]利用格林函数和不动点定理在实空间中研究了非线性Riemann-Liouville 型分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性,之后又继续在实空间中研究下面非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性[13],D α0+u (t )=f (t ,v (t )),0<t <1,D β0+v (t )=g (t ,u (t )),0<t <1,u (0)=u (1)=v (0)=v (1)=0,ìîíïïïï(1)其中:1<α,βɤ2;D α0+㊁D β0+是Caputo 型分数阶导数;f ,g :[0,1]ˑR ңR 连续,并且假设f ,g 满足增长性条件㊂2010年,Wang 等利用Banach 不动点定理在实空间中讨论了一类分数阶微分方程耦合系统边值问题正解的存在唯一性[14],D αu (t )+f (t ,v (t ))=0,0<t <1,D βv (t )+g (t ,u (t ))=0,0<t <1,u (0)=v (0)=0,u (1)=au (ξ),v (1)=bv (ξ),ìîíïïïïïï(2)其中:1<α,β<2;0ɤa ,b ɤ1;0<ξ<1;D α㊁D β是Riemann-Liouville 型分数阶导数;f ,g :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)连续㊂关于非线性分数阶微分方程耦合系统初边值问题的其他相关结论参阅文献[15-16]及其中的相关文献㊂最近关于耦合系统的成果有董佳华等利用不动点定理在实空间中研究了一类非线性隐式分数阶微分方程耦合系统初值问题解的存在性和唯一性[17]㊂受以上研究成果的启发,本文主要研究如下无限区间[0,+ɕ)上非线性Caputo 型分数阶微分方程耦合系统在Banach 空间中解的存在性和唯一性,郑州大学学报(理学版)第52卷C D α0+u (t )=f (t ,v (t ),C D β0+v (t )),t ɪJ =[0,+ɕ),C D αᶄ0+v (t )=g (t ,u (t ),C D β0+u (t )),t ɪJ =[0,+ɕ),u (0)=u 0,v (0)=v 0,ìîíïïïï(3)其中:0<α,αᶄ<1,0ɤβ<1,并且0ɤβ<α,αᶄ<1;C D α0+㊁C D β0+㊁C D αᶄ+是Caputo 型分数阶导数;u 0,v 0ɪY ,Y 是Banach 空间;t r f (t ,x ,y ),t r g (t ,x ,y )ɪC (J ˑY ˑY ,Y ),r ɪ[0,1)㊂1㊀基本假设给定本文所用到的空间X ={x x (t )ɪC (J ,Y ),C D β0+x (t )ɪC (J ,Y ),supt ɪJx (t )1+t λ<ɕ,supt ɪJC D β0+x (t )1+t λ<ɕ},其中:λ>1,定义其范数x X =max{supt ɪJx (t )1+t λ,supt ɪJC D β0+x (t )1+t λ}㊂㊀㊀为了证明本文的结果,还需给定空间X ˑX ={(x ,y )x ɪX ,y ɪX },定义其范数为(x ,y ) X ˑX =max x X , y X {}㊂易证(X , ㊃ X )和(X ˑX , ㊃ X ˑX )都是Banach 空间[18-20]㊂下面将给出本文所用到的假设条件㊂H1)连续函数x ,y ,t r f (t ,x ,y ):J ˑX ˑX ңX ,t r g (t ,x ,y ):J ˑX ˑX ңX 满足t r [f (t ,(1+t λ)x ,(1+t λ)y )-f (t ,(1+t λ)xᶄ,(1+t λ)yᶄ)] ɤL 1(t ) x (t )-xᶄ(t ) +L 2(t ) y (t )-yᶄ(t ) ,t r [g (t ,(1+t λ)x ,(1+t λ)y )-g (t ,(1+t λ)xᶄ,(1+t λ)yᶄ)] ɤL 3(t ) x (t )-xᶄ(t ) +L 4(t ) y (t )-yᶄ(t ) ,其中:非负连续函数L 1(t )㊁L 2(t )㊁L 3(t )㊁L 4(t )满足1Γ(η1)(1+t λ)ʏt(t -s )η1-1s r(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1,t ɪ[0,+ɕ),ρ1ɪ(0,1),η1=α或α-β,1Γ(η2)(1+t λ)ʏt 0(t -s )η2-1s r(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2,t ɪ[0,+ɕ),ρ2ɪ(0,1),η2=αᶄ或αᶄ-β㊂H2)存在常数M ,N >0,使得f (t ,0,0),g (t ,0,0)满足(t +1)βΓ(α-β)(1+t λ)ʏt(t -s )α-β-1s -r s r f (s ,0,0) d s ɤM <ɕ,t ɪ[0,+ɕ),(t +1)βΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt(t -s )αᶄ-β-1s -r s r g (s ,0,0) d s ɤN <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂2㊀存在性结果下面运用Banach 压缩映射原理,证明初值问题(3)解的存在性和唯一性㊂定理1㊀假设条件H1)和H2)成立,则初值问题(3)的解存在且唯一㊂证明㊀定义算子T ʒX ˑX ңX ˑX ,T (u ,v )(t )=(u 0+I α0+f (t ,v (t ),C D β0+v (t )),v 0+I αᶄ0+g (t ,u (t ),C D β+u (t )))≙(T 1v (t ),T 2u (t ))㊂㊀㊀显然算子T ʒX ˑX ңX ˑX ㊂事实上,对任意的(u ,v )ɪX ˑX ,即u ɪX ,v ɪX ,有T 1v (t )1+t λɤu 01+t λ+1Γ(α)ʏt(t -s )α-11+t λs -r s r f (s ,v (s ),C D β0+v (s )) d s ɤ u 0 +1Γ(α)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-1s r(L 1(s )v (s )1+s λ+L 2(s )C D β0+v (s )1+s λ)d s +88㊀第3期周珏良,等:非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性Γ(α-β)Γ(α)Γ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1(t -s )βsrs r f (s ,0,0) d s ɤu 0 +ρ1 v X +Γ(α-β)Γ(α)M <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂T 2u (t )1+t λɤ v 0 +1Γ(αᶄ)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-1s r(L 3(s )u (s )1+s λ+L 4(s )C D β0+u (s )1+s λ)d s +Γ(αᶄ-β)Γ(αᶄ)N ɤ v 0 +ρ2 u X +Γ(αᶄ-β)Γ(αᶄ)N <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂㊀㊀另一方面,CD β0+T 1v (t )1+t λɤ u 0 +v XΓ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1sr(L 1+L 2)(s )d s +M(t +1)βɤu 0 +ρ1 v X +M <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂CD β0+T 2u (t )1+t λɤ v 0 +u XΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-β-1s r(L 3+L 4)(s )d s +N(t +1)βɤv 0 +ρ2 u X +N <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂㊀㊀因此可知T (u ,v )ɪX ˑX ,故算子T ʒX ˑX ңX ˑX ㊂下面证明算子T ʒX ˑX ңX ˑX 是严格压缩的㊂事实上,对任意的u 1,u 2,v 1,v 2ɪX ,有T 1v 1(t )-T 1v 2(t )1+tλɤ1Γ(α)ʏt(t -s )α-11+tλf (s ,v 1(s ),C D β0+v 1(s ))-f (s ,v 2(s ),C D β+v 2(s )) d s ɤ1Γ(α)(1+t λ)ʏt 0[(t -s )α-1s r(L 1(s )v 1(s )-v 2(s )1+s λ+L 2(s )C D β0+v 1(s )-C D β+v 2(s )1+s λ)]d s ɤv 1-v 2 XΓ(α)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-1sr(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1 v 1-v 2 X , T 2u 1(t )-T 2u 2(t )1+t λɤu 1-u 2 XΓ(αᶄ)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-1sr(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2 u 1-u 2 X ㊂㊀㊀另一方面,我们有C D β0+T 1v 1(t )-C D β0+T 1v 2(t ) 1+t λɤ v 1-v 2 XΓ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1sr(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1 v 1-v 2 X , C D β0+T 2u 1(t )-C D β0+T 2u 2(t ) 1+tλɤu 1-u 2 XΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-β-1sr(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2 u 1-u 2 X ㊂㊀㊀由此可知,对任意的(u 1,v 1),(u 2,v 2)ɪX ,有 T (u 1,v 1)-T (u 2,v 2) X ˑX ɤρ (u 1,v 1)-(u 2,v 2) X ˑX ,ρ=max{ρ1,ρ2}ɪ(0,1),即算子T ʒX ˑX ңX ˑX 是严格压缩的㊂综上,根据Banach 压缩映射原理得到算子T ʒX ˑX ңX ˑX 在Banach 空间X ˑX 中存在唯一的(u ,v ),使得T (u ,v )=(u ,v ),即问题(3)在Banach 空间X ˑX 中存在唯一解㊂3 结论本文通过构造特殊的Banach 空间,运用Banach 压缩映射原理得到了保证一类非线性分数阶微分方程耦合系统(3)在无限区间[0,+ɕ)上解的存在唯一性的充分条件㊂参考文献:[1]㊀郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,2001.9809郑州大学学报(理学版)第52卷GUO D J.Nonlinear functional analysis[M].Jinan:Shandong Science&Technology Press,2001.[2]㊀KILBAS A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].BeslotenVennootschap:Elsevier Press,2006.[3]㊀RAY S S.Fractional calculus with applications for nuclear reactor dynamics[M].Boca Raton:CRC Press,2017.[4]㊀续焕英.分数阶微积分在反常输运过程中的应用研究[D].济南:山东大学,2017.XU H Y.Research on the applications of fractional calculus in anomalous transport[D].Jinan:Shandong University,2017.[5]㊀陈玉霞,高金峰.一个新的分数阶混沌系统[J].郑州大学学报(理学版),2009,41(4):45-48.CHEN Y X,GAO J F.A new fractional-order chaotic system[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition), 2009,41(4):45-48.[6]㊀聂玉峰,胡嘉卉,王俊刚.求解三维空间分数阶对流扩散方程的Douglas-Gunn格式[J].郑州大学学报(理学版),2019,51(1):44-50.NIE Y F,HU J H,WANG J G.Douglas-Gunn finite difference scheme for three-dimensional space fractional advection diffusion equation[J].Journal of Zhengzhou university(natural science 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Key words:Android;malware family;classification;random forest(责任编辑:王浩毅)。
Sobolev迹定理是偏微分方程（尤其是椭圆和抛物）理论研究中非常重要的一个定理，它在偏微分方程的先验估计中应用很广。
这个定理的主要内容是：在一定条件下，偏微分方程的解可以被表示为Sobolev空间中的函数，并且这个表示是全局的。
具体来说，Sobolev迹定理的核心思想是：如果偏微分方程的解存在，它就可以被表示为Sobolev空间中的函数，并且这个表示是全局的。
Sobolev空间是一类包含了所有光滑函数的集合，这些函数在整个定义域上都是连续的，并且在各个邻域内也具有一定的光滑性。
Sobolev空间中的函数可以被看作是局部和全局的光滑函数。
因此，Sobolev迹定理告诉我们：偏微分方程的解在Sobolev空间中存在，并且可以被全局地表示出来。
这个结果对于偏微分方程的理论研究和应用都具有非常重要的意义。
它不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的解的性质和行为，还可以为偏微分方程的数值解法和应用提供有力的工具。
几类具p(x)增长的非线性椭圆方程解的存在性Sobolev空间是具有重要应用价值的数学概念，但随着自然科学和工程技术中的许多非线性问题的出现，Sobolev空间表现出在其应用领域的局限性。
如对一类具有变指数增长性条件下的非线性的问题的研究。
因此，变指数增长性条件下的非线性问题成为一个新兴的研究课题。
在对此类非线性问题的研究时，变指数函数空间则给以理论支持。
本文主要以变指数Lebesgue空间Lp(x)()和变指数Sobolev空间Wk,p(x)()为研究背景，进一步研究了一类具有变指数非线性椭圆方程解的存在性问题。
因为p(x)为函数，所以算子p(x)-Laplace与p-Laplace相比具有更为复杂的非线性。
这样原本在常指数情形下的方法对于变指数情形不再使用，本文借助变指数空间把已知的常数指数非线性椭圆方程推广，得到变指数的非线性椭圆方程，并寻求该方程满足不同条件时解得存在性问题。
具体研究了带奇异项的非线性椭圆方程解的存在性问题。
为了解决这一问题，首先定义变指数Sobolev空间及其性质，并在此基础上建立Sobolev空间的基本框架，接着利用临界点理论得到方程解存在的充要条件，即把方程解的存在性问题转化为临界点存在性的问题，然后从超线性情形和次线性情形两个方面，同时，结合山路定理及嵌入定理论证方程弱解的存在性，最后得出结论，该方程存在非平凡弱解。
数学物理方程中的非线性椭圆方程研究数学物理方程的研究在科学领域占据重要地位，而非线性椭圆方程作为其中的一类方程，具有广泛的应用背景和深远的理论意义。
本文将对非线性椭圆方程进行研究，探讨其基本特性和解的存在性。
1.非线性椭圆方程的定义非线性椭圆方程是具有形式如下的方程：$-\Delta u + f(u) = 0$其中，$u$是未知函数，$\Delta$是拉普拉斯算子，$f(u)$是一个非线性函数。
非线性椭圆方程在数学物理中具有重要的应用，例如用于描述流体力学中的非线性椭圆方程和量子力学中的非线性薛定谔方程等。
2.解的存在性研究非线性椭圆方程时，关注的一个重要问题是解的存在性。
根据椭圆型偏微分方程的性质，可以得知非线性椭圆方程有解的条件是$f(u)$满足适当的增长条件和非线性度量条件。
其中，增长条件是指$f(u)$必须足够增长，以支持解的存在性；非线性度量条件是指$f(u)$具有一定的非线性程度。
对于非线性度量条件，通常需要对$f(u)$进行具体的假设。
常见的假设包括：$f(u)$为凸函数、增长条件满足Carathéodory条件等。
在满足这些假设的前提下，可以使用变分方法、逼近方法等数学方法，来证明非线性椭圆方程的解的存在性。
3.非线性椭圆方程的解的性质非线性椭圆方程的解不仅有存在性，还具有一些重要的性质。
其中，最重要的性质之一是正解的存在性。
正解指的是方程的解在物理意义上是非负的，这在实际应用中是非常重要的。
另一个重要的性质是解的稳定性。
对于边值问题，通常需要研究解对边界条件变化的稳定性。
在理论研究中，可以通过能量估计、变分方法等来证明解的稳定性。
4.应用举例非线性椭圆方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
举例来说，非线性椭圆方程可以应用于材料科学中的相变问题。
相变问题在材料科学和工程中具有重要的应用，在材料的相变过程中，需要描述材料性质的非线性椭圆方程来研究相变界面的变化规律。
此外，在非线性光学中，也可以使用非线性椭圆方程来描述光的传播和变化规律。
第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有 序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微 分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要 实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一 性.其中A 'A 是 单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文 研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是 的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数， 并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可 见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零 元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合 算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下 的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明 首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩 伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文 献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单 减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一 个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打 一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。
§荔囊关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理张辉(广东外语外贸大学南国商学院广东广州510545)[摘要】证明一个关于方程以Ⅳ=I ⅣI ”1扯非平凡解的存在性的定理，拓宽了现有的定理[关键词]弱解半线性中围分类号；0175．29文献标识码：^文章编号：1871—7597(2008)1210131-01众所周知，如下的半线性椭圆方程f —缸：训r 1。
柚Ⅳ=0D 葡Q教育科学(1．1)如果虑如下的函数y(砷=嘉(R2一k 一卅2)。
我们知道它是如下Poissi on 方程Q 是一个有界的星型区域，且边界足够光滑，则方程的解青如下的结论：结论1：若l <尸<兰去，则方程(1．1)存在非平方的解，若p>!号，疗一Z。
甩一2则方程(1．1)只有平凡解。
【l 】从这个事实中，我们知道方程(1．1)的解和P 的取值范围有关，而P 的取值范围又和定义域所在的维数有密切的关系。
通过研究，我们发现当维数很大的时候在一定的条件下，方程解的存在性具有独立性，即不依赖P 。
在本文我们将证明如下一个结论；假设ocR 。
是一个有界区域，且边界足够光滑oc 峨(‰，R 1)={工∈彤肛一而1<对，并且我们取酬(锄=扣∈日1(固p=o ，鲫aQ )，则我们有如下的定理：定理：若存在一个常数A >0。
使得卜(J)I ≤名．V uO )∈州(Q)。
则方程(1，1)存在非平凡的解M (D E 州(Q )．我{『]知道，对于r 等三，由椭圆方程的￡2(Q)理论知道A-a 是紧算子．我们令H (u)=-A 1I ul 川“，则胃：纠(Q )_州(Q )是连续的，我们考的解：-&u ：T2m l丑‘引理I ：我们取矽=pE 碰(五)陋(曲is 丑z ∈Q 】，则H (W )cW ，且日(∥)有界证明：任取u(x)e 矿，则只要m 足够大，有△(片0)一U )=-A “I Ⅳ．p4u+2彤m l ≥o ，而(H 伽)一u)Im =-U [柚SO 由椭圆方程的性质，我们知道抒(")s u ，施．由于【厂(力s 名，所以有日(矽)cW ，显然牙(矿)是有界的．由Ⅳ(聊r-H 2(∥)n 础(矿)和引理1，我们知道矿还是紧的，E 自Schauder 不动点定理知道H ：W -÷矿存在一个不动点．参考文献：[I ]L ．C ．E vanstPar ti alD i ff e r e nt ia lEqua t i ons ．Spr i n ger ，N e ．Y ork ，1998．[2]伍卓群、尹景学、王春鹏。
