《数学分析》
之九
第九章定积分（14+4学时）
教学大纲
教学要求：
1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义
2．了解上和与下和及其有关性质
3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类
4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式
5．了解积分第一中值定理
6．掌握变上限积分及其性质
7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法
教学内容：
问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。
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此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页
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=i 1
。
则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上
的定积分或黎曼积分，记作：
⎰=b
a
dx
x f J )(
其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx
x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义；
连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数
在区间
上可积 .用定义求积分
.
解 取 等分区间
作为分法 n
b x T i =
∆, 取
.=
.
由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .
例2 已知函数2
11
)(x x f +=
在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .
解 分法与介点集选法如例1 , 有
.
上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分
.
四、小结：指出本讲要点
定积分的概念（几何意义）；
定积分的问题背景；
若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。
作业：课后1. 2.（1）（2）
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时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题
§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）
教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点
应用定积分计算
形式的极限
课 型 理论课 教学媒体
教法选择 讲 练 结 合
教 学 过 程
教法运用及板书
要点
一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰
b a
dx
x f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而
与积分变量所用的符号无关。 二、定积分的计算 （1），按定义计算 （2）应用下列定理
Th9.1 （ N — L 公式 ）
若函数)(x f y =在【a ，b 】上连续，且存在原函数)(x F ，即
),()(x f x F ='],[b a x ∈，则)(x f y = 在【a ，b 】上可积，且
b a b
a
x F a F b F dx x f |)()()()(=-=⎰
这个公式称作（ N — L 公式 ）
( 证明思路 函数函数)(x f y =在【a ，b 】上连续，则一致连续) （根据定积分定义与极限定义证明）
证明：（略） 例1求
;
;
例2利用（ N — L 公式 ） 求下列定积分 1）
N n dx x b
a
n ∈⎰
,，
2）,
⎰b a x dx
e
3）,
1
2
⎰b a dx
x
4）,
sin
⎰b a xdx
5）,
42
⎰-
b
a
dx
x
x
例3 求
.
小结：1.利用N-L公式求定积分的步骤。
2.利用定积分定义计算形如
的极限时，找被积函数的方法；
利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。练习p.207 第二题
作业p206,1.2
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时
间
---------月---------日
星期-----------------
课
题
§3可积条件（2学时）（一）
教学目的
理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件，熟悉证明可积
性的问题的思路和方法.
教学重点掌握可积的充要条件
教学难点函数可积性问题的证明；
课型理论课教学媒体
教法选择讲授
教学过程
教法运用及板书
要点
一、必要条件:
定理9.2 若函数f(x) [a,b]，f(x)在区间[a,b]上有界.
证明方法：反证法
回顾f(x)在区间[a,b]上无界的定义，回顾定积分定义中的两个“任意”（插
入点任意，介点选取任意）
给出证明：
例1 讨论Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性.
强调可积与函数有界之间的关系
二、充要条件:
1.思路与方案:
思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法
的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和, 即用极
限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件.
复习极限的双逼原理
方案: 定义上和S(T)和下和s(T). 研究它们的性质和当
时有相同极限的充要条件 .
.
