5.1反比例函数

反比例函数知识点归纳反比例函数是指一个函数，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。

在数学中，反比例函数通常表示为y=k/x，其中x和y是函数的自变量和因变量，k是常数。

反比例函数也可以写为y=k/(x+a)，其中a是常数。

在本文中，我们将归纳一些关于反比例函数的重要知识点。

1.定义：反比例函数是一个特殊的函数类型，它的特点是当x增加时，y值减小，反之亦然。

在反比例函数中，变量x和y成反比关系，即x和y的乘积等于常数k。

反比例函数可以表示为y=k/x，其中k是常数。

当k大于0时，函数图像在y轴上方，当k小于0时，函数图像在y轴下方。

2.定义域和值域：在反比例函数中，除了x不能等于0之外，x可以取任何非零实数值。

这是因为当x等于0时，函数的定义不再成立，因为不能除以0。

而y的取值范围可以包括0，在y=k/x的函数中，y可以取任意非零实数值。

当k大于0时，y的范围为(0,+∞)，当k小于0时，y的范围为(-∞,0)，当k等于0时，y只能取0。

3.图像和性质：反比例函数的图像是一个超越坐标轴的曲线，它的形状为一条倒置的双曲线。

当k大于0时，曲线的开口朝下；当k小于0时，曲线的开口朝上。

反比例函数是一个奇函数，它具有对称性，即f(x)=-f(-x)。

此外，反比例函数的图像永远不会与x轴或y轴相交，因为x等于0时，函数的定义不成立。

4.等比例变换：反比例函数的图像可以通过等比例变换来得到其他的反比例函数图像。

当我们在函数中加入一个常数a，变成y = k/(x+a)，这会导致图像在x轴上方或下方平移a个单位。

当a大于0时，图像向左移动；当a小于0时，图像向右移动。

同样地，当我们在函数中加入一个倍数c，变成y =ck/x，这会导致图像的开口变窄或变宽。

当c大于1时，图像变窄，当0<c<1时，图像变宽。

5.利用反比例函数解决实际问题：反比例函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，当我们知道两个变量成反比时，可以使用反比例函数来描述这一关系，并解决相关问题。

《反比例函数》讲义一、什么是反比例函数在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的变量和它们之间的关系。

而反比例函数，就是其中独特而重要的一种。

反比例函数的一般形式为：y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0，x ≠ 0）。

通俗地说，当两个变量 x 和 y 的乘积始终等于一个非零常数 k 时，我们就说 y 是 x 的反比例函数。

例如，如果有一个矩形的面积始终为 12 平方米，设长为 x 米，宽为 y 米，那么就有 xy ＝ 12，即 y ＝ 12/x，这里的 y 就是 x 的反比例函数。

二、反比例函数的图像反比例函数的图像是一种特殊的曲线，它有自己独特的性质。

以 y ＝ 2/x 为例，我们来绘制它的图像。

首先，我们可以通过给 x 取值，计算出对应的 y 值，得到一些点的坐标。

比如，当 x ＝ 1 时，y ＝ 2；当 x ＝ 2 时，y ＝ 1；当 x ＝－1 时，y ＝－2 等等。

然后，把这些点在坐标系中描出来，并用平滑的曲线连接起来，就得到了反比例函数的图像。

反比例函数的图像有两个分支，分别位于第一、三象限或者第二、四象限，这取决于常数 k 的正负。

当 k ＞ 0 时，图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

当 k ＜ 0 时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称。

这意味着如果点（a, b) 在反比例函数的图像上，那么点（a, b) 也一定在图像上。

2、渐近线当 x 趋近于 0 或者无穷大时，反比例函数的图像会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

对于 y ＝ k/x，x 轴和 y 轴就是它的渐近线。

3、定义域和值域定义域为x ≠ 0，值域为y ≠ 0。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用。

比如，在物理学中，当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。

反比例函数知识点整理反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，它的表达式为y=k/x，其中k是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

在学习反比例函数时，我们需要了解它的定义、图像特征、性质以及应用等方面的知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数是一种具有特殊形式的函数，其定义如下：当x≠0时，y=k/x，其中k是常数，称为比例系数；当x=0时，函数无定义。

二、反比例函数的图像特征1. 反比例函数的图像呈现出一条直线和坐标轴的分离特点。

2. 当x趋近于正无穷大时，y趋近于0；当x趋近于负无穷大时，y也趋近于0；当x趋近于0时，y的绝对值趋近于正无穷大。

3. 反比例函数的图像关于y轴对称。

三、反比例函数的性质1. 定义域：反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数。

2. 值域：反比例函数的值域为除去y=0之外的所有实数。

3. 单调性：当k>0时，反比例函数在定义域上单调递减；当k<0时，反比例函数在定义域上单调递增。

4. 零点：当x≠0时，反比例函数的零点为x=k。

5. 解方程：对于反比例函数的解方程问题，可以采用代数运算的方式解决。

例如，对于函数y=k/x，若求解y=0的解，则解为x=0；若求解k=0的解，则解为x的全体实数。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有着广泛的应用，以下为一些常见的应用场景：1. 比例关系：反比例函数常用于描述两个变量之间的反比关系，例如电阻与电流的关系、速度与时间的关系等。

2. 等时工作问题：在某些需要保持总工作量不变的情况下，反比例函数可用于描述工作人员数量与工作时间的关系。

3. 比例缩放：反比例函数可用于描述物体大小与距离的关系，例如光的强度与距离的关系等。

4. 电磁场强度：反比例函数可用于描述电磁场强度与距离的关系，例如万有引力与质点间距离的关系等。

总结：通过对反比例函数的定义、图像特征、性质以及应用等方面的整理，我们可以更好地理解和应用反比例函数。

5.1 反比例函数三明四中张先进教学目标(一)教学知识点1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解.2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.(二)能力训练要求结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式.(三)情感与价值观要求结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.教学难点领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.教学过程一：创设问题情境，引入新课1．在生活中我们都有乘车的经历,如果你从三明乘车去福州,在车匀速80千米/小时的情况下,你能算出1小时、2小时、3小时……后，你离开三明的路程吗？填表：如果从三明乘车去福州路程大约为300公里，请计算出车匀速在60千米/小时、80千米/小时、90千米/小时、100千米/小时，乘车所需时间。

填表：2．每个人都有购物的经历，例如，购买单价是0.4元的铅笔，买10支、50支、100支要花去多少钱呢？如果说买x 支的话，你要准备多少钱呢？如果说你带了10元钱，你能买0.4元的铅笔多少支呢?如果单价是0.5元、1元、2元的铅笔多少支呢?假设单价是a 元，那么你又能买多少支呢?二：新课讲解1．回顾前面的二个问题:① 如果时间用t 表示、路程用s 表示,用t 的代数式表示s ，则s= 80t 如果速度用v 表示、时间用t 表示,用v 的代数式表示t ，则t= v300② 如果钱用p 表示，那么x 与p 的关系式为 p=0.4x如果数量用n 表示，那么a 与n 的关系式为 n=a10思考：以上几个式子是函数吗？ 2．知识链接：函数在某变化过程中有两个变量x ，y.若给定其中一个变量x 的值，y 都有唯一确定的值与它对应,则称y 是x 的函数.你学过什么函数呢？（正比例、一次函数）上面的式子有吗？ s= 80t, p=0.4x,是正比例函数。

北师大版数学九年级上册5.1《反比例函数》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册5.1《反比例函数》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了函数概念和正比例函数的基础上进行学习的。

本节内容主要介绍了反比例函数的定义、性质和图象，通过学习反比例函数，使学生能够更深入地理解函数的本质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数概念和正比例函数的学习已经有了一定的基础。

但是，学生在学习过程中仍然存在一些问题，如对函数概念的理解不够深入，对反比例函数的理解容易与正比例函数混淆等。

因此，在教学过程中，需要针对这些问题进行针对性的引导和讲解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质和图象，能够运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，使学生能够自主探索反比例函数的性质，培养学生的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生能够体验到数学学习的乐趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义、性质和图象。

2.教学难点：反比例函数的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生自主探究，培养学生的学习兴趣和解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。

2.自主探究：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索反比例函数的性质和图象。

3.讲解与演示：教师针对学生的探究结果进行讲解，利用多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生深入理解反比例函数。

4.练习与交流：学生进行课堂练习，教师引导学生进行交流讨论，解答学生的疑问。

5.总结与反思：教师引导学生总结反比例函数的知识点，学生进行自我反思，巩固所学内容。

反比例函数公式1. 什么是反比例函数反比例函数是数学中的一种函数关系，也被称为倒数函数。

在数学中，两个变量之间如果满足一个变量增加，而另一个变量减少的关系，就可以表示为反比例函数。

反比例函数的一般形式表示为：y = k/x其中，y表示函数的值，x表示自变量的值，而k是常数。

2. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线，其中，曲线的渐近线为x 轴和y轴。

当x趋近于零时，y趋向于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋向于零。

反比例函数的图像有一个特点，即图像在原点处对称。

我们以一个简单的例子来说明反比例函数的图像。

假设 k = 1，我们可以得到以下函数：y = 1/x我们可以通过绘制函数的表格或利用计算器来得到函数的图像。

下表是一些x和对应y的值：x y-3-0.33-2-0.5-1-11/221120.530.33绘制这些点后，我们可以看到图像呈现出一个双曲线，其中曲线趋近于x轴和y轴。

该图像经过原点并在x轴和y轴间对称。

3. 反比例函数的性质3.1 定义域和值域反比例函数的定义域为除零之外的所有实数。

也就是说，对于任意非零的x，可以找到对应的y值。

值域是全体非零的实数。

3.2 零点和渐近线反比例函数的零点在x轴上，即当x为非零实数时，函数的值为零。

而渐近线是指图像趋向于的线，反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

3.3 单调性反比例函数在定义域上是单调递减或单调递增的。

当k为负值时，函数单调递减；当k为正值时，函数单调递增。

3.4 对称性反比例函数在原点处对称。

也就是说，如果点(x,y)在图像上，那么点(-x,-y)也在图像上。

4. 反比例函数的应用反比例函数在实际中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：4.1 电阻电流关系在电路中，电阻和电流之间满足反比例关系。

根据欧姆定律，电流和电阻之间的关系可以表示为：I = V/R其中，I代表电流，V代表电压，R代表电阻。

根据反比例函数的公式，我们可以发现电阻和电流之间的关系是反比例函数关系。

反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数，通常用y=k/x表示，其中k为非零常数。

这种函数的图像是一个双曲线，具有对称轴。

二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。

2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。

3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。

4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。

6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点，即x=±√k。

当x→0时，y→±∞。

三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线，具有对称轴。

2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。

3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时，反比例函数的图像在第一和第三象限。

当k为负数时，反比例函数的图像在第二和第四象限。

四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。

2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系，比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。

3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系，比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。

五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义，可以求出反比例函数的定义域和值域。

2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质，可以求出反比例函数的零点和极限。

3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识，画出反比例函数的图像。

4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题，解决实际问题。

六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域，导致在解题过程中出现错误。

反比例函数教师教案《反比例函数》教师教案1备课过程，我认真研读教材，认为本节课重点和难点就是掌握反比例函数的概念，以及如何与一次函数及一次函数中的正比例函数的区别。

所以，我在讲授新课前安排了对“函数”、“一次函数”及“正比例函数”概念及“一次函数”和“正比例函数”一般式的复习。

为了更好的引入“反比例函数”的概念，并能突出重点，我采用了课本上的问题情境，同时调整了课本上提供的“思考”的问题的位置，将它放到函数概念引出之后，让学生体会在生活中有很多反比例关系。

情境设置：汽车从南京开往上海，全程约300km，全程所用的时间t(h)随v(km/h)的变化而变化。

(1)你能用含v的代数式来表示t吗?(2)时间t是速度v的函数吗?设计意图：与前面复习内容相呼应，让同学们能在“做一做”和“议一仪”中感受两个量之间的函数关系，同时也能注意到与所学“一次函数”，尤其是“正比例函数”的不同。

从而自然地引入“反比例函数”概念。

为帮助学生更深刻的认识和掌握反比例函数概念，我引导学生将反比例函数的一般式进行变形，并安排了相应的例题。

一般式变形：(其中k均不为0)通过对一般式的变形，让学生从“形”上掌握“反比例函数”的概念，在结合“思考”的几个问题，让学生从“神”神上体验“反比例函数”。

为加深难度，我又补充了几个练习：1、为何值时，为反比例函数?2是的反比例函数，是的正比例函数，则与成什么关系?关于课堂教学：由于备课充分，我信心十足，课堂上情绪饱满，学生们也受到我的影响，精神饱满，课堂气氛相对活跃。

在复习“函数”这一概念的时候，很多学生显露出难色，显然不是忘记了就是不知到如何表达。

我举了两个简单的实例，学生们立即就回忆起函数的本质含义，为学习反比例函数做了很好的铺垫。

一路走来，非常轻松。

对反比例函数一般式的变形，是课堂教学中较成功的一笔，就是因为这一探索过程，对于我补充的练习1这类属中等难度的题型，班级中成绩偏下的同学也能很好的掌握。