一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣
x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．
（1）求出双曲线的解析式；
（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，
∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，
∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∴△CEO∽△DEB
∴= =3，
设D（10﹣m，m），其中m＞0，
∴C（3m，3m），
∵点C、D在双曲线上，
∴9m2=m（10﹣m），
解得：m=1或m=0（舍去）
∴C（3，3），
∴k=9，
∴双曲线y= （x＞0）
（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，
∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB
= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，
∴四边形OCDB的面积是17
【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x
和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．
2．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数
（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于
D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y= x+ ，
把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；
（3）解：如下图所示：
设P点坐标为（t，t+ ），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴? ?（t+4）= ?1?（2﹣t﹣），即得t=﹣，
∴P点坐标为（﹣，）．
【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到? ?（t+4）= ?1?（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．
3．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
将点A（﹣1，3）代入y= 中，
3= ，解得：k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为y=﹣
（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B的坐标为（﹣3，1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，
，解得：，
∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．
当y=2x+5=0时，x=﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）
（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =
【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．
4．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，
tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABH面积．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，
∴CO=2，即C（0，2），
把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，
，解得，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
∵点A的横坐标是1，
∴当x=1时，y=4，即A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，
∴反比例函数解析式为y=
（2）解：解方程组，可得或，
∴B（﹣2，﹣2），
又∵A（1，4），BH⊥y轴，
∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．
【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.
5．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；
（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；
（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．
∵y= 中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．
∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19
（2）解：令y= ≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1
（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0
（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，
解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，
解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，
整理得：2m2﹣15m+29=0．
∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．
∴m的值为1或3．①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同
理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无
最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；
【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，
y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=
无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．
6．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）
∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。∴A（﹣1，﹣2）。
又∵点A在上，∴，解得k=2。，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1。
（3）解：四边形OABC是菱形。证明如下：
∵A（﹣1，﹣2），∴。
由题意知：CB∥OA且CB= ，∴CB=OA。
∴四边形OABC是平行四边形。
∵C（2，n）在上，∴。∴C（2，1）。
∴。∴OC=OA。
∴平行四边形OABC是菱形。
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA 且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC
7．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交
点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y= ；
把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1
（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方
（3）解：存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，
可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，
解得b'= ，
∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，
解方程组，可得C2（）；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y= x+ ，
把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，
解得 =﹣，
∴直线AC3的解析式为y= x﹣，
解方程组，可得C3（）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式
（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标
（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。
8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．
【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k= ×1= ，
∴反比例函数表达式为y= .
（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC= ，AC=1，
∵OA⊥OB，OC⊥AB，
∴∠A=∠COB，
∴tan∠A= =tan∠COB= ，
∴OC2=AC?BC，即BC=3，
∴AB=4，
∴S△AOB= × ×4=2 ，
∴S△AOP= S△AOB= ，
设点P的坐标为（m，0），
∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣2 ，
∴点P的坐标为（﹣2 ，0）
（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，
∴∠COB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴∠OBD=60°，
∴∠ABD=90°，
∴BD∥x轴，
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，
∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，
∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，
∴E（﹣，﹣1），
∵﹣ ×（﹣1）= ，
∴点E在该反比例函数图象上
【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC?BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
9．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；
已知OB=OC=3，则C（0，-3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：
a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．
（2）解：设AE交y轴于点F；
易证得△FOA∽△FEC，有，
设OF＝x，则EF＝3x，
所以FA＝3x﹣1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x﹣1）2＝x2+1，
解得x＝；
即OF＝，F（0，）；
求得直线AE为y＝﹣x+ ，
联立抛物线的解析式得：，
解得，；
故点P（，）．
（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC：y＝x﹣3；
设点M（a，a﹣3），则：
①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；
过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；
根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，
则可证得△MOG≌△NOH，得：
OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，
故N（a﹣3，﹣a），
将其代入抛物线的解析式中，得：
﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，
整理得：a2﹣11a+24＝0，
a＝3（舍去），a＝8；
故M（8，5），N（5，﹣8）．
②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；
同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：
﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，
整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；
由于点M在第三象限，
所以a＜0，
故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；
③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；
同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；
故M（1，﹣2），N（2，1）；
综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).
（1）填空：正方形的面积为________；当双曲线(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是________.
（2）已知抛物线L： (a>0)顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于
点E，F，过点B的双曲线(k≠0)与边DC交于点N.
①点Q(m，-m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.
②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求的值.
③求证：抛物线L与直线的交点M始终位于轴下方.
【答案】（1）36；0 （2）解：①由题意可知，， 当m=-1，最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4） 当m<-1时，随m的增大而增大，当m=-2时，最小=3， 当m>-1时，随m的增大而减小，当m=4时，最小=-21， 3>-21，∴最小=-21，点Q在最低位置时的坐标（4，-21） ∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标为（4，-21）②将点B（-2，-2）代入双曲线得，∴k=4，∴反比例函数解析式为 N点横坐标x=4，代入得，∴N（4，1） 由顶点P（m，n）在边BC上，∴，BP= ，CP= E点横坐标x=-2，F点横坐标x=4，分别代入抛物线可得 E ， F ， ∴BE= ，CF= ， ∴， 又∵AE=NF，点F在点N下方， ∴ 化简得，∴ ③由题意得，M ，， ∵二次函数对称轴为m=1，， ∴当m=1时，取得最小值为， 当或4时，最大为， 当m=4时，抛物线L为， E点横坐标为-2，代入抛物线得，∴E F点横坐标为x=4，代入抛物线得，∴ ∵E点在AB边上，且此时不与B重合， ∴，解得 ∴，∴ 当时，抛物线L为 同理可得E ，F ∵F在CD边上，且此时不与C重合 ∴，解得， ∴，∴ 综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方. 【解析】【解答】（1）解：由点A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的边长为6， ∴正方形面积为36； 当反比例函数在一、三象限时，若经过B（-2，-2）则，若经过D(4,4)，则，根据图像特征，要有4个交点，则0 当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则，若经过C(4，-2)则，根据图像特征，要有4个交点，则-8 综上，k的取值范围是0 【分析】（1）由坐标求出正方形的边长，即可求出面积，讨论反比例函数在一、三象限和二、四象限时，利用数形结合求出k的范围；（2）①由题意可知，， 分，和分别讨论Q点符合条件的坐标；②将点B（-2，-2）代入双曲线，可求k=4和N（4，1），再表示出点 E 和 F ，可推出BE= ，CF= ， ，再根据AE=NF可推出 ，进而可求的值；③由题意得，M ， ，当m=1时，最小为，当或4时，最大为，再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合，列出不等式可得 ，当时， F点不与C点重合列出不等式可得，即可得证. 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作轴交抛物线于点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；（3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积． 【答案】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点 和点， ，得， 此抛物线的表达式是 （2）解：抛物线交轴于点， 点的坐标为， 轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，点的纵坐标是5，点到的距离是10， 当时，，得或， 点的坐标为， ， 的面积是： （3）解：设点的坐标为，如图所示， 设过点，点的直线的函数解析式为， ，得， 即直线的函数解析式为， 当时，， ， 的面积是：，点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，取得最大值，此时，点的坐标是，， 即点的坐标是，时，的面积最大，此时的面积是． 【解析】【分析】（1）根据题意可以求得、的值，从而可以求得抛物线的表达式； （2）根据题意可以求得的长和点到的距离，从而可以求得的面积；（3）根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题 12．【问题】 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系. （1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程； （2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值. 【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠CAB=∠CBA=45° ∵CD∥AB ∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD ∴∠DCB=∠DBC=45° ∴DB=DC 即DB=DP （2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45° ∴∠DCG=∠DGC=45° ∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°， ∵∠BDP=∠CDG=90° ∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°， ∴△CDP≌△GDB（ASA） ∴DB=DP （3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ， ∵MH⊥MN， ∴∠AMH+∠NMB=90° ∵CD∥AB，∠CDB=90° ∴∠DBM=90° ∴∠NMB+∠MNB=90° ∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45° ∴△AMH≌△BNQ（ASA） ∴AH=BQ ∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ ∴CH=CQ ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB ∴HQ∥AB ∴∠HQM=∠QMB ∵∠ACB=∠HMQ=90° ∴点H，点M，点Q，点C四点共圆， ∴∠HCM=∠HQM ∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45° ∴△ACM∽△BMQ ∴ ∴ ∴BQ= +2 ∴AM=2 时，BQ有最大值为2. 【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP； 1．如图，双曲线y=的一个分支为（） A．①B．②C．③D．④ 2．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（） A．B．C．D． 3．直线y=ax（a＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则4x1y2﹣3x2y1=． 4．如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A．将直线y=x向右平移个 单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若，则k=． 5．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x 轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为． 6．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数y=图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值） 7．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴， 点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为． 8．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC 的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=． 10．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2） （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小． 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求△PAB的面积． 【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）． 将点A（﹣1，3）代入y= 中， 3= ，解得：k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为y=﹣ （2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3， ∴点B的坐标为（﹣3，1）． 作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示． ∵点B的坐标为（﹣3，1）， ∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）． 设直线AD的函数表达式为y=mx+n， 将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中， ，解得：， ∴直线AD的函数表达式为y=2x+5． 当y=2x+5=0时，x=﹣， ∴点P的坐标为（﹣，0） （3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× = 【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反 比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6 ∴反比例函数解析式为： 把C（﹣1，n）代入，得： n=﹣6 ∴C（﹣1，﹣6） 把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得： 反比例函数优秀题集 1.（2009年上海市普陀区中考适应性测试） 如图，点A 是函数y= x 1的图象上的点，点B 、C 的坐标分别为B （2- ，2- ）、C （ 2 ，2），试利用性质：“函数y=x 1的图 象上任意一点A 都满足|AB-AC|=22”求解下面问题：作∠BAC 的内角平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在 函数y=x 1的图象上运动时，点F 总在一个圆上运动，则这圆的半径为（ ） A ．1 B ．22 C ．2 D ．2 23 [考点]：反比例函数综合题．分析：本题给出了角平分线，给出了两条线段的定值差，因此可通过构建等腰三角形作出这个等值差进行求解． 解答：解：如图：过C 作CD ⊥AF ，垂足为M ，交AB 于D ， ∵AF 平分∠BAC ，且AM 是DC 边上的高， ∴△DAC 是等腰三角形， ∴AD=AC ， ∴BD=AB-AC=22 ， 即BD 长为定值， 过M 作MN ∥BD 于N ， 则四边形MNBD 是个平行四边形， ∴MN=BD ， 在△MNF 中，无论F 怎么变化，有两个条件不变： ①MN 的长为定值，②∠MFN=90°， 因此如果作△MNF 的外接圆，那么F 点总在以MN 为直径的圆上运动，因此F 点的运动轨迹应该是个圆． ∴圆的直径为MN ，且MN=BD ，BD=AB-AC=22 ， ∴圆的半径为2． 故选C ．点评：本题以反比例函数为背景，结合了等腰三角形的知识、平行四边形的知识、直角三角形的知识、三角形外接圆的知识等．综合性强．在本题中能够找出AB 、AC 的等值差以及让F 与这个等值差相关联是解题的关键． 2. （2011年广东省深圳市宝安区中考数学二模试卷）如图，已知四边形OABC 是菱形， CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数y=x 4的图象经过点C ，且与AB 交于点E ．若OD=2，则△OCE 的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．42 第六章反比例函数培优生试题讲义 （资料编辑：薛思优） 1．如图，函数y=与y=﹣kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（） A．B．C．D． 2．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图 象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（） A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变 3．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（） A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2 4．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（） ①常数m＜1； ②y随x的增大而减小； ③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=； ④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上． A．①②③B．①③④C．①②③④D．①④ 5．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C， 过点D作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF=；④方程 2x2﹣2x﹣k=0有解． 其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．反比例函数的图象上有两点M，N，那么图中阴影部分面积最大的是（） A．B．C．D． 7．如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=（k1≠0）过B点，反比例函数y=（k2 ≠0）过C、D点，OC=BC，B（2，3），则D点的坐标为（） A．（，）B．（，）C．（，）D．（，） 8．如图，直线y=﹣x+b与双曲线交于点A、B，则不等式组的 解集为（） A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或x＞2 C．﹣1＜x≤1 D．﹣1＜x＜1 9．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 10．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，﹣2），当自变量x＞1时，函数值y的取值范围是（）A．y＞1 B．y＜1 C．y＞2 D．0＜y＜2 11．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、 D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF 与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（） A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2 13．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（） A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4） 14．若直线y=2x﹣1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣2，﹣3）D．（2，12） 15．如图，反比例函数y=﹣（x＞0）图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连接EF、OE、OF，则△OEF的面积是（） A．B．C．D． 反比例函数典型例题 3 6 ，y= 在第一象限内的图象如图所示，点 P1、P2 在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线 x x 3 与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在 y= 的图象上，则 NP1 与 NP2 的乘积是______。 x 反比例函数易错题、较难题训练 1、若y=（a+2）x a2 +2a-1 为反比例函数关系式，则a= 。 2、已知反比例函数x y 1 -=的图象上有两点),(11y x A 、),(22y x B 且21x x <，那么下列结论正确的是（ ） A. 21y y < B. 21y y > C. 21y y = D 1y 与2y 之间的大小关系不能确定 3、函数8 y x = ，若-4≤x<-2,则（ ） A 、2≤y<4 B 、-4≤y<-2 C 、-2≤y<4 D 、-4 中考数学反比例函数综合题附答案 一、反比例函数 1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2， y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）． （1）求反比例函数y= 的解析式； （2）求点P2和点P3的坐标； （3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）． 【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线， 则B1与P1关于y轴对称， ∵B1（﹣1，1）， ∴P1（1，1）． 则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y= （2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F， 又点P1的坐标为（1，1）， ∴OA1=2， 设点P2的坐标为（a，a+2）， 代入y=得a=-1， 故点P2的坐标为（-1，+1）， 则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2， 设点P3的坐标为（b，b+2）， 代入y=（>0）可得b=-， 故点P3的坐标为（-，+） （3）1；（-，+） 【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，… ∴△P n B n O的面积为1， 由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ）， 故答案为：1、（﹣， +）． 【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可； （2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标； （3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可. 2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + = 反比例函数习题精选 1、如图1，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x 1 y = 于点A ，连结OA 。 （1） 如图1，当点P 在x 轴的正方向上运动时，Rt △AOP 的面积大小是否变化若不变， 请求出Rt △AOP 的面积；若改变，请说明理由。 （2）如图2，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x 1 y =于 点B ，连结BO 交AP 于点C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是 。 （3）如图3，AO 的延长线与双 曲线x 1 y =的另一个交点是F ， FH ⊥x 轴，垂足为H ，连接AH ，PE ，试证明四边形APFH 的面积是一个常数。 ； 2、如图2，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点c 在y 轴上， 点B 在函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上，点P(m,n)是函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂中足分别是E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部份的面积为S 。 （1）求B 点的坐标和k 的值。 （2）当S=2 9 时，求点P 的坐标。 （3）写出S 关于m 的函数关系式。 ￥ 3、如图3，直线2x 2 1 +分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥ x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9。 （1）求点P 的坐标。 （2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 和△AOC 相似时，求点R 的坐标。 # 4、如图4，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数x m y = 的图象交于A 、B 两点。 （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。 】 5、如图5，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=x k (k ≠0) 的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B 。 （1）求实数k 的取值范围。 (2)若△AOB 的面积为24，求k 的值。 ! 6、已知如图6，反比例函数x 8 y -=与一次函数y=-x+2的图象交于A 、B 两点，求： （1）A 、B 两点的坐标。 反比例函数典型例题 1、（2011?宁波）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y=x 2 （x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y=x 2 （x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则 P 2点的坐标为___________，则点P 3的坐标为__________。 答案：P 2（2，1） P 2（3+1，3-1） 2、已知关于x 的方程x 2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程（k-1）x 2+3x-2a=0有实根，且k 为正整 数，正方形ABP 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y=x 1 k +（x ＞0）图象上，顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，求点P 2的坐标． 答案：（2，1）或（6， 2 6） 3、如图，正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点D 的坐标． 答案：（1） y= x 4 (2) (15+,1-5) 4、两个反比例函数y=x 3，y=x 6 在第一象限内的图象如图所示，点P 1、P 2在反比例函数图象上，过点P 1作x 轴的平行线与过点P 2作y 轴的平行线相交于点N ，若点N （m ，n ）恰好在y=x 3 的图象上，则NP 1与NP 2的乘积是______。 答案：3 答案：3 5、（2007?泰安）已知三点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（1，-2）都在反比例函数y=x k 的图象上，若x 1＜0，x 2＞0，则下列式子正确的是（ ）答案：D A ．y 1＜y 2＜0 B ．y 1＜0＜y 2 C ．y 1＞y 2＞0 D ．y 1＞0＞y 2 6、如图，已知反比例函数y= x 1 的图象上有点P ，过P 点分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，则点P 1的坐标是________。 答案：?? ? ? ??+21-5215， 7、在反比例函数y= x 1 （x ＞0）的图象上，有一系列点P 1、P 2、P 3、…、Pn ，若P 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与2．现分别过点P 1、P 2、P 3、…、Pn 作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…、Sn ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2010=________。 答案：1 8、如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且OA=2，OB=4，反比例函数y=x k (k ≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点D ． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移_____个单位长度时，点C 恰好落在反比例函数的图象上． 反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3） ，则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)22 m x - 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限 内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为 ； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k ≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k ≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y=k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 x k y 22--=k 1y 2y 2 1 3y 1y 2y 3y k x x k y = 反比例函数 1．函数y ax a =-与a y x = （a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 2．已知反比例函数1 y x = ，下列结论不正确．．．的是 (A)图象经过点(1,1) (B)图象在第一、三象限 (C)当1x >时，01y << (D)当0x <时，y 随着x 的增大而增大 3．反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是(▲) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 4．如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2- =交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 5．函数y 1＝x （x ≥0），y 2＝4 x （x>0）的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ②当x >2时，y 2>y 1； ③直线x ＝1分别与两函数图象相交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④当x 逐渐增大时，y 1的值随x 的增大而增大，y 2的值随x 的增大减少． 其中正确的是（ ） A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④ y y 1＝x y 2＝4x x 第5题图 6．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x = 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 （ ） A ． 等于2 B ．等于 3 4 C ．等于 245 D ．无法确定 7．如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB ＝18，BC ＝12，AC ＝9，对 角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图像上的是（ ） A ．点G B ．点E C ．点D D ．点F ． 8．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC .若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为（ ） A ．1y x = B ．y = C ．y = D ．y = （第7题） 1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y＝ 1 x -图象的大致形状是（ ） A B C D 2．(2009年牡丹江市)如图，点A、B是双曲线 3 y x =上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1 S= 阴影 ，则 12 S S +=． 3．已知y与2x－3成反比例，且 4 1 = x时，y＝－2，求y与x的函数关系式． 4．已知函数y＝y1－y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且 2 3 - = x和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式． 6．如图，A、B是函数 x y 2 =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(s= )． 7．如图，点A、B是函数y＝x与 x y 1 =的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为( )． x y A B O 1 S 2 S 8题图 8.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限， OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式． 9．如图，A 、B 两点在函数)0(>= x x m y 的图象上． (1)求m 的值及直线AB 的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数． 12．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C (0，1)，若△ABC 的面积是3，则反 比例函数的解析式为____________． 测试1 反比例函数的概念 一、填空题 1．一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x 是______，y 是______．自变量x 的取值范围是______． 2．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别． (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系式为____________，是______函数． (2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为__________________，是______函数． (3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S ． 当a ＝10时，S 与h 的关系式为____________，是____________函数； 当S ＝18时，a 与h 的关系式为____________，是____________函数． (4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为______，是______函数． 3．下列各函数①x k y =、②x k y 12+=、③x y 53=、④14+=x y 、⑤x y 21-=、 ⑥31-= x y 、⑦24 x y =和⑧y ＝3x －1中，是y 关于x 的反比例函数的有：____________(填序号)． 4．若函数11 -=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝____________，解析式为_________ ___． 5．近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为____________． 二、选择题 6．已知函数x k y =，当x ＝1时，y ＝－3，那么这个函数的解析式是( )． (A)x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 31= (D)x y 31 -= 7．已知y 与x 成反比例，当x ＝3时，y ＝4，那么y ＝3时，x 的值等于( )． (A)4 (B)－4 (C)3 (D)－3 三、解答题 8．已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3． (1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－2 3 时，求x 的值． 9．若函数5 2 2)(--=k x k y (k 为常数)是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______ __________________． 10．已知y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，那么y 是z 的______函数． 二、选择题 11．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为( )． (A)y ＝100x (B)x y 100 = (C)x y 100 100- = (D)y ＝100－x 12．下列数表中分别给出了变量y 与变量x 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )． 第1讲反比例函数 姓名：___________ 一、 知识点及典型例题： 1、 反比例函数的概念： 形如y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的函数称为反比例函数．其中k （k ≠0）称为反比例函数的比例系数，自变量x 的取值 范围是不等于0的一切实数． 例1、下列函数中，属于反比例函数的是________；每一个反比例函数的比例系数是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y＝2x 2；③y＝15x ；④y＝－2 3x ；⑤xy＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy＝－1． 例2、在函数y ＝3 x 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≠0 B ．x ＞0 C ．x ＜0 D ．一切实数 例3、若函数y ＝kx k －2是反比例函数，则k ＝________． 2、 反比例函数的图象及性质： （1）反比例函数的图象：a ．反比例函数y ＝k x （k 是常数，k ≠0）的图象是由两支曲线组成，这两支曲线称为双 曲线.两支曲线分别位于第一、三象限或第二、四象．限由于x ≠0，y ≠0，所以它的图像与y 轴和x 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，却永远不与坐标轴相交． b ．双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． （2）一般地，当k>0时，反比例函数y ＝k x 的图象分布在第一、三象限内，在 每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小．当k ＜0时，反比例函数y ＝k x 的图象分布在第二、四象限内，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 例1、反比例函数y ＝－1－a 2 x (a 是常数)的图象分布在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 例2、点(1，y 1)、(2，y 2)在函数y ＝－2 x 的图象上，则y 1________y 2(填“＞”“＝”或“＜”)． 例3、已知反比例函数y ＝3－k x ，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围： （1）函数图象位于第一、三象限； （2）在每一象限内，y 随x 的增大而增大． 3、反比例函数与面积问题： 过反比例函数y= k x 图象上的一点P 作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形， 这个矩形的面积等于k ． 例1、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为求反比例函数的表达式． 例2、如图，点A 为双曲线y ＝2x 的图象上一点，过点A 作AB∥x 轴交双曲线y ＝－4 x 于点B ，连AO ，BO ，求△AOB 的面积． 4、反比例函数的应用 例1、一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用了4 h 到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(km/h)与时间t(h)的函数表达式是( ) A ．v ＝320t B ．v ＝320t C ．v ＝20t D ．v ＝20 t 例2、蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当R ＝10 Ω时，电流能是4 A 吗？为什么？ 反比例函数难题拓展 二、填空题 1. 如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y= k x ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换 后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 . （2）设P （t ，0）当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 . 【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t ≤25或－25≤t ≤－4 3. 若点A(m ，－2)在反比例函数4 y x = 的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________. 【答案】x ≤-2或x>0 4. 过反比例函数y=x k (k≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B,C ，如果⊿ABC 的面积为3.则k 的值为 . 【答案】6或﹣6. 5. 如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2 x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在 其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2 x （x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 【答案】（3＋1，3－1） 6. 在直角坐标系中，有如图所示的 t ,R ABO AB x ?⊥轴于点B ，斜边 3 105 AO AOB =∠= ，sin ,反比例函数 (0)k y x x = >的图像经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ,则点D 的坐标为 . 初中数学反比例函数综合题 一、单选题(共8道，每道12分) 1.下列式子中 ①②③④⑤⑥⑦ ⑧⑨是反比例函数的个数有（） A.3个 B.4个 C.5个 D.以上答案均不对 答案：A 试题难度：三颗星知识点：反比例函数的定义 2.反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 答案：B 试题难度：三颗星知识点：反比例函数增减性 3.若y与z成反比例，z与成正比例，则y与x的关系为（） A.正比例函数 B.反比例函数 C.没有关系 D.无法判断 答案：A 试题难度：三颗星知识点：反比例关系的判定 4.在同一坐标系中，函数和的图像大致是（） A. B. C. D. 答案：A 试题难度：三颗星知识点：反比例函数的图象 5.点A在双曲线上，O为坐标原点，AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=4，则k=（） A.8 B.4 C. D. 答案：D 试题难度：三颗星知识点：反比例函数图象面积不变性 6.已知一次函数y1=kx+b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示， 则当y1＜y2时，x的取值范围是（__） A.x＜-1或0＜x＜3 B.-1＜x＜0或x＞3 C.-1＜x＜0 D.x＞3 答案：B 试题难度：三颗星知识点：反比例函数与一次函数的交点问题 7.如图，已知A、B两点是反比例函数y=（x>0）的图象上任意两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连结AB、AO、BO?，?则梯形ABDC?的面积与△AOB的面积 之比是（） A.2：1 B.1：2 C.3：2 D.1：1 答案：D 试题难度：三颗星知识点：反比例函数面积模型1 8.如图，已知反比例函数和一次函数交于P、Q两点，一次函数与x轴、y 轴分别相交于A、B两点，连结OP、OQ，则下列正确的是（） A. B.S△OPQ=2S△OBP C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：反比例函数面积模型2 专题11 双曲线 阅读与思考 形如(0)k y k x =≠的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中. 反比例函数的基本性质有： 1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交； 2. k 的正负性，决定双曲线大致位置及y 随x 的变化情况； 3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y x =及y x =-. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同. 反比例函数k y x =中k 的几何意义是：k 等于双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图： （1）12AOB S k =△； （2）ACOB S k =矩形. 求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到. 求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标. 解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性. 反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识. 例题与求解 【例1】（1）如图，已知双曲线(0)k y x x =>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = . （兰州市中考试题） 反比例函数难题 1、如图,已知△Ｐ１OＡ1,△P2Ａ1A2，△P３Ａ２A3…△P n Aｎ-1Ａn都是等腰直角三角形，点P1、P 2、P３…Ｐn都在函 2、如图1，矩形ABCD的边BC在ｘ轴的正半轴上，点E(ｍ，１)是对角线BD的中点，点A、Ｅ在反比例函 数y= （１)求ＡB的长; (2)当矩形AＢCＤ是正方形时，将反比例函数y=k x 的图象沿ｙ轴翻折，得到反比例函数y= 1 k x 的图象(如 图2)，求k1的值; （3）在条件（２）下,直线ｙ=-x上有一长为2动线段ＭN，作MH、NP都平行ｙ轴交第一象限内的双曲线 y=k x 于点H、Ｐ，问四边形MＨPＮ能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标;若不能，请说明 理由. 1.已知反比例函数y= 2k x 和一次函数ｙ=2x-1,其中一次函数的图象经过(ａ,b ），（ａ+k ，b+k+2）两点．?(1)求反比例函数的解析式； （2)求反比例函数与一次函数两个交点Ａ、B 的坐标: （３）根据函数图象，求不等式 2k x >2x －1的解集;?（4)在（2)的条件下，ｘ轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在，请说明理由． １．如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (ｋ≠0)的图象与反比例函数y ＝ (ｍ≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝＼f （4，5). (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AO Ｃ的面积. (1)过A 点作AD⊥ｘ轴于点D,∵ｓin ∠AO Ｅ= 错误!未定义书签。,ＯA ＝5， ∴在Ｒｔ△ADＯ中,∵siｎ∠AOＥ＝错误!未定义书签。 =错误!未定义书签。= 4 5, ∴AD＝4,DO=ＯA ２－ＤA2=3,又点A 在第二象限∴点Ａ的坐标为(-3，4）, x m初中数学反比例函数难题
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反比例函数培优生试题讲义
反比例函数难题(含标准答案)
2 （x＞0）的图象上，顶点 A1、B1 分别在 x 轴、y 轴的 x 2 正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 x
1、（2011?宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y= P2 点的坐标为___________，则点 P3 的坐标为__________。
答案：P2（2，1） P2（ 3 +1， 3 -1）
2、已知关于 x 的方程 x +3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）x +3x-2a=0 有实根，且 k 为正整
2
2
数，正方形 ABP1P2 的顶点 P1、P2 在反比例函数 y= 点 P2 的坐标．
k ?1 （x＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求 x
答案：（2，1）或 （ 6 ，
6 ） 2
3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC 的边长为 2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．
答案：（1） y=
4 x
(2) ( 5 ? 1 , 5 - 1 )
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4、两个反比例函数 y= 答案：3
答案：3 5、（2007?泰安）已知三点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数 y= 则下列式子正确的是（ A．y1＜y2＜0 ）答案：D C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
k 的图象上，若 x1＜0，x2＞0， x
B．y1＜0＜y2
6、如图，已知反比例函数 y=
1 的图象上有点 P，过 P 点分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，使四边形 OAPB x
为正方形，又在反比例函数图象上有点 P1，过点 P1 分别作 BP 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、B1，使四边形 BA1P1B1 为 正方形，则点 P1 的坐标是________。
答案： ? 7、在反比例函数 y=
? 5 ? 1 5 -1 ? ? ? 2 ，2 ? ? ?
1 （x＞0）的图象上，有一系列点 P1、P2、P3、…、Pn，若 P1 的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与 x
它前一个点的横坐标的差都为 2．现分别过点 P1、P2、P3、…、Pn 作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所 示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 S1、S2、S3、…、Sn，则 S1+S2+S3+…+S2010=________。
答案：1 8、如图，四边形 ABCD 为正方形，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且 OA=2，OB=4，反比例函数 y= 限的图象经过正方形的顶点 D． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移_____个单位长度时，点 C 恰好落在反比例函数的图象上．
k (k≠0)在第一象 x
2/6反比例函数易错题难题
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