2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5

§3基本不等式3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y2>2|xy|D.x2+y2<2|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.若x>0,y>0,且√2xy≥x+2y2,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x>0,y>0,所以x+2y2≥√x·2y,即x+2y2≥√2xy.又√2xy≥x+2y2,所以必有√2xy=x+2y2,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2√ab,所以√ab≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd≤(c+d)24,所以(c+d)24≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.2ab+ba<12D.log2a+log2b<-2解析:因为0<a<b,且a+b=1,所以ab<(a+b2)2=14,所以log2a+log2b=log2(ab)<log214=-2.答案:D5.若a>0,b>0,则√a 2+b 22与a+b 2的大小关系是 . 解析:因为a 2+b 22=a 2+b 2+a 2+b 24≥a 2+b 2+2ab4=(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2,当且仅当a=b>0时,等号成立. 答案:√a 2+b 22≥a+b 26.设a>0,b>0,给出下列不等式: (1)(a +1a )(b +1b )≥4; (2)(a+b )(1a +1b )≥4;(3)a 2+9>6a ; (4)a 2+1+1a 2+1>2.其中正确的是 .解析:因为a+1a≥2√a ·1a=2,b+1b≥2√b ·1b=2,所以(a +1a )(b +1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b )(1a +1b )=1+1+ba +ab ≥2+2·√b a ·ab =4,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以(2)正确; 因为a 2+9≥22·9=6a ,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a 2+9=6a ,所以(3)不正确; 因为a 2+1+1a 2+1≥2√(a 2+1)·1a 2+1=2,当且仅当a 2+1=1a 2+1,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确. 答案:(1)(2)(4)7.若a ,b 为正实数,a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y,当且仅当a x =by 时取等号,利用以上结论,函数f (x )=2x +91-2x (x ∈(0,12))取得最小值时,x 的值为 . 解析:由题意可知f (x )=42x +91-2x ≥(2+3)22x+(1-2x ),当且仅当22x =31-2x 时,等号成立,解得x=15. 答案:158.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy=1,求x+y 的最大值. 解由x 2+y 2+xy=1可得(x+y )2=xy+1,又xy ≤(x+y 2)2,所以(x+y )2≤(x+y 2)2+1,整理得34(x+y )2≤1,当且仅当x=y 时取等号.所以x+y∈[-2√33,2√33].所以x+y的最大值为2√33.9.导学号33194061已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.证明因为√a+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时取等号,同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤2.B组1.已知m>0,n>0,α=m+1m ,β=n+1n,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m+1m +n+1n=(m+n)+m+nmn=2+2mn.因为m>0,n>0,所以mn≤(m+n2)2=1.所以α+β≥2+21=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以α+β的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:①若a<b,则a2<b2;②若a≥b>-1,则a1+a ≥b1+b;③若正整数m和n满足m<n,则√m(n-m)≤n2;④若x>0,且x≠1,则ln x+1lnx≥2,其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析:当a=-2,b=1时,a<b,但a2>b2,故①不成立;对于②,a1+a −b1+b=a(1+b)-b(1+a)(1+a)(1+b)=a-b(1+a)(1+b),因为a≥b>-1,所以a1+a−b1+b≥0,故②正确;对于③,√m(n-m)≤m+n-m2=n2(m<n,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=n2时,等号成立,故③正确;对于④,当0<x<1时,ln x<0,故④不成立.故选B.答案:B3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为()。

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升北师大版必修5一、选择题（每小题5分，共20分）1．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2错误!，a2＋b2,2ab中最小的一个是（）A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b解析：由基本不等式得错误!＞错误!，∴a＋b＞2错误!.又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴ab＜1，∴ab＜1，∴2错误!·错误!＜2错误!，即2ab＜2错误!.又2ab＜a2＋b2，∴2ab最小．答案：C2．设M＝错误!,N＝（错误!)x＋y,P＝3错误!(其中0＜x＜y），则M、N、P的大小顺序是（）A．P＜N＜M B．N＜P＜MC．P＜M＜N D．M＜N＜P解析: 由基本不等式知错误!＞错误!＝错误!＝（错误!)x＋y，即M＞N.又∵错误!＞错误!，而（3)x＋y＝3错误!＞3错误!，即N＞P，∴M＞N＞P.答案：A3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析：∵a＋b＝2,∴（a＋b）2＝4，即a2＋b2＋2ab＝4，又∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥4，∴a2＋b2≥2.答案:C4．已知a、b∈（0，＋∞)且a＋b＝1,则下列各式恒成立的是( ）A。

第1课时基本不等式课后篇巩固探究A组1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab≤1B.ab≥1C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4解析由已知可得ab≤=1,而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故只有A正确.答案A2.若x>0,y>0,且x+y=,则xy的最大值为()A. B.2 C. D.解析由基本不等式可得xy≤,当且仅当x=y=时,xy取最大值.答案D3.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.18B.6C.2D.2解析3a+3b≥2=2=2=6,当且仅当a=b=1时,取等号.故3a+3b的最小值是6.答案B4.已知a,b均为正实数,则下列不等式不一定成立的是()A.a+b+≥2B.(a+b)≥4C.≥a+bD.解析A项,a+b+≥2≥2,当且仅当a=b=时等号同时成立;B项,(a+b)=2+≥4,当且仅当a=b时取等号;C项,=a+b,当且仅当a=b时取等号.故选D.答案D5.若lg x+lg y=2,则的最小值为()A. B. C. D.2解析由lg x+lg y=2可知x>0,y>0,且xy=100,于是(x+y)≥·2,当且仅当x=y=10时,取等号.故的最小值为.答案B6.已知a>1,且m=log a(a2+1),n=log a(a+1),p=log a(2a),则m,n,p的大小关系是.(用“>”连接)解析∵a>1,∴a2+1>2a>a+1,∴log a(a2+1)>log a(2a)>log a(a+1),∴m>p>n.答案m>p>n7.已知t>0,则y=的最小值为.解析y==t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,取等号.故函数的最小值为-1.答案-18.已知a>b>c,则的大小关系是.解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴.当且仅当b=时取等号.答案9.已知a,b均为正实数,求证:+ab≥2.证明由于a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立.又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号.10.导学号04994085已知不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)=(2a+b)x-(x∈A)的最小值.解(1)由题意知解得(2)由(1)知a=1,b=2,A={x|1<x<2},所以f(x)=4x+ (1<x<2),而当x>0时,4x+≥2=2×6=12.当且仅当4x=,即x=时取等号.而x=∈A,故f(x)的最小值为12.B组1.已知=2(a>0,b>0),则ab的最小值是()A.4B.5C.6D.7解析∵=2(a>0,b>0),∴2≥2,化为ab≥6,当且仅当a=3,b=2时取等号.∴ab的最小值是6.故选C.答案C2.若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是()A.a2+b2+c2≥2B.a+b+c≤C.≤2D.(a+b+c)2≥3解析因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,于是a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1,故A错;而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)=3,故选项D正确;从而选项B错误;令a=b=c=,则ab+bc+ca=1,但=3>2,故选项C错误.答案D3.已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是()A. B.C. D.解析取x=1,y=2,可得,因此最大的是.答案A4.函数f(x)=的最小值等于.解析由基本不等式可知f(x)=≥2=4,当且仅当,即x=4时取最小值.答案45.已知a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则的最小值是.解析由已知得lg a+lg b=0,即ab=1,于是=a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时,取等号.故的最小值是2.答案26.已知函数f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=.解析由基本不等式,得4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,a=36.答案367.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0.(1)求x2+y2的取值范围;(2)求证:xy≤2.(1)解由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,得(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,因为x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.故x2+y2的取值范围是[0,4].(2)证明由(1)知x2+y2≤4,所以xy≤=2,当且仅当x=y时,取等号.故xy≤2.8.导学号04994086已知a,b为正实数,且=2.(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.解(1)∵a,b为正实数,且=2,∴=2≥2,即ab≥(当且仅当a=b时等号成立).∵a2+b2≥2ab≥2×=1(当且仅当a=b时等号成立),∴a2+b2的最小值为1.(2)∵=2,∴a+b=2ab.∵(a-b)2≥4(ab)3,∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3,即(2ab)2-4ab≥4(ab)3,即(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0.∵a,b为正实数,∴ab=1.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

高中数学新人教A 版必修5第三章不等式：课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值为( D )A ．10 B.110 C ．5D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0. 1x ＋1y≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0， 又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号．∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x (k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3 D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1， 所以log 2x >0，log 2y >0. 所以log 2x ·log 2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4， 当且仅当x ＝y ＝4时取等号． 故选D. 二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254.解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有 x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值；解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y ＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． ∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ； (2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4.证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2 ＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2) ≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． (2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边，当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤G C ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2aba ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H .13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2.15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x 米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x .令y ＝x ＋2×144x ≤44(x >0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]． (2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x ，即x ≈17.0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34.0， 即最少需要34.0米铁丝网．。

3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y2>2|xy|D.x2+y2<2|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.若x>0,y>0,且,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x>0,y>0,所以,即.又,所以必有,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2,所以≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd≤,所以≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0B.2a-b<C. D.log2a+log2b<-2解析:因为0<a<b,且a+b=1,所以ab<,所以log2a+log2b=log2(ab)<log2=-2.答案:D5.若a>0,b>0,则的大小关系是.解析:因为,所以,当且仅当a=b>0时,等号成立.答案:6.设a>0,b>0,给出下列不等式:(1)≥4;(2)(a+b)≥4;(3)a2+9>6a;(4)a2+1+>2.其中正确的是.解析:因为a+≥2=2,b+≥2=2,所以≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b)=1+1+≥2+2·=4,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以(2)正确;因为a2+9≥2=6a,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a2+9=6a,所以(3)不正确;因为a2+1+≥2=2,当且仅当a2+1=,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确.答案:(1)(2)(4)7.若a,b为正实数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则,当且仅当时取等号,利用以上结论,函数f(x)=取得最小值时,x的值为.解析:由题意可知f(x)=,当且仅当时,等号成立,解得x=.答案:8.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值.解由x2+y2+xy=1可得(x+y)2=xy+1,又xy≤,所以(x+y)2≤+1,整理得(x+y)2≤1,当且仅当x=y时取等号.所以x+y∈.所以x+y的最大值为.9.导学号33194061已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.证明因为,当且仅当a=时取等号,同理,当且仅当b=时取等号.所以(a+b)==2,当且仅当a=b=时取等号.所以≤2.B组1.已知m>0,n>0,α=m+,β=n+,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m++n+=(m+n)+=2+.因为m>0,n>0,所以mn≤=1.所以α+β≥2+=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以α+β的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:①若a<b,则a2<b2;②若a≥b>-1,则;③若正整数m和n满足m<n,则;④若x>0,且x≠1,则ln x+≥2,其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析:当a=-2,b=1时,a<b,但a2>b2,故①不成立;对于②,,因为a≥b>-1,所以≥0,故②正确;对于③,(m<n,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=时,等号成立,故③正确;对于④,当0<x<1时,ln x<0,故④不成立.故选B.答案:B3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为()A.(4,14)B.(6,6)C.(3,18)D.(5,10)解析:可设□中的正整数为x,△中的正整数为y,则由已知可得4x+y=30.因为,当且仅当,即y=2x时,等号成立,又4x+y=30,所以x=5,y=10,故选D.答案:D4.当x>3时,x+≥a恒成立,则a的最大值为.解析:因为x>3,所以x+=x-3++3≥2+3=5.当且仅当x-3=,即x=4时,等号成立.所以由题意可知a≤5.答案:55.若a>1,0<b<1,则log a b+log b a的取值范围是.解析:因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以-(log a b+log b a)=(-log a b)+(-log b a)≥2,当且仅当-log a b=-log b a,即a>1,0<b<1,ab=1时,等号成立.所以log a b+log b a≤-2.答案:(-∞,-2]6.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:>3.证明=-3=-3.因为a>0,b>0,c>0,所以≥2,≥2,≥2.又a,b,c不全相等,所以>6.所以-3>6-3=3.故原不等式成立.7.导学号33194062已知a>b>c,且恒成立.求n的最大值.解因为,a>b>c,所以(a-c)≥n.又(a-c)=(a-b+b-c)=2+≥2+2=4.当且仅当a-b=b-c,即a+c=2b时,等号成立.由恒成立,得n≤4,所以n的最大值为4.。

3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy≥1[答案] B[解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B ． 具体比较如下：∵0<x ＋y ≤4∴1x ＋y ≥14故A 不对；∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对； 又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14∴D 不对；1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10[答案] B [解析] 由m 2＋n 2≥2mn得，mn ≤m 2＋n 22＝50，等号在m ＝n ＝52时成立，故选B ．3．若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b2＝2，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故A 、B 、C 均错，选D ．[点评] 对于D 有，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥16－2×4＝8，∴1a 2＋b 2≤18. 4．实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( ) A ．18 B ．12 C ．23D ．43[答案] A[解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y ＝234＝18， 等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立．∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18.5．(2016·云南师大附中高三月考)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 等于( ) A ．2 B ．4 C ．22 D ．2 5[答案] C[解析] 当a >0，b >0时，ab ≤a ＋b 24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab 的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.故选C ．6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，∴22x ＋y ≤1， ∴2x ＋y ≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ．二、填空题7．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号．8．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ [答案]12(a －b )2 [解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2更简捷．。

第3章 不等式§3.1 不等关系 课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ；如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立．(2)符号表示a －b>0⇔a____b ；a －b ＝0⇔a____b ；a －b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质(1)a>b ⇔b____a(对称性)；(2)a>b ，b>c ⇒a____c(传递性)；(3)a>b ⇒a ＋c____b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac____bc ；a>b ，c<0⇒ac____bc ；(5)a>b ，c>d ⇒a ＋c____b ＋d ；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd ；(7)a>b>0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____n b .一、填空题1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是________．①1a <1b ；②a 2>b 2；③a c 2＋1>b c 2＋1；④a |c |>b |c |. 3．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 4．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．5．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题不成立的是________．(只填序号)①a 2<b 2；②a 2b <ab 2；③1ab 2<1a 2b ；④b a <a b. 6．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是__________．7．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________．8．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是________．①ab >ac ；②ac >bc ；③a |b |>c |b |；④a 2>b 2>c 2.9．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中不正确的是____________． ①b －a >0；②a 3＋b 3<0；③a 2－b 2<0；④b ＋a >0.10．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b>0(其中a 、b 、c 、d 均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．二、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是________．(填序号)①a 1b 1＋a 2b 2；②a 1a 2＋b 1b 2；③a 1b 2＋a 2b 1；④12. 14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．答案：第3章 不等式§3.1 不等关系知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．2．③解析 对①，若a>b ，b<0，则1a >0，1b <0，此时1a >1b， ∴①不成立；对②，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴②不成立；对③，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立， ∴③正确；对④，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴④不成立．3.x 1＋x 2≤12解析 x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x 2≤12. 4．A>B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数．∴A>B.5．①②④解析 对于①，在a<b 中，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立； 对于②，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于③，∵a<b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于④，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故不成立． 6．b<a<c解析 ∵1e<x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ， 则－1<t<0.∴a －b ＝t －2t ＝－t>0.∴a>b.c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)，又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.7．M>N解析 当a>1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为R ＋上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，此时，y ＝log a x 为R ＋上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴a >0且a ≠1时，总有M >N .8．①解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，⎩⎨⎧ a >0b >c ⇒ab >ac .9．①②③解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，①错，④对．a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a －b 2)2＋34b 2] ∴a 3＋b 3>0，②错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0.③错．10．3解析 c a －d b >0⇔bc －ad ab>0，所以下列三个命题都成立： ①⎩⎪⎨⎪⎧ab >0bc －ad >0⇒c a －d b >0； ②⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0c a －d b>0⇒bc －ad >0； ③⎩⎪⎨⎪⎧ bc －ad >0c a －d b>0⇒ab >0. 11．解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1， 即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0，即f (x )＞g (x )． 综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )． 13．①解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34， 则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38， a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12. 又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1， a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1， ∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1 ＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。

单元综合测试三(第三章)时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a >b >c ，则一定成立的不等式是( C ) A ．a |c |>b |c | B ．ab >ac C ．a －|c |>b －|c |D.1a <1b <1c解析：∵a >b ，∴a －|c |>b －|c |.2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( B ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 3．不等式x －1x≥2的解集为( A ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：由x －1x ≥2得x ＋1x≤0， ∴其解集为{x |－1≤x <0}．4．已知x 2＋ax ＋b <0的解集为(2,3)，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( D ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由x 2＋ax ＋b <0的解集为(2,3)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根为2,3，所以－a ＝2＋3＝5，b ＝2×3＝6，即a ＝－5，b ＝6，故bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 5．若x >0，y >0且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( B ) A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析：取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D ，选B. 具体比较如下： ∵0<x ＋y ≤4，∴1x ＋y ≥14，故A 不对； ∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对； 又0<xy ≤4，∴1xy ≥14，∴D 不对．1x ＋1y＝x ＋y xy ≥2xy xy＝2xy，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为( D )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1解析：画出图形如图所示，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标(－2,2)，(a ，－a )，(a ，a ＋4)．∴S ＝12|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1(a ＝－5舍去)．故选D 项．7．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，则不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <g (x )max ，又g (x )max ＝g (4)＝－2，所以a <－2.8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5公里处B ．4公里处C ．3公里处D ．2公里处解析：由已知得y 1＝20x，y 2＝0.8x ，(x 为仓库与车站距离)费用之和y ＝y 1＋y 2＝20x＋0.8x ≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立，故选A.9．有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是( C )A ．4.7 mB ．4.8 mC ．4.9 mD ．5 m解析：设两个直角边为a ，b ，则ab ＝2，周长l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，则a 的最小值为( C )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：可利用一元二次不等式与二次函数之间的关系求解，也可分离变量化为y ＝x ＋1x型函数，利用其单调性求解．∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x . ∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，在x ＝12处取得最小值52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若a <b <0，则1a －b 与1a 的大小关系为1a －b <1a. 解析：∵1a －b －1a ＝a －(a －b )a (a －b )＝b a (a －b )<0.∴1a －b <1a. 12．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是a ≥15.解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤15，故a ≥15.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是(－1，2－1)．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．14．若x ，y ∈(0,2]，已知xy ＝2，且6－2x －y ≥a (2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围是a ≤1.解析：x ，y ∈(0,2]，①当x ＝2时，成立．②当x ≠2时，a ≤6－2x －y 8－2y －4x ＋2＝5－2x －y ＋110－2y －4x ＝12＋110－4x －4x ，而12＋110－4x －4x≥12＋110－24x ·4x＝12＋12＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．∴a ≤1.15．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1； ②a ＋b ≤2； ③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3； ⑤1a ＋1b≥2.解析：该题考查均值不等式及不等式的证明方法． ①ab ≤1，由均值不等式ab ≤(a ＋b2)2＝(22)2＝1， ∴正确．②a ＋b ≤2，分析法：要证原式成立．只需证a ＋b ＋2ab ≤2. ∵a ＋b ＝2，只需证2ab ≤0，上式显然不成立，故错误． ③a 2＋b 2≥2，∵a 2＋b 2≥2ab 且2ab ＝4－(a 2＋b 2)， ∴2(a 2＋b 2)≥4，a 2＋b 2≥2， ∴正确．④a 3＋b 3≥3，当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2不成立，举反例，∴错误．⑤1a ＋1b ≥2，分析法：1a ＋1b ≥a ＋b ，即a ＋b ab≥a ＋b ，∴即证1ab≥1.∵0<ab ≤1，∴1ab≥1，故正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z≥36.证明：∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x＋4x y＋z x＋9x z＋4z y＋9yz≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．17．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0. 解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 8<0. ①当－a 7<a8，即a >0时，－a 7<x <a8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅； ③当－a 7>a8，即a <0时，a 8<x <－a7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a 7<x <a8 ； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 8<x <－a7 .18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2＋3x －18>0}，B ＝{x |(x －k )(x －k －1)≤0}，若A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．解：解法一：由x 2＋3x －18>0，得(x ＋6)(x －3)>0，所以x >3或x <－6，所以A ＝{x |x <－6或x >3}．由(x －k )(x －k －1)≤0，得k ≤x ≤k ＋1，所以B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}． 如图，因为A ∩B ≠∅， 所以k ＋1>3或k <－6， 解得k <－6或k >2.故k 的取值范围是{k |k <－6或k >2}．解法二：先求使A ∩B ＝∅时的k 的取值范围．由解法一，得A ＝{x |x <－6或x >3}，B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}．若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤3，k ≥－6，所以－6≤k ≤2.故使A ∩B ≠∅的k 的取值范围是{k |k <－6或k >2}．19．(本小题满分12分)已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，分别求u＝4x －3y 的最大值和最小值．解：已知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥04x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0，在同一直角坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0，x ＋2y －3＝0，再根据不等式组确定可行域，如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝04x －3y －12＝0，解得点A 的坐标为(9,8)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝04x －3y －12＝0，得点C 的坐标为(3,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝0x ＋2y －3＝0，解得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，52.求u ＝4x －3y 的最值，相当于求直线y ＝43x －u 3中纵截距b ＝－u3的最值，显然，b 最大时u 最小，b 最小时u 最大．如图所示，当直线y ＝43x ＋b 与直线AC 重合时，截距b ＝－4为最小．∴u max ＝－3b ＝12；当直线y ＝43x ＋b 经过点B 时，截距b ＝316为最大，∴u min ＝－3b ＝－312.20．(本小题满分13分)某镇为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2010年该镇从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的23.根据测算，该镇从两个企业获得的利润达到2 000万元可以解决温饱问题，达到8 100万元可以达到小康水平．(1)若以2010年为第一年，则该镇从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？(2)试估算2018年底该镇能否达到小康水平？为什么？解：(1)若以2010年为第一年，则第n 年该镇从这两家企业获得的利润为y n ＝320×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ≥1)＝80[4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]≥2×80×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝2×80×6＝960，当且仅当4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即n ＝2时，等号成立，所以第二年(2011年)上交利润最少，利润为960万元．由2 000－960＝1 040(万元)，知还需另筹资金1 040万元可解决温饱问题．(2)2018年为第9年，该年可从两个企业获得利润y 9＝320×⎝ ⎛⎭⎪⎫328＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫238>320×⎝ ⎛⎭⎪⎫328＝320×81×8116×16＝20×81×8116>20×81×5＝8 100.所以该镇到2018年底可以达到小康水平．21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1，x ∈R .(1)若方程f (x )＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，求实数m 的取值范围． (2)解不等式f (x )<(m ＋2)x 2－2mx . 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，Δ＝(－4m )2－4(m ＋3)(2m －1)>0，x 1＋x 2＝4m m ＋3<0，x 1x 2＝2m －1m ＋3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m >32或m <1，－3<m <0，－3<m <12，解得－3<m <0，所以实数m 的取值范围是(－3,0)． (2)不等式可化为x 2－2mx ＋2m －1<0， 即[x －(2m －1)](x －1)<0，①当m <1时，不等式的解集为{x |2m －1<x <1}； ②当m ＝1时，不等式的解集为∅；③当m >1时，不等式的解集为{x |1<x <2m －1}．。