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知识讲解1.三角形的分类：1)按边分类:2）按角分类：2.三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的_____________.（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_____的线段叫做三角形的中线. （3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的_______和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角：✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的_____.✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于__________.✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其_______度数；③求一个三角形中各角之间的关系。
（2）三角形的外角✓定义：三角形一边与另一边_____组成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角和为_____。
✓性质：①三角形的一个外角等于与它____相邻的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于与它______相邻的任何一个内角.4．三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差_____于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和____最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.考点/易错点1关于三角形的高的注意事项：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形______，三条高的交点也在三角形____部；钝角三角形有两条高落在三角形的_____部，一条在三角形_____部，三条高所在直线交于三角形___一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。
第二讲 与三角形相关的角【知识归类】1、三角形内角和定理；2、三角形内角和定理的推论（外角定理）；3、直角三角形的性质及判定.【典例讲练】一、基础过关 【例1】（1）如图1，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝50°，则∠C ＝__________°.（2）如图2，在△ABC 中，点D 在CA 的延长线上，∠B ＝35°，∠C ＝52°，则∠BAD ＝__________° （3）如图3，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠B ＝36°，则∠A ＝__________°.【练】（1）在△ABC 中，∠A ＝30°，则∠B ＋∠C ＝__________°.（2）在△ABC 中，∠ABC 的外角为55°，∠A ＝35°，则∠C ＝__________°.（3）在△ABC 中，∠A ＝37°，∠C ＝53°，则AB 与BC 的位置关系为__________.【拓】小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠1＋∠2等于__________°.二、内角和、方程、不等式【例2】在△ABC 中，80C ∠=︒，20A B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是( )A ．60︒B ．30︒C ．20︒D ．40︒【变1】在△ABC 中，若∠A ﹣2∠B ＋∠C ＝0，则∠B 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【变2】适合条件∠A ＝∠B ＝12∠C 的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形图3图2图1CBADC BAC BAF EDCBA21【变3】在锐角△ABC 中，∠B ＝3∠C ，则∠C 的取值范围是___________．【拓】在三角形中，最大角α的取值范围是___________．〖总结〗三、简单应用【例3】如图，△ABC 中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．【变1】如图，将ABC △沿着DE 翻折，若1280∠+∠=︒，则B ∠= ．【变2】如图，由图１的ABC △沿DE 折叠得到图２；图3；图4．（1）如图２，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由； （2）如图３，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由； （3）如图４，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由．21ED B CA A BCDE 12图112ABCD E 图212ED CBA 图321ABCD E图421ED CBA四、高、双直角、双高【例4】如图，CD ⊥AB ，∠1＝∠2，∠A ＝55°，求∠BCA 的度数．【变1】如图，已知在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．【变2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .（1）若∠B ＝35°，求∠ACD 的度数； （2）求证：∠ACD ＝∠B .【变3】在△ABC 中，（1）如图一，AB 、AC 边上的高CE 、BD 交于点O ，若∠A ＝60°，则∠BOC ＝ _________ °． （2）如图二，若∠A 为钝角，请画出AB 、AC 边上的高CE 、BD ，CE 、BD 所在直线交于点O ，则∠BAC ＋∠BOC ＝ _________ °，再用你已学过的数学知识加以说明． （3）由（1）（2）可以得到，无论∠A 为锐角还是钝角，总有∠BAC ＋∠BOC ＝ _________ °．〖总结〗DCBA五、高线＋角平分线【例5】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，∠BAC ＝60°，∠ABE ＝25°．求∠DAC 的度数．【变1】已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE ＝∠CEF ．【变2】在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线；（1）若AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠B ＝30°，∠C ＝70°（如图1），求∠EAD 的度数；（2）若F 是AE 上一点，且FG ⊥BC ，垂足为G （如图2），求证：∠EFG ＝12(∠C －∠B )；（3）若F 是AE 延长线上一点，且FG ⊥BC ，G 为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．【变3】如图，已知AD 是△ABC 的角平分线（∠ACB ＞∠B ），EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，（1）如果∠ACB ＝90°，求证：∠M ＝∠1；（2）求证：∠M ＝12（∠ACB ﹣∠B ）．〖总结〗【例6】如图，求α∠的度数．【变1】如图，P 是△ABC 内一点，试比较∠BPC 与∠A 的大小．【变2】如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，则4∠的度数为_________°．【变3】如图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．【变4】如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B ＝60°，∠F ＝56°，则∠BDC的度数为__________°.〖总结〗αD CB A73︒30︒37︒PCBA4321ABDECαGFEDCBAFEDBA【例7】如图，求C D ∠+∠的度数．【变1】如图，线段AD 与BC 交于点O ，连接AB ，CD ，求证：∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D .【变2】（1）如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．（2）如下图，已知133α∠=︒，83β∠=︒，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ．【拓1】（三叶草模型）如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．【拓2】如图，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系__________.〖总结〗 70︒30︒E DCBA O DCBAABC D EFDCBAβαO F E D C BA【例8】在△ABC中.（1）如图①，点P在AC上（不同于A，C两点），∠BPC与∠A的大小关系是；（2）如图②，点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的大小关系是；（3）如图③，点P是∠ABC，∠ACB平分线的交点，此时，∠BPC与∠A的等量关系是：；（4）如图④，点P是∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交点时，∠BPC与∠A的等量关系是：；（5）如图⑤，点P是∠DBC与∠BCE的平分线交点，∠BPC与∠A的等量关系是：.【变】（1）在△ABC中，BD是ABC∠的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，BD、CD交于点D，若70∠=︒，则DA∠=__________．（2）在△ABC中，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∠BIC＝130°，则∠A＝__________．（3）在△ABC中，点P是△ABC的∠A和∠C的外角平分线的交点，∠B＝40°，则∠BPC＝__________.【拓1】如图，已知BF、CE交于点D，BE、CF交于点A，∠AEC与∠ABF的平分线交于点M，∠ACE与∠AFB的平分线交于点N，试探究∠M与∠N的大小关系，并说明理由.【拓2】阅读下面的材料，并解决问题：已知在△ABC 中，∠A ＝60°. （1）如图（1），∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC ＝ ；（2）如图（2），∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点O 1、O 2，则∠BO 1C ＝ ；∠BO 2C ＝ ； （3）如图（3），∠ABC 、∠ACB 的n 等分线交于点O 1、O 2、……、O n －1，则∠BO 1C ＝ ；∠BO n －1C ＝ ．（用含n 的代数式）图（1） 图（2） 图（3）〖总结〗【家庭作业】1、若△ABC 中，2（∠A ＋∠C ）＝3∠B ，则∠B 的外角度数为__________.．2、如图，∠A ＝20°，∠C ＝90°，则∠B ＋∠D ＝__________．3、如图，已知70A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒，则BOC ∠度数为__________．4、如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则( )．A ．12A ∠=∠+∠B ．1(12)2A ∠=∠+∠C ．1(12)3A ∠=∠+∠D ．1(12)4A ∠=∠+∠5、如图，∠AEB ，∠AFD 的平分线相交于点O ，∠DAB ＋∠BCD ＝200°，则∠EOF 的度数为 ．第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 OB A CO 2O 1BA CCDA B CABCDE 12DCO FBPAE6、已知：在△ABC中，（1）如图（1），BD平分∠ABC，CD平分∠AC B．试判断∠A和∠BDC的关系．（2）如图（2），BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．试判断∠A和∠BEC的关系．（3）如图（3），BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试判断∠A和∠BFC的关系．7、如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式____________．8、在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，点P 为直线AC 上一动点，PO ⊥BO 于点O ． （1）如图1，当∠ABC ＝40°，∠BAC ＝60°，点P 与点C 重合时，∠APO ＝ _________ ； （2）如图2，当点P 在AC 延长线时，求证：∠APO ＝12（∠ACB ﹣∠BAC ）；（3）如图3，当点P 在边AC 所示位置时，请直接写出∠APO 与∠ACB ，∠BAC 等量关系式 _________ ．9、如图，△ABC 三条角平分线AD 、BE ，CF 交于点G ，GH ⊥BC 于H ，求证：∠BGD ＝∠CGH ．10、如图，在三角形ABC 中，42A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，求B D C ∠的度数．11、如图，已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的角平分线与∠ABO的外角平分线交于点C．①当∠OAB＝60°时，求∠ACB的度数；②试猜想，随着点A，B的移动，∠ACB的度数是否变化？说明理由．12、如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D＋∠C＝∠A＋∠B．【提出问题】分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？【解决问题】为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝．（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：易证∠D＋∠1＝∠E＋∠3，∠B＋∠4＝∠E＋∠2，∴∠D＋∠1＋∠B＋∠4＝，∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝度．（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：．【类比应用】如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度数．。
《与三角形有关的角》典型例题知识点1 三角形的内角例1 （基础题）在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．精析与解答 解法一：设∠B ＝x °，则∠A ＝100°－x °，∠C ＝2x ° ∴ 100°—x °十x °十2x °＝180°（三角形内角和定理）解方程，得x °＝40°，即∠B ＝40°，∠A ＝60°，∠C ＝80°． 解法二：根据题意可列出方程⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠∠︒∠∠③＝＋＋②＝①＝＋1802100C B A BC B A把①代入③，得∠C ＝④︒80把④代入②，得∠B ＝⑤︒40 把⑤代入①，得∠A ＝．说明：本题要求出△ABC 的三个内角，除了普遍成立的条件“∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°”以外，只要给出两个独立条件，就可用解方程（组）的方法，得到惟一确定的解．例2 （能力题）如图7-18所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交AB 于E ，交AC 于F ，交BC 的延长线于H ．求证：∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．证明 如何把∠H 、∠B 、∠ACB 联系在一起是此题的关键．当注意到∠H 、∠B 是△EBH 的两个内角时，便会发现：∠3＝∠B ＋∠H ，即∠H ＝∠3－∠B ．而∠3＝90°－∠1＝90°－21∠BAC ＝21（180°－∠BAC ），然后把这个式子中的180°换成∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ，就可以证出原结论了．∵ AD ⊥EF ，∴ ∠3＝90°－∠1．∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝21∠BAC ．又∵ ∠3是△HEB 的一个外角，∴ ∠H ＝∠3－∠B ＝90°－∠1－∠B＝90°－21∠BAC －∠B ＝21（180°－∠BAC －B ∠2） ＝21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB －∠BAC －B ∠2） ＝21（∠ACB －∠B ）．故∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．说明：①在此题的证明过程中，用△ABC 的三个内角的和去替换180°，是几何证明中的重要的转化思想，有时也可以用21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ）去替换90°，以达到证题的目的，初学者要注意体会；②上述的证明是借助于∠H ＝∠3－∠B ，本题还可以考虑∠H ＝90°－∠5，∠H ＝∠ACB －∠HFC ，∠H ＝∠ADB －90°等来证明．知识点2 三角形的外角例3 （基础题）一个三角形三个外角之比为2∶3∶4，求三个内角之比． 精析与解答 三角形的外角与相邻内角是互补的关系，只要能求出三个外角，自然三个内角也就容易得到，它们的比也就轻而易举了．由题意，设三角形的三个外角分别为（2x ）°，（3x ）°，（4x ）°，则2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝40∴ 2x ＝80，3x ＝120，4x ＝160∴ 三角形的三个内角分别是100°、60°、20°∴ 它们的比为100∶60∶20＝5∶3∶1故三个内角的比为5∶3∶1．说明：“三角形的三个外角和等于360°”是解此题的基础．例4 （能力题）如图7-19所示，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B ＝75°，∠C ＝45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数．精析与解答 解法一：∵ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°∠B ＝75°，∠C ＝45°∴ ∠BAC ＝60°，∵ AE 平分∠BAC∴ ∠BAE ＝∠CAE ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高，∠B ＋∠BAD ＝90°∴ ∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－75°＝15°∴ ∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－15°＝15°∵ ∠AEC 是△AEB 的外角∴ ∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝75°＋30°＝105°解法二：同解法一，得出∠BAC ＝60°∵ AE 平分∠BAC∴ ∠EAC ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高∴ ∠C ＋∠CAD ＝90°∴ ∠CAD ＝90°－45°＝45°∴ ∠DAE ＝∠CAD －∠CAE ＝45°－30°＝15°∵ ∠AEC ＋∠C ＋∠EAC ＝180°∴ ∠AEC ＋45°＋30°＝180°∴∠AEC＝105°故∠DAE＝15°，∠AEC＝105°说明：求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．例5 （能力题）已知：CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＞∠B证明证角的不等关系，想到三角形内角和定理的推论3，从而想到看一看大角∠BAC是不是某个三角形外角．由图7-20知∠BAC是△ACE的外角，有∠BAC＞∠1，而∠1＝∠2，故只须证∠2＞∠B，而∠2是△BCE的一个外角，∠B 是△BCE的一个和∠2不相邻的内角，所以有∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B．∵CE平分∠ACD（已知），∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠2，∵∠2＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠B说明：此题证明过程中，除利用“三角形的一个外角大于任一和它不相邻的内角”这一结论外，还借助“∠2”来传递不等关系．在证明两角不等关系时，有时还可将两角放在同一三角形中，利用“大边对大角”来证明．。
第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段【高、中线（重心）、角平分线】
两边之差＜第三边＜两边之和。
按边分类、三角形的稳定性。
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
备注：推论和定理一样，可以作为进一步推理的依据。
11.3 多边形及其内角和
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭式图形。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。
n边形内角和等于（n-2）×180º。
多边形的外角和等于360º。
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良好的学习态度能够更好的提高学习能力。
良好的学习态度应该包括：
1、主动维持学习的兴趣，不断提升学习能力。
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4、信任自己的学习能力，制定学习复习计划。
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因此，良好的学习态度的养成，应该从养成良好的学习习惯开始。
无论是初学者，还是学有所成者，都应该有一个良好的学习态度，都应该有一个良好的学习习惯。
三角形的内角和定理人教八上初中数学试卷金戈铁骑整理制作11-4一、学习目标理解“三角形的内角和等于180°”及证明过程；证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理；运用三角形内角和定理解决问题．二、知识回顾拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？三、新知讲解1．三角形内角和定理定理三角形三个内角的和等于180°符号语言在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°图示2．三角形内角和定理的证明已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．〖方法1〗证明：过A点作DE∥BC，∵DE∥BC，（已作）∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，(平角=180°)∴∠BAC+∠B+∠C=180°，(等量代换)〖方法2〗证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，(平角=180°)∴∠A+∠B+∠ACB=180°．(等量代换)3．三角形内角和定理的应用（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角；（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．三角形的内角和定理【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80°B．75°C．90°D．108°总结：给出三角形三个内角的比求内角度数时，通常要设未知数，通过列方程求解．【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°总结：关于三角形与平行线结合的问题，求解时，先从平行线的性质入手，把有关角转化到三角形中，再利用三角形的内角和定理求解．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP 平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°总结：三角形中两内角平分线相交组成的角等于90°与第三个内角一半的和.练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．30°练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．2．三角形内角和定理的实际应用【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？总结：1．“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少.2．在有关方位角的计算中，常常构造三角形，在三角形中计算角的度数.练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为________度．一、选择题1．（2014•江北区模拟）在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（）A．90°B．94°C．98°D．108°2．（2014春•合川区校级期中）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50°B．40°C．70°D．35°4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=，∠C=．6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C=．7．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE=．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和为多少度？并选择一图加以说明．典例探究答案：【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80°B．75°C．90°D．108°分析：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，根据三角形内角和定理得到3x+4x+5x=180°，然后解方程求出x后计算5x即可．解答：解：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，所以3x+4x+5x=180°，解得x=15°，所以5x=75°．故选B．点评：本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°分析：根据平行线的性质可得∠C=∠AED=45°，再利用三角形内角和为180°可以计算出∠A的度数．解答：解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，故选：B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180°．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°分析：根据三角形内角和定理计算．解答：解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，∴∠BPC=115°．故选C．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．30°分析：根据已知条件求出∠B的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵4∠B=104°，∴∠B=26°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣104°﹣26°=50°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠B的度数，然后列出∠C的表达式是解题的关键．练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．解答：解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，5k°．则3k°+4k°+5k°=180°，解得k°=15°，∴5k°=75°，3k°=45°，4k°=60°，所以这个三角形是锐角三角形，故选A．点评：此题主要考查三角形的按边分类，直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键．练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35°．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．点评：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？分析：根据方位角就可求得BA与正北方向的夹角，即可得到∠ABC，在△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠BAE=30°，∴∠ABD=30°，∴∠ABC=∠DBC-∠ABD=75°-30°=45°．在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：∠ACB=180°-45°-55°=80°，即从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．点评：本题主要考查了方位角的定义，以及三角形的内角和定理．练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为_____度．分析：连接BD，根据对顶角相等得到∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，然后根据三角形内角和定理进行计算即可．解答：解：连接BD，如图，∵∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-23°-38°=119°．故答案为：119．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了对顶角相等．课后小测答案：一、选择题1．（2014•江北区模拟）在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（）A．90°B．94°C．98°D．108°解：如图所示：∵∠A=3∠C=54°，∴∠C=18°，∴∠B的度数是：180°﹣∠A﹣∠C=108°．故选：D．2．（2014春•合川区校级期中）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形解：∵∠A=20°，∴∠B=∠C=（180°﹣20°）=80°，∴三角形△ABC是锐角三角形．故选A．3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50°B．40°C．70°D．35°解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．故选B．4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．故选B．二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=，∠C=．解：设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：2x°+3x°+4x°=180°，解得：x=20∴∠A=40°，则∠B=60°，∠C=80°，故答案为：40°、80°6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C=．解：∵∠A=35°，∠AOB=75°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣35°﹣75°=70°．又∵AB∥CD，∴∠C=∠B=70°．7．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE=．解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∴∠BCE=∠ACB=45°，∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=30°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=45°﹣30°=15°．故答案为：15°．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．解：∵∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=35°，又∵∠1=35°，∴∠D=180°﹣（∠1+∠DAC）=180°﹣（35°+35°）=110°．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．解：∵AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，又∠BAC+∠DCA=180°⇒∠CAE+∠ACE=（∠BAC+∠DCA）=90°，∠E=180°﹣（∠CAE+∠ACE）=90°，∴∠E=90°．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，图①：∵∠A+∠D=∠BNM，∠E+∠C=∠BMN，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠B+∠BNM+∠BMN=180∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．图②：延长AD交BE于点F，再根据三角形外角的性质解答；③同①，∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．。
