江苏省南京市溧水区孔镇中学2018届中考数学二轮专题复习练习：专题九 相似三角形(答案)$864586

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

解方程组与不等式组一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1 解方程组1. 22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩2. 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩例2 解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩例3.解方程组5222125x y z x y z x y z -+=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩例4.解方程组3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩例2. 解下列不等式组：（1）24760x x x -≤≤⎧⎨-->⎩；（2）22412010x x x x ⎧+->⎪⎨-+≤⎪⎩；（3）2620(2)(2)1x x x x ⎧--+<⎨-+>⎩ ．巩固练习及作业1．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩2. 解下列三元一次方程组（1）15239548x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩3.解下列方程组：（1）26,;x y y x ⎧+=⎨=⎩ （2）220,3210;x y x xy -=⎧⎨+=⎩4.解下列方程组：（1）3,2;x y xy +=-⎧⎨=⎩ （2）1,6;x y xy +=⎧⎨=-⎩三、解下列方程组：（1）2(23)0,1;x x y x -=⎧⎨=-⎩ （2）(343)(343)0,325;x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩1. 解不等式组：(1)22603720x x x -+>⎧⎨-+>⎩； (2)22103540x x x x ⎧++>⎪⎨-+>⎪⎩.4、解下列关于x 的不等式组。

1 / 10南京市溧水区-初三数学第二次调研测试一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．计算－1＋2的值是（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32．不等式组⎩⎨⎧ 2 x ＞－1，x －1≤0的解集是（ ）A ．x ＞－12B ．x ＜－12C ．x ≤1D ．－12＜x ≤13. 计算32)(a 的结果是（ ）A. 23a B. 32a C. 5a D. 6a4．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天(以24小时计)转动通过的路程约是（ ）A ．0.264×10 7千米B ．2.64×10 6千米C ．26.4×10 5千米D ．264×10 4千米5．如图，△ ABC 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD=31，BD ＝29，AE ＝30，CE ＝32．若∠A =50°，则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系， 下列正确的为（ ）A ．∠1＞∠3B ．∠2＝∠4C ．∠1＞∠4D ．∠2＝∠36．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，3），M 为x 轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．分解因式：2288x x -+= ． 8．计算：2+8 =__ _ ____．9．方程2(2)2(2)0x x ---=的解为 ．10．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差．统计如下表：选手 甲乙丙平均数 9．3 9．3 9．3 方差0．0260．0150．032则射击成绩最稳定的选手是 （填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）．11．如图（1），两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位图D ABC A ′B ′C D ′ DBC （第5题）2 / 10置，得到图（2），则阴影部分的周长为 ．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1，那么cos B = ．13．已知一次函数2y x b =-+的图象过点),(11y x 、),(22y x ．若112=-x x ，则21y y -= ． 14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠ACB=50°，则∠CBD= °． 15．如图，在函数4y x=（x >0）的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n +1，点P 1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S n = ．（用含n 的代数式表示）16．如图，相距2cm 的两个点A ，B 在直线l 上，它们分别以2 cm/s 和1 cm/s 的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1 cm 的⊙A 1与半径为BB 1的⊙B 1相切，则点A 平移到点A 1的所用时间为 s ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝4，2x －y ＝5．18．（6分）计算： a a －1 ÷a 2－a a 2－1 －1a －1 ．19．（8分）已知：如图，△ABC ≌△CAD ． （1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（第14题）AOBC DlA B（第16题）3 / 10（2）若AE 、CF 分别平分∠CAD 、∠ACB ，且∠CFB ＝∠B ，求证：四边形AECF 为菱形．20．（9分）以下是某省教育发展情况有关数据：全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人． 请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析． (1)整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中；(2)描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充完整； (3)分析数据：○1分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出；（师生比=在职教师数∶在校学生数 ）○2根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可） ○3从扇形统计图中，你得出什么结论？（写出一个即可）21．（8分）甲、乙、丙三个球迷决定通过抓阄来决定谁得到仅有的一张球票．他们准备了三张纸片，其中一张上画了个五星，另两张空白，团成外观一致的三个纸团．抓中画有五星纸片的人才能得到球AB C D E F (第19题) 全省各级各类学校所数扇形统计图高中1.8%全省教育发展情况统计表4 / 10票．刚要抓阄，甲问：“谁先抓？先抓的人会不会抓中的机会比别人大？”你认为他的怀疑有没有道理？谈谈你的想法和原因．22．（8分）某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．现将某种原价为200元的药品，经过连续两次降价后，价格控制在100～140元范围内．若两次降价相同的百分率，且已知第二次下降了32元，试求第一次降了多少元．23．（8分）某数学兴趣小组，利用树影测量树高．如图（1），已测出树AB 的影长AC 为12m ，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角． （1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．24．（8分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点M ，N ，P 分别为AD ，BC ，CD 的中点．现从点P 观察线段AB ，当长度为1的线段l （图中的黑粗线）以每秒1个单位长的速度沿线段MN 从左向右运CDP（第22题）BA30°（图1） C（备用图）BA太阳光线动时，l将阻挡部分观察视线，在△P AB区域内形成盲区．设l的左端点从M点开始，运动时间为t 秒（0≤t≤3）．设△P AB区域内的盲区面积为y（平方单位）．(1) 求y与t之间的函数关系式；(2) 请简单概括y随t的变化而变化的情况．25．（8分）已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．26．（9分）ABCDO(第25题)E5 / 106 / 10（1）探究规律：已知：如图（1），点P 为□ABCD 内一点，△P AB 、△PCD 的面积分别记为S 1、S 2，□ABCD 的面积记为S ，试探究S 1+S 2与S 之间的关系．（2）解决问题：如图（2）矩形ABCD 中，AB = 4，BC =7，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE=CG =3，AH=CF =2．点P 为矩形内一点，四边形AEPH 、四边形CGPF 的面积分别记为S 1、S 2，求S 1+S 2．27．（10分）已知二次函数265y x x =-+-的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），顶点为C ．（1）通过配方，确定点C 坐标；（2）二次函数2224y x mx m =-+-的图像与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左侧），顶点为F ． ○1若存在以六点A 、B 、C 、D 、E 、F 中的四点为顶点的四边形为菱形，则m = ； ○2是否存在以六点A 、B 、C 、D 、E 、F 中的四点为顶点的四边形为矩形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．ABCD P(第26题图（2）)HE FGABCDP(第26题图（1）) S 1S 27 / 10初三二模数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．22(2)x - 8．3 2 9．x 1＝2，x 2＝4 10．乙 11．2122 13．-2 14．50° 15．4(1)n n + 16．0.5或1.5 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）解：①＋②，得3x ＝9．………………………………………1分解得x ＝3．………………………………………………3分 把x ＝3代入①，得y ＝1． ……………………………5分∴原方程组的解是⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝1．……………………………6分18．（本题6分）解：原式＝ aa －1·a 2－1a 2－a －1a －1……………………………2分＝ aa －1·（a －1）（a ＋1）a （a －1）－1a －1………………4分 ＝a ＋1a －1 －1a －1……………………………………5分 ＝aa －1． …………………………………………6分 19.（本题8分）（1）∵△ABC ≌△CAD ，∴AB=AC ，AC=CD ，BC=AD ． ……………………1分∴AB= CD ．……………………………………………2分 ∴四边形ABCD 为平行四边形．……………………3分 （2） ∵AB=AC ，∴∠ACB ＝∠B ．又∵∠CFB ＝∠B ，∴∠ACB ＝∠CFB ．∴∠BCF =∠CAB ，又∵∠ACF =∠BCF ，∴∠ACF ＝∠CAF ．∴AF=CF ． ……………………………………………………5分 ∵∠CFB ＝∠B ，∴CF=CB ．∴AF=CF=CB ． ………………………………………………6分 同理，AE=CE=AD ．AB C D E F (第19题)8 / 10又∵CB=AD ，∴AF=CF= AE=CE ．……………………………7分 ∴四边形AECF 为菱形． ……………………………………8分 20.（本题9分）（1）全省教育发展情况统计表 （2）如图所示： 学校所数（所）在校学生数（万人） 教师数（万人） 小学 12500 440 20 初中 2000 200 12 高中 450 75 5 其他 10050 280 11 合计 2500099548统计表…………………3分 全省各级各类学校所数扇形统计图…………6分 （3）①小学师生比=1：22，初中师生比≈1：16.7，高中师生比=1：15，∴小学学段的师生比最小. ………………………………7分 ②如：小学在校学生数最多等. ……………………………8分 ③如：高中学校所数偏少等. ………………………………9分 21．（本题8分）回答甲的怀疑没有道理. ……………………………………1分； 正确画出树状图， …………………………………………6分；回答每人抓到五星的概率均为13. …………………………8分22．（本题8分）解：设每次降价百分率为x ，……………………………………1分根据题意，得200(1)x x -⋅=32. ……………………………4分 解得x 1=0.2，x 2=0.8…………………………………………6分 当x 1=0.2时，最后价格为2200(10.2)132-=，第一次降价为2000.240⨯=，…………………………7分 当x 2=0.8时，最后价格为：2200(10.8)8-=，不合题意，舍去．答：第一次降价40元． ………………………………8分23．（本题8分）9 / 10（1）∵在Rt △ABC 中，AC=12，∠ACB=30°，∴tan AB AC ACB =⋅∠． …………………………2分 =12tan 3043⋅︒=. ………………………3分（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画圆，当光线EF 与圆相切时，影长AF 最长． ………………6分 ∵EF 与圆相切，∴AE ⊥EF在Rt △AEF 中，AE=AB=43，∠AFE=30°，∴AF=2AE=83． ………………………………………8分24．（本题8分）解：（1）当0≤t ≤1时，3y t =； ……………………………………2分当1＜t ≤2时，y=3； ………………………………………4分 当2＜t ≤3时，y=9－3t ． ……………………………………6分 （2）1秒内，y 随t 的增大而增大；1秒到2秒，y 的值不变；2秒到3秒，y 随t 的增大而减小． …………………………8分25．（本题8分）（1）连接OD 、OB ．∵⊙O 与CD 相切于点D ，∴OD ⊥CD ．∴∠ODC =90°． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC 垂直平分BD ，AD=CD=CB ．∴△ABD 的外接圆⊙O 的圆心O 在AC 上．…………………………2分 ∵OD=OB ，OC=OC ，CB=CD ，∴△OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC ＝∠ODC =90°．………………………………………………3分 又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切．……………………………………4分 （没有说明圆心在AC 上，扣1分．）（2）∵AD=CD ，∴∠ACD ＝∠CAD ．∠COD ＝2∠CAD ．∴∠COD ＝2∠ACD 又∵∠COD +∠ACD =90°，∴∠ACD =30°．……………6分∴OD =12OC ，即r =12(r +2). ∴r =2．……………………………………………………8分26．（本题9分） 解：（1）证得S 1+S 2=12S ， …………………………………3分 只有关系，没证明，给1分．（2）连接EF 、FG 、GH 、HE ，说明四边形EFGH 为平行四边形， …………………6分 求得四边形EFGH 的面积为17， …………………7分A B EFBA30°（图1）C太阳光线10 / 10求得S 1+S 2=14.5． …………………………………9分27．（10分）（1）2(3)4y x =--+， ………………………………………2分∴点C 坐标为（3，4）……………………………………3分； （2）①m=3； ……………………………………………………5分； ②A 、B 、D 、E 四点在同一直线上，不可能构成四边形， 显然，∠ACB ≠90°．∴∠ACB 也不可能为矩形的一个内角； 所以四边形为矩形的顶点只能是A 、C 、E 、F 或B 、C 、D 、F ． 当以四边形ACEF 为矩形时，函数2()4y x m =--的图像可由2(3)4y x =--+关于x 轴的对称图像沿x 轴平移而得，所以△ABC ≌△DEF ．…………………6分； （也可求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 坐标，证明全等的得6分．） 当四边形ACEF 为矩形时，△ACG ∽△FAH ． ∴CG AH AG HF =，即424AH=． ∴AH=8．∴m=9．…………………………………………………………8分 当四边形BCDF 为矩形时，同上求得m= -3．………………………10分A B C D O HE FG x y。

2017中考复习二轮：二次函数图像与性质一、基础训练1．如图，直线y =﹣x +b 与反比例函数y =xk的图象的一个交点为A （﹣1，2），则另一个交点B 的坐标为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（2，1）C ．（1，﹣2）D ．（2，﹣1）2. 反比例函数xn y 1-=的图象在第二、四象限，则n 的取值范围是 ． 3．二次函数y =﹣2（x ﹣3）（x +1）的图象与y 轴的交点坐标是 ．4．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，则当0≤x ≤3时，函数值y 的范围是 ． 5．若二次函数y =ax 2+ax -1的最小值为47-，则a 的值是 6.二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为 ． 二、例题精讲例1 已知一次函数y = x + 1 与反比例函数y =x2的图象交于点A 和点B ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）求△AOB 的面积； （3）求x +1＞x2的x 的取值范围．第5题第4题第1题例2 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式，并写成()2y a x h k =-+的形式；（2）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0）对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．例3 已知一个二次函数的关系式为 y ＝x 2-2bx ＋c ． （1）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ①则b 、c 应满足关系为 ；②若该二次函数的图象经过A （m ，n ）、B （m +6，n ）两点，求n 的值；（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个交点C （6，0）、D （k ，0），线段CD （含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，求b 的取值范围．三、反馈训练1.已知关于x 的方程ax 2+bx +c =5的一个根是2，且二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =2，则这条抛物线的顶点坐标为 . 2．如图，抛物线y =x 2-2x +k （k ＜0）与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点， 其中x 1＜0＜x 2，当x =x 1+2时，y 0 （填“＞”“=”或“＜”号）．3.抛物线y =x 2+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y =0（1≤x≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．若二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，则1211x x +的值为 ．5．自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：25x x -＞0．解：设25x x -=0，解得：1x =0，2x =5， 则抛物线y=25x x -与x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=25x x -的大致图象（如图所示），由图象可知：当x ＜0，或x ＞5时函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即25x x -＞0，所以，一元二次不等式25x x -＞0的解集为：x ＜0或x ＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想（2）一元二次不等式25x x -＜0的解集为 ．（3）用类似的方法解一元二次不等式：223x x --＞0．6.如图，已知抛物线y=x2-3x经过B（4，4）．将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．答案与解析一、基础训练1． D ． 2. n<1 3．当x =0时，y =﹣2（x ﹣3）（x +1）=6，所以二次函数y =﹣2（x ﹣3）（x +1）的图象与y 轴的交点坐标为（0，6）．要看清楚是求函数图象与y 轴的交点坐标，不要误与x 轴的交点坐标． 4．﹣1≤y ≤3 ，根据二次函数的图像可得：当0≤x ≤3时，﹣1≤y ≤3.要学会观察图像，从图像中获取信息。

溧水县2018~2018年度第二学期初三第二次调研测试数 学 试 卷一、选择题(每小题2分，共30分) （下列各题所附的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．－2的相反数是（ ）A ．2B ．－2C ．－21 D ．21 2．图中几何体的主视图是（ ）3．计算x 6÷x 3的结果是（ ）A ．x 9B ．x 3C ．x 2D ．24．第五次全国人口普查结果显示，我国的总人口已达到1300000000人，用科学记数法表 示这个数，结果正确的是（ ）A ．1.3×118B ．1.3×118C ．0.13×1010D ．13×118 5．把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（）A ．（a ＋ab ）（a－ab ） B ．a （a 2－b 2）C ．a （a ＋b ）（a －b ）D ．a ()2b a -6．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ）7．观察下面图案，在 A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案的平移得到的是（ ）ABCD正面A B C D8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =5，AB =6，BC =8， 且AB ∥DE ，△DEC 的周长是（ ）A ．3B ．12C ．15D ．19 9．已知关于x 的方程3 x 2－9x ＋m =0有一个根是1，则m 的值是（ ）A ．－6B ．6C ．－12D ．1210．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A ．原图形的外部B ．原图形的内部C ．原图形的边上D ．任意位置11．在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝2，BC ＝1，那么sin A 的值是( )A ．21 B ．55 C ．33D ．2312．半径为3和5的两圆相切，则其圆心距是（ ）A ．2B ．8C ．3或5D ．2或813．反比例函数xk y 2（k ≠0）的图象的两个分支分别位于（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第一、四象限 14．一只箱子里装有18只苹果,其中5只已经变质.从该箱子里随意取出一只好苹果的概率是（ ）A ．18B ．5C ．185 D ．1813 15． 蜡是非晶体，在加热过程中先要变软，然后逐渐变稀，然后全部变为液态，整个过程温度不断上升,没有一定的熔化温度，如图所示，四个图象中表示蜡溶化的是（ ）二、填空题（每小题2分，共10分）16．写出一个－1到0之间的无理数为 ．17．下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值(GDP)的统计表：那么这几年间我国国内生产总值平均每年比上一年增长 万亿元．A B C DE价每价是100元，则标价是每件___________元．19．如图，当半径为30 厘米的转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 平移的距离为 厘米．20．一串有黑有白、其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分共有 颗．三、解答下列各题 (第21～23题每题5分，第24、25题每题6分，共27分) 21．计算：322⋅－9．22．解方程：324-x x －321-x ＝1．23．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由．解：添加的条件： ． 理由：（第20题） （第19题） A B C DEFGH24．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线21 3.55y x =-+运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.18米．（1）求球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为请问他距离篮框中心的水平距离是多少？25．记者从教育部获悉，2018年全国普通高校招生报名人数总计723万．除少部分参加各省中专、中职、中技考试的考生外，参加统考的考生中有文史类、理工类、文理综合类．下面的统计图反映了2018年全国普通高校招生报名人数的部分情况． 请认真阅读图表，解答下列问题： （1）请将该统计图补充完整； （2息； （3考生的可能性最大？x四、（每小题6分，共12分）26．如图是一把绸扇，线段AD 、BC 所在的直线相交于点O，与是以点O 为圆心、半径分别为10厘米、20厘米的圆弧，且∠AOB =150°．这把绸扇的绸布部分ABCD 的面积（计单面）是多少？27（1）将表格中的空格补充填写完整；（2）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（3）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少度？（精确到1°）五、（每小题7分，共14分）28．南京电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播时长分别为15秒和30秒的两种广告．电视台规定黄金时段的广告收费标准是：时长为15秒的广告每播一次收费0.8万元，时长为30秒的广告每播一次收费1.2万元．设插播时长为15秒的广告x次，2分钟广告时间内的总收益为y万元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果要求两种时长广告插播的次数都不少于2次，那么插播时长为15秒的广告多少次时，2分钟广告时间内电视台的总收益最大？最大收益是多少万元？29．如图，一条2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底C的距离为0.7米．（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，那么梯足B将向外移多少米？（2）梯子的顶端A沿墙下滑多少米时，△ABC ≌△DEC ？并说明理由．AECB六、（本题8分） 30．阅读下列材料：任意给定一个矩形ABCD ，一定存在另一个矩形A ′B ′C′D′，使它的周长和面积分别是矩形ABCD 周长和面积的k 倍（k ≥2，且k 是整数）．我们把矩形A ′B ′C′D′叫做矩形ABCD 的k 倍矩形．例：如图示，矩形ABCD 的长和宽分别为3、1，它的周长和面积分别为8、3；矩形A ′B ′C′D′的长、宽分别为4＋10、4－10，它的周长和面积分别为16、6．这时，矩形A ′B ′C′D′的周长和面积都是矩形ABCD 的周长和面积的2倍，即k 的值是2．则矩形 A ′B ′C′D′ 就叫做矩形ABCD 的2倍矩形．解答下列问题： （1）填空：一个矩形的长和宽分别为3、2，则它的2倍矩形的长和宽分别为 、 ； （2）已知矩形ABCD 的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k 倍矩形A ′B ′C′D′， 使A ′B ′∶AB ＝B ′C ′∶BC ？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．七、（本题9分）31．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件．已知生产一件A 种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克；生产一件B 种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克．（1）设生产x 件A 种产品，写出x 应满足的不等式组；（2）如果A 种产品每6件装一箱，B 种产品每4件装一箱，且两种产品不能混装，那么用于这50件产品的包装箱至少为多少个？ A B C D31 A /B /D / C / 4＋10 4－10八、（本题10分）32．已知：如图，直线AB 切⊙O 于点C （－59，512），且分别与x 、y 轴交于点A 、B ． （1）求⊙O 的半径；（2）求点A 的坐标；（3）一动点P 在x 轴上移动，如果点P 、A 、C三角形是等腰三角形，求点P 的坐标．溧水县2018~2018年度第二学期初三第二次调研测试数学参考答案一、选择题(每小题2分，共30分)二、填空题（每小题2分，共10分） 16．23-等 17．0.575 18．150 19．20π 20． 37 三、解答下列各题 (第21～23题每题5分，第24、25题每题6分，共27分) 21．解：原式＝964-……………………………………2分 ＝8－9 ………………………………… 4分 ＝－1 ………………………………… 5分22．解：3214-=-x x ………………………………… 2分 22-=x1-=x ………………………………… 4分 经检验可知：1-=x 是原方程的根………………… 5分23．解：AC ＝BD …………………………………………1分 理由：连结AC 、BD ……………………………… 2分 ∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点∴EF 21=AC ……………………………… 3分 同理：HG 21=AC ，EH=21BD ，FG=21BD又∵AC=BD∴EF=EH=HG=FG ………………………… 4分 ∴四边形EFGH 是菱形………………………… 5分24．解：（1）当0=x 时，5.3=y∴球在空中运行的最最大高度为3.5米。

第5题图第6题图九年级数学二轮复习专题——三角函数一、基础训练：1．如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ）A ．sinA=B ．cosA=C ．tanA=D ．tanB=2．（2016潍坊）关于x 的一元二次方程x 2﹣x +sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．（2016荆州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是（ ） A ．2 B ．C ．D ．4．（2016达州）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为 ．5．（2016大庆）如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时．(结果保留根号)6．(2016自贡)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P，则的值= ，tan ∠BPC 的值= ．第1题图第3题图第4题图二、典例例题：例1．（2016重庆市）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：，求大楼AB 的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）例2．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A 、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB =4米，求该生命迹象所在位置C 的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5 1.7）例3．（2016连云港）如图，在∆ABC 中，∠C=150°，AC=4，tanB=18．（1）求BC 的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据： =1.4，=1.7，=2.2）三、反馈练习：1．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD =4，cosB =54，则AC =_________． 2．（2016烟台）如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发（P 点与O 点不重合），沿O→C→D 的路线运动，设AP=x ，sin ∠APB=y ，那么y 与x 之间的关系图象大致是（ ）A． B． C ．D．3．如图，AB 是伸缩性遮阳棚，CD 是窗户，要想夏至正午时的阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是 （假如夏至正午时的阳光与地平面的夹角是600） 4． 计算： |1﹣|+3tan30°﹣（）0﹣（﹣）﹣1．ABD第1题图第2题图第3题图5．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量 ，眼睛与地面的距离（AB ）是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD ）是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°. 两人相距5米且位于旗杆同侧（点B 、D 、F 在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF ．（结果保留根号） （2）求旗杆EF 的高度．（结果保留整数）.参考数据：4.12≈，7.13≈）6．（2016江西）如图是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA=OB=10cm ． （1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到1cm ）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm ） （参考数据：sin9°≈0.1564，c os9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511）300 450 DBAC EF三角函数参考答案一、基础训练： 1.A解法分析：本题主要考察三角函数的定义和勾股定理的应用。

南京市中考溧水区数学二模含答案The latest revision on November 22, 20202017~2018学年度第二次调研测试九年级数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题卡．．相应位置．．．．上）1．计算：(－5)×2－(－4)的结果是（ ▲ ）（A ）－14 （B ）－6 （C ）14 （D ）6 2．分式xx －3有意义，则x 的取值范围是（ ▲ ）（A ）x ≠3 （B ）x ≠0 （C ）x ＞3 （D ）x ＞0 3．如图，PA 、PB 分别与圆O 相切于A 、B 两点，C 为圆上一点，∠P ＝70°，则∠C ＝（ ▲ ）（A ）60° （B ）55° （C ）50° （D ）45°4．如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、CB 的中点，记△BDE 的面积为S 1，四边形ADEC 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝（ ▲ ）（A ）1∶4 （B ）1∶3 （C ）1∶2 （D ）1∶1（第5题）（第3题）ACBDE（第4题）5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（ ▲ ）（A ）∠BAC ＝∠ACB （B ）∠BAC ＝∠ACD （C ）∠BAC ＝∠DAC （D ）∠BAC ＝∠ABD6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如下图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象是（A ） （B ） （C） （D ）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．－8的立方根是 ▲ ． 8．计算：(－2x 2y )3＝ ▲ ．9．因式分解：a 3－ab 2＝ ▲ ．10．如图，⊙O 的半径为2cm ， AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝90°，图中阴影部分的2．11的城市交通地图上，某条道路的长为17cm ，则这条道路的实际长度用科学记数法．．．．．表示为 ▲ m ． 12．如图，两个同心圆，小圆半径为2，大圆半径为4，一直线与小圆相切，交大圆于A 、B 两点，则AB 的长为 ▲ ．13．如图，△OAB 与△OCD 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，位似比为1：3（第12题）（第10题）14．如图，反比例函数y 1＝2x与一次函数y 2＝kx ＋b 的图象交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为－2，B 点的纵坐标为2，则k －b ＝ ▲ ． 15．如图，在四边形ABCD 中，BA ＝BD ＝BC ，∠ABC ＝80°，则∠ADC ＝▲ °． 16．已知函数y ＝1x 2＋1，下列关于它的图象与性质，正确的是 ▲ ．（写出所有正确的序号）①函数图象与坐标轴无交点； ②函数图象关于y 轴对称； ③y 随x 的增大而减小； ④函数有最大值1．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题8分）（1）解方程xx －1－31－x ＝2； （2）解不等式组⎪⎨⎪⎧2－3(x －5)≥52x －43＜x －1．▲ ；（2）现从某校九年级学生中随机抽取n 名男生进行体质评价，评价结果统计如下：体质评价结果扇形统计图图1图2明显消瘦评价结果①抽查的学生数n ＝ ▲ ；图2中a 的值为 ▲ ；②图1中，体质评价结果为“正常”的所在扇形圆心角为 ▲ °； （3）若该校九年级共有男生480人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”的男生人数．19．（本小题8分）不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的2个白球 ，a 个红球． （1）若从中任意摸出1个球，“是白球”的概率为25，则a ＝ ▲ ．（2）在（1）的条件下，从中任意摸出2个球 ，求“两个球的颜色相同”的概率．20．（本小题8分）如图，平行四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，DE ＝DC ，点F 为线段DE 上一点，满足∠DFC ＝∠A ，连结CE ． （1）求证：AD ＝FC ；（2）求证：CE 是∠BCF 的角平分线．21．（本小题8分）如图，MN 为一电视塔，AB 是坡角为30°的小山坡（电视塔的底部N 与山坡的坡脚A 在同一水平线上，被一个人工湖隔开），某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A 处测得塔顶M 的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m 到达C 处，此时测得塔顶M 的仰角为30°，请求出电视塔MN 的高度．（参考数据：2≈，3≈，结果保留整数）22．（本小题8分）张师傅驾驶某种型号轿车从甲地去乙地，该种型号轿车每百公里油耗为10升（每行驶100公里需消耗10升汽油）．途中在加油站加了一次油，加油前，根据仪表盘显示，油箱中还剩4升汽油．假设加油前轿车MN（第21题）（第20题）以80公里/小时的速度匀速行驶，加油后轿车以90公里/小时的速度匀速行驶（不计加油时间），已知油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的函数关系如图所示．（1） 加油前，该轿车每小时消耗汔油 ▲ 升；加油后，该轿车每小时消耗汔油 ▲ 升；（2）求加油前油箱剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的函数表达式；（3）求张师傅在加油站加了多少升汽油．23．（本小题6分）尺规作图：如图，点A 为直线l 外一点．求作⊙O ，使⊙O 经过点A 且与直线l 相切于点B ．（保留作图痕迹，不写作法）24．（本小题8分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲商品的零售单价比乙商品的零售单价少1元；信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求甲、乙两种商品的零售单价；（2）该商店平均每天卖出甲、乙两种商品各500件，经调查发现，两种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售30件，乙种商品每天可多销售20件，商店决定把两种商品的零售单价均下降m （0＜m ＜1）元．在不考虑其他因素的条件下，当m 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品的销售额之和为2500元B Al（第23题）小时（第22题）25．（本小题8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，OD ⊥AB ，与AC 交于点E ，∠D ＝2∠A ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求证：DE ＝DC ；（3）若OD ＝5，CD ＝3，求AC 的长．26．（本小题9分）如图，抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B 两点，其中A (－1，0)，与y 轴交于点C (0，2)．27（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：A（第25题）①可以假定正方形的边长AB ＝4a ，则AE ＝DE ＝2a ，DF ＝a ，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE ∽△DEF ；请结合提示写出证明过程．②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE 与△DEF 中的比例线段来证明△EBF 与它们相似．证明过程如下：（2）交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答：已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC ．（AB ＞AE ）①求证：△AEF ∽△ECF ；②设BC ＝2，AB ＝a ，是否存在a 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．2017~2018学年度第二次质量调研测试九年级数学评分标准7．－2； 8．－8x 6y 3； 9．a (a ＋b ) (a －b )； 10．π－2； 11．×104；12．43； 13．(3，－3)； 14．0； 15．140； 16．②④.A B CDE F（第27题）三、解答题17.（8分）（1）解：去分母，得x＋3＝2(x－1)． (1)分解得x＝5．…………………………3分经检验：x＝5时，x－1≠0所以，x＝5是原方程的解．………………………4分（2）解：解不等式①，得x≤4，…………………………5分解不等式②，得x＞－1，……………………………6分在数轴上表示这两个不等式的解集：………………7分∴原不等式组的解集为：－1＜x≤4．..................8分18.（8分）（1）过重 (2)分（2）①60，5 …………………………………4分②96°………………………………6分（3）480×(40％＋20％)＝288（人）…………………………7分答：该校体质监测结果为“过重”或“肥胖”的男生人数为288人.......8分19．（8分）（1）3； (2)分（2）记两个白球分别为白1、白2，三个红球分别为红1、红2、红3．……3分则所有基本事件：(白１、白2)、(白1、红1)、(白1，红2)、(白1，红3)、(白2、红1)、(白2、红2)、(白2、红3)、(红1、红2)、(红1、红3)、(红2、红3)共有10种等可能的情况 (5)分记事件“两个球的颜色相同”为A，事件A包括4个基本事件：(白１、白2) (红1、红2)、(红1、红3)、(红2、红3) …6分∴P(A)＝25……7分即从中任意摸出个球，两个球颜色相同的概率为25． (8)分20．（8分）证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD．∴∠AED＝∠FDC，……1分又∵∠A ＝∠DFC ，DE ＝CD ．∴ △ADE ≌△FCD （AAS ）．……………3分 ∴AD ＝FC ………………………………4分 （2）∵ △ADE ≌△FCD ∴AE ＝FD ， ∵BE ＝AB －AE ，EF ＝DE －DF ， ∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB ＝DC ，又∵DE ＝DC ，AD ＝FC ，∴BE ＝FE ， CF ＝CB又∵CE ＝CE ．∴ △CEF ≌△CEB （SSS ）． ……………7分 ∴∠FCE ＝∠BCE∴CE 是∠BCF 的角平分线． …………8分21．（8分）解：过点C 作CE ⊥AN 于点E ， CF ⊥MN 于点F ．……1分在△ACE 中，AC ＝40m ，∠CAE ＝30°∴CE ＝FN ＝20m ，AE ＝203m ………3分设MN ＝x m ，则AN ＝x m ．FC ＝3x m ，在RT △MFC 中MF ＝MN －FN ＝MN －CE ＝x －20FC ＝NE ＝NA ＋AE ＝x ＋20 3 ∵∠MCF ＝30° ∴FC ＝3MF ， 即x ＋203＝3( x －20) ………6分解得：x ＝4033－1＝60＋203≈95m …………7分答：电视塔MN 的高度约为95m ． ………………8分22．（8分）解：（1）8；9 ……………………·2分 （2）由题意知t ＝0时，y ＝28 ……·3分设函数表达式为y ＝kt ＋b由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝28，k ＋b ＝20，解得k ＝－8，b ＝28所以函数表达式为y ＝－8t ＋28…………………5分（3）当y ＝4时，求得t ＝3，所以a ＝3 …………6分b ＝34＋(5－3)×9＝52 …………7分 所以b －4＝52－4＝48所以张师傅在加油站加油48升． ………8分23．（6分）作AB 的垂直平分线． ………………………2分过点B 作直线l 的垂线交AB 的垂直平分线于点O ．……4分 以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ．…………………6分24．（8分）解（1）设甲、乙两种商品的零售单价分别为x 元、y 元．………1分（第20题）（第21题）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －1，3x ＋2y ＝12． (2)分解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3． (3)分答：甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元． (4)分（2）由题意得：(2－m )(500＋错误!×30)＋(3－m )(500＋错误!×20)＝2500 ……6分解得：x 1＝，x 2＝0(舍去) ……7分 答：m ＝时，商店每天销售甲、乙两种商品的销售额为2500元……8分25．（8分）证明：（1）连接OC ．在⊙O 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ，故∠COB ＝2∠A ． ………1分 又∵∠D ＝2∠A ， ∴∠D ＝∠COB ．又∵OD ⊥AB ，∴∠COB ＋∠COD ＝90°．∴∠D ＋∠COD ＝90°．即∠DCO ＝90°．……………2分 即OC ⊥DC ，又点C 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线． ………………………3分 （2）∵∠DCO ＝90°，∴∠DCE ＋∠ACO ＝90°．又∵OD ⊥AB ，∴∠AEO ＋∠A ＝90°．又∵∠A ＝∠ACO ，∠DEC ＝∠AEO ，∴∠DEC ＝∠DCE ……………………4分∴DE ＝DC ． ………………………5分（3）∵∠DCO ＝90°，OD ＝5，DC ＝3， ∴OC ＝4， …………6分 ∴AB ＝2OC ＝8，又DE ＝DC ，OE ＝OD －DE ＝2 在△AOE 与△ACB 中， ∠A ＝∠A ，∠AOE ＝∠ACB ＝90° ∴△AOE ∽△ACB ，∴OE CB ＝AO AC ，设AC ＝x ，则BC ＝x2…………7分 在△ABC 中，AC 2＋BC ＝AB 2，求得x ＝1655 所以AC 的长为1655．………………………8分 26．（9分）解：（1）将A (－1，0)、 C (0，2)代入y ＝ax 2＋32x ＋c （a ≠0）A得：a＝－12，c＝2y＝－12x2＋32x＋2 ……………………2分当y＝0时，x1＝－1，x2＝4，故B(4，0) …………………3分（2）①设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)、 C(0，2)代入得：y＝－12x＋2，…………4分EF＝FG－GE＝－12m2＋32m＋2－(－12m＋2)＝－12m2＋2m …………7分② 2 …………9分27．（本小题9分）（1）①证明：假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°．AB DE ＝AEDF＝2，∠A＝∠D＝90°．…………2分∴△ABE∽△DEF．…………3分（2）①证明：∵∠D＝90°，∴∠D EC＋∠DCE＝90°∵EF⊥EC，∴∠D EC＋∠AEF＝90°∴∠AEF＝∠DCE，又因为∠A＝∠D＝90°∴△AEF∽△DEC …………4分∴ABED＝BEEF，∵AE＝ED,∴ABAE＝BEEF，即ABBE＝AEEF，∵∠A＝∠BEF＝90°∴△AEF∽△EFC．…………6分②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝1a，故BF＝a－1a．…………7分若△AEF∽△BFC则AEBF＝AFBC，此时a无解；………8分若△AEF∽△BCF则AEBC＝AFBF，此时a＝3．AB CDEFAB CDEF所以，当a＝3时，△AEF与△BFC相似．…………9分。

2017～2018学年度第一次调研测试试卷九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. －的相反数是（）A. －B.C. －D.【答案】D【解析】试题解析：-的相反数是．故选B．考点：相反数．视频2. 下列运算正确的是（）A. 2a＋3b＝5abB. a2·a3＝a5C. (2a)3＝6a3D. a6＋a3＝a9【答案】B【解析】A 2a·3b＝6ab，故错误；B. a2·a3＝a5，故正确；C. (2a)3＝8a3故错误；D. a6÷a2＝a4，故错误.故选：B.3. 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）A. 2.51×10－5米B. 25.1×10－6米C. 0.251×10－4米D. 2.51×10－4米【答案】A【解析】分析：对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n 是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）.详解：25100×10－9=2.51×104×10－9=2.51×10-5.故选A.点睛：本题考查了负整数指数科学记数法，解题的关键是根据负整数指数科学记数法的定义确定出a和n 的值.4. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞－4B. bd＞0C.D. b＋c＞0【答案】C【解析】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A．a＜﹣4，故A不符合题意；B．bd＜0，故B不符合题意；C．|a|＞4＞|b|，故C符合题意；D．b+c＜0，故D不符合题意．故选C．点睛：本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出a，b，c，d的大小是解题关键．5. 如图，下列选项中不是该正六棱柱三视图的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．试题解析：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．故选A．考点：简单几何体的三视图．6. 如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A. 4B. 2C. 8－2D. 2【答案】B【解析】分析：作OC⊥AB于C，连结OQ、OP，根据切线的性质得OQ⊥PQ，即∠OQP=90°，利勾股定理得PQ2=OP2-OQ2，即PQ=，由于OQ=2，所以当OP最小时，PQ最小，即点P在C点的位置时，PQ最小；然后确定B点坐标为（0，8），A点坐标为（8，0），则OA=OB=8，AB=8，根据等腰直角三角形斜边上的中线性质OC=AB=4，于是可得到PQ的最小值=2．详解：作OC⊥AB于C，连结OQ、OP，如图，∵PQ为⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，即PQ=∵OQ= 2，∴当OP最小时，PQ最小，即点P在C点的位置时，PQ最小，把x=0代入y=-x+8得y=8，则B点坐标为（0，8），把x=0代入y=-x+8得-x+80，解得x=8，则A点坐标为（8，0），∴OA=OB=8，∴AB=，∴OC=AB=4，∴PQ的最小值=．故答案为:2．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）7. 计算：()－1－＝_______.【答案】－1【解析】分析：第一项根据一个数的负整数指数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数，第二项根据算术平方根的意义计算.详解：()－1－＝2-3=-1.点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂和算术平方根的意义是解答本题的关键.8. 当x _______时，二次根式有意义．【答案】≥【解析】分析：根据二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，列不等式解答.详解：由题意得2x-3≥0,∴x≥.故答案为：x≥.点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.9. 化简：＝_______.【答案】－【解析】分析：先把分母分解因式，找出最简公分母(a+1)(a-1)，然后通分，化成同分母的分式相减.详解：====－.故答案为：－.点睛：本题考查了异分母分式相加减，解题的关键是找出最简公分母，然后通分化成同分母的分式相减. 10. 若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x1，x2，且＝1，则m＝______.【答案】－5【解析】分析：根据一元二次方程根于系数的关系求出的值和的值，然后把＝1的左侧通分代入，即可求出m的值 .详解：由题意得，.∵＝1，∴＝1，∴＝1，∴m=-5.故答案为：-5.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， .11. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为_______.【答案】10【解析】试题解析：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=10．考点：圆锥的计算．12. 某校开展“节约用电，保护环境”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用电情况，从九年级的300名同学中随机选取40名同学，统计了他们各自家庭一个月节约用电的情况，绘制统计表如下：请你估计九年级300名同学的家庭一个月节约用电的总量大约是_______度．【答案】1140详解：平均节电量=(2×5+3×12+4×12+5×8+6×3) ÷(5+12+12+8+3)=3.8（度），故总电量=300×3.8=1140（度）.点睛：本题主要考查的是平均数的计算，解题的关键在于掌握加权平均数的计算公式.13. 如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，使点C的对应点D 恰好落在边AB上，E为点B的对应点．设∠BAC＝α，则∠BED＝______.（用含α的代数式表示）【答案】α【解析】分析：由旋转的性质可得AB=AE, ∠BAE=∠BAC＝α，∠AED=∠ABC=90º-α.由三角形的内角和求出∠AEB的度数，进而可求出∠BED的度数.详解：∵∠BAC＝α，∠C＝90°，∴∠ABC=90º-α.由旋转的性质得,AB=AE, ∠BAE=∠BAC＝α，∠AED=∠ABC=90º-α.∴∠AEB=∠ABE=180º-α)=90º-α,∴∠BED＝∠AEB-∠AED= ( 90º-α)- (90º-α)= 90º-α- 90º+α=α.故答案为：α.点睛：本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，由旋转的性质得到AB=AE，进而得到∠AEB=∠ABE= 90º-α是解答本题的关键.14. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A(1，0)，它与x轴所成的锐角为α，且tanα＝，则此一次函数表达式为_______.【答案】y＝x－【解析】分析：设一次函数表达式为y=kx+b，由tanα＝，可得k=，再把A(1，0)代入y=x+b，求出b的值即可.详解：设一次函数表达式为y=kx+b，∵tanα＝，∴k=.把A(1，0)代入y=x+b得，0=+b，∴b=-,∴y=x-.故答案为：y=x-.点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，由tanα＝，得到k=是解答本题的关键.15. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在函数y＝(x＞0)的图象上，其余点均在坐标轴上，则平行四边形ABCD的面积为_______.【答案】3【解析】分析：过点A作AE⊥CD于点E，由反比例函数的几何意义可得矩形ABOE的面积=3，再平行四边形ABCD与矩形ABOE同底等高求出平行四边形ABCD的面积.详解：过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABOE是矩形，∵顶点A在函数y＝(x＞0)的图象上，∴矩形ABOE的面积=3.∵平行四边形ABCD与矩形ABOE同底等高，∴平行四边形ABCD的面积=矩形ABOE的面积=3.故答案为：3.点睛：本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数 .16. 小高从家骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间x（分钟）与离家距离y（千米）的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家需要的时间是_______分钟．【答案】15【解析】分析：依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程÷速度，求出每段路的时间相加即可．详解：平路速度：1÷3=（千米/分钟）；上坡路速度：（2-1）÷（8-3）=（千米/分钟）；下坡路的速度为：（4-2）÷（12-8）=（千米/分钟）；所以他从单位到家门口需要的时间是2÷+1÷+1÷=15（分钟）故答案为：15．点睛：本题主要考查函数的图象的知识点，通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）计算：(－3＋－)÷(－) （2）化简：(－)÷【答案】（1）81; （2）3 .【解析】分析：（1）①先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简；②先把除法转化为乘法，然后根据乘法的分配率计算；（2）把括号内通分，然后把分子、分母分解因式约分化简.详解：（1）解法①原式＝×(－36)－3×(－36) ＋×(－36)－×(－36)＝－18＋108－30＋21＝81 ；解法②原式＝－×(－36)＝81；（2）化简：(－)÷原式＝[－]·(a＋2)＝·(a＋2)＝3.点睛：本题考查了有理数的混合运算和分式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数和分式运算的运算顺序及运算法则.18. 某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是环，乙命中环数的众数是环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会．（填“变大”、“变小”或“不变”）【答案】（1）8,6或9；（2）甲的成绩比较稳定,理由见解析;（3）变小． \【解析】试题分析：（1）根据中位数和众数的定义进行判断即可；（2）先计算出平均数、方差，在平均数相同的情况下，方差小的较稳定，成绩较好；（3）通过计算即可进行比较.试题解析：（1）观察表格可知甲共射击5次，其中1次7环，3次8环，1次9环，所以中位数为8；乙共射中6环有2次，9环有2次，10环1次，所以中位数为6、9，故答案为：8； 6、9；（2），，=0.4，=2.8，，说明甲的成绩比乙稳定；（3）根据题意，，=<2.8，故答案为：变小.【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差等，解题的关键是熟记定义以及计算方法.19. 一个不透明箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，四个小球的形状、大小完全相同．（1）从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为；（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）游戏不公平,理由见解析.【解析】分析：（1）用黑球的个数1除以球的总数4,即可；（2）用列表法或树状图法列出所有可能发生的情况，然后分别求出小明和小贝获胜的概率，从而可判断该游戏是否公平.详解：（1）1÷（2+1+1））= ；（2）如下表，共有16种等可能结果，期中颜色相同的有6种，颜色不同的有10种，所以P(小明获胜)＝；P(小贝获胜)＝．∴游戏不公平．点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20. 某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？【答案】甲机器每小时加工16个零件，乙机器每小时加工20个零件．【解析】分析：设甲机器每小时加工x个零件，则乙机器每小时加工(36－x)个零件，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等建立方程，然后解方程即可.详解：设甲机器每小时加工x个零件，则乙机器每小时加工(36－x)个零件，可得方程：＝，解得：x＝16 ，经检验：x＝16是方程的解∴36－x＝20，答：甲机器每小时加工16个零件，乙机器每小时加工20个零件．点睛：本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.21. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC．（1）用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的⊙O；（注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法）（2）若∠B＝30°，求证：AB与（1）中所作⊙O相切．【答案】（1）作图作法见解析;（2）证明见解析.【解析】分析：（1）①作AC的垂直平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则⊙O为所求作的圆；（2）连接OA，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝120°，∠OAC＝∠C＝30°，从而求得∠BAO＝90°，由切线的判定方法可知AB与（1）中所作⊙O相切.详解：（1）作法：①作AC的垂直平分线交BC于点O②以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则⊙O为所求作的圆（2）连接OC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝30°，∴∠BAO＝90°，∵点A在⊙O上，∴AB与⊙O相切.点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定方法，熟练掌握线段垂直平分线的性质和切线的判定方法是解答本题的关键.22. 现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部草莓所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润＝销售总收入－进货总成本）【答案】（1）;（2）①y＝25x－300 ;②x至少为12时，商店才不会亏本．【解析】试题分析：（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入-进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．试题解析：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40-x）-（10×50+30×40），∴y=25x-300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x-300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由不等关系得出不等式是解决问题的关键．23. 一艘救生船在码头A接到小岛C处一艘渔船的求救信号，立即出发，沿北偏东67°方向航行10海里到达小岛C处，将人员撤离到位于码头A正东方向的码头B，测得小岛C位于码头B的北偏西53°方向，求码头A与码头B的距离．【参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】【答案】码头A与码头B相距14.4海里．【解析】分析：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，再在在Rt△CDB中，求出DB的长，然后根据AB＝AD＋BD即可求得答案.详解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得∠CAD＝23°，∠CBD＝37°，在Rt△ACD中，∵sin∠CAD＝，∴CD＝sin∠CAD·AC＝0.39×10＝3.9，∵cos∠CAD＝，∴AD＝cos∠CAD·AC＝0.92×10＝9.2 .在Rt△CDB中，∵tan∠CBD＝，∴DB＝＝＝5.2 ，∴AB＝AD＋BD＝9.2＋5.2＝14.4 .答：码头A与码头B相距14.4海里．点睛：本题考查了方向角和解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作出辅助线，构造出直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题求解.24. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：△ADG≌△CDG．（2）若＝，EG＝4，求AG的长．【答案】（1）证明见解析;（2）AG＝6 .【解析】分析：（1）首先根据菱形的性质得到∠ADG=∠CDG，AD＝BC，然后根据“SAS”推出△ADG≌△CDG；（2）先证明△F AE∽△FBC，可得,再证明△DGE∽△BGC，求出CG的长，从而可求出AG的长. 详解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD＝BC，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，又∵AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG.（2）∵△ADG≌△CDG，∴AG＝GC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△F AE∽△FBC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝.∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠GBC，∠GED＝∠GCB，又∠DGE＝∠BGC，∴△DGE∽△BGC，∴＝＝，∵EG＝4，∴CG＝6，∴AG＝6 .点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各定理是解题的关键.25. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c经过点A(2，－1) ．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，求b，c的值；（2）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；（3）设抛物线顶点为P，若O、A、P三点共线（O为坐标原点），求b的值．【答案】（1）b＝－4 ,c＝－1；（2）证明见解析;（3）b＝－8或b＝－9．【解析】分析：（1）根据对称轴为x＝1，可得，可求出b的值，再把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx ＋c求出c的值；（2）求出b2－4ac的值，然后可判断出二次函数图像与x轴的交点个数；（3）先求出直线OA的解析式，把把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出b，c之间的关系，根据顶点坐标表示出点P的坐标，代入直线OA的解析式，求出b的值.详解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，∴－＝－＝1，∴b＝－4将点A(2，－1)代入y＝2x2－4x＋c中，解得c＝－1；（2）∵b2－4ac＝b2－8c，将(2，－1)代入y＝2x2＋bx＋c，得c＝－2b－9，即b2－4ac＝b2－8(－2b－9)＝(b＋8)2＋8＞0，∴方程2x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴抛物线与x轴有两个不同的交点（3）抛物线顶点坐标为(－，)，直线OA关系式为y＝－x，将顶点坐标代入直线OA，得方程b2＋17b＋72＝0求得b＝－8或b＝－9．点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.26. 正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为；（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．试确定m，n的值．【答案】（1）5;（2）画图见解析;（3）.【解析】分析：（1）如图，根据△ABC的面积=矩形ADEF的面积-△ADB的面积-△BCE的面积-△ACF 的面积计算；（2）根据格点多边形的定义，结合网格的特点画图即可；........ ......................详解：（1）△ABC的面积=4×3-×3×2-×2×2-×4×1= 5；（2）如图，画出的正方形的面积最大.（3）.点睛：本题考查了应用设计与作图，割补法求图形的面积，二元一次方程组的应用，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键.。

九年级数学专题复习---圆---鲍琴一.课前热身1.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A.△ACD的外心B．△ABC的内心C．△ACD的内心D．△ABC的外心2.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．第1题第2题第3题第4题第5题3.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的侧面展开图的面积为．4.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠OCB的度数为.【变式】:若AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC、AC,易得∠OCB=∠PAC。

若AB不是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O 于点C、B，连接AC,∠OCB=∠PAC还成立吗？）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为度（写出一个即可）．【变式】若点P在圆外，∠BPD的大小如何？若点P在圆上，∠BPD的大小又如何？例1：如图，在菱形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，以点D 为圆心，DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G.(1)求证：BC 与弧EFG 相切．(2)菱形ABCD 边长为6，∠DAB=60°，求图中阴影部分的面积.【变式】: 如图，在正方形ABCD 中，以点B 为圆心点AB 为半径画，E 是AD 边上的一动点，连结BE ，作∠BEG=∠BEA 交CD 于G ，连结BG 。

求证：EG 与相切．例2.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．（1）求证：∠BDC=∠A ；（2）过点A 作⊙O 切线交CD 的延长线于点E ．(3) 在(2)的条件下,若AC=5，52AD BD ,求AE 的长．【变式】: 如图，以BD为直径的⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC. AD的延长线交BC的延长线于E。

专题九：二次函数压轴题【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题．此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力．它符合新课标对学生能力提高的要求．从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高．压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的．近几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题1】（2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，∵﹣2＜0，∴S有最大值，则S大=6；（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，设M（a，﹣2a+4），过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为：y=x+，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（﹣x，0）（x＞0），∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，由①②得：a1=4（舍），a2=，当a=时，x=，∴Q（﹣，0）．【同步练】（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题2】2016·青海西宁·12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．【解答】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a=，故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP=AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=±，当时，（m+1）2﹣2=，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．【同步练】（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题3】（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．【解答】解：（1）由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，令y=0可得x2﹣3x+5=0，该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与x轴没有交点；（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得，∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．【同步练】（2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．类型四：抛物线下的动态最值问题【例题4】（2016·贵州安顺·14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．【同步练】（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 与⊙M 相交于A 、B 、C 、D 四点，其中A 、B 两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D 在x 轴上且AD 为⊙M 的直径．点E 是⊙M 与y 轴的另一个交点，过劣弧上的点F 作FH⊥AD 于点H ，且FH=1.5（1）求点D 的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P 是x 轴上的一个动点，试求出△PEF 的周长最小时点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．类型五：抛物线下的动态存在问题【例题5】（枣庄市 2015 中考 -25）如图，直线y=x+2与抛物线26y ax bx =++（a≠0）相交于A （12，52）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．思路分析：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（1）已知B （4，m ）在直线y=x+2上，很容易求得m 的值，又因为已知抛物线图象上的A 、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC 的长，实际是直线AB 与抛物线函数值的差．可设出P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的解析式表示出P 、C 的纵坐标，进而得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC 的最大值．对于题（3）当△PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情况进行分类讨论，分别求解．解题过程：解：（1）∵B（4，m ）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6）， ∵A（12，52）、B （4，6）在抛物线26y ax bx =++上， ∴2511()622261646a b a b ⎧=++⎪⎨⎪=++⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+．（2）设动点P 的坐标为（n ，n+2），则C 点的坐标为（n ，2286n n -+），∴PC=（n +2）﹣（2286n n -+），=2294n n -+-， =29492()48n --+， ∵PC＞0，∴当n=94时，线段PC 最大且为498． （3）∵△PAC 为直角三角形，i ）若点P 为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y 轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii ）若点A 为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A （12，52）作AN⊥x 轴于点N ，则ON=12，AN=52． 过点A 作AM⊥直线AB ，交x 轴于点M ，则由题意易知，△AMN 为等腰直角三角形， ∴MN=AN=52，∴OM=ON+MN=12+52=3， ∴M（3，0）．设直线AM 的解析式为：y=kx+b ， 则：152230k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AM 的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x 2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=12（与点A 重合，舍去） ∴C（3，0），即点C 、M 点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P 1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（12，52）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（72，52）．当x=72时，y=x+2=112．∴P2（72，112）．∵点P1（3，5）、P2（72，112）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（72，112）．规律总结：熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键．【同步练】（2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型六：抛物线与相似的综合问题【例题6】（烟台市 2014 中考 -26）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．【解析】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．【解答】解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m1=m2=1，∴OC=CF=1，当x=0时，y=﹣，∴OD=，∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD≌△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，∴点B、C、D在同一直线上，∴点B与点D关于直线AC对称，∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣，∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．（2016·湖北荆门·14分）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．1. （2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？2. （2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．3. （2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S 与t的函数关系．4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）5. （枣庄市 2014 中考 -25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．6. （郴州市 2014 中考 -26）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C （0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7. （2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？8. （2016·福建龙岩·14分）已知抛物线c bx x y ++-=21与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（4）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】类型一：抛物线与三角形的综合问题【同步练】（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，解得∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3∴PH=3÷=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．类型二：抛物线与四边形的综合问题【同步练】（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c 的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k=，b=﹣，∴直线PA的解析式为y=x﹣，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．类型三：抛物线与图形变换的综合问题【同步练】（2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；（2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，当y=0时，即﹣x2+x+3=0，∴x1=﹣，x2=3∴A（﹣，0），B（3，0），∴OA=，OB=3，当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，∴AC2+BC2=48，∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，（2）如图，∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，过点P作∥y轴，设P（a，﹣ a2+a+3），∴G（a，﹣ a+3），∴PG=﹣a2+a，设点D的横坐标为x D，C点的横坐标为x C，S△PCD=×（x D﹣x C）×PG=﹣（a﹣）2+，∵0＜a＜3，∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，），将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA 的长，∴P（，）∴P′（，），∵点A（﹣，0），∴直线AP′的解析式为y=x+，当x=0时，y=，∴N（0，），过点P′作P′H⊥x轴于点H，∴AH=，P′H=，AP′=，∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=；（3）在Rt△AOC中，∵tan∠OAC==，∴∠OAC=60°，∵OA=OA1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=60°，∴∠BOC1=30°，∵OC1=OC=3，。