专题能力提升练十六不等式选讲(30分钟60分)1.设函数f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集.(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x<-1},求a的值.【解析】(1)当a=3时,不等式f(x)≥5x+1,即为|2x-3|+5x≥5x+1,所以|2x-3|≥1,解得x≥2或x≤1.所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥2}.(2)由f(x)≤0得|2x-a|+5x≤0,解得或又a>0,所以不等式的解集为.由题意得-=-1,解得a=3.2.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f=+.(1)画出y=f的图象;(2)当x∈时,f≤ax+b,求a+b的最小值.【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.【加固训练】(2018·昆明模拟)已知函数f(x)=ln(|2x+1|-|2x-3|).(1)求不等式f(x)≤0的解集.(2)当m取何值时,f(x)<m恒成立.【解析】(1)由f(x)≤0有:ln(|2x+1|-|2x-3|)≤ln 1,所以0<|2x+1|-|2x-3|≤1,即或或解得不等式的解集为.(2)由f(x)<m恒成立得f(x)max<m即可.由(1)0<|2x+1|-|2x-3|得函数f(x)的定义域为,所以有f(x)=所以得f(x)max=ln 4,即m>ln 4.3.已知实数x,y满足x+y=1.(1)解关于x的不等式|x-2|+|2x+y|≤5.(2)若x,y>0,证明:≥9.【解析】方法一:(1)因为x+y=1,所以|x-2|+|x+1|≤5,当x≥2时,原不等式化为2x-1≤5,解得x≤3,所以2≤x≤3;当-1≤x<2时,原不等式化为2-x+x+1≤5,所以-1≤x<2;当x<-1时,原不等式化为-2x+1≤5,解得x≥-2,所以-2≤x<-1;综上,不等式的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)因为x+y=1,且x>0,y>0,所以=·=·==++5≥2+5=9.当且仅当x=y=时,取“=”.方法二:(1)同方法一;(2)因为x+y=1,且x>0,y>0,所以=·=·=·==+1≥+1=9,当且仅当x=y=时,取“=”.【加固训练】(2018·内江一模)已知函数f(x)=|3x-1|+|x-2|的最小值为m.(1)求m的值.(2)设实数a,b满足2a2+b2=m,证明:2a+b≤.【解析】(1)因为f(x)=所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)的最小值为f=.(2)由(1)知,2a2+b2=,因为2ab≤a2+b2,所以(2a+b)2=4a2+b2+4ab≤4a2+b2+2(a2+b2)=3(2a2+b2)=5,当a=b时取等,所以2a+b≤..4.(2018·安庆二模)已知f(x)=-x+|2x+1|,不等式f(x)<2的解集是M.(1)求集合M.(2)设a,b∈M,证明:2|ab|+1>|a|+|b|.【解析】(1)当x≥-时,f(x)=-x+2x+1=x+1.由f(x)<2,得x<1,所以-≤x<1.当x<-时,f(x)=-x-2x-1=-3x-1.由f(x)<2,得x>-1,所以-1<x<-.综上,M={x|-1<x<1}.(2)因为a,b∈M,,所以-1<a,b<1,即|a|<1,|b|<1.所以2|ab|+1-(|a|+|b|)=|ab|+|ab|+1-(|a|+|b|)=|ab|+(|a|-1)(|b|-1)>0,所以2|ab|+1>|a|+|b|.5.(2018·南昌二模)已知函数f(x)=-|x-a|+a,g(x)=|2x-1|+|2x+4|.(1)解不等式g(x)<6.(2)若对任意的x1∈R,存在x2∈R,使得-g(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由|2x-1|+|2x+4|<6,①当x≤-2时,-2x+1-2x-4<6,得x>-,即-<x≤-2;②当-2<x<时,-2x+1+2x+4<6,得5<6,即-2<x<;③当x≥时,2x-1+2x+4<6,得x<,即≤x<;综上,不等式g(x)<6的解集是.(2)对任意的x1∈R,存在x2∈R,使得-g(x1)=f(x2)成立,即f(x)的值域包含-g(x)的值域,由f(x)=-|x-a|+a,知f(x)∈(-∞,a],由g(x)=|2x-1|+|2x+4|≥|(2x+1)-(2x+4)|=5,且等号能成立,所以-g(x)∈(-∞,-5],所以a≥-5,即a的取值范围为[-5,+∞).6.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=a|x|-1.(1)若不等式g(x-3)≥-3的解集为[2,4],求a的值.(2)当x∈R,f(x)≥g(x),求a的取值范围.【解析】方法一:(1)由g(x-3)≥-3,得a|x-3|≥-2,因为不等式g(x-3)≥-3的解集为[2,4],所以a<0,故不等式可化为|x-3|≤-, 解得3+≤x≤3-,所以解得a=-2.(2)①当x=0时,|x-2|≥a|x|-1恒成立,所以a∈R.②当x≠0时,|x-2|≥a|x|-1可化为a≤,设h(x)=(x≠0),则h(x)=所以当x=2时,h(x)max=,所以a≤.综上,a的取值范围是.方法二:(1)同方法一.(2)①当x=0时,|x-2|≥a|x|-1恒成立,所以a∈R.②当x≠0时,f(x)≥g(x)可化为a≤,又=+=2+≥+≥=,当且仅当=且0<≤,即x=2时,等号成立,所以a≤.综上,a的取值范围是.方法三:(1)同方法一.(2)由f(x)≥g(x)得|x-2|≥a|x|-1,①当a≤0时,a|x|-1<0,|x-2|≥0,|x-2|≥a|x|-1成立;②当a>0时,因为函数f(x)=|x-2|的图象经过点(2,0),函数g(x)=a|x|-1的图象过点(0,-1),如图.要使|x-2|≥a|x|-1恒成立,仅需a≤,即a≤,所以0<a≤.综上,a的取值范围是.【加固训练】(2018·湛江二模)已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)解不等式f(x)+x>0.(2)若关于x的不等式f(x)≤2a2-5a的解集为R,求实数a的取值范围.【解析】(1)不等式f(x)+x>0可化为|x-1|+x>|x+2|,当x<-2时,-(x-1)+x>-(x+2),解得x>-3,即-3<x<-2;当-2≤x<1时,-(x-1)+x>x+2,解得x<-1,即-2≤x<-1;当x≥1时,x-1+x>x+2,解得x>3,即x>3;综上所述,不等式f(x)+x>0的解集为{-3<x<-1或x>3}.(2)由不等式f(x)≤2a2-5a可得|x-1|-|x+2|≤2a2-5a.因为|x-1|-|x+2|≤|x-1-x-2|=3,所以2a2-5a≥3,即2a2-5a-3≥0,解得a≤-或a≥3.所以实数a的取值范围是∪[3,+∞).。
