数学悖论论文

浅谈数学悖论与数学史上三次著名的数学危机关键词：数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；集合论悖论Abstract: In the history of mathematic, the most famous three paradox "Pythagoras paradox ","Berkeley paradox ", “Set theory paradox”. paradox plays an enormous role in mathematics and development. In the history of mathematics also has appeared on three big mathematical crises .but every crisis occurs and paradox inseparable. This article is to the paradox of the mathematical history with three crisis is analyzed. The first mathematical crisis led to the birth of the axiom geometry and logic. The second mathematical crisis led to the theory of analysis of the establishment of the perfect and set theory .The third mathematical crisis led to the development of mathematical logic with a batch of modern mathematics production .the paradox for the development of mathematics is not a kind of disaster with despair, but lead people to explore the unknown guide. Paradox not only attractive, but also is the part of mathematics and the mathematics of the important and enduring support the thrust and promote prosperity and progress in maths,is the scientific development's powerful lever .with great methodological significance.Key words：Mathematical crisis ; Pythagoras paradox ; Berkeley paradox ; Set theory paradox前言提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。

《关于悖论的论文 [悖论的形态论文（5篇可选）]》摘要：对全能悖论中的“全能”到底是“偶发全能”和“本质全能”的不同理解，将引起讨论方式上的重大差异，为了避免悖论，把“直觉上的可构造性”作为数学“可靠性”的唯一标准，对古典数学绝对否定，造成了数学的支离破碎，并目作为悖论的解决方案，这个要求已经相当弱了，但即使这个目标也没有完全达到，所以，为解决数学基础中出现的悖论问题，形式主义采取了与逻辑主义和直觉主义不同的方法：他们企图构造一个无矛盾的，完备的，可判定的形式系统，数学的各个分支及所有证明全部形式化，使数学本身成为数学研究对象，以达到证明数学的一致性，从而避免了悖论，这就是著名的“希尔伯特规划”悖论是以一种什么形态来存在:首先是否存在，是要通过解析才能说明它的存在，因为它确实是有，并且能推动逻辑、数学等学科的发展;但是它是不存在，是因为它是我们思维构造出来的一种形式，它的形态是语言、是文字或是其他。

但是在客观世界中，确实是一种大家认为荒谬不存在的认知。

悖论是真实存在的。

首先质疑的不存在，是因为反应的事实不存在，如“白马非马”。

但是悖论的定义就是推出的结论似是而非。

推理本身并没有错，推理的过程也是合乎逻辑，只看重推理本身的有效，抛开结论的真假，有效的推理得出结论，当然是一个真实的存在。

如果只是认为结论的不真实性，不确定或是荒谬，从而认为整个悖论都不存在，是否定整个推理的过程。

我们本身就只是研究推理的有效而忽视结论，但是如果认为悖论不存在，那是从结论的有效来决定整个推理的有效，这是和逻辑研究、悖论研究的初衷相悖的。

(一)不能因为结论的真假来断定推理(悖论)的存在根据推理的定义可以知道:由已知的判断为前提，来推导出一个未知的结论的思维过程就是推理。

其作用就是要从己知的知识，来得出一个合乎逻辑的结论。

但是如果这个前提是错误的，那结论就可能是正确的、错误的或是不可确定的;如果是有意或无意以一个错误的前提去推出结论，那悖论也就存在了出现的条件。

数学悖论论文一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在当今中小学数学教学中，学习兴趣不足的问题日益突出。

这一问题主要表现在学生对数学学科缺乏热情，学习积极性不高，课堂参与度低等方面。

导致这一现象的原因有以下几点：（1）教学内容与实际生活脱节：许多数学教学内容未能紧密结合学生的生活实际，使得学生难以体会到数学学习的实用价值。

（2）教学方式单一：部分教师在教学过程中，过于依赖讲授法，忽视学生的主体地位，缺乏启发性和趣味性。

（3）评价体系不合理：过于强调考试成绩，忽视学生的个体差异，使得部分学生产生挫败感，进而对数学学习失去兴趣。

2、重结果记忆，轻思维发展在数学教学中，部分教师过于关注学生的成绩，导致教学过程中重视结果记忆，轻视思维发展。

这种现象表现在以下方面：（1）课堂教学中，教师过于强调公式、定理的背诵，忽视学生对知识形成过程的理解。

（2）课后作业和考试中，题目过于注重计算和解答，缺乏对思维能力的考查。

（3）学生为了应对考试，过于依赖题海战术，缺乏对数学知识体系的深入理解和思考。

3、对概念的理解不够深入在数学学习中，概念的理解是基础。

然而，在实际教学中，部分学生对概念的理解不够深入，主要表现在以下方面：（1）对概念的定义模糊：学生未能准确把握概念的内涵和外延，导致在解决问题时出现偏差。

（2）对概念之间的关系不清：学生在学习过程中，未能充分理解各个概念之间的联系，使得知识体系不够完善。

（3）缺乏对概念内涵的挖掘：学生在学习过程中，未能深入探讨概念的内涵，导致在解决实际问题时难以运用所学知识。

二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了解决教学中存在的问题，教师应当首先从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。

这意味着教师需要把握数学学科的核心素养，如逻辑推理、数学建模、直观想象等，并将这些素养融入到教学设计中。

具体做法包括：- 设计教学活动时，充分考虑核心素养的培养，将知识点与核心素养紧密结合，让学生在掌握知识的同时，提升综合能力。

浅学数学悖论
误打误撞我选到了趣味数学悖论这门选修课，从小就蛮喜欢数学，却不喜欢计算，喜欢几何和画图一类的，当然理论也不排斥，不过学了一点数学悖论发现其实还蛮有趣的，所以就谈谈我的一些想法。

什么是悖论？
笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。

悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。

由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。

如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。

数学悖论不仅存在于一些基础的重要的数学理论中，而且在我们身边、生活中不短缺。

数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平。

当我们学习了解了数学悖论更有利于开发丰富多彩的数学学习活动；有利于帮助我们洞察数学问题的解题过程；有利于我们辩证的、开
创性的、批判性的思维方式；有利于提高我们对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。

从这个意义上说，没有悖论的数学学习是危险的，没有悖论思想的数学教学是苍白的。

数学家同时也是悖论大师。

悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才是目标。

虽然我们学的只是浅显的一点知识，但是也不局限于数学这一门科，其他学科，还有生活之中也是有很多地方会用到。

相信以后会有机会学习更多的有趣的数学知识。

10医工
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王奥娜。

关于数学悖论的探讨摘要：中西方哲学界和数学界对悖论问题的研究已经持续了长达几十年，这个问题牵涉到逻辑和哲学。

具体说来,它还同多种数理逻辑上的实际问题有关。

因此,，对于悖论的研究不仅有着哲学上的意义，对于数学逻辑的养成以及解决实际问题上也有着深远的意义。

许多悖论到如今依旧没有在这篇论文中我希望通过阐述几个世界上较为知名的悖论，并且通过自己的分析得出结论来谈一谈我对悖论的理解。

关键字：悖论罗素悖论说谎者悖论芝诺悖论逻辑正文：一．悖论的基本概念悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。

悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。

悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等等。

悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。

在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。

二．悖论的主要形式悖论的主要形式有以下三种。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。

三．悖论的分类悖论可大致分为三类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。

时间悖论通常是指因时间旅行或穿梭时空而导致的逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。

逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。

统计悖论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。

人们也许已经很熟悉传递关系的概念。

浅谈数学悖论悖论是创新思维的一种体现。

悖论在整个数学发展史中，起到了着不可磨灭的作用，它的作用主要表现在检验，完善某一理论体系，推动了数学的发展，引发了三次数学危机。

在数学与人类文明课堂上，老师就通过阿基里斯追龟的悖论故事讲述了三次数学危机。

通过进一步的阅读，我得知第一次数学危机是“毕达哥托斯悖论”。

早在古希腊时期，著名哲学家和数学家毕达哥拉斯就提出了一切的现象均可表示为整数或整数之比的形式。

但与此同时，希帕索斯发现了一些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比的情形，例如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条, 导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机，因而使得数学家们正式研究了无理数，给出了无理数的严格定理，引出了无理数和实数的概念，并建立了完整的实数理论。

第二次是“贝克莱悖论”。

贝克莱提出无穷小是否为零的问题，从而引出了极限理论——穷小是以零为极限但永远不为零的变量。

第三次是“罗素悖论”。

这一问题虽然促进了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生，但仍未能从根本上得到解决。

由此可见，数学悖论是指引我们前进的一盏明灯，数学史上的这三次危机不仅对整个数学的发展,而且对现代数学也起着非常重要的作用。

由于每次危机的提出都使数学家们有了新思想的产生，从而形成了数学理论的严谨性。

对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学在历史局限性上的认识，而解决数学悖论的过程则是发展和超越历史局限性的过程。

从数学历史上来看，数学悖论不仅仅只是趣味数学的一个分支，每一次悖论的发现都是与数学发展密切相关的，不仅仅推动了数学的发展，更推动了逻辑的演变。

数学悖论的定义是由很多种说法，而我的理解为：在表面上看起来能自圆其说的命题或理论体系，但在逻辑上可以推出互相矛盾的2个结论。

用更简单的说法就是：以一个被认为是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论，既为非B；反之，若以非B为前提，亦可推得B。

数学悖论与三次数学危机陈基耿摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。

历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。

数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。

危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。

悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。

数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。

数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。

本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。

1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。

他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。

《数学简史》论文—论数学悖论对数学发展的影响班级：11级农业水利工程姓名：张成强学号：2011095091摘要从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的。

数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。

因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。

分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展。

可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。

从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。

关键字悖论；数学危机；矛盾；数学发展；意义论数学悖论对数学发展的影响悖论问题是一个古老而又常新的话题。

“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代。

但严格意义下的悖论是在19世纪末、20纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的。

当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论。

数学悖论也叫逆论或反论，他包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。

数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展为对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩。

历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革。

可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

数学中有许多著名的悖论，如：说谎者悖论、芝诺悖论、康托尔悖论、罗素悖论等。

数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。

悖论的探索常识和科学都告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；同样，假如说某个论断是错误的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出正确的结论。

数学作为建筑在逻辑推理基础上的科学，总是严密的、可靠的。

像几何学，就是从几条公理出发，推演出一整套严密的科学体系，其中任何一条定律，在条件满足时总是正确的。

例如，平面上的两条直线，要么相交，要么平行。

这个论断是正确的，因为平面上不可能有两条既不平行也不相交的直线。

再如，不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，只有两个点就不行。

无论任何人都不可能在某种条件下，仅用两个点或者用任意三点就可决定一个平面。

但是，早在2 000多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾:用公认的正确的推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。

甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。

到底哪个正确哪个错误，使人们难以判断。

这种情况看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。

这种现象科学家称为“悖论”。

“悖”就是相违背、谬误或混乱的意思。

千百年来，科学家一再发现这样的悖论。

今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家作出了一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。

例如无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。

他在得到1 + x + x2 + x3 + ···= 1/(1- x)后，令 x = －1，得出S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。