【精编版】中考数学纠错笔记

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！分式加减错解归纳在分式加减运算中,因种种原因经常出现一些错误.下面举例予以剖析,希望“我”的错误能给你带来学习的“财富”.一、忽视分数线的括号作用例1 计算: 222+--a a a 错解: 原式=1222+--a a a =2)2)(2(22--+--a a a a a =2)4(22---a a a =2422-+-a a a . 剖析:把整式-a+2化为分母为1的式子时,忽视了分数线的括号作用.建议为防止出错,可先添加括号.正解: 原式=)2(22---a a a =1222---a a a =2)2(22---a a a =24422--+-a a a a =2462--+-a a a =2462-+--a a a . 二、分式通分与解方程中去分母相混淆例2 计算: xx x +---12132. 错解:原式=)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x =x-3-2(x-1) =x-3-2x+2=-x-1.剖析:错解在于把分式的通分与解方程中的去分母相混淆,导致分式相加减时出现“分母不要，分子相加减”的错误.正解: 原式=)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x =)1)(1(223-++--x x x x = )1)(1(1-+--x x x =11--x . 三、运算顺序混乱例3 计算: a b b a b a 32231⋅÷-. 错解:原式=1÷-b a b =ba b -.剖析: 错误在于没有按分式混合运算的顺序进行计算. 正解: 原式=a b a b b a 32321⨯⨯-=a b 32321⨯-=a b 941-=ab a 949-. 四、臆造分配律例4 计算: )(b ab a b -÷. 错解:原式=b a b a b a b ÷-÷=aa a 111-=-. 剖析:乘法对加法的分配律是a(b+c)=ab+ac,但除法没有相应的分配律,而错解凭空臆造并运用了“除法分配律”.正解:原式=aa b a a b a ab b a b -=-⨯=-÷11)1(. 五、半途而废例5 计算: mm -+-329122. 错解:原式=32)3)(3(12---+m m m =)3)(3(62)3)(3()3(212-++-=-++-m m m m m m . 剖析:分式运算的结果应化为最简分式,而错解中的分子与分母仍然有公因式(m-3),必须进行约分化简.正解: 原式=32)3)(3()3(2)3)(3(62+-=-+--=-++-m m m m m m m .。

九年级数学错题笔记一、几何部分：解答题类1、如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC ∆内，AE 平分ABC ∠，AE CE ⊥,点F 在边AB 上，BC EF //.(1) 求证：四边形BDEF 是平行四边形;(2) 线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论2、已知：正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 、相交于点O ，BAC ∠的平分线AF 交BD 于点E, 交BC 于点F ，求证：OE=21CF3如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm , AC=24cm(1)求：菱形ABCD的面积(2)如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长4如图，梯形ABCD中，AD BC，BC=3AD，M、N 为底边BC的三等分点，联结AM，DN。

（1）求证：四边形AMND是平行四边形；（2）联结BD，AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H,且AC⊥BD。

试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论。

5、如图，已知：在梯形ABCD 中，AD BC ，AB=AD=4，点E 在边BC 上，AE 平分BAD ∠。

（1）求线段DE 的长（2）当B ∠= 60 ，30C ∠= 时，求边BC的长。

6、如图，已知：在四边 形ABCD 中，E 为边CD 的中点，AE 与边BC 的延长线相交于点F ，且AE=EF, BC=CF.(1) 求证：四边形ABCD 是平行四边形(2) 当AF=2BE 时，求证：四边形ABCD 是矩形与函数综合类解答题（压轴）7 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，30A ∠= ，AB=8，将一个30 角的顶点P 放在边AB 上滑动（点P 与点A 不重合），保持30 角的一边平行于BC ，且与边AC 相交于点E,30 角的另一边与射线BC 相交于点D ，联结ED ，设BP=x.(1) 当四边形PBDE 是等腰梯形时，求AP 的长；(2) 当点D 在边BC 的延长线上时，设AE=y,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(3) 过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，当四边形PQCE 是正方形时，求x 的值。

2023初中数学中考必背知识点总结归纳同学们应该在数学方面应该一开始就打下良好的基础，并进行强化训练。

以下是整理的一些2023初中数学中考必背知识点总结，欢迎阅读参考。

中考数学知识点梳理归纳1一元一次方程知识点(一)方程：先设字母表示未知数，然后根据相等关系，写出含有未知数的等式叫做方程。

(二)一元一次方程一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，叫做一元一次方程。

求出方程中未知数的值叫做方程式的解。

(三)解方程式的步骤解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1。

2一元二次方程(一)只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程经过整理都可化成一般形式aX?+bX+c=0(a≠0).其第1页共9页中aX?叫作二次项，a是二次项系数;bx叫作一次项，b是一次项系数;c叫作常数项。

(二)一元二次方程的解法1.开平方法形如(X-m)?=n(n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

2.配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式;②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根;如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

3.求根公式用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX?+bX+c=0，确定a,b,c的值(注意符号);②求出判别式△=b?-4ac的值，判断根的情况。

当Δ0时,x=[-b±(b?-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

初三数学常见易错点解析在初三数学学习过程中，存在一些常见的易错点，掌握并解析这些易错点，能够帮助学生提高数学成绩。

以下是对一些常见易错点的解析和解决方法。

一、整数运算易错点1. 正数与负数相加减：当正数与负数相加时，我们可以将其视为从数轴上的某一点上向右移动（正数）或向左移动（负数）。

对于减法，可以转化为加上相反数。

例如：2 + (-3) = 2 - 3 = -12. 乘法与除法：正数与负数相乘，结果的符号性质有两种情况：同号得正，异号得负。

正数除以正数的结果是正数，正数除以负数的结果是负数。

负数除以正数的结果是负数，而负数除以负数则得正数。

二、几何图形易错点1. 平行线与相交线：平行线之间的夹角为0度或180度，相交线之间的夹角为90度。

当平行线与相交线相交时，对应角、同位角、内错角和外错角之间存在一定的关系，需要注意理解和区分。

2. 相似图形的性质：相似图形具有边长成比例的性质，对应角相等。

利用相似图形的性质，可以进行边长比例的求解以及面积比例的计算。

三、代数式的易错点1. 因式分解：当遇到多项式需要因式分解时，可以首先尝试提取公因式，然后利用常见因式公式进行进一步的因式分解。

2. 分式运算：分式的加减乘除运算与整数类似，需要掌握分子、分母的操作规则，化简分式时要注意约分。

四、平面坐标系易错点1. 点的坐标表示：平面上的点的坐标表示为(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标，根据具体情况，需注意坐标轴的取值范围。

2. 根据坐标求距离：根据两个点的坐标，可以利用勾股定理求解两点之间的距离。

五、概率统计易错点1. 事件与样本空间：事件是指某种随机试验的结果，样本空间是指所有可能结果的集合。

根据事件发生的可能性，可以计算事件发生的概率。

2. 统计图表读取：面积图、饼图、柱状图等统计图表的读取需要清晰明了，注意标题、坐标轴和标度的解读。

解决这些常见的易错点，学生可以通过多做习题、积累笔记、请教老师等方法进行巩固和提高。

初三数学知识点：函数纠错考点知识点归纳数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了初三数学知识点：函数纠错考点知识点归纳，希望可以帮助到大家。

【易错解析】易错点 1：函数自变量的取值范围考虑不周祥.易错点 2：一次函数图象性质与k、 b 之间的关系掌握不到位.易错点 3：在反比率函数图象上求三角形面积，面积不变成惯性 .易错点 4：二次函数y=a(x-h)2+k 的极点坐标的表示.易错点 5：二次函数本质应用时，y 获取最值时，自变量x 不在其范围内 .【好题闯关】好题 1. 函数中自变量 x 的取值范围是 ( )A.x2B.x=3C. x2且x3D.x2且x3解析：此题我们都能注意到2-x0，且 x-30 ，误选 D，其实 x2里已包含 x3.答案： A好题 2. 已知函数y=kx+b 的图象如图，则 y=2kx+b 的图象可能是()第1页/共3页解析：此题不但要看k、 b 所决定的象限，还要看k 变化大小与直线的倾斜程度，难度大，所以更易出错.第一消除D答案， b 大小不变，消除 B 答案， 2KK ，所以直线与 x 轴交点的横坐标变大 .“教书先生”生怕是街市百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人敬慕甚或敬畏的一种社会职业。

可是更早的“先生”看法其实不是源于教书，最初出现的“先生”一词也其实不是有教授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？” 等等，均指“先生”为父兄或有学识、有道德的长辈。

其实《国策》中自己就有“先生长辈，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真切的“教师”之意，倒是与现在“先生”的称呼更凑近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，其实不是具学识者的专称。

称“老师”为“先生”的记录，首见于《礼记 ?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之教授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

2013年中考数学冲击波考前纠错必备本期导读2013年中考已进入最后冲刺阶段，然而，越临近中考，考生就越容易紧张，当然也不可避免地会出现错误.为此，中国教育出版网携手全国数百位名师推出考前纠错必备，对常考重点知识易错点进行分类展示，系统归纳，进行整理与疏通，帮助考生在复习中发现错误，正视错误，善用纠错策略，以提高考生基本功和理解能力，帮助考生掌握一定的解题技巧和方法，轻松备考.本期的主要特色：1.易错分析：从实际的复习备考中针对考生的误区和盲区挖掘必考知识易错点，科学归类，并进行详细的分析讲解，从根本上避免考生在同一个地方犯同样的错误.2.好题闯关：精选最新易错试题，注重错因分析和技巧点拨，提高考生解题的应变能力，并伴有详细的试题解析，帮助考生更好的掌握易错知识点，强化应试技巧.内容目录：一、数与式二、方程（组）与不等式（组）三、函数四、三角形五、四边形六、圆七、图形的相似八、视图与投影九、图形变换十、统计与概率考点一 数与式【易错分析】易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆.易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.易错点3：平方根与算术平方根的区别，立方根的意义.易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零.易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化.【好题闯关】好题1.下列各数中，是无理数的是 （ ）A .23B .16C ． 0.3D ．2解析：考查了无理数的定义.无限不循环小数称之为无理数.部分学生认为凡是带根号的数均为无理数从而误选B 选项.答案：D好题2：下列数中，倒数为 -2 的数是（ ）A ．21-B ．21 C ．2 D ．2- 解析：2121-=-.本题考查了倒数的意义，乘积为1的两个数互为倒数，求一个数的倒数就是用1去除这个数.学生易把倒数的意义与相反数的意义混淆，误认为的-2的倒数是2. 答案:A好题3：计算：（－1）2009 + 3（tan 60︒）－1－︱1－3︱+（3.14－π）0．解析：实数运算的要点是掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关．答案：解：原式=－1 + 3（3）－1－（3－1）+ 1 =－1 + 3÷3－3+ 1 + 1 = 1好题4 （ ）A.－9B. 3C. ±3D.±9 w W w .x K b 1.c o M解析：考查平方根与算术平方根的区别，正数a.答案：B好题5：分式112+-x x 值为零的条件是 （ ） A.x ≠－1 B.x = 1 C.x = －1 D.x = ±1解析：如果分式BA 的值为零，那么00≠=B A 且.由01x 012≠+=-且x 得x = 1 . 学生易忽略分母不能为零的条件而错选D.答案：B好题6：先化简，再求值： ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+x x x x x 1211，其中x=tan 60°． 解析：本题考查了因式分解的方法和分式的四则运算，严格按照法则和方法进行运算是解题的关键，所以在初学时一定要熟练掌握方法和法则，区分清楚易混点.另外要细心，注意符号的确定，不要随意的变动正负号.答案：原式=)12(112x x x x x x ---÷-+=)1(112xx x x x ---÷-+ =)1(112-+÷-+x x x x x =11112+-⋅-+x x x x =x 1-．当x ==1x -==．。

纠错笔记：易错点：对地球公转、自转理解不清【典型例题1】读下图，按要求完成下列问题。

（1）甲乙两幅图中都有明显画错的地方，请找出并修正。

（2）分别在甲、乙两幅图中适当位置标注二分日、夏至日。

（3）将甲图中代表地球公转不同位置的字母a、b、c、d 按要求填在下列横线上。

①北半球昼短夜长；②北极圈内有极昼现象；③地球公转速度接近最快；④南半球白昼越来越长；⑤北京昼长夜短，昼渐长。

【错因分析】此题组出错的原因一是不清楚地球公转的方向；二是对二分二至日与近、远日点地球在公转轨道上的位置掌握不清；三是不清楚南北半球昼夜长短的变化与地球公转位置的对应关系。

甲图是北半球上空俯视图，公转方向是逆时针；乙图是南半球上空俯视图，公转方向应是顺时针。

从春分日至秋分日为北半球夏半年，太阳直射点在北半球，北半球各地昼长夜短，在夏至日这一天昼达到最长；由秋分目至次年春分日是北半球冬半年，太阳直射点在南半球，北半球各地昼短夜长，在冬至日这一天昼达到最短。

南半球则相反。

【参考答案】（1）甲图地轴倾斜方向错了，应改为向右倾斜。

乙图地球公转方向错了，应改为顺时针。

（2）标注略。

（3）c、d a、b d c a【纠错心得】地球的公转方向危自西向东，不过在南北极上空观察时分别呈顺时针与逆时针，因观察位置的差异，二分二至的位置在不同的公转轨道图上是不同的。

地球运动到近日点时北极点附近应出现极夜现象，运动到远日点时北极点附近应出现极昼现象。

在做此类涉及地球公转运动的试题时要注意以下几点：①地球公转的方向；②太阳的位，区分近日点与远日点；③当地球位于近日点附近时，北极点出现极夜现象，从而可判断地轴的倾斜方向。

【典型例题2】读地球自转线速度随纬度变化图（甲）和地球公转速度变化图（乙），回答（1）～（2）题。

（1）甲图中 M 点的纬度、乙图中 N 点对应的月份分别是A．30° 1 月 B．60° 7 月C．60° 1月 D．30° 7 月（2）当公转速度为N时A．漠河市民欢度“白夜”B．新西兰南部海域冰山座座C ．松花江畔银装素裹 D．悉尼处于雨季【错因分析】该题出错的原因一是对地球公转、自转的速度变化特点理解不清，不能利用图形进行表达；二是对选项中提到的一些知识点不理解，像“白夜”、新西兰南部出现冰山的季节、原因等。

2019中考数学复习笔记核心知识点汇总几何部分几何主要有三大主线.一是线段的位置与度量关系.位置关系指线段平行或垂直.二是角的位置关系和度量关系.位置关系指两个角互为同位角、内错角、同旁内角等，或一个角是圆周角、弦切角等.度量关系指两个角相等、互余、互补等.三是线与线的交点.具体地说就是多条直线的交点数量反映了它们所构成的图形.如，三条直线若没有交点，则两两平行;若只有一个交点，则三线共点;若有两个交点，则两条直线平行被第三条直线所截;若有三个交点，则三条直线两两相交并围成一个三角形.几何图形由此而发展.另外，直线与圆的交点数量也能大致反映直线与圆的位置关系.代数部分(1)实数运算：实数运算是初中数学的基础.在中考中因计算失误而导致结论错误是最不应该出现的错误，却也是经常会出现的错误.因此，不可轻视实数运算的练习，应努力做到计算迅速，步骤合理，结果准确.(2)整式和分式运算：整式和分式运算不仅需要依据运算法则、公式、性质等逐步完成，同时还需要掌握一定的运算技能和技巧.在运算中，考虑问题要全面，注意在算式中出现的各个字母的含义和取值范围，必要时还应讨论结论的多样性.(3)代数式求值运算：求代数式的值一般应遵循先化简后求值的原则，但也不排除边化简边求值的情况.方法因题而异，不能生搬硬套.(4)三角函数运算：三角函数运算的关键，一是要牢记特殊角的三角函数值;二是要能熟练进行三角函数之间的互相转化.反比例函数的性质(1)反比例函数y=xk(k≠0)的图象是双曲线;(2)当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小;(3)当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.。

函数易错点1 换元求解析式时忽略自变量范围的变化☞典例分析已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象“是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t =，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0）， 即f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．【参考答案】f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1fx =+，则()f x =A ．()211x x -≥ B ．21x - C ．()211x x +≥D ．21x +【解析】（换元法）：令1t =，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ． 【答案】A易错点2分段函数的参数范围问题☞典例分析设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2af f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122af a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝， 方程恒成立，故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.②当23≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a f f a －－＝＝，故()()()2af f f a ＝.③当1a ≥时，()21af a >＝，()()22aff a ＝，()222aa f＝，故()()()2af f f a ＝.综合①②③知a ≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数()21,022,04xa x f x x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是 A ．(],3-∞- B ．[)3,0- C ．[]3,1--D ．{}3-【解析】当0≤x ≤4时，f （x ）=﹣x 2+2x =﹣（x ﹣1）2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x =1， 故函数f （x ）在[0，1]上单调递增，[1，4]上单调递减，此时函数f （x ）的取值范围是[﹣8，1]，又函数f （x ）的值域为[﹣8，1]，∴y =﹣1()2x ，a ≤x ＜0的值域为[﹣8，1]的子集， ∵y =﹣1()2x ，a ≤x ＜0单调递增，∴只需011()8()122a -≥--≤，即可，解得﹣3≤a ＜0.故选B ． 【答案】B易错点3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误☞典例分析若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2. 【参考答案】a ＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],5-∞上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．【解析】∵函数()2212y x a x =+-+的图象是开口方向朝上，以直线1x a =-为对称轴的抛物线，若函数()2212y x a x =+-+在区间(],5-∞上是减函数，则51a ≤-，即4a ≤-．【答案】4a ≤-易错点4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误☞典例分析判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x 2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2）()f x -∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性． 【试题解析】（1）由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f （x ）定义域关于原点不对称， ∴f （x ）为非奇非偶函数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f （x ）＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵()()f x f x =--，∴f （x ）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数为奇函数的是 A ．ln y x =B ．e xy = C ．sin y x x =D ．e e xxy -=-【解析】对于选项A ，定义域为()0,+∞，不关于原点对称，故不是奇函数，所以选项A 错； 对于选项B ，()()1e ex x f x f x --==≠-，故不是奇函数，所以选项B 错； 对于选项C ，()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=--=--==，所以sin y x x =为偶函数，故选项C 错；对于选项D ，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以函数e e xxy -=-为奇函数，故选项D 正确. 故选D. 【答案】D判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.易错点5 因忽略幂底数的范围而导致错误☞典例分析化简（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12] 12 ＝________.【错解】（1－a ）[（a －1）－2·（－a ）12 ]12 ＝（1－a ）（a －1）－1·（－a ）14 ＝－（－a ）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a ）12 ，即相当于告知－a ≥0，故a ≤0，这样，[（a －1）－2]12 ≠（a －1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件． 【试题解析】由（－a ）12 知－a ≥0，故a －1<0.∴（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ]12 ＝（1－a ）（1－a ）－1·（－a ）14 ＝（－a ）14 . 【参考答案】（－a ）14在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a -，则必须有－a ≥0，即a ≤0.50,0)a b ><的结果是 __________．【解析】因为0a >，0b <，所以0,a b ->又因为结果一定非负，a b =-，故答案为a b -． 【答案】a b -易错点6忽略了对数式的底数和真数的取值范围☞典例分析对数式log （a －2）（5－a ）＝b 中，实数a 的取值范围是A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A ．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数． 【试题解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D ．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．方程()()2lg 21lg 4x x -=-的解是__________．【解析】由题意知2221421040x x x x ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，解得3x =或1x =-（不合题意，舍去），故3x =.【答案】3x =易错点7复合函数理解不到位出错☞典例分析已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f （x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）．【试题解析】要使函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，应使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正数， 要使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a ≥0，∴a ≥－14，∴所求a 的取值范围为[－14，＋∞）．【参考答案】[－14，＋∞）．1．求复合函数单调性的具体步骤是： （1）求定义域； （2）拆分函数；（3）分别求y ＝f （u ），u ＝φ（x ）的单调性； （4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y ＝f [g （x ）]及其里层函数μ＝g （x ）与外层函数y ＝f （μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1) ．（1）若函数f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）欲使函数f (x )的定义域为R ，只需ax 2＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有0=44 0a a ⎧⎨∆-<⎩＞，解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞).（2）欲使函数f (x )的值域为R ，即要ax 2＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞)上的所有值． ①当a ＝0时，a x 2＋2x ＋1＝2x ＋1，当x ∈(－21，＋∞)时满足要求； ②当a ≠0时，应有044 0a a ∆⎧⎨-≥⎩＞＝⇒ 0＜a ≤1，当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根)． 综上，a 的取值范围是[0，1]．【参考答案】（1）(1，＋∞)；（2）[0，1]．注意y ＝lg （ax 2＋2x ＋1）的值域为R 与u ＝ax 2＋2x ＋1恒为正不一样．前者要求函数u ＝ax 2＋2x ＋1能取遍一切正实数，后者只要求u ＝ax 2＋2x ＋1取正时，对应的x∈R 即可．易错点8 零点存在性定理使用条件不清致误☞典例分析函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <.所以函数()f x 没有零点，故选A ． 【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．函数()33x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 A ．151,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()3,6C ．()0,6D ．150,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由基本初等函数的性质，可得函数()33x f x a x =--单调递增,函数()33x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，∴由题意可得()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得1502a <<.故选D ．【答案】D一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A →非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆.求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )(（或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期． （4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度.②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点．（2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）· f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知函数2log ,0()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f = A ．19 B ．9 C ．19-D ．9-【答案】A【解析】211()log 244f ==-,所以211[()](2)349f f f -=-==，故选A ．2．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞）【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a <≤.故选A ．【名师点睛】不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.3．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f = A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】C【解析】设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =⨯+=． 故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．4．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且()02f =，则()()20172018f f += A ．0 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，即()f x 为偶函数，因为()()()221f x f x f +-=，所以()()()12121f f f -+--=,所以()1f =0，所以()()2f x f x +=，因此()()()()201710,201802f f f f ====，()()201720182f f +=, 故选B ．【名师点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化为自变量的大小关系,由对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值的关系.5．已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1- 【答案】D【解析】由题意可得函数()f x 的定义域为R ，函数()2f x x x x =-+，()()2f x x x x f x ∴-=--=-，()f x ∴为奇函数， 当0x ≥时，()()22211f x x x x =-+=--+，由二次函数可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 由奇函数的性质可得函数()f x 在()1,0-上单调递增，在(),1-∞-上单调递减. 综合可得函数()f x 的递增区间为()1,1-. 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及奇偶性的判定，属基础题.解本题时，由奇偶性的定义可得函数为奇函数，去绝对值结合二次函数可得单调性. 6．若函数()()20.9log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递增，且0.9lg0.9,2b c ==，则A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由2540x x +->，得15x -<<，又函数254t x x =+-的对称轴方程为2x =，∴复合函数()()20.9log 54f x x x =+-的递增区间为()2,5，函数()()20.9log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递增，1215a a -≥⎧∴⎨+≤⎩，则34a ≤≤，而0.9lg0.90,122bc =<<=<，所以b c a <<，故选B ．【名师点睛】本题主要考查复合函数的单调性、单调区间的求法以及对数函数与指数函数的性质，属于中档题.对于复合函数的单调性，一、要注意先确定函数的定义域；二、要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”.解本题时，利用复合函数的单调性求出函数()()20.9log 54f x x x=+-的递增区间，再由函数()()20.9log 54f x x x =+-在区间()1,1a a -+上单调递增，求出a 的范围，然后利用指数函数与对数函数的性质比较,b c ，即比较与0和1的大小，即可得结果.7．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是______.【答案】1【解析】由幂函数的定义及幂函数的图象不过原点，可得2233=120m m m m ⎧-+⎪⎨--<⎪⎩，解得1m =.8．若函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =__________．【答案】1或1-【解析】令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，可知()211e 1xa u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-.【名师点睛】该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特征，可得()211e 1x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.9．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝______.()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.10．设函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<的解集为__________． 【答案】()0,2【解析】易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，+∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，+∞）上为增函数，即()g x 在[0，+∞）上为增函数，且g （2）=f （2+1）=0， ∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2），即g （|2﹣2x |）＜ g （2），则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．11．已知函数()24,1ln 1,1x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(),5-∞【解析】当1x ≥时，令()2f x =，解得e x =，所以只有一个解，则1x <时，也只有一个解，令()2f x =，即2420x x a -+-=在1x <时只有一个解，即函数242y x x a =-+-在1x <时只有一个零点. 因为函数242y x x a =-+-的图象的对称轴为2x =，且图象开口朝上，所以1x <时函数单调递减， 根据函数性质，当1x =时，函数值小于0，即1420a -+-<，解得5a <.【名师点睛】本题考查函数零点与方程的解，要熟练掌握零点与解的关系，以及二次函数的有关性质，二次函数中求根的情况要综合考虑对称轴以及单调性，所以简单示意图对解题有非常大的帮助.解本题时，由分段函数的分段区间进行分类讨论，当1x ≥时，易解得只有一个解，则当1x <时也只有一个零点，根据二次函数性质，求出只有一个零点时参数的取值范围即可.1a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==12．设函数32()31f x x x ．已知0a ≠，且2()()()()f x f a x b x a ，x R ，则实数a =_____，b =______． 【答案】2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．【思路点睛】先计算()()f x f a ，再将2()()x b x a 展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．13定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()()44f x f x f x =-=-，当[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，则函数()()()2log 1g x f x x =--的零点个数为__________． 【答案】512 【解析】定义在R 上的函数()f x ，满足()()44f x f x -=-，∴()f x 为R 上的偶函数，因为()f x 满足()()4f x f x -=，∴函数()f x 为周期为4的周期函数，且为R 上的偶函数， 因为[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，所以，在[]0,2上()f x 递增，且值域为[]0,10，根据周期性及奇偶性画出函数()y f x =的图象和()2log 1y x =-的图象，如图，易知()2log 1y x =-的图象在()2,+∞上单调递增，且当1025x =时，2log 102510=， 当1025x >时，()2log 1y x =-的图象与函数()y f x =的图象无交点，结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.14.【2020•全国2卷】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D.15.【2020•新全国1山东】若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)＝0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（） A. [)1,1][3,-+∞ B. 3,1][,[01]-- C. [1,0][1,)-⋃+∞ D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.16.【2020•天津卷】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k > 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.17.【2020•浙江卷】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0在x ≥0上恒成立，则（） A. a ＜0 B. a ＞0C. b ＜0D. b ＞0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+,当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <.故选：C18.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ．19.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a>0，且a ≠1)的图象可能是 的【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.20.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.21.【2020•北京卷】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞27.【2020•江苏卷】已知y ＝f(x)是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f(－8)的值是____. 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-,故答案为：4-22.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-， 两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．23.【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。

数学改错笔记及试卷分析规范很多同学不善于总结经验和教训，经常是同样或同类型的题目，这次做错了，下次还错。

那么，如何吸取教训、避免一错再错呢?其实，最有效的解决办法就是要学会从错题中总结规律。

及时分析出错的原因在做题中，一旦发现错误，首先做的第一步就是分析出错的原因。

要尽量减少因为马虎而造成的错误，马虎是一种很有杀伤力的不良学习习惯，大家必须克服。

一般的错题都是有一定原因的，比如说由于某个知识点没有掌握牢，或者说某个方法还不会灵活地运用。

根据出错的原因，第二步要做的就是找出一些配套的练习题，进行滚动式的反复练习，把所有和它相关的题型多做几道。

直到完全掌握了这种习题，包括它一般的出题方式和答题方法，这个错题就被攻破了。

可见，做错题并不可怕，重要的是你要从错误中找到原因，总结规律。

善用难题笔记和错题笔记学生最害怕的事就是考试时不会做题和做错题。

不会做题可能是因为觉得试题陌生或太难而无从下手;做错题是因为本该做对但因种种原因而做错了。

我认为，要避免这两种情况，除了巩固书本基础知识外，平时要坚持做难题笔记和错题笔记。

如果能养成坚持做难题笔记和错题笔记的习惯，并在做笔记时加以分析，使难题不难，错误不再重犯，这会明显提高考试时答题的正确率。

下面，我们就来看看如何做难题笔记和错题笔记。

难题笔记准备一本专用记录本记下平时练习和各次考试时碰到的难题，并在难题旁注上关键难点、解题思路与方法，并列出该题若干种变化形式，举一反三。

这是根据碰到难题的先后顺序从纵向做难题笔记。

此外，还可以根据难题的性质从横向分别加以归类。

学生审题后不能把当前习题归入知识系统中相同或相似类型之中，是造成无法解题的关键。

同类型难题归在一起，见多识广，不致在考试解题时对不上号而无所适从，平时从纵向、横向两方面对碰到的所有难题进行分析归类并贮存在脑子里，下次碰到相同或相似的题目就不觉得难了，考试时碰到新难题的可能性也就不大。

错题笔记避免重复出错的最好办法莫过于把错题记下来并进行适当的分析、总结，从中吸取教训。