高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题(解析版)

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

高中数学中的线性规划问题解析在高中数学学习中，线性规划是一个重要的概念和工具。

它是一种数学建模方法，用于解决在给定约束条件下的最优化问题。

线性规划通常涉及到一组线性方程和不等式，以及一个目标函数，我们的目标是找到满足约束条件的最优解。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行域。

目标函数是需要最大化或最小化的函数，通常表示为一个线性方程。

在线性规划中，我们的目标是找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。

约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为一组线性不等式。

这些约束条件可以是资源的限制、技术条件或其他限制。

可行域是满足所有约束条件的变量取值集合。

可行域通常是一个多边形或多维空间中的区域，它表示了问题的可行解的范围。

二、线性规划的求解方法线性规划可以使用图像法、代数法或单纯形法等方法进行求解。

图像法是一种直观的方法，通过绘制约束条件和目标函数的图像来找到最优解。

在二维平面上，可行域是一个多边形，最优解是目标函数与可行域的交点。

在三维空间中，可行域是一个多面体，最优解是目标函数与可行域的交点。

代数法是一种代数计算的方法，通过解线性方程组来找到最优解。

我们可以将约束条件转化为等式，然后求解线性方程组。

通过代数方法，我们可以得到最优解的具体数值。

单纯形法是一种高效的算法，通过迭代计算来找到最优解。

单纯形法将线性规划问题转化为一个线性规划表格，并通过一系列的操作来逐步逼近最优解。

单纯形法是一种通用的求解线性规划问题的方法，可以处理任意维度的问题。

三、线性规划的应用线性规划在实际生活中有广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们可以使用线性规划来确定最优的生产数量和资源分配方案，以最大化利润或最小化成本。

在物流管理中，我们可以使用线性规划来确定最优的运输路径和货物分配方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。

线性规划还可以应用于金融领域、市场营销、资源管理等各个领域。

通过合理地建立数学模型，我们可以利用线性规划的方法来解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。

专题-线性规划题型归纳线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关。

它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想、转化与化归思想；而且还能体现了学生的综合分析问题的能力、逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。

下面，就常见的线性规划问题进行探讨.类型一、解线性约束区域的约束条件问题例1、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组224x y -=3x =是（ ）.A. B. C. D. 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图1所示）224x y -=y x =±3x =时有.0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩说明：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

验证法或排除法是最效的方法.类型二、解线性约束区域的面积问题例2、不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）.A.32 B. 23 C. 34D.43解：如图2阴影部分所示，平面区域的面积为：.144(4)1233⨯-⨯=说明：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键.类型三、解线性约束区域整点个数问题例3、满足的点中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）.224x y +≤(,)x y A.9个 B.10个 C.13个 D.14个解：作出可行域如图，是圆上及其内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D.说明：找线性区域内整点坐标或个数时，直接作出线性区域的网格图是比较直观的方法.类型四、解线性目标函数最值问题例4、设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）.,x y 222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩3z x y =-A. B. C. D.]6,23[-1[,1]2--[1,6]-3[6,]2-解：做出不等式所表示的区域如图4，由得，平移直线，由图象可知当y x z -=3z x y -=3x y 3=直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点)0,2(E z x y -=3z 63=-=y x z C 时，直线截距最大，此时最小，由，解得，此时，z ⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==321y x 233233-=-=-=y x z 所以的取值范围是，选A ．y x z -=3]6,23[-说明：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题.数形结合是数学思想的重要手段之一.变式：若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）.,x y 3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩34z x y =+A.12 B.26 C.28 D.33解：如图5可行域为图中阴影部分，当目标函数直线经过点时有最大值，联立方程组C z ⎩⎨⎧=+=+122122y x yx得，代入目标函数得，故选C ．(4,4)C 28=z 说明：本题为简单线性目标函数最值问题，注意目标函数中的几何意义为截距，与例4中Z Z 的几何意义是截距的相反数，两者是不同的.类型五、解可行域内的整点最优解问题例5、已知满足不等式组，求使取最大值的整数．,x y 230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩x y +,x y 解：如图6，不等式组的解集为三直线：，：，：1l 230x y --=2l 2360x y +-=3l 所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，35150x y --=1l 2l 1l 3l 2l 3l ,,A B C 则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：,,A B C 153(,)84A (0,3)B -7512(,)1919C -l x y t +=0l ，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，0x y +=l 0l t l C x y +6319又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴；当时，75019x <<x 1,2,31x =2y =-1x y +=-2x =得或， ∴或；当时，， ∴，故的最大整数解为0y =1-2x y +=13x =1y =-2x y +=x y +或．20x y =⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=-⎩说明：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

3.3.2 简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重、难点).知识点1线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组) 线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【预习评价】1.线性约束条件的特征是什么？提示一是关于变量x，y的不等式；二是次数为1.2.可行解、可行域和最优解之间是什么关系？提示可行解是满足约束条件的解(x，y)；可行域是由所有可行解组成的集合；最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.知识点2线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.【预习评价】1.最优解一般会在可行域的哪些地方取到？提示若目标函数存在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；若目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边界上取得.2.在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系又是怎样的？提示z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应截距的最大值.方向1 求线性目标函数的最值问题【例1－1】 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15 B.－9 C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A方向2 非线性目标函数的最值【例1－2】 (1)变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322 B. 5 C.5D.92(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为()A.6B.5C.2D.－1解析 (1)作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5， 故选C.(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)， 则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.故选B.答案 (1)C (2)B方向3 由目标函数的最值求参数的值【例1－3】已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.7解析 作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝5，故选C.答案 C规律方法 1.给定约束条件的情况下，求目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路为：(1)根据约束条件作出可行域；(2)将目标函数看作经过可行域内点的直线，并将目标函数值与该直线在y轴(或x轴)上的截距建立联系；(3)平移直线确定截距最大(最小)时所对应点的位置；(4)解有关方程组求出对应点坐标，再代入目标函数求目标函数最值.2.(1)若目标函数为形如z＝y－bx－a，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.(2)若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方.题型二线性规划的实际应用【例题】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 规律方法 解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答——对应用题提出的问题作出回答.【训练】 某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200). 所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元).所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.【训练】 某人有一幢房子，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解 设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，能获得收益为z 元，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ， 目标函数z ＝200x ＋150y .约束条件化简为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，可行域如图阴影部分所示.根据目标函数作一族平行直线：4x ＋3y ＝t ，这些直线中经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607的直线在y 轴上的截距最大.此时z ＝200x ＋150y 取最大值，但此时x ，y 均不为整数，故不是最优解，因此要进行调整.将直线4x ＋3y ＝2607向左下方平移至4x ＋3y ＝37，则 y ＝37－4x3，将其代入的约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×37－4x3≤60，5x ＋3×37－4x3≤40，可得52≤x ≤3.∵x 为整数，∴x ＝3，此时y 为非整数，故在直线4x ＋3y ＝37上无最优整数解. 将直线再向左下方平移一个单位，得直线4x ＋3y ＝36.则y ＝36－4x3，将其代入约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×36－4x3≤60，5x ＋3×36－4x3≤40，可得0≤x ≤4.∵x 为整数，∴x ＝0，1，2，3，4，代入求得它们对应的y ＝12，323，283，8，203. 故可得最优解为(0，12)和(3，8)，此时z max ＝1 800.即他应该隔出小房间12间或隔出大房间3间，小房间8间，才能获得最大收益.课堂达标1.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B.1 C.32D.3解析 目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中A (0，1)，B (0，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，选D. 答案 D2.实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是()A.[－1，0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1，1) 解析 作出可行域，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1). 答案 D3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A.－3B.3C.－1D.1解析 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x ＋ay 取最小值，则a ＝－3. 答案 A4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析由题意，画出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x－4y，得y＝34x－z4，作出直线y＝34x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.答案－1课堂小结1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.4.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。

3．3.3简单的线性规划问题(二)明目标、知重点 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的常见类型.3.会求一些简单的非线性函数的最值．1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．2．在线性规划的实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．探究点一生活实际中的线性规划问题例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．共需要这两张钢板共z张，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥15x＋2y≥18x＋3y≥27x≥0，y≥0.作出可行域如图(阴影部分)目标函数为z ＝x ＋y ，作出一族平行直线x ＋y ＝z ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点M ⎝⎛⎭⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点M ⎝⎛⎭⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．跟踪训练1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 答案 20 24解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x＋4y≤3004x＋5y≤2003x＋10y≤300x≥15y≥15，目标函数为S＝7x＋12y，可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y－200＝03x＋10y－300＝0，得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，S max＝7×20＋12×24＝428(万元)．例2一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t，硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1 t，硝酸盐15 t．现库存磷酸盐10 t，硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，能够产生利润z万元．则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋y≤10，18x＋15y≤66，x≥0，y≥0.目标函数为z＝x＋0.5y.可行域如图所示．把z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线．由图可以看出，当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧18x＋15y＝66，4x＋y＝10得M的坐标为(2,2)．所以z max＝x＋0.5y＝3.答生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大的利润为3万元．反思与感悟线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．如果顶点不是整数点，不符合实际问题的需要，适当调整最优解．若目标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，则满足条件的最优解有无数多个．跟踪训练2医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位费用/元甲5103乙742设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：把z＝3x＋2y变形为y＝－32x＋z2，得到斜率为－32，在y轴上的截距为z2，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y＝－32x＋z2经过可行域上的点A时，截距z2最小，即z最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A(145，3)，∴z min＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，费用最省．探究点二非线性目标函数的最值问题问题一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如：①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y )与原点(0,0)距离的平方；②z ＝(x －a )2＋(y －b )2表示可行域中的点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方；③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；④z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)，可以先变形为z ＝ac ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y )与定点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线斜率的a c倍；⑤z ＝|ax ＋by ＋c | (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0距离的a 2＋b 2倍． 例3 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值；(2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 (1)由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3；z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.(2)z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝OA 2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 反思与感悟 当斜率k ，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．跟踪训练3已知x，y满足约束条件同例题，求下列函数z的最值：(1)z＝y＋1x＋2；(2)z＝|x＋2y－4|.解(1)将z＝y＋1x＋2化为z＝y－(－1)x－(－2)，问题化归为求可行域内的点M(x，y)与点P(－2，－1)连线斜率的最值．由图(1)可知z min＝k PB＝13，z max＝k PC＝32.(2)将目标函数化为z＝5·|x＋2y－4|12＋22，问题化归为求可行域内的点(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍的最大值．观察图(2)，点C(0,2)到直线x＋2y－4＝0的距离最小，为0；点A(2,3)到直线x＋2y－4＝0的距离最大，为45.所以z max＝4，z min＝0.1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有________种．答案7解析设购买软件x片，磁盘y盒．则⎩⎪⎨⎪⎧60x＋70y≤500x≥3，x∈N*y≥2，y∈N*，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．2．已知点P(x，y)的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，y≥x，x≥1，则x2＋y2的最大值为________．答案 10解析 画出不等式组对应的可行域如右图所示： 易得A (1,1)，OA ＝2，B (2,2)， OB ＝22， C (1,3)，OC ＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝OC 2＝(10)2＝10. 3．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．答案 12解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.[呈重点、现规律]1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．一、基础过关1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为________元．答案 2 200解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝2时，z min＝2 200(元)．2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．答案31.2解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5，z＝0.4x＋0.6y.由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．∴y max＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产的计划为下列哪一个________．(填序号)①甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱②甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱③甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱④甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案②解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤70，10x＋6y≤480，x≥0，y≥0.甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．4．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________．答案[0,2]解析作出可行域，如图所示，因为OA→·OM→＝－x＋y.所以设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点B(1,1)时z有最小值，z min＝－1＋1＝0；过点C(0,2)时z有最大值，z max＝0＋2＝2，∴OA→·OM→的取值范围是[0,2]．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N*，y∈N*.目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．6．A，B两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，则从B仓库调40－x个到甲地，20－y个到乙地，总运费记为z元，则有⎩⎨⎧x＋y≤5040－x＋20－y≤300≤x≤400≤y≤20，z＝120x＋180y＋100(40－x)＋150(20－y)，即z＝20x＋30y＋7 000，作出可行域及直线l0：20x ＋30y＝0，经平移知直线经可行域上点M(30,0)时与原点距离最小，即x＝30，y＝0时，z有最小值，z min＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A仓调运30万个到甲地，从B仓调运10万个去甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．7．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(张)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎨⎧0.1x≤902x≤600z＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤900x≤300⇒x≤300.所以当x＝300时，z max＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，则⎩⎨⎧0.2y≤901·y≤600z＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y≤450y≤600⇒y≤450.所以当y＝450时，z max＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则⎩⎨⎧0.1x＋0.2y≤902x＋y≤600x≥0y≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0.z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600 解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时， z max ＝80×100＋120×400 ＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 二、能力提升8．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝________元． 答案 4 900解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5， 即A (7,5)． ∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)． 9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13.10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行域为如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上， 故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴MN 2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. 三、探究与拓展12．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28 成分种类阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2解设A，B两种药品分别为x片和y片，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥125x＋7y≥70x＋6y≥28x≥0，y≥0，两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.如图所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝125x＋7y＝70，得交点A坐标为⎝⎛⎭⎫149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．。

高中生数学线性规划教案教学内容：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域。

2. 掌握线性规划的解题思路和方法。

3. 在实际问题中运用线性规划进行分析和解决。

教学目标：1. 理解线性规划的定义和特点。

2. 能够根据具体问题建立线性规划模型。

3. 能够运用线性规划解决实际生活中的问题。

教学重点：1. 线性规划的基本概念和特点。

2. 线性规划模型的建立和求解方法。

3. 实际问题中线性规划的应用。

教学难点：1. 将实际问题抽象成线性规划模型。

2. 运用线性规划方法解决问题的能力。

教学过程及教学方法：1. 导入（5分钟）通过介绍一个生活中的实际问题，引出线性规划的概念和应用场景。

2. 理论讲解（15分钟）讲解线性规划的定义、目标函数、约束条件等基本概念，并介绍线性规划的解题思路和方法。

3. 示例分析（20分钟）通过具体的例题演示，引导学生理解如何建立线性规划模型，并运用线性规划方法解决问题。

4. 练习与讨论（15分钟）组织学生进行练习题目，引导学生思考问题的建模和解决方法，并开展讨论分享。

5. 拓展应用（10分钟）介绍线性规划在实际生活中的广泛应用领域，启发学生深入思考线性规划的实际意义。

6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，梳理线性规划的重点和难点，强调学生需要掌握的知识点。

教学资源：1. PPT课件；2. 课堂练习题目；3. 实际问题案例。

教学评估：1. 课堂练习成绩；2. 参与讨论的表现；3. 课后作业完成情况。

教学反馈：及时对学生在课堂练习和课后作业中存在的问题进行指导和辅导，帮助他们提高线性规划解题能力。

《线性规划三种常见题型》教学设计一、内容与内容解析本节课是高三复习课，主要内容是线性规划的相关概念和三种简单的线性规划问题的常规解法。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。

本课内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.本课教学重点：三种常见线性规划问题的解法二、目标和目标解析（一）教学目标1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2. 会画可行域2. 理解目标函数的几何意义3. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.4. 培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.（二）教学目标解析1. 熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2. 使学生理解目标函数的几何表征．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.三、教学问题诊断分析本课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：（1）目标函数的几何意义的正确理解（2）可行域的画法（3）数形结合思想的深入理解.为此教学中教师要借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.教学关键：指导学生紧紧抓住目标函数的几何意，从而利用化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与可行域的关系四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数的几何意义形象的展现出来，从而求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．六、教学过程1）截距型：Z=ax+by几何意义：例题1：若x 、y 满足约束条件,则Z=2x-y 的取值范围是小结：2）斜率型：Z=y-b x-a几何意义：例题2：若x 、y 满足约束条件，则Z=y-1x+1的取值范围是小结：3）距离型：Z=(x-a)2+(y-b)2几何意义：例题3：,则Z=(x+1)2+y 2的取值范围是若x 、y 满足约束条件小结：4）。

2012-01教学实践高中数学线性规划问题中，经常出现目标函数非线性问题，解决此类问题的关键是充分把握其目标函数的几何意义.一、目标函数为：z =ay+b cx+d （ac ≠0）型几何意义：z =ay+b cx+d =a c ·y-（-b a ）x-（-d c ）表示点（x ，y ）与点（-d c ，-b a ）连线的斜率的a c 倍.例1.已知x 、y 满足约束条件2x+y -2≥0x -2y +4≥0，3x-y -3≤0求z =y+1x+2的最值.解：可行域为：∵z =y+1x+2=y-（-1）x -（-2）表示点（x ，y ）与点（-2，-1）的连线的斜率，∴Z min =13，Z max =32.例2.如果实数x 、y 满足条件x-y +1≥0y +1≥0x+y +1≤0{，求z =y -1x -1的取值范围.解：可行域为:z =y -1x -1表示点（x ，y ）与点M （1，1）的连线的斜率，∵k MA =2，k MB =12∴z =y -1x -1的取值范围是［12，2］.二、目标函数为：Z =Ax+By+C （A 、B 不同时为0）型几何意义：Z =A 2+B 2√·Ax+By+C A 2+B 2√表示点（x ，y ）到直线Ax+By+C =0的距离的A 2+B 2√倍.例3.实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥02x-y -5≤0，x+y -4≥0{求Z =x +2y -4的最大值.解：可行域为：（如下图）∵Z =x +2y -4=5√·x +2y -45√表示点（x ，y ）到直线x +2y -4=0的距离的5√倍，∴Z max =5√·7+2×9-45√=21.y -4=0三、）几何意义：Z =（x-a ）2+（y-b ）2=［（x-a ）2+（x-b ）2√］2表示点（x ，y ）与点（a ，b ）间的距离的平方.例4.已知实数x 、y 满足不等式组2x+y -2≥0x -2y +4≥03x-y -3≤0{，求x 、y 取何值时，Z =x 2+y 2取得最大、最小值.解：可行域为:Z=x 2+y 2表示原点O （0，0）与点（x ，y ）的距离的平方.点O （0，0）到直线2x+y -2=0的距离d 1=25√.可行域内垂足为（45，25），点O （0，0）与点B （2，3）的距离为d 2=13√.∴当x =45y =25⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐时Z min =45；当x =2y =3{时Z max =13.例5.已知实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥0x+y -4≥02x-y -5≤0{，求Z=x 2+y 2-10y+25的最小值.解：可行域为：Z=x 2+y 2-10y x 2+（y -5）2√］2求点M （0，5）到点（x ，y ）的距离的平方.过M （0，5）作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上.∴Z min =MN 2=92.非线性目标函数问题在高考中还经常出现，教学中应给以足够重视.（作者单位云南省建水第一中学）例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法文/王云峰82--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。