高考泰安市高三第一轮复习质量检测数学

山东省泰安市2020届高三一轮检测试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. [1,1]-B. (3,1]-C. (,3)(1,)-∞--+∞D. (3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集UN ，再求出集合M 与UN 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1UN x x =<-或1}x >，又{|31}M x x =-<< 所以{31}UM N x x ⋂=-<<-.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A. 12i -+ B. 1C. 55【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则()2212,12125a bi i a bi i +=-+∴+=-+=-+= D考点：1、复数的运算；2、复数的模.3.已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A. 2B. -2C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x --展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =. 故选：A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.4.已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)， 由20x a -->得2x a <-或2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<. 故选：C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.5.已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ）A.32B.33log 22- C. 12-D.32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，当[2,2)x ∈-时，1()()43xf x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++-- 3336log (6)822=++⨯-32=. 故选：A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.6.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A. 1B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m nAO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 8.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）3333【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB+=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF=+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即23AF BF AB +≤，所以3MN AB≤，故选B ． 考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％， 则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的0000000056(39.617)31.7⨯+≈.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成， 故选项A 正确；选项B ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％， 其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术 岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈.“80前”和“80后” 中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B 正确； 选项C ：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为00000056179.5⨯≈， 大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C 正确；选项D ：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈， “80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比， 故不能判断，所以选项D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题. 10.下列说法正确的是（ ）A. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充要条件B. 直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃ C. 直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切 D. 32y x = 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式判断选项A 错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B 正确；根据两直线平行的判定及直线与圆相切的判定，可判断选项C 正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D 错误.【详解】选项A ：由点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3，可得：6435c++=，解得5c =或25-， “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充分不必要条件， 故选项A 错误；选项B ：直线sin 10x y α-+=的斜率sin [1,1]k α=∈-， 设直线的倾斜角为θ，则0tan 1θ≤<或1tan 0θ-≤<，3[0,][,)44θπππ∴∈，故选项B 正确；选项C ：直线25y x =-+可化为250x y +-=， 其与直线210x y ++=平行，圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线250x y +-=的距离为：5514d -==+，则直线250x y +-=与圆225x y +=相切，故选项C 正确；选项D ：离心率为3c a =2ba=若焦点在x 轴，则双曲线的渐近线方程为2y x =，若焦点在y 轴，则双曲线的渐近线方程为22y x =±， 故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题.11.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B. 若,//m n αα⊥，则m n ⊥C. 若//,m αβα⊂，则//m βD. 若//,//m n αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系，逐一进行判断.【详解】选项A ：若,m n m α⊥⊥，则n ⊂α或//n α， 又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，故选项A 错误； 选项B ：若,//m n αα⊥，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得m n ⊥，故选项B 正确；选项C ：若//,m αβα⊂，则有面面平行的性质定理可知//m β， 故选项C 正确；选项D ：若//,//m n αβ，则由线面角的定义和等角定理知，m 与α 所成的角和n 与β所成的角相等，故选项D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题. 12.已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是周期为2π的奇函数B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C. ()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点 D. ()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义判定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点判定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，故选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin xf x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误；当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x +-'∴=，令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法则知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5665- 【解析】 ∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭, ∴()()24cos =1sin 5αβαβ+-+=．又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴25cos()=1sin ()4413ππββ----=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665-14.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.【答案】11【解析】【分析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的部分，按如下分类：5个：5!15!=，3个，2个：4!4 3!=，1个，4个：3!3 2!=，（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：3个：3!1 3!=，1个，2个：2!2=，综上，一共有1431211++++=（种）.故答案为：11.【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】3 14【解析】【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。

山东省泰安市2022届高三一轮检测（一模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数z 满足z ii z+=，则z = A ．1122i +B ．1122i -C ．1122-+iD ．1122i --2．设集合{}220,{A xx x B x y =--≥=∣∣，则A B ⋃=（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)1,+∞C ．(,1][0,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)∞∞--⋃+3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．p ：1a >，q ；()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在()0,∞+上为增函数B ．p ：1a >，1b >，q ：()x f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图象不过第二象限C ．p ：2x ≥且2y ≥，q ：224x y +≥D ．p ：a c b d +>+，q ：a b >且c d >4．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22420x y y +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D5．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是（ ） A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时6．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．78B ．78- C ．78±D ．18-7．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点()0,2A ，与抛物线C 的准线交于点N ，55FM MN =，则p 的值等于（ ）A ．18B ．2C ．14D ．48．已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=．若对任意的*n N ∈，都有5n b b 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[6-，5]- B ．()6,5--C ．[5-，4]-D ．()5,4--二、多选题9．某工厂研究某种产品的产量x （单位：吨）与需求某种材料y （单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示根据表中的数据可得回归直线方程0.7y x a =+，则以下正确的是（ ）A ．变量x 与y 正相关 B ．y 与x 的相关系数0r <C ．0.35a =D ．产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨10．已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，12AA =，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥，点E 在1BB 上，且14BB BE =，则下列结论正确的是（ ）A ．直线1DC 与BC 所成角为90°B ．三棱锥1D BCC -的体积为13C ．CE ⊥平面1BC DD ．直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为6π12．已知函数()21,11ln 1,1x x f x x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪+-≥⎩，()g x kx k =-，k ∈R ，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()0,2上单调递增B ．当54k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根 C ．()f x 的值域为[)1,-+∞D ．若对于任意的x ∈R ，都有()()()()10x f x g x --≤成立，则[)2,k ∈+∞ 三、填空题13．在()()45121x x -+的展开式中，含2x 的项的系数是___________.14．如图，在四边形ABCD 中，3AB DC =，E 为边BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=_________．15．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值__________．四、双空题16．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X [)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100人数 51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则μ=___________.若12.9σ=，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为___________. 参考数据：若()2,XN μσ则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.五、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3tan tan cos cB A a B-=+.(1)求A ；(2)若D 为BC 上一点，且33BC BD AB ==，3AD =，求ABC 的面积. 18．已知各项均为正数的等差数列{}n a ，25a =，12a ，3a ，52a +成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()311n bn a -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，n *∈N ，求证：131log n n a T a +<. 19．如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥平面BCD ，ED AC ∥，且22AC BC ED ===，3DC DB ==.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ； (2)求二面角A BE C --的余弦值.20．某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上，下顶点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积和周长分别为2和(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：()1y k x =+（0k ≠）与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中垂线交y 轴于M 点，且EMF △为直角三角形，求直线l 的方程. 22．已知函数()2()ln 12x f x a x x =++-其中，a 为非零实数.(1)当1a =-时，求()f x 的极值； (2)讨论()f x 的单调性；(3)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()121f x f x x -+>.参考答案：1．A 【解析】 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则由已知有,(1)z i zi a b i b ai +=++=-+，所以1a bb a =-⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1122z i ，故1122z i =+，选A. 2．D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再根据并集的定义即可求出. 【详解】{}{2201A x x x x x =--≥=≤-∣或}2x≥，{{}1B xy x x ==≥∣， {1A B x x ∴⋃=≤-或}(][)1,11,x ∞∞≥=--⋃+.故选：D. 3．D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质可判断A ；利用指数函数的性质可判断B ；利用不等式的性质及取特值法可判断CD. 【详解】对于A ，利用对数函数的性质可知，p 是q 的充要条件，故A 错误；对于B ，利用指数函数的性质知()xf x a b =-过定点()0,1b -，若函数图像不过第二象限，则1a >，1b >，所以p 是q 的充要条件，故B 错误；对于C ，当2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥，但224x y +≥不能推出2x ≥且2y ≥，例：取0x =且2y =满足224x y +≥，所以p 是q 的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，a b >且c d >可推出a c b d +>+，反过来取1,3,2,1a c b d ====-满足a c b d +>+，所以p 是q 的必要不充分条件，故D 正确； 故选：D 4．C 【解析】 【分析】已知圆圆心为(0,2)C ，半径为r =根据圆的相交弦长公式，求出圆心C 到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立,a b 关系，进而得出,a c 关系，即可求解. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y y +-+=化为22(2)2x y +-=， 则其圆心的坐标为(0,2)． 圆心(0,2)到渐近线的距离1d ==， 又由点到直线的距离公式，221a d c e====， 所以2e =. 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】根据食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C 的保鲜时间是48小时，求出k 、b ，然后再将x ＝33代入即可得出答案. 【详解】解：由题意，得2219248b k be e +⎧=⎨=⎩，即1119212b k e e⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当x ＝33时，3311331()()1922k bk b y e e e +==⋅=⨯＝24(小时).故选：C. 6．B 【解析】 【分析】由诱导公式与二倍角公式即可求解 【详解】sin 2sin 2cos 26323ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21712sin 1388πα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B 7．B 【解析】 【分析】设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B .22||52cos ||522p OF OFA AF p ∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭解得答案. 【详解】解：设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B .由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |.因为||||FM MN，所以||MM MN '=，即cos ||MM NMM MN ''∠==，所以cos cos OFA NMM '∠=∠=，而||cos ||p OF OFA AF ∠==， 解得p ＝2, 故选：B. 8．D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式得1n a n a =+-，再结合题意得数列{}n a 单调递增，且满足50a <，60a >，即56510610a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列， 所以1n a n a =+-， 由于数列{}n b 满足111n n n na b a a +==+， 所以511na a 对任意的n N ∈都成立， 故数列{}n a 单调递增，且满足50a <，60a >，所以56510610a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩，解得54a -<<-． 故选：D ． 9．ACD 【解析】 【分析】先求得a ，然后根据回归直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】3467 2.534 5.95, 3.8544x y ++++++====， 3.850.75, 3.850.750.35a a =⨯+=-⨯=，所以0.70.35y x =+，所以变量x 与y 正相关，y 与x 的相关系数0r >，0.35a =，产量为8吨时预测所需材料约为0.780.35 5.95⨯+=吨.所以ACD 选项正确，B 选项错误. 故选：ACD 10．AC 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换原则求出()g x ，再根据三角函数的性质求出,ωϕ，由三角函数的性质逐一判断 即可. 【详解】将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度， 可得2sin 3y x πωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变， 可得()4sin 23g x x πωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由()g x 为偶函数，且最小正周期为2π， 则4,32k k Z ππϕπ-+=+∈，且222ππω=，0ϕπ<< 解得2ω=，56πϕ=，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于A ，当12x π=时，526x ππ+=，即n 012si f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故A 正确；对于B ，由5012x π<<，则5552,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 正弦函数的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由55,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭不是32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的子集，故B 不正确； 对于C ，()g x ≥12，即()1cos 42g x x =-≥，即1cos 42x ≤，即24242,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得,6232k k x k Z ππππ+≤≤+∈，故C 正确； 对于D ，()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即5sin 2cos 26x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 作出函数图象()y f x =与()y g x =的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上交点个数为3个，故D 不正确. 故选：AC 11．ABD 【解析】 【分析】对于A ，证明1CD C D ⊥，根据线面垂直的判定定理可得1DC ⊥平面BCD ，再根据线面垂直的性质可得1DC BC ⊥，即可判断A ；对于B ，证明BC ⊥平面1DCC ，可得AB BC ⊥，再根据11D BCC C BCD V V --=求出体积，即可判断B ；对于C ，以C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明,CE BD 不垂直，即可判断C ； 对于D ，连接1A B ，则线段1A B 即为直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出外接球面积，即可判断. 【详解】解：对于A ，在矩形11ACC A 中，因为12AA =，1AC =，D 是棱1AA 的中点，所以1CD C D =所以22211CD C D CC +=，所以1CD C D ⊥，又因1DC BD ⊥，BD CD D ⋂=， 所以1DC ⊥平面BCD ， 又因BC ⊂平面BCD ， 所以1DC BC ⊥，即直线1DC 与BC 所成角为90°，故A 正确； 对于B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC ⊥， 又1DC BC ⊥，111DC CC C ⋂=， 所以BC ⊥平面1DCC ，又DC ⊂平面1DCC ，所以DC BC ⊥，则111111323C BCD D BCC V V --==⨯，故B 正确；对于C ，由AB 可知，1,,AC BC CC 两两垂直， 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系， 则()()10,1,0,1,0,1,0,1,2B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()10,1,,1,1,12CE BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以111022CE BD ⋅=-+=-≠，所以,CE BD 不垂直，所以CE 不垂直平面1BC D ，故C 错误；连接1A B ，则线段1A B 即为直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径，11146A B =++=，所以外接球的半径62R =， 所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为246R ππ=，故D 正确. 故选：ABD.12．BCD 【解析】 【分析】对于A ：取特殊函数值35,44f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭否定结论；对于B ：当54k =时，解方程()()f x g x =得到13x =和1x =是方程的根.利用零点存在定理证明在()4,+∞上有且只有一个零点.即可证明. 对于C ：根据单调性求出()f x 的值域.对于D ：对x 分类讨论： 1x <、1x =和1x >三种情况，利用分离参数法分别求出k 得到范围，取交集即可. 【详解】对于A ：()21,11ln 1,1x x f x xx x x ⎧-<⎪=-⎨⎪+-≥⎩. 因为23354134414f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭-，55551ln 1ln 44444f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，所以355515ln 1ln 0444444f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3544f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 在()0,2上不是增函数. 故A 错误；对于B ：当54k =时，方程()()f x g x =可化为：()2511141x x x x ⎧-=-⎪-⎨⎪<⎩或()5ln 1141x x x x ⎧+-=-⎪⎨⎪≥⎩. 由()2511141x x x x ⎧-=-⎪-⎨⎪<⎩可解得：13x =. 对于()5ln 1141x x x x ⎧+-=-⎪⎨⎪≥⎩，显然1x =代入方程成立，所以1x =是方程的根.当1≥x 时，记()()()5ln 1ln 11144x h x x x x x =+---=--.()41414xh x x x-'=-=. 所以令()0h x '>，解得：14x <<；令()0h x '<，解得：4x >； 所以()h x 在()1,4上单增，在()4,+∞上单减. 所以()()410h h >=.所以()h x 在()1,4上没有零点； 而()h x 在()4,+∞上单减，且()40h >，()()333311310e 44e ln e e h -=-=<-，所以在()4,+∞上有且只有一个零点. 综上所述：当54k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根. 故B 正确；对于C ：对于()21,11ln 1,1x x f x xx x x ⎧-<⎪=-⎨⎪+-≥⎩. 当1≥x 时，()ln 1f x x x =+-.()110f x x'=+>，所以()()1ln1110f x f ≥=+-=； 当1≥x 时，()211x f x x=--.()()2221x x f x x -'=-.令()0f x '>，解得：01x <<；令()0f x '<，解得：0x <； 所以()f x 在(),0∞-上单减，在()0,∞+上单增. 所以()()0011f x f ≥=-=-； 故()f x 的值域为[)1,-+∞成立. 故C 正确.对于D ：对于任意的x ∈R ，都有()()()()10x f x g x --≤成立， 所以()21111x x k x x <⎧⎪⎨-≥-⎪-⎩及()1ln 11x x x k x ≥⎧⎨+-≥-⎩恒成立.若()21111x x k x x<⎧⎪⎨-≥-⎪-⎩恒成立，则有()()()211111x k x x x x ≥-<---. 令()()()()21,1111x t x x x x x =-<---，只需()max k t x ≥. 令1m x =-，则0m <.则()22221113135124m y m m m m m +⎛⎫⎛⎫=-=-++=-++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 所以max 54y =，即54k ≥.若()1ln 11x x x k x ≥⎧⎨+-≥-⎩恒成立，当1x =，无论k 取何值，不等式均成立，所以R k ∈. 当1x >，则有()ln 111xk x x ≥->-. 令()()ln 111xp x x x =+>-，只需()max k p x ≥.()()()()22111ln 1ln 11x x xx x p x x x ----'==--. 记()11ln x x x ϕ=--，则()221110xx x x x ϕ-'=-=<，所以()11ln x x x ϕ=--在()1,+∞上单减，所以()()111ln101x ϕϕ<=--=，即()0p x '<，所以()ln 11x p x x =+-在()1,+∞上单减，所以()()()max11ln ln lim 1lim 111211x x x x p x x x ++→→'⎛⎫=+=+=+= ⎪-'⎝⎭- 所以2k ≥. 综上所述：2k ≥. 故D 正确. 故选：BCD 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围； （4）利用导数处理恒（能）成立问题. 13．6 【解析】 【分析】分别求出()41x -和()521x +展开式的通项公式，根据22211x x x x x =⨯=⨯=⨯的组合形式分别求解即可. 【详解】()41x -的展开式的通项公式为4()k k C x -，()521x +的展开式的通项公式为55(2)t t C x -，所以()41x -()521x +展开式中，含2x 的项为：0035311454225552454545()(2)()(2)()(2)6C x C x C x C x C x C x x ----⋅+-+-=，所以含2x 的项的系数为6．故答案为：6. 14．76【解析】 【分析】首先连接AC ，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接AC ，如图所示：()11111112222223AE AB AC AB AD DC AB AD AB ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以2132AE AB AD =+，则217=326λμ+=+. 故答案为：7615．31 【解析】 【详解】由题意，可设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，由椭圆和双曲线的定义可知，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，则112PF a a =+，212PF a a =-，又1260F PF ∠=︒，由余弦定理可得()()()()()2221212121222cos60c a a a a a a a a =++--+-︒，整理得2221243=+c a a ，即2212134e e +=， 则221213144e e +=， 所以()22222121212221212131331442e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：此题主要考查椭圆、双曲线的定义、离心率在解决问题中的应用，以及余弦定理和柯西不等式在求最值中应用的有关方面知识，属于中高档题型，也是高频考点.在解决此类问题中，注意从数和形两方面分析椭圆、双曲线的定义、离心率与基本量,,a b c 之间的关系，根据所求最值式子的特点，结合柯西不等式，从而问题可得解.16． 73； 1587 【解析】 【分析】①直接通过公式计算均值即可；②结合正态分布的对称性及参考数据，先求出高于85.9的概率，再结合古典概型计算人数. 【详解】()14555510652575308520951073100μ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；85.97312.9=+=+μσ，∴()()110.682785.90.1586522P X P X --≤≤+->===μσμσ，成绩高于85.9的人数为100000.158651586.51587⨯=≈. 故答案为：73；1587. 17．(1)23A π=.【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变形得到tan A =A ;（2）先由余弦定理求得b c =，利用向量的运算求出227c =，直接代入面积公式即可求出ABC 的面积.(1)在ABC tan tan B A =+，sin sin cos cos B A B A =+sin cos cos sin cos cos B A B AB A+=.因为()()sin sin sin C C A B π=-=+,1cos A=，即tan A =因为()0,A π∈,所以23A π=. (2)在ABC 中，因为3BC BD ==，23A π=，所以a =. 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2220b bc c +-=，解得：b c =（2b c =-舍去）. 因为()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+.所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即222422132cos9939c cb b π=+⨯+. 因为b c =，所以22339c =，解得：227c =，所以ABC的面积11sin 2722ABCS bc A ==⨯=. 即ABC18．(1)31n a n =-； (2)证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及等比中项定义，代入即可求解； （2）利用放缩法可知3133332log log log 3131n n na n nb n n a ++=<=--，代入结合对数的运算公式即可证得结论. (1)设数列{}n a 的公差为d ，且0d >由已知得2231552(2)a a a a =⎧⎨=+⎩，整理得2(5)2(5)(73)d d d +=-+即276450d d --=，解得3d =或157d =-（舍） 212a a d ∴-==，23(1)31n a n n ∴=+-=- 所以{}n a 的通项公式为31n a n =- (2)()311n b n a -=，133331332log 1log log log 3131n n n n a n n b a n n a +⎛⎫+∴=+=<= ⎪--⎝⎭1233312111log 1log 1log 1n n n T b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴313122333312121log log log log n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++-⎛⎫<+++=⋅⋅ ⎪⎝⎭131log n a a += 19．(1)证明见解析；【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理及性质定理，及线面垂直的判定定理可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可得解； (1)证明：取BC 中点M ，AB 中点N ，连接,,.DM MN EN//MN AC ∴且12MN AC =又1,//2DE AC DE AC =，//DE MN ∴，且DE MN = 所以四边形MNED 是平行四边形，//EN DM ∴且EN DM =又AC ⊥平面BCD ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， ,DC DB DM BC =∴⊥又平面ABC 平面BCD BC =，DM ⊂平面BCD ，DM ∴⊥平面ABC ，EN ∴⊥平面ABC ，又EN ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ABC (2)由（1）知，AC BC ⊥，//EN DM 且EN DM =，EN ⊥平面ABC ，平面ABE ⊥平面ABC 以C 为原点，,CA CB 所在直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)N ，E则(0,2,0)CB =，(1,1,0)CN =，CE = 设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n CE n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取z ，则20x y =-⎧⎨=⎩，(n ∴=-又AC BC =，则CN AB ⊥又平面ABC 平面ABE AB =，CN ⊂平面ABC ，所以CN ⊥平面ABE ，即CN 为平面ABE 的一个法向量， 23cos ,3||||26n CNn CN n CN ⋅-∴===⋅ 显然二面角A BE C --为锐角，故其余弦值为3320．(1)0.02916(2)分布列见解析；()65.2E X =（元）【解析】【分析】（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再根据独立重复实验的概率公式即可得解；（2）X 可取70,50,90-，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.(1)解：若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，故恰好检测5次的概率()3140.110.10.10.02916P C =⨯⨯-⨯=； (2)解：由题意，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为90-元，则X 可取70,50,90-，()700.9P X ==，()500.10.80.08P X ==⨯=，()900.10.20.02P X =-=⨯=，故分布列为：所以()700.9500.08900.0265.2E X =⨯+⨯-⨯=（元）.21．(1)2212x y += (2)10x y -+=或10x y ++= 【解析】【分析】（1）由已知可得122224c b a ⎧⨯⨯⨯=⎪⎨⎪=⎩，结合,,a b c 的关系可求解；（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求出EF 的中点，进而求得其中垂线方程，求出M 坐标，分析已知可得0ME MF ⋅=，代入即可求解.(1) 由题意知222122224c b a a b c ⎧⨯⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆的方程为2212x y += (2)设1122(,),(,)E x y F x y联立22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +++-=由韦达定理得2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+ 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=-+-=+>21222212x x k k +-∴=+，12122(2)2212y y k x x k k +++==+， 所以线段EF 的中垂线方程为22212()1212k k y x k k k -=-+++， 令0x =，解得212k y k -=+，20,12k M k -⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭ 112,12k ME x y k ⎛⎫∴=+ ⎪+⎝⎭，222,12k MF x y k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭， 又EMF △为直角三角形，且ME MF =，ME MF ∴⊥1212221212k k ME MF x x y y k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 22121222222(1)(1)1212(12)k k k x x k x x k k k =++++⋅++++ 22221212223()()(112)k k x x k x x k k =++++++ 2422222222243(1)1212(12)k k k k k k k k -=+-+++++4222(1)0(12)k k -==+ 21k =∴，即1k =±所以直线l 的方程10x y -+=或10x y ++=22．(1)()f x 的极小值为ln(11-+(2)当1a ≥时，()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(1,-和)+∞上单调递增，在(上单调递减；当0a <时，()f x 在(-上单调递减，在)+∞单调递增；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据求导公式和运算法则求出()'f x ，令()0f x '=求出极值点，进而可得函数的单调性，即可得出函数的极值；(2)求出函数的导数，通过讨论参数a 的取值范围，分别求出对应的单调区间即可；(3)将所证问题转化为222(1)ln(1)02x x x ++->，构造函数()(1)ln(1)(01)2x g x x x x =++-<<，利用导数研究函数的单调性即可证明.(1)函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，当1a =-时，2()ln(1)2x f x x x =-++-， 则212()111x f x x x x -'=-+-=++，令()0f x '=，解得x x =舍去)，当(x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的极小值为ln(11f =-+，无极大值；(2)函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，则()()21111x a a f x x x x +-=+-='++， 当10a -≥即1a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当110a -<-<即01a <<时，令()0f x '=，得11x =-、2x则当(1,(1,)x a ∈--+∞时，()0f x '>，当(x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(1,-和)+∞上单调递增，在(上单调递减；当0a <时，11x =<-，舍去.所以()f x 在(-上单调递减，在)+∞上单调递增；(3)因为()f x 有两个极值点12x x 、，由(2)知当01a <<时，1x =2x 所以121201x x x x a +==-，且2(0,1)x ∈，要证2121212()()2()0()02x f x f x x f x x f x -+>⇔->⇔+> 2222222222ln(1)0(1)ln(1)02222x x x x a x x x ⇔++->⇔-++-> 222(1)ln(1)02x x x ⇔++->，令()(1)ln(1)(01)2x g x x x x =++-<<， 则11()ln(1)ln1022g x x '=++>+>， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，且(0)0g =， 故()(0)0g x g >=，即121()()f x f x x -+>.。

泰安市高三第一轮复习质量检测数 学 试 题（理科）一、选择题：本大题共12个小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2()1aia i+∈-R 是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．已知a b c 、、均为实数，则""a b >是22""ac bc >成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A ．53 BC ．54D4．若右面的程序框图输出的S 是126，则①应为 A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤5．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x = 图象下方的点构成的区域。

在D 中随机取一点，则该点在E 中的 概率为 A ．15B ．14C ．13D ．126．在ABC ∆中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边，且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 7．定义在R 上的函数(1)y f x =+的图像如图所示，它在定义域上 是减函数，给出如下命题：①(0)1f =；②(1)1f -=；③若0x >，则()0f x <；④若0x <，则()1f x >。

其中正确的命题是A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③8．如图，在棱长均为1的三棱锥S ABC -中，E 为棱SA 的中点，F 为ABC ∆的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是 A．B ．1CD．29．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,),(1)2,f x y f x f y xy x y f +=++∈=R 则(2)f -等于 A ．2B ．3C ．6D ．910．已知非零向量,a b 满足：2=||||a b ，若函数3211()32f x x x x =++⋅||a a b 在R 上有极值，设向量,a b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为 A ．[1[,1]2B ．1(,1]2C ．1[1,]2- D ．1[1,)2-11．如果直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M N 、两点，且M N 、关于直线0x y +=对称，则不等式组 10,0,0,kx y kx my y -+≥-≤≥表示的平面区域的面积是A ．14B ．12C ．1D ．212．某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

泰安市年高三第一轮复习质量检测数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上. 3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率 V=34πR 3是P ，那么n 次重复试验中恰好发 其中R 表示球的半径生k 次的概率P n (k)=C ()kn k n P --1 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.tan(-625π)的值是 A.-3 B.-33 C. 33 D.3 2.若p 、q 为简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 3.设{a n }是正项等比数列，且a 5a 6=10，则lga 1+lga 2+…+lga 9+lga 10等于 A.5 B.l+lg5 C.2 D.104.若实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤,y x ,y ,x 222则x +2y 的最小值与最大值分别是A.2，6B.2，5C.3，6D.3，55.已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m; ③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β;④若m ∥n,m ∥α,则n ∥α. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2D.36.若函数f(x)同时具有以下两个性质： ①f(x)是偶函数；②对任意实数x ，都有f(x 4+π)=f(x 4-π)，则f(x)的解析式可以是 A.f(x)=cos2x B.f(x)=cos(2x+2π) C.f(x)=cos6xD.f(x)=sin(4x+2π) 7.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+1)(x 3,x -1),(x ,1x 则不等式f(x)≥1的解集是tA.(]2][12，， -∞-B.(-∞，-2)∪(0,2)C. (]2][02，， -∞-D.[-2，0]∪[2，+∞)8.给出下列四个函数 f(x)=-;x 31-g(x)=1-||x|-1|;ϕ(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>;x ,,x ,,x ,010001h(x)=()22log ,0,log ,x x ⎧⎪⎨⎪--⎩1111-≤<<-≥x ,x ,x 及它们的图象 则图象①，②，③，④分别对应的函数为 x A. ϕ(x),h(x),g(x),f(x) B. ϕ(x),g(x),h(x),f(x). B. ϕ(x),h(x),f(x),g(x)D. ϕ(x),g(x),f(x),h(x).9.如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角等于 A.arcsin63B.arccos63C.arcsin 33 D.arccos3310.已知F 1和F 2是两个定点，椭圆C 1与等轴双曲线C 2都以F 1、F 2为焦点，点P 是C 1与C 2的一个交点，且∠F 1PF 2=90°，则椭圆C 1的离心率是 A. 63 B.23 C.22D.322 11.(2x+y-z)6展开式中，x 3y 2z 的系数是 A.-160 B.-480 C.160 D.48012.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令P(n)表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0,则下列结论中错误的是 A.P(3)=3 B.P(5)=1 C. P ()>P() D.P()<P()第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项： 1.第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔答在试卷中(除题目有特殊规定外). 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把答案填在题中横线上. 13.在△ABC 中，∠B=30°，AC=3，BC=3，则∠C 的大小为___________.14.为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了 部分顾定购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画 出频率分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小 组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的 频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________.15.如果直线l 将圆x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________.16.从8个男生和6个女生中选3人去观看一场乒乓球比赛，要求至少有一名男生参加，则不同的选法共有________种.(请用数字作答)三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的交字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量0).2(-n ,m ,1),(sin n ,1,32cos ，π为共线向量，且ααα∈=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=m(Ⅰ)求sin α-cos α的值； (Ⅱ)求αααtan 12cos 2sin 1+++的值.18.(本小题满分12分)甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有3个白球1个红球，现从甲袋中连续三次有放回地摸出一球，从乙袋中连续两次有放回地摸出一球.(Ⅰ)求从甲袋中恰有一次摸出白球同时在乙袋中恰有一次摸出红球的概率； (Ⅱ)求从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的概率；19.(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1=2，∠ACB=90°，E 为BB 1的中点，点D 在AB 上且DE=3.(Ⅰ)求证：CD ⊥面A 1ABB 1； (Ⅱ)求二面角C-AE-D 的大小； (Ⅲ)求点A 1到平面CDE 的距离.20.(本小题满分12分)设数列{a n }的各项都是正数，Sn 是其前n 项和，且对任意n ∈N *都有a 2n =2S n -a n .(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =(2n +1)2n a,求数列{b n }的前n 项和T n .21.(本小题满分12分)已知函数f(x )=x 3+ax 2+bx +5,在曲线y =f (x )上的点P (1，f (1))处的切线与直线y=3x +2平行.(Ⅰ)若函数y =f (x )在x =-2时取得极值，求a ,b 的值；(Ⅱ)若函数y =f (x )在区间(-2，1)上单调递增，求b 的取值范围.22.(本小题满分14分)在直角坐标平面内，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足以下条件；①;GC GB GA 0=++②|MA |=;MC MB =③AB ∥GM (Ⅰ)求△ABC 的项点C 的轨迹方程；(Ⅱ)过点P(2，0)的直线l 与△ABC 的顶点C 的轨迹交于E ，F 两点，求PE ·PF 的取值范围.泰安市年高三第一轮复习质量检测 数学试题参考答案及评分标准(文科)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A C D C C D A B D 13.62ππ, 14.40 15.[0，2] 16.344三、解答题：本题共6个小题，共74分. 17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵n ,cos m 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132α=(sin α,1)共线 ∴sin α+cos α=32……………………………………………………………… 2分 故sin2α=-97从而(sin α-cos α)2=1-sin2α=169……………………………………………… 4分t ∵α∈(-02,π)∴sin α<0，cos α>0 ∴sin α-cos α=-34…………………………………………………………………6分 (Ⅱ)∵()22cos cos sin 1sin 2cos 21tan sin cos αααααααα+++=++=2cos 2α=1+cos2α………9分又cos2α=cos 2α-sin 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=9243432=⨯ ∴原式=1+429…………………………………………………………………12分x 18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意知，从甲袋中摸出白球和从乙袋中摸出红球是相互的，则P=C 13·32·(31)2·C 12·43·41=121………………………………………………3分 (Ⅱ)由题意知，事件A ：从甲袋中摸出白球2次，从乙袋中摸出白球0次；事件B ：从甲、乙袋中摸出白球各1次，事件C:从甲袋中摸出白球0次，从乙袋中摸出白球2次，则P(A)=C 23·(32)2·31·C 02·(43)0·(41)2=361………………………………………6分 P(B)=C 13·32·(31)2·C 12·43·41=121……………………………………………8分 P(C)=C 03·(32)0(31)3·C 22(43)2(41)0=481………………………………………10分 又事件A 、B 、C 互斥 ∴所求事件的概率为： P(A)+P(B)+P(C)=14419481121361=++ ……………………………………………12分 19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱∴B 1B ⊥AB ，又BE=1，DE=3 ∴BD=21322=-=-BE DE又AB=2222=+BC AC ……………………………………………………………2分 ∴D 为AB 中点，由于AC=BC ∴CD ⊥AB.由已知，面ABB 1A 1⊥面ABC∴CD ⊥面A 1ABB 1……………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知CD ⊥面A 1ABB 1，过D 作DF ⊥AE 于F,连FC ，则FC ⊥AE ，故∠DFC 为二面角C —AE —D 的平面角………………………………………… 6分 ∵BE=1，AB=22，AE=381=+ 在Rt △ABE 中 ,sin ∠DAE=31在Rt △ADF 中，DF=AD ·sin ∠12233= 在Rt △CDF 中，tan ∠DFC=332221===DFABDF CD∴∠DFC=arctan3即二面角C-AE-D 大小为arctan3. …………………………………………………9分 (Ⅲ)连接A 1D 、A 1E ，∵A 1B 1=22，AA 1=2，AD=2，B 1E=1 ∴A 1E=3，A 1D=6， 又DE=3，∴A 1D ⊥DE又∵CD ⊥平面A 1ABB 1，∴CD ⊥A 1D故A 1D ⊥平面CDE ，即A 1D 为点A 1到平面CDE 的距离∴点A 1到平面CDE 的距离为6.………………………………………………… 12分 20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∴a 2n =2S n -a n ,n ∈N *，∴当n=1时，a 21=2a 1-a 1,即a 21=a 1∵a 1>0 a 1=1. ………………………………………………………………………1分又a 11212+++-=n n n a S ，∴a 21+n -a ()n n n n n a a S S +--=++1122,即(a n+1-a n ) ()11n n n n a a a a +++=+,从而a n+1-a n =1. ………………………………………………………………………4分 故数列{a n }是1为首项，公差为1的等差数列.∴a n =n. ………………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：b n =(2n+1)2n a=(2n+1)2n.∴T n =b 1+b 2+…+b n =3×2+5×22+…+(2n+1)2n①∴2T n =3×22+5×23+…+(2n-1)2n +(2n+1)2n+1②…………………………………8分①—②得-T n =3×2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n+1)2n+1=6-（2n+1）2n+1+2121213---)(n=-(2n-1)2n+1-2………………………………………………………11分故T n =(2n-1)2n+1+2. ……………………………………………………………… 12分 21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)f ′(x)=3x 2+2ax+b,则f ′(1)=3+2a+b=3即2a+b=0 ① ∵y=f(x)在x=-2时取得极值，故f ′(-2)=0 ∴-4a+b=-12 ②………………3分(Ⅱ)f ′(x)=3x 2+2ax+b 由2a+b=0∴f ′(x)=3x 2-bx+b依题意，f(x)在(-2，1)上单调递增，故f ′(x)在(-2，1)上恒有f ′(x)>0即3x 2-bx+b>0在(-2，1)上恒成立……………………………………………… 6分法一：①当6b ≥1即b ≥6时，f ′小(x)=f ′(1)=3-b+b ≥0∴b ≥6 ……………………………………………………………………………… 8分②当-2<6b<1即-12<b<6时，f ′小(x)= 21212b b ->0即0< b <6 ③6b≤-2即b ≤-12时，f ′小(x)= f ′小(-2)=12+2b+b ≥0，∴b ≥-4 此时b 不存在综上可知，b 的取值范围是b>0. ……………………………………………… 12分 法二：即b>-xx -132(x ∈(-2,1))恒成立……………………………………………8分 又当x ∈(-2，1)时，∴1-x>0又-()()()223161333316111x x x x x x x ---+⎡⎤=-=--+-⎢⎥---⎣⎦………………………10分≤-(6-6)=0 ∴只须b>0∴b 的取值范围为b>0……………………………………………………………… 12分 22.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)设点C ，G 的坐标分别为(x,y)，(x 0,y 0),GC GB GA ++=(-1-x 0,-y 0)+(1-x 0,-y 0)+(x-x 0,y-y 0)=(x-3x 0,y-3y 0)=0∴⎩⎨⎧==,y y ,x x 0033……………………………………………………………3分 MB MA 和GM ∥AB ,知点M 的坐标为(0，y 0)，MC MA 可得()202201y y x y -+=+,∴1+222949y x y +=,即x 2+132=y ,故点C 的轨迹方程是x 2+213y =(y ≠0). ………………………………………… 6分 (Ⅱ)直线l 的斜率为k(k ≠0),则它的方程为y=k(x-2), 由()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=,y x ,x k y 033222可得(3+k 2)x 2-4k 2x+4k 2-3=0, 其中△=16k 2-4(3+k 2)(4k 2-3)=36(1-k 2)>0,∴-1<k<1且k ≠0……………………………………………………………………8分 设两交点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由韦达定理得x 1+x 2=3422+k k ,x 1·x 2=33422+-k k ……………………………………………………… 9分又因为y 1=k(x 1-2),y 2=k(x 2-2),从而PE PF ⋅=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(1+k 2)(x 1-2)(x 2-2) …………………………………10分=(1+k 2)(43423342222++⨯-+-k k k k )=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++3219319222k k k (12)分又0<k 2<1,所以3<k 2+3<4,得PE PF ⋅∈(3，29). ∴PE PF ⋅的取值范围是(3，29).…………………………………………………14分。

试卷类型:A高三一轮检测数学试题2023.03注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M,N,P均为R的非空真子集，且M∪N=R,M∩N=P,则M∩(∁R P)=A.MB.NC.∁R MD.∁R N2.若复数z满足z(1-i)=1+3i，则-z=A.-1+2iB.1+2iC.-1-2iD.1-2i3.若(x-a x)8的展开式中x6的系数是-16，则实数a的值是A.-2B.-1C.1D.24.已知m,n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则a4=A.274B.94C.278D.986.已知α∈(-π2,π2),12sin2α-5cosα=9,则cos2α=A.13B.-79C.-34D.181高三数学试题第页（共4页）高三数学试题第页（共4页）7.青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人成长、家庭幸福、民族未来，促进青少年健康是建设体育强国、健康中国的重要内容。

党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄、砥砺意志，凝聚和焕发青春力量。

近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶。

某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A.样本的众数为67.5B.样本的80%分位数为72.5C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300人8.已知直线l 与圆x 2+y 2=8相切，与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点，以A,B 为直径的圆过坐标原点，则直线l 的方程为A.x +y -4=0或x -y +4=0B.x -y -4=0或x +y -4=0C.x +2y +4=0或x -2y -4=0D.x -2y +4=0或x +2y +4=0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

泰安市高三第一轮复习质量检测2.已知a b c均为实数，则"a b"是"ac2.充分不必要条件.必要不充分条件•充分必要条件•既不充分又不必要条件2 23.已知双曲线7 b- 1的一条渐近线方程为则双曲线的离心率为B. £34•若右面的程序框图输出的S是126，则①应为A . n 5? B. n 6?C . n 7? D. n 8?5•如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数图象下方的点构成的区域。

在D中随机取一点，则该点在E中的概率为1C. 5_67•定义在R上的函数y f（x 1）的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题:① f (0) 1 :② f ( 1) 1 ；③若x 0,则f (x) 0 ；数学试题（理科）一、选择题：本大题共题目要求的。

1 .若复数「里（a1 iA . 212个小题。

每小题5分,R）是纯虚数（i是虚数单位B. 1C. 160分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合则a的值为D.6.在ABC中,b、c分别是三内角A B、C的对边, 且sin2 A sin2C (sinA sin B)sinB，则角C 等2bc "成立的4y 3x，C.-3j1 1B.-3D. 23幵曲④若x 0，贝y f (x) 1。

其中正确的命题是傅视用A .②③B .①④C.②④D.①③&如图，在棱长均为1的三棱锥S ABC 中，E 为棱SA 的中点，F 为ABC 的中心，则直线 EF 与平面ABC 所成角的正切值是B . 1y) f(x)f(y)2xy(x,y R), f(1) 2,则 f ( 2)等于A. 2B .3C. 6D. 910.已知非零向量 a,b 满足 :|a|2|b|,若函数£ / \ 1 3 1 - - 2f (x) -x — |a | x3 2a bx 在R 上有极值， 设向量a,b的夹角为则cos 的取值范围为1 A .[[齐]B .中］ C [1 1 1,2]D. [ 1,2)11.如果直线ykx 1与圆x 2 y 2 kx my4 0交于M 、N 两点， 且M 、N 关于直线x y 0对kx y 11 『°，称，则不等式组kx my ( ),表小的平面区域的面积是y0, ■A . 1B .1C. 1D. 263万吨 D . 64万吨 、填空题：本大题共 4个小题，每小题 4分，共16分。

山东省泰安市高三第一轮复习质量检测（一模）数学（理科）试题2013.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<，则A B ⋂等于 A.{}1,0,1- B.{}1C.{}1,1-D.{}0,1【答案】B{}124{02}x B x x x =≤<=≤<，所以{1}A B ⋂=，选B.2.复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是B.C.5D.8【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ---+===+++-，所以31121i i i -=+=+ A. 3.如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且，则()1P ζ≥等于 A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】D 因为()()31110.P P ζζ-≤≤-=-≤≤=，所以()()()1311110.40.410.122P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥===，选D.4.下列结论错误．．的是 A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”【答案】C命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”。

若方程20x x m +-=有实根，则140m ∆=+≥，解得14m ≥-。

所以14m ≥-时，不一定有0m >，所以C 错误。

5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是A.4B.5C.6D.7【答案】B第一次35116,1n k =⨯+==；第二次168,22n k ===；第三次84,32n k ===；第四次42,42n k ===；第五次21,52n k ===此时满足条件输出5k =，选B. 6.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是 A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称C.奇函数且图像关于直线2x π=对称D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Z πϕπ=-+∈，所以()()3s i n ()04f x A x A π=->，所以333()s i n ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-，所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称，选C.7.在,2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆BC 的长为B.3D.7【答案】A11sin 6022222S AB AC AC =⨯⋅=⨯⨯=，所以1AC =，所以2222c o s 63BCA BA C AB A C=+-⋅,，所以BC =,选A. 8.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为 A.2π B.3πC.4π D.6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-=，所以3a b ⋅=，所以31cos ,162a b a b a b⋅<>===⨯，所以,3a b π<>=，选B.9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中，恒成立的是A.a b +≥B.11a b +> C.2b a a b +≥ D.222a b ab +> 【答案】C因为0ab >，所以0,0b aa b>>，即2b a a b +≥=，所以选C. 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3，且123,x x x <<则下列结论正确的是 A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<<，∴f ′（x ）=3x 2﹣4．令f ′（x ）=0，得 x=±．∵当x <'()0f x >；在(上，'()0f x <；在)+∞上，'()0f x >．故函数在(,-∞）上是增函数，在(上是减函数，在)+∞上是增函数．故(3f -是极大值，(3f 是极小值．再由f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，且123,x x x <<得 x 1＜﹣，﹣＜x 2，x 3＞． 根据f （0）=a ＞0，且f （）=a ﹣＜0，得＞x 2＞0．∴0＜x 2＜1．选D.11.直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3[,)4ππ C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B直线的斜截式方程为221111y x a a =--++，所以斜率为211k a =-+，即21tan 1a α=-+，所以1tan 0α-≤<，解得34παπ≤<，即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ，选B. 12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，若函数，()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或D.11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，所以最大值为(1)1f =，要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则2121t a t ≤-+，即220t at -≥，即(2)0t t a -≥，当0t =时，不等式成立。

绝密★启用前试卷类型：A高三年级考试理科数学2017.1.18本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知R 为实数集，=ln(1)0Q x x ｛＋＞｝，21222S y y x x x ｛－＋－＜=,｝=≤，{}1 1 32x T x x ＋－=≤，则“(x Q ∈∁)T R ”是“x S ∈”的（）A （）充分非必要条件B （）非充分必要条件C （）充分必要条件D （）非充分非必要条件2.设i 为虚数单位，a ∈R ，则复数2(1i)21a a ＋＋－－为纯虚数，则在复平面内20172016i 2i a a ＋＋所对应的点位于（）A （）第一象限B （）第二象限C （）第三象限D （）第四象限3.已知命题:p 已知数列n a ｛｝为等比数列，⋅36a a x =∫，则45log log ππa a ＋；命题:q 已知函数55log 1log x x x a ＝＋＋－（）（）（）f ，a ∈R ，∃R a ∈，使的x （）f 为偶函数，则四个命题：¬∨¬∧¬∧¬∨¬, , , p q p q p q p q 中正确的命题个数为（）A （）1B （）2C （）3D （）44.“三角学”，英文Trigonometry 。

2013年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•泰安一模）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B 等于（ ） A ． {﹣1，0，1} B ． {1} C ． {﹣1，1} D ． {0，1}考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析：利用指数函数的性质求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，找出A 与B 的公共元素，即可求出两集合的交集．解答：解：由集合B 中的不等式变形得：20≤2x ＜22， 解得：0≤x＜2， ∴B=[0，2），又A={﹣1，1}， 则A∩B={1}． 故选B 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•泰安一模）复数（i 为虚数单位）的模是（ ）A ．B ．C ． 5D ． 8考点： 复数求模． 专题： 计算题． 分析： 直接求出复数的代数形式，然后求解复数的模即可． 解答：解：因为，所以，故选A ． 点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2013•泰安一模）如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P （ξ≥1）等于（ ） A ． 0.1 B ． 0.2 C ． 0.3 D ． 0.4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题：计算题． 分析： 本题是一个正态分布问题，根据所给的随机变量取值的平均水平的特征数﹣1，而正态曲线是一个关于x=μ即x=﹣1对称的曲线，根据对称性写出概率．解答： 解：如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4， ∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=∴∴P（ξ≥1）=．点评： 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 4．（5分）（2013•泰安一模）下列命题，其中说法错误的是（ ）A ． 命题“若x 2﹣3x ﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x 2﹣3x ﹣4≠0”B ． “x=4”是“x 2﹣3x ﹣4=0．”的充分条件C ． 命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D ． 命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m≠0或n≠0”考点： 命题的真假判断与应用． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：命题“若x 2﹣3x ﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x 2﹣3x ﹣4≠0；“x=4”是“x 2﹣3x ﹣4=0”的充分条件；命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m≠0或n≠0”．解答：解：命题“若x 2﹣3x ﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x 2﹣3x ﹣4≠0”，故A 正确；∵“x=4”⇒“x 2﹣3x ﹣4=0”，“x 2﹣3x ﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x 2﹣3x ﹣4=0”的充分条件，故B 正确；命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x 2+x ﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x 2+x ﹣m=0有实根，则m ＞0”，是假命题，故C 不正确；命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m≠0或n≠0”，故D 正确． 故选C ． 点评： 本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 5．（5分）（2013•泰安一模）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6．（5分）（2013•泰安一模）当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（）A．奇函数且图象关于点对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于直线对称D．偶函数且图象关于点对称考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由f（）=sin（+φ）=﹣1可求得φ=2kπ﹣（k∈Z），从而可求得y=f（﹣x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可．解答：解：∵f（）=sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣（k∈Z），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x+2kπ﹣）=﹣Asinx，令y=g（x）=﹣Asinx，则g（﹣x）=﹣Asin（﹣x）=Asinx=﹣g（x），∴y=g（x）是奇函数，可排除B，D；其对称轴为x=kπ+，k∈Z，对称中心为（kπ，0）k∈Z，可排除A；令k=0，x=为一条对称轴，故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题．7．（5分）（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC，是解题的关键．8．（5分）（2013•泰安一模）已知则向量与的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得，再由，求得向量与的夹角．解答：解：由于，所以，所以，所以，故选B．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于中档题．9．（5分）（2013•泰安一模）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b≥2B．C．D．a2+b2＞2ab考点：不等关系与不等式．专题：常规题型．分析：根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确选项．解答：解：因为ab＞0，则或，则排除A与B；由于a2+b2≥2ab恒成立，当且仅当a=b时，取“=”，故D错；由于ab＞0，则，即，所以选C．故答案为 C点评：本题考查不等式与不等关系，解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基本不等式适用的范围．10．（5分）（2013•泰安一模）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x 2，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f （）=a ﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．11．（5分）（2013•泰安一模）直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由直线的方程得斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α 的取值范围．解答：解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选 B．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值的范围求角的范围，得到0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，是解题的关键．12．（5分）（2013•泰安一模）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2B．C．t≤﹣2或t=0或t≥2D．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：综合题；压轴题．分析：要使函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，只需要f（x）的最大值小于等于t2﹣2at+1，再变换主元，构建函数，可得不等式，从而可求t的取值范围．解答：解：∵奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1∴x=1时，函数有最大值f（1）=1若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，∴1≤t2﹣2at+1∴2at﹣t2≤0，设g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），欲使2at﹣t2≤0恒成立，则∴∴t≤﹣2或t=0或t≥2故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查恒成立问题，考查变换主元的思想，利用最值解决恒成立问题时我们解决这类问题的常用方法．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．（4分）（2013•泰安一模）从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先计算出从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数对应的基本事件总数，再列举出这3个数可以构成等差数列的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，共有=10种不同的情况；其中可以构成等差数列的情况有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）和（1，3，5）四种故这3个数可以构成等差数列的概率为=故答案为：点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中本题易忽略1，3，5这种情况，而造成错解．14．（4分）（2013•泰安一模）二项式的展开式中，常数项等于1215 （用数字作答）．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（4分）（2013•泰安一模）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，球心0在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点O1．算出AC==2，结合球的截面圆性质算出OO1=，最后利用锥体体积公式即可算出棱锥O﹣ABCD的体积．解答：解：球心0在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点O1．∵AB=8，BC=2，∴对角线长AC=，由球的截面圆性质，得棱锥的高OO1=，∴棱锥O﹣ABCD的体积为V=S ABCD×OO1=．故答案为：点评：本题给出圆的内接矩形ABCD，求棱锥O﹣ABCD的体积．着重考查了球的截面圆性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．16．（4分）（2013•泰安一模）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，代入方程求出双曲线的方程．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=﹣m＞0，所以，又，解得n=1，所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3，即﹣m=3，m=﹣3，所以双曲线的方程为．故答案为：．点评：解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b2三、解答题：17．（12分）（2013•泰安一模）设等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=a1﹣9，a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式，（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可建立，解之可得，进而可得通项公式；（2）由（1）可求S k，进而可得S k+2，S k+1，由等差中项的定义验证S k+1+S k+2=2S k即可解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，解答：则，解得，故数列{a n}的通项公式为：a n=（﹣2）n﹣1，（2）由（1）可知a n=（﹣2）n﹣1，故S k==，所以S k+1=，S k+2=，∴S k+1+S k+2====，而2S k=2===，故S k+1+S k+2=2S k，即S k+2，S k，S k+1成等差数列点本题考查等比数列的前n项和，以及等差关系的确定，属中档题．评：18．（12分）（2013•泰安一模）已知．（1）求A的值；（II）设α、β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β﹣）=﹣，求cos（α+β）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）==2Asin（+）．再由 f（）=，可得A的值．（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（+），由f（3α+π）=，求得cosα 的值，再由 f（3β﹣）=﹣，求得sinβ的值．再由α、β的范围利用同角三角函数的基本关系，求得sinα 和cosβ 的值，再根据cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，运算求得结果．解答：解：（1）由题意可得f（x）==Asin+Acos=2Asin（+）．再由 f（）=2Asin（+）=A=，可得A=1．（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（+），∴f（3α+π）=2sin（α++）=2cosα=，可得cosα=．又 f（3β﹣）=2sin（β﹣+）=﹣2sinβ=﹣，sinβ=．再由α、β∈[0，]，可得sinα=，cosβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．19．（12分）（2013•泰安一模）如图在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD=DE=2BF=2．（I）求证：AC⊥EF；（II）求二面角C﹣EF﹣D的大小；（III）设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：平面向量及应用．分析：（I）建立坐标系，利用向量的数量积为0，即可证明AC⊥EF；（II）取为平面EFD的法向量，求出平面CEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C﹣EF﹣D的大小；（III）若BG∥平面CEF，只需，则可得G为CD的中点时，BG∥平面CEF．解答：（I）证明：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（2，2，1），E（0，0，2）∴∴=﹣2×2+2×2+（﹣1）×0=0∴AC⊥EF；（II）解：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥ED∵AC⊥EF，∴取为平面EFD的法向量∴=（﹣2，2，0）设平面CEF的法向量为=（x，y，1），∴∵=（0，2，﹣2），∴∴∴设二面角C﹣EF﹣D的大小为θ，则cosθ===∵θ∈[0，π]，∴（III）解：设G（0，y0，0），y0∈[0，2]若BG∥平面CEF，只需，又=（﹣2，y0，0）∴=（﹣2，y0﹣2，0）•（﹣，1，1）=1+y0﹣2+0=0∴y0=1∴G点坐标为（0，1，0）即当G为CD的中点时，BG∥平面CEF．点评：本题考查利用空间向量求空间角，考查线面平行，考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2013•泰安一模）某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ＜5的为二等品，ξ＜3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；（I）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；（II）已知该厂生产一件产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ζ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（II）确定Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得Z的分布列，从而可求数学期望．解答：解：（I）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴样本中一等品的频率为=0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）二等品的频率为=0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）三等品的频率为=0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）∵Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得P（Z=2）=0.5×0.5=，P（Z=3）=2×=，P（Z=4）=×=，P（Z=5）=2××=，P（Z=6）=2××=，P（Z=8）==，∴可得X的分布列如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其数学期望EX=3.8（元）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题时利用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．21．（13分）（2013•泰安一模）已知椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．（I）求椭圆C2的方程；（II）设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（﹣2，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且=4，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设椭圆C2的方程，利用椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆的方程；（II）设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，设线段AB的中点为M，确定M的坐标，分类讨论，利用=4，即可得到结论．解答：解：（I）设椭圆C2的方程为（a＞b＞0）∵椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率∴a=2，e=∴c=∴∴椭圆C2的方程为；（II）点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．与椭圆C2的方程联立，整理得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0∴﹣2x1=，得x1=，从而y1=设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（）①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，∴=（﹣2，﹣y0），=（2，﹣y0）．由=4得y0=±2，∴l的方程为y=0；②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得y0=﹣∴=（﹣2，﹣y0），=（x1，y1﹣y0）．∴=（﹣2，﹣y0）•（x1，y1﹣y0）=+（）=4∴7k2=2∴，∴l的方程为y=．点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力，属于中档题．22．（13分）（2013•泰安一模）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x且f（0）=1，f（1）=0．（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe x≥mx+1≥﹣x2+4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）由题意，函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f （1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；（II）当a=0时，若mx+1≥﹣x2+4x+1得，由二次函数知识求得m=4，在证明当m=4时，2f（x）+4xe x≥mx+1对任意x∈R恒成立，g（x）=（2x+2）e x﹣4x﹣1，只需g（x）＞0即可．解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，则f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x，∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]e x，由题意函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0当a＞0时，因为二次函数y=ax2+（a﹣1）x﹣a图象开口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）e x＜0，函数符合条件；当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xe x＜0，函数符合条件；当a＜0时，因f′（0）=﹣a＞0函数不符合条件；综上知，a的取值范围是0≤a≤1（II）当a=0时，f（x）=（1﹣x）e x，假设存在实数m使不等式2f（x）+4xe x≥mx+1≥﹣x2+4x+1对任意x∈R恒成立，由mx+1≥﹣x2+4x+1得，x2+（m﹣4）x≥0恒成立，∴△=（m﹣4）2≤0，∴m=4．下面证明：当m=4时，2f（x）+4xe x≥mx+1对任意x∈R恒成立，即（2x+2）e x≥4x+1对任意x∈R恒成立，令g（x）=（2x+2）e x﹣4x﹣1，g′（x）=（2x+4）e x﹣4，∵g′（0）=0，当x＞0时，2x+4＞4，e x＞1，∴（2x+4）e x＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，2x+4＜4，0＜e x＜1，∴（2x+4）e x＜4，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞0，）上单调递减，∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）e x≥4x+1对任意x∈R恒成立．综上所述，实数m=4使不等式2f（x）+4xe x≥mx+1≥﹣x2+4x+1对任意x∈R恒成立．点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，利用导数研究函数的单调性，此类题解题步骤一般是求导，研究单调性，确定最值，求最值，解题的关键是把函数在闭区间上递减转化为函数的导数在此区间上小于等于0恒成立，将单调递减的问题转化为不等式恒成立是此类题常用的转化思路，第二小题求恒成立参数的取值范围，本题考查了转化的思想，推理判断的能力，计算量大，难度较大，极易因为判断不准转化出错或计算出错，常作为高考的压轴题．。