高考数学高三模拟试卷试题压轴押题小题大做一4

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题阶段测试卷（文科）第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=( ) A.{}2,1--B.{}2-C.{}1,0,1-D.{}0,12.已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a//b, 则实数m 等于( ) A.2-22-2D.03.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D.[1,1)(1,)-+∞4.3sin cos 23αα==若( ) A.23B.13 C.13-D.23-5.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A.a >b +1 B.a >b 1 C.2a >2b D.3a >3b6.已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f （ ） A.2B.1C.0D.27.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝8.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 ( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =- 9.已知0>x ，0>y ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.29 D. 211 10.用{}b a ,max 表示两个数a ，b 中的最大数，设{}x x x x f 22log ,48max )(-+-=，若函数kx x f x g -=)()(有两个零点，则实数k 的取值范围为 ( )A.()3,0B.(]3,0C.()4,0D.[]4,0二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在等差数列{}n a 中，若2013=a ，1320=a ，则2014a =_________；12.已知函数f(x)＝32,0,πtan ,0,2x x x x ⎧<⎪⎨-≤<⎪⎩则π4f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________； 13. 已知向量a ，b 满足2=a ，2=b ，且32=+b a，则a 与b 的夹角为__________；14.设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值为__________；15.已知a 为常数，若曲线x x ax y ln 32-+=存在与直线01=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是__________。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合21M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}21N y y x ==-，则M N = （ ).(].,2A -∞(].0,1B (]C.0,2[].0,1D【答案】B【解析】试题分析：因为{|02}M x x =<≤，{|1}N y y =≤，所以(0,1]MN =，故选B ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =( ).A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和．3.在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD •的值为( ).A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】试题分析：因为，2CD DB =，90BAC ∠=，所以1()()3AB AD AB AB BD AB AB BC =+=+＝1[()]3AB AB AC AB +-＝223AB ＋13AB AC ＝223AB ＝226243⨯=，故选C ． 考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算．4.若函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞【答案】C试题分析：由题意知0x >，()1a f x x '=+，要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则需方程10a x+=在0x >上有解，即x a =-，所以0a <，故选C ． 考点：利用导数研究函数的单调性．5.函数x y 2sin =的图像经过怎样的平移变换得到函数)23sin(x y -=π的图像（ ）. A ．向左平移32π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 【答案】B考点：三角函数图象的平移变换．6.在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）.A ．c b a ,,成等差数列 B. b c a ,,成等差数列C. b c a ,,成等比数列D. c b a ,,成等比数列【答案】D【解析】试题分析：cos 2cos cos()B B A C ++-＝cos 2cos()cos()B A C A C -++-＝212sin cos cos B A C --＋sin sin A C ＋cos cos sin sin A C A C +＝2212sin 2sin sin 12sin 2sin sin 0B A C B A C -+=∴-+=，即2b ac =，所以c b a ,,成等比数列，故选D ．考点：1、两角和与差的余弦；2、二倍角；3、正弦定理．7.函数|)|cos(sin x y =的图像大致是（ ）.【解析】试题分析：因为1sin ||1x -≤≤，所以0cos(sin ||)1x <≤，而当0x =时，cos(sin ||)1x =，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．8.若函数])2,0[,0)(2cos(πωπω∈>+=x x y 的图像与直线21=y 无公共点, 则( ). A ．310<<ωB ．210<<ω C ．1270<<ωD ．320<<ω 【答案】C考点：1、三角函数的图象与性质；2、诱导公式．9.下列命题中，正确的是 （ ）.A ．存在00x >，使得00sin x x < B ．“lna lnb >”是“1010a b >”的充要条件C ．若1sin 2α≠，则6πα≠ D ．若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-有极值0，则2,9a b ==或3,1==b a【答案】C【解析】试题分析：A 中，令()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，所以()(0)0f x f >=，即sin x x >，所以不存在00x >，使得00sin x x >，不正确；B 中当0b a <<时，ln ln a b >不成立，不正确；D 中，2()36f x x ax b '=++，则有2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩，而当3,1==b a 时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，此时函数无极值，故D 不正确； C 正确，故选C ．考点：1、命题真假的判定；2、充分条件与必要条件的判定；3、函数的极值．10.若非零向量,a b 满足||||a b b +=，则（ ）.A ．|2||2|a a b >+B ．|2||2|a a b <+C ．|2||2|b a b <+D ．|2||2|b a b >+【答案】D【解析】试题分析：由||||a b b +=得22()a b b +=，即220a a b +=．因为20a >，所以20a b <，所以2220a a b a b ++<，所以2222244a a b a b b b +++<，即22(2)(2)a b b +<，亦即|2||2|a b b +<，故选D ．考点：向量的模11.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*∈N n a n ，且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）.A ．1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n -- 【答案】B考点：1、函数解析式；2、等比数列的前n 项和．【思路点睛】本题解答有两个关键点：（1）由)2(2)(+=x f x f 导出类似于函数周期性的结论“()()122n f x n f x +=”；（2）转化自变量区间)2,22[n n -为[0,2)后，利用已知区间[0,2)上的解析式，确定在区间)2,22[n n -上的解析式．12.已知双曲线C 的方程为22145x y -=，其左、右焦点分别是1F 、2F ．已知点M 坐标为()2,1，双曲线C 上点()00,x y P （00x >，00y >）满足11211121||||PF MF F F MF PF F F =，则12PMF PMF S S ∆∆-=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．4【解析】试题分析：由条件，得1(3,0)F-，2(3,0)F．因为11211121||||PF MF F F MFPF F F=，所以002200(3)x y--+考点：1、双曲线的定义与性质；2、点到直线的距离；3、平面向量的数量积．【规律点睛】（1）圆锥曲线与平面向量的综合，通常是将向量表示为坐标形式，然后利用向量运算转化为代数运算进行求解；（2）圆锥曲线中的面积问题通常涉及到三角形的面积，而求三角形面积的关键是确定底边和高的长．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.函数3y x x=-的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于.【答案】12【解析】试题分析：由30x x-=，得0x=或1x=±，所以所围成的封闭图形的面积为132()x x dx-⎰＝2412()|24x x-＝11242⨯=．考点：定积分的运算及几何意义．14.已知,αβ为锐角，10103sin,552sin==βα，则=+βα________.【答案】34π试题分析：因为,αβ为锐角，所以510cos ,cos 510αβ==，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-＝51025310510510⨯-⨯＝22-．因为所以,(0,)2παβ∈，所以(0,)αβπ+∈，所以34παβ+=． 考点：两角和与差的余弦． 15.若函数|1|log )(+=x x f t 在区间)1,2(--上恒有 0)(>x f ，则关于t 的不等式)1()18(f f t <-的解集为_______.【答案】)1,31(考点：1、函数的单调性；2、不等式的解法．【方法点睛】对于带有函数符号“f ”的不等式，通常不能直接求解，主要有两种途径：（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解；（2）利用数形结合法，即通过作出所涉及到的图象，根据图象位置进行直观求解．16.已知函数()23log (1)1132x x k f x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是.【答案】]3,1[【解析】因为2log (1)1y x =-+在[1,)k -上是减函数，所以22log (1)1log (1)12k x -+<-+≤，由函数()f x 为值域知2log (1)10k -+≥，解得112k -<≤．令3()32g x x x =-+，则2()33g x x '=-＝3(1)(1)x x -+，知()g x 在(,1)k 上为减函数，在(1,)+∞为增函数．又由3()322g x x x =-+≤，得03x ≤≤(0)3)2g g ==，则必有102k ≤≤．如图所示．易知3]a ∈．试题分析：考点：1、函数的定义域与值域；2、函数的单调性；3、函数图象的应用；4、分段函数． 【易错点晴】本题解答如果不能正确作出函数的图象就无法利用数形结合法直观求解，同时如果确定出函数图象后，不能正确求得切线k 的取值范围也不能得到正确的结果，因此解答本题的关键是求出k 的范围，不然会误认为[0,3]a ∈．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}()1015,202A x R ax B x R x a ⎧⎫=∈<+≤=∈-<≤≠⎨⎬⎩⎭． ⑴若B A =，求出实数a 的值；⑵若命题,:A x p ∈命题B x q ∈:且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2=a ；（2）(2,)(,8)+∞-∞-．当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-=a x a x A 41则⎪⎩⎪⎨⎧≤->-⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2421124211aa a a 或解得2>a 当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤=a x ax A 14则821214-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-->a aa 综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是,2>a 或8-<a …………12分考点：1、集合间的关系；2、充分条件与必要条件的判定．18.（本小题满分12分）设向量(cos sin ,1),(2sin ,1)a wx wx b wx =--=-，其中0w >，x R ∈，已知函数()f x a b =⋅的最小正周期为4π.(1)求)(x f 的对称中心；(2)若0sin x 是关于t 的方程2210t t --=的根，且0(,)22x ππ∈-，求0()f x 的值. 【答案】(1)2,02k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)22． 考点：1、两角两角和与差的正弦；2、三角函数的周期；3、特殊三角形函数的值．【规律点睛】平面向量与三角函数的综合，通常利用平面向量的垂直、平行、数量积公式等知识将向量问题转化为三角函数问题，再结合三角知识求解．而求三角函数的最值（值域）、单调性、奇偶性、对称性，通常要将函数的解析式转化为()()sin f x A x B ωϕ=++的形式，然后利用整体思想求解．19.（本小题满分12分）已知函数()ln f x a x x =-（0a >）．(1)求函数()f x 的最大值；(2)若()0,x a ∈，证明：()()f a x f a x +>-.【答案】（1）max ()ln f x a a a =-；（2）见解析．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的最值；3、导数的运算．20.（本小题满分12分）如图，已知五面体CD AB E ，其中C ∆AB 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DC BE 为平行四边形，且DC ⊥平面C AB ．(1)证明：D C A ⊥B ；(2)若4AB =，C 2B =，且二面角D C A-B -所成角θ的正切值是2，试求该几何体CD AB E 的体积．【答案】（1）见解析；（2）8．【解析】试题分析： （1）将问题转化为证明⊥BC 平面ACD ，再转化为证明BC AC ⊥（由直径可证）与BC DC ⊥（由DC ⊥平面ABC 可证）；（2）考虑建立空间直角坐标系，通过求两个法向量的夹角来确定二面角D C A-B -所成角θ的正切值，并确定DC 的长，进而可求得几何体CD AB E 的体积．考点：1、空间直线与直线、直线与平面的垂直的判定与性质；2、二面角；3、空间几何体的体积． 【方法点睛】用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立恰当的空间直角坐标系.若坐标系选取不当，计算量就会增大.总之树立用数解形的观念，即用数形结合的思想解决问题，而建立空间直角坐标系通常考虑以特殊点为坐标原点（如中点、正方体的顶点），特殊直线（如有两两垂直的直线）为坐标轴来建立．21.（本小题满分12分）在直角坐标xOy 平面内，已知点)0,1(F ，直线1:-=x l ，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ FP QF QP •=•. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点F 的直线交轨迹Γ于B A ,两点,交直线l 于点M ,已知AF MA 1λ=,BF MB 2λ=,,试判断21λλ+是否为定值,若是,求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)120λλ+=，理由见解析．所以12121212211222y y t y y t y y λλ⎛⎫⎛⎫++=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=………..12分考点：1、轨迹方程；2、直线与抛物线的位置关系；3、平面向量的数量积．【方法点睛】圆锥曲线的定值解答主要从两个方面考虑：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关；（2）直接推理、计算，将需要考察的相关量用设定的或题中给出的参数表示出来，再将欲证的这些几何量之间的关系式化简为一个与参数无关的式子，从而得到定值（定点）. 22.（本小题满分12分）已知二次函数()g x 对任意实数x 都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--，且(1)1g =-．令()219()23ln (0,0)24f xg x mx m x m x =++-+>>.(1)若函数()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，求m 的值；(2)记函数22()[()1][(1)1]H x x x a x a x a =--⋅-+-+-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）23m e =；（2）3322a >．综上，同时满足（i ）(ii)的a 的取值范围是3322a >分下面证明：这5个实根两两不相等。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题小题大做(一)一、选择题1.设复数z=,则z=().A.iB.+iC.13iD.1+3i【解析】z====i.【答案】A2.设集合M={x|>0},集合N={x|x22x3<0},则M∪N=().A.{x|1<x<3}B.{x|1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}【解析】M={x|>0}=,N={x|x22x3<0}=,故M∪N=,故选A.【答案】A3.下列说法正确的是().A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题“∀x≥0,x2+x1<0”的否定是“∃x0<0,+x01<0”C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题【解析】命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;命题“∀x≥0,x2+x1<0”的否定是“∃x0≥0,使+x01≥0”,故B错;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,是真命题,故C错;当“p∨q”为真命题时,p,q中至少有一个为真命题,故选D.【答案】D4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm1=1,Sm=0,Sm+1=2,则m=().A.1B.2C.3D.4【解析】因为am=SmSm1=1,am+1=Sm+1Sm=2,所以d=am+1am=1.因为am=a1+(m1)d=a1+m1=1,所以a1=2m,所以Sm=ma1+d=m(2m)+=0,解得m=3(m=0舍去).【答案】C5.若某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均为下图,则该几何体的俯视图不可能是().【解析】当几何体上、下两部分都是圆柱时,俯视图为A;当上部分为正四棱柱,下部分为圆柱时,俯视图为B;当几何体的上部分为直三棱柱且该直三棱柱的底面为等腰直角三角形,下部分为正四棱柱时,俯视图为C;无论何种情形,俯视图都不可能为D.【答案】D6.曲线+=1与曲线+=1(12<k<16)的().A.长轴长与实轴长相等B.短轴长与虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析】由椭圆+=1,得c=2.由双曲线=1,得=(16k)+(k12)=4,即c1=2.故选C.【答案】C7.在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点P,那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为().A.B.C.D.【解析】如图,在矩形内取一点Q,由点Q分别向AD,AB作垂线,垂足分别为E,F.由S△ABQ=S△ADQ=1知,QF=1,QE=.设直线EQ,FQ分别交BC,CD于M,N,则当点P落在矩形QMCN内时,满足要求,故所求概率P===.【答案】A8.执行如图所示的程序框图,则输出S的结果是().A.B.C.D.【解析】第一次循环:S=0+=,n=2+2=4<10成立;第二次循环:S=+,n=4+2=6<10成立;第三次循环:S=++,n=6+2=8<10成立;第四次循环:S=+++,n=8+2=10<10不成立,结束循环,输出S的值.故S=+++=.【答案】B9.如图,偶函数f(x)的图象形如字母“M”,奇函数g(x)的图象形如字母“N”,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m,n,则m+n=().A.18B.16C.14D.12【解析】由图象知,f(x)=0有3个根,为0,±;g(x)=0有3个根,其中一个为0,设与x轴的另外两个交点的横坐标为±x0(0<x0<1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或±,由图象可知g(x)=0,g(x)=,g(x)=,每个方程都有3个根,故m=9.由g(f(x))=0,得f(x)=0或±x0,由图象可知f(x)=0有3个根,f(x)=x0有4个根,f(x)=x0只有2个根,即共有9个根,故n=9.因此m+n=9+9=18,故选A.【答案】A10.在下面四个图中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a21)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则f(1)等于().A.B.C.D.或【解析】f'(x)=x2+2ax+a21,其图象开口向上,排除(2)(3).因为a≠0,所以f'(x)的图象为(4).由图可知f'(0)=0,故a=1或a=1.由图象知a≠1,所以a=1,所以f(x)=x3x2+1,所以f(1)=,故选B.【答案】B11.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移个单位后得到g(x)=cos(2x+),则φ的值为().A. B.C.D.【解析】因为函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移个单位后可得sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ)=cos(2x+φ)=cos(2x+)=g(x),所以+φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=. 【答案】C12.已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7,定点M的坐标为(1,2),若N∈Ω,O为坐标原点,则·的最小值是().A.8B.7C.6D.4【解析】依题意,画出不等式组所表示的平面区域,如图所示.当k=0时,y≤2,此时平面区域Ω的面积为6,因为6<7,所以k<0.由可得D(,).依题意应有×2×||=1,又k<0,所以k=1,故点D(1,3).设N(x,y),令z=·,则有z=x2y,即y=x z,因为<1,所以当直线y=x z过点D时,截距z最大,即z取得最小值7,故选B.【答案】B二、填空题13.若α为锐角,且sin(α)=,则sinα的值为.【解析】因为0<α<,所以<α<.又sin(α)=>0,所以0<α<,所以cos(α)===.所以sinα=sin[(α)+]=sin(α)+cos(α)=×+×=.【答案】14.若非零向量a,b满足=2=2,且(ab)⊥(a+3b),则a与b的夹角的正弦值为.【解析】因为(ab)⊥(a+3b),所以(ab)·(a+3b)=a2+2a·b3b2=0.又因为=2=2,所以a·b=,所以cosθ==,sinθ==.【答案】15.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,以此类推,若m3的“分裂”数中有一个是73,则m的值为. 【解析】由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数,设m3的“分裂”数中第一个数为am, 则由题意可得a3a2=73=4=2×2,a4a3=137=6=2×3,…,amam1=2(m1),以上m2个式子相加,可得ama2==(m+1)(m2),所以am=a2+(m+1)(m2)=m2m+1,所以当m=9时,am=73,即73是93的“分裂”数中的第一个.【答案】916.给出下列命题:①对于命题p:∃x0∈R,使得+x0+1<0,则 p:∀x∈R,均有x2+x+1>0;②m=3是直线(m+3)x+my2=0与直线mx6y+5=0互相垂直的充要条件;③已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08;④若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),则f()=0.其中真命题的序号是.(把所有真命题的序号都填上)【解析】“<”的否定应为“≥”,故①错误;当两直线互相垂直时,m(m+3)6m=0,得m=0或m=3,所以m=3是这两条直线互相垂直的充分不必要条件,故②错误;由回归直线过样本点的中心知③为真命题;因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以f()=f(4×504)=f(0)=0,故④为真命题.【答案】③④小题大做(二)一、选择题1.已知集合A={y|y=,1≤x≤1},B={y|y=2,0<x≤1},则集合A∪B=().A.(∞,1]B.[1,1]C.⌀D.{1}【解析】因为A={y|y=,1≤x≤1}=[1,1],B={y|y=2,0<x≤1}=(∞,1],所以A∪B=(∞,1].【答案】A2.已知复数z1=a+2i,z2=34i,且为纯虚数,则实数a的值为().A.B.C.D.【解析】因为===为纯虚数,所以3a8=0且6+4a≠0,解得a=.【答案】C3.三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是().A.0.76<log0.76<60.7B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76D.log0.76<0.76<60.7【解析】由题意得log0.76<0,0<0.76<1,60.7>1.【答案】D4.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是().①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】根据立体几何的相关知识容易判断出①②正确,③④错误.【答案】A5.已知命题p:函数y=是减函数,命题q:数列a,a2,a3,…是等比数列.由命题p与q构成的复合命题的真假性,下列判断正确的是().A.p∨q为真,p∧q为假, p为真B.p∨q为假,p∧q为假, p为真C.p∨q为真,p∧q为假, p为假D.p∨q为假,p∧q为真, p为真【解析】因为函数y=在(∞,0),(0,+∞)内分别为减函数,所以p是假命题.又当a=0时,数列a,a2,a3,…不是等比数列,所以q是假命题.所以p∨q为假,p∧q为假, p为真.【答案】B6.8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道,若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6),则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式有().A.360种B.4320种C.720种D.2160种【解析】可分步完成,先从8个编号中取出3个连续的编号,有6种方式,再将指定的3名运动员安排在这3个编号的跑道上,最后将剩下的5名运动员安排在其他5个编号的跑道上,共有6=4320种方式.【答案】B7.一个棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥的表面积为().A.(48+12)cm2B.(48+24)cm2C.(36+12)cm2D.(36+24)cm2【解析】由三视图可得底面为等腰直角三角形,腰长为6cm,面积为18cm2.垂直于底面的面为等腰三角形,面积为×6×4=12cm2.其余两个面为全等的三角形,且每个三角形的面积都为×6×5=15cm2,所以该棱锥的表面积为(48+12)cm2.【答案】A8.设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,若数列{log2a1an}为递减数列,则().A.0<q<1B.q>1C.0<a1q<1D.a1q>1【解析】因为log2a1anlog2a1an1<0,整理得log2<0,即log2q<0,所以0<q<1.【答案】A9.函数f(x)=sinx cosx(x∈[π,0])的单调递增区间是().A.[π,]B.[,]C.[,0]D.[,0]【解析】f(x)=sinx cosx=2sin(x),因为π≤x≤0,所以≤x≤.当≤x≤,即≤x≤0时,f(x)单调递增.【答案】D10.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是().A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)【解析】(法一)设直线方程为y=(xc),将直线与双曲线方程联立消去y,得(b23a2)x2+6a2cx3a2c2a2b2=0.当b23a2=0时,符合题意,e====2;当b23a2≠0时,x1x2=<0,即3a2b2<0,b2>3a2,所以e==>=2.综上e∈[2,+∞).(法二)由题意知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则≤,即b2≥3a2,所以e==≥=2.【答案】C11.若方程x33ax+2=0(a>0)有三个不同的实根,则实数a的取值范围为().A.a>0B.0<a<1C.1<a<3D.a>1【解析】设f(x)=x33ax+2,定义域为R,则f'(x)=3x23a.令f'(x)=0,则x=±.当x∈(∞,)时,f(x)递增;当x∈(,)时,f(x)递减;当x∈(,+∞)时,f(x)递增.所以f(x)的极大值为f()=2+2>0,极小值为f()=22.当极小值f()=22<0时,方程x33ax+2=0有三个不同的实根,解得a>1.【答案】D12.已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,任意实数x1,x2满足x1<x2,λ≠1,α=,β=,若|f(x1)f(x2)|<|f(α)f(β)|恒成立,则有().A.0<λ<1B.λ=0C.λ<0且λ≠1D.λ≥1【解析】由|f(x1)f(x2)|<|f(α)f(β)|及y=f(x)是定义在R上的单调函数可知,(x1,x2)⫋(α,β),即|x1x2|<|αβ|,则|x1x2|<||,即|1+λ|<|1λ|,所以λ<0且λ≠1.【答案】C二、填空题13.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值为.【解析】运行程序,可得k=4.【答案】414.某同学到公共汽车站等车上学,可乘坐8路,23路.8路车10分钟一班,23路车15分钟一班,则这位同学等车不超过8分钟的概率是.【解析】如图,记“8分钟内乘坐8路车或23路车”为事件A,则A所占区域的面积为8×10+7×8=136,整个区域的面积为10×15=150,由几何概型的概率公式,得P(A)==.【答案】15.若抛物线C:y=ax21(a≠0)的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为. 【解析】把抛物线C的方程改写为C:x2=(y+1)(a≠0)得顶点(0,1),又原点为焦点,所以=4,所以抛物线C:x2=4(y+1)与x轴的两个交点分别为(2,0),(2,0),故所求面积为×4×1=2.【答案】216.已知函数f(x)=|x22ax+b|(x∈R).给出下面四个命题:①f(x)必为偶函数;②若f(0)=f(2),则f(x)的图象必关于直线x=1对称;③若a2b≤0,则f(x)在[a,+∞)上是增函数;④f(x)有最小值|a2b|.其中正确命题的序号是.【解析】令a=b=1,则f(x)=|(x1)2|=(x1)2,不是偶函数,故①错误;令a=0,b=2,则f(x)=|x22|,这时f(0)=f(2),但其图象不关于直线x=1对称,故②错误;若a2b≤0,则x22ax+b=(xa)2+ba2≥0恒成立,f(x)=(xa)2+ba2,其图象开口向上,以直线x=a为对称轴,在[a,+∞)上是增函数,故③正确;令a=0,b=1,则f(x)=|x21|,这时f(x)的最小值是f(1)=f(1)=0,而|a2b|=1,即f(x)的最小值不是|a2b|,故④错误.【答案】③小题大做(三)一、选择题1.设集合S={x|x>3},T={x|6≤x≤1},则S∪T=().A.[6,+∞)B.(3,+∞)C.[6,1]D.(3,1]【解析】因为集合S={x|x>3},T={x|6≤x≤1},所以S∪T=[6,+∞).故选A.【答案】A2.在复平面内,复数(i是虚数单位)所对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为===1i,所以在复平面内,复数(i是虚数单位)所对应的点为(1,1),即位于第四象限.故选D.【答案】D3.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若a∥b,则x=().A.4B.4C.2D.2【解析】因为a∥b,所以42x=0,解得x=2.故选D.【答案】D4.已知m∈R,“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若函数y=f(x)=2x+m1有零点,则m<1,当m≤0时,函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数不成立.若y=logmx在(0,+∞)上为减函数,则0<m<1,此时函数y=2x+m1有零点成立.故“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件,故选B. 【答案】B5.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为().A. B. C. D.【解析】因为α为锐角,cos(α+)=,所以α+∈(0,),所以sin(α+)==,则sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2××=.【答案】B6.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是().A.1B.2C.4D.7【解析】当i=1时,s=1+11=1;当i=2时,s=1+21=2;当i=3时,s=2+31=4;当i=4时,退出循环,输出s=4.故选C.【答案】C7.设函数f(x)=则f[f(3)]=().A.B.C.D.1【解析】因为f(3)=2+log3(32)=2,所以f[f(3)]=f(2)=212=.故选C.【答案】C8.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=11,a4+a6=6,则当Sn取最小值时,n等于().A.6B.7C.8D.9【解析】(方法一)∵a4+a6=2a1+8d=22+8d=6,∴d=2,Sn=11n+×2.∴Sn=n212n=(n6)236.显然当n=6时,Sn取得最小值.(方法二)由a4+a6=2a5得,a5=3,∴d==2,∴an=a1+(n1)d=2n13,∵a6<0,a7>0,∴当n=6时,Sn取是最小值.【答案】A9.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,若一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号分别为①②③④的四个图,则该四面体的正(主)视图和俯视图分别为().A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正(主)视图和俯视图分别为④和②,故选D.【答案】D10.若实数a,b满足a2+b2≤1,则关于x的方程x22x+a+b=0有实数根的概率为().A.+B.+C.+D.+【解析】因为实数a,b满足a2+b2≤1,所以点(a,b)在单位圆内,圆的面积S=π.因为关于x的方程x22x+a+b=0有实数根,所以Δ=(2)24(a+b)≥0,即a+b≤1.表示的区域如图中阴影部分所示,其面积S'=π(×1×1)=+.故所求概率为=+.故选A.【答案】A11.对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f(x)满足f(1)≠1,且对∀n∈N*,有f(n)+f(n+1)+f[f(n)]=3n+1,则f()=().A.B.C.D.【解析】由于f(1)≠1,则f(1)=2或f(1)≥3,若f(1)≥3,则令n=1,即有f(1)+f(2)+f[f(1)]=4,即为f(2)+f[f(1)]≤1,这与f(x)≥1矛盾.故有f(1)=2,由f(1)+f(2)+f[f(1)]=4,即2+f(2)+f(2)=4,解得f(2)=1;由f(2)+f(3)+f[f(2)]=7,解得f(3)=4;由f(3)+f(4)+f[f(3)]=10,解得f(4)=3;由f(4)+f(5)+f[f(4)]=13,解得f(5)=6;由f(5)+f(6)+f[f(5)]=16,解得f(6)=5;……归纳可得,当n为奇数时,f(n)=n+1,当n为偶数时,f(n)=n1.经检验,当n为奇数时,f(n)+f(n+1)+f[f(n)]=n+1+n+f(n+1)=2n+1+n=3n+1成立;同理,检验当n为偶数时,仍然成立.所以f()=.故选C.【答案】C12.如果双曲线的离心率e=,则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题:①双曲线=1是黄金双曲线;②双曲线y2=1是黄金双曲线;③在双曲线=1中,F1为左焦点,A2为右顶点,B1(0,b),若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;④在双曲线=1中,过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M,N两点,O为坐标原点,若∠MON=120°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为().A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】在双曲线=1中,a=,c=,离心率是,故该双曲线不是黄金双曲线,①错误.由双曲线y2=1,可得离心率e==,故该双曲线是黄金双曲线,②正确.因为∠F1B1A2=90°,所以|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2,所以b2+c2+b2+a2=(a+c)2,即c2aca2=0,解得e=或e=(舍去).故该双曲线是黄金双曲线,③正确.因为MN经过焦点F2且MN⊥OF2,∠MON=120°,所以|NF2|=|OF2|,即=c,所以b2=ac,即c2a2=ac,解得e=.故该双曲线不是黄金双曲线,④错误.【答案】B二、填空题13.在二项式(x2)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为.【解析】因为所有二项式系数的和是32,所以2n=32,解得n=5.在(x2)5中,令x=1,可得展开式中各项系数的和为(1)5=1.【答案】114.若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则a的值为.【解析】函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点且不能用二分法求其零点,说明函数是二次函数且函数的图象与x轴只有一个交点,即(a+2)x2+2ax+1=0仅有一个实数解,故Δ=4a24(a+2)=0,解得a=2或1.【答案】2或115.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,cosB=,C=,则△ABC的面积为.【解析】因为cosB=,所以B=.又C=,所以A=πBC=,由正弦定理可得b=·sinB=1,故S△ABC=absinC=××1×sin=.【答案】16.有以下命题:①若f(x)=x3+(a1)x2+3x+1没有极值点,则2<a<4;②f(x)=在区间(3,+∞)上单调,则m≥;③若函数f(x)=m有两个零点,则m<;④已知f(x)=logax(0<a<1),k,m,n都为正实数且不全等,则f()+f()+f()<f(k)+f(m)+f(n).其中错误的是.(填序号)【解析】若f(x)=x3+(a1)x2+3x+1没有极值点,则f'(x)=3x2+2(a1)x+3≥0恒成立,所以Δ=4(a1)236≤0,解得2≤a≤4,故①不正确.f(x)=在区间(3,+∞)上单调,f'(x)=≥0或f'(x)≤0恒成立,且m≠,因此m∈R且m≠,故②不正确.f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.所以当x=e时,函数f(x)取得最大值,f(e)=m,并且x→0,f(x)→∞,x→+∞,f(x)→m.若函数f(x)=m有两个零点,则解得0<m<,故③不正确.因为f(x)=logax(0<a<1)为减函数,又k,m,n都为正实数且不全相等,所以··>··=kmn.所以f()+f()+f()=loga(··)<loga(kmn)=f(k)+f(m)+f(n),即④正确.【答案】①②③小题大做(四)一、选择题1.若z=+i,且(xz)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则复数a2等于().A.+iB.3+3iC.6+3iD.33i【解析】由题意可知a2表示(xz)4的展开式中x2项的系数,即(z)2=6×(+i)2=3+3i.【答案】B2.tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值为().A.1B.C.D.【解析】因为tan60°=,所以tan20°+tan40°=tan20°tan40°,故tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.【答案】D3.已知命题p:∃m∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m≥2B.m≤2C.m≤2或m≥2D.2≤m≤2【解析】因为p∧q为假命题,所以p,q中至少有一个为假命题.又命题p:∃m∈R,m+1≤0为真命题,所以命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立必定为假命题,所以Δ=m24≥0,解得m≤2或m≥2.又m≤1,所以m≤2.【答案】B4.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an},第n次摸取红球时,an=1,第n次摸取白球时,an=1,如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为().A.()2·()5B.()2·()5C.()2·()5D.()3·()4【解析】由S7=3可知在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为()2·()5.【答案】B5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是().A.(0,1)B.(0,]C.(0,)D.[,1)【解析】设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a、b、c,因为·=0,所以点M的轨迹是以原点O 为圆心,半焦距c为半径的圆.又点M总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2c2,所以e2=<,所以0<e<.【答案】C6.已知母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π,则该圆锥的体积为().A.πB.πC.πD.π【解析】设圆锥的底面半径为r,则=π,所以r=.所以圆锥的高h==,所以圆锥的体积V=πr2h=π.【答案】C7.在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ的值为().A.B.1C.D.【解析】由题意知,=λ+μ=λ(+)+μ(+)=(+μ)+(λ+).又=+,则解得λ=μ=,故λ+μ=.【答案】A8.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[,]上单调递增,则ω的最大值为().A.B.C.D.【解析】因为f(x)=2sinωx在[,]上单调递增,所以[,]⊆[,],即≥,所以ωmax=.【答案】C9.执行如图所示的程序框图,输出n为().A.B.65C.D.63【解析】由程序框图知,要求>的最小正整数,即n(n+1)>4030,n=63.【答案】D10.(|x|+2)3的展开式中的常数项为().A.20B.19C.18D.21【解析】因为(|x|+2)3=[(|x|)2]3=(|x|)6,所以Tr+1=(|x|)6r()r=(1)r|x|62r,由62r=0,得r=3.所以展开式中的常数项为20.【答案】A11.已知异面直线a,b,若a⊥b,c与a夹角为30°,则c与b所成角的取值范围为().A.[60°,90°]B.[30°,90°]C.[60°,120°]D.[30°,120°]【解析】如图,当直线c在位置c1时,它与直线b所成的角最小,为60°;当直线c在位置c2时,它与直线b所成的角最大,为90°.【答案】A12.已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2),若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则的取值范围为().A.(1,)B.(∞,]∪(1,+∞)C.(,1)D.(,2)【解析】由题意,得f'(x)=x2+ax+2b,且f'(x)=0的根分别是x1∈(0,1)与x2∈(1,2),则有即画出可行域如图.式子的几何意义是由A,B,C三点围成的不包括边界的三角形区域中的点(a,b)与点D(1,2)连线的斜率,结合图形可知,当直线过D,C时斜率取最大值1,过D,A时斜率取最小值.【答案】C二、填空题13.=.【解析】=23×=8×=8×=8×22=8×=2.【答案】214.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则双曲线的方程是.【解析】因为椭圆的焦点为(±1,0),离心率为e=,所以双曲线离心率为e'=,所以1=2a2.又c2a2=b2,所以a2=b2=.故所求双曲线方程为2x22y2=1.【答案】2x22y2=115.已知数列{an}的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k1个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,则a=.【解析】在数列{an}中数到第n个1时,共有的项数为n+1+3+5+…+[2(n1)1]=n+(n1)2.当n=45时,n+(n1)2=1981,即当数到第45个1时,共有1981项.接下来第45个1的后面有2×451个2,即有89项2,其下一项是1,也就是第1981项和第2071项是1,而a1981与a2071这两项之间都是2,因此a=2.【答案】216.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶.若甲船速度是乙船速度的倍,则甲船应往的方向行驶才能追上乙船,追上时甲船行驶了海里.【解析】如图所示,设到点C时甲船追上乙船,乙船到点C用的时间为t,乙船的速度为v,则BC=vt,AC=vt,B=120°.由正弦定理,得=,所以=,所以sin∠CAB=,即∠CAB=30°,所以∠ACB=30°.所以BC=AB=a,所以AC2=AB2+BC22AB·BCcos120°=a2+a22a2·()=3a2,所以AC= a.【答案】北偏东30° a小题大做(五)一、选择题1.已知i是虚数单位,则()3=().A.1B.1C.iD.i【解析】因为===i,所以()3=(i)3=i.【答案】D2.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是().A.y=B.y=x3C.y=log2xD.y=tanx【解析】对于A,y=是奇函数,在其定义域上不是增函数;对于B,y=x3是奇函数,在其定义域上是增函数,满足条件;对于C,y=log2x是非奇非偶函数,在其定义域上是增函数;对于D,y=tanx是奇函数,在其定义域上不是增函数. 【答案】B3.若a>0,b>0,且a≠1,则“logab>0”是“(a1)(b1)>0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】因为a>0,b>0,a≠1,若logab>0成立,当a>1时,有b>1;当0<a<1,有0<b<1,则(a1)(b1)>0成立.若(a1)(b1)>0,有或则logab>0,故“logab>0”是“(a1)(b1)>0”的充要条件.【答案】C4.执行如图所示的程序框图,若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值的个数是().A.1B.2C.3D.4【解析】程序框图表示的是求分段函数y=的函数值.依题意得或或解得x=0或x=1或x=4,则这样的x值的个数是3.【答案】C5.要得到函数y=sin2x的图象,只需要将函数y=sin(2x)的图象().A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【解析】因为y=sin(2x)=sin2(x),所以将函数y=sin(2x)的图象向左平移个单位即可得到函数y=sin2x的图象,故选D.【答案】D6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.15B.16C.17D.18【解析】由三视图可知ABCA'B'C'为所要求的几何体.作C'M⊥BB'于M,由已知,得MB'=1,C'M=3,A'M=3,BM=3.故V=V 三棱柱ABCA'MC'+V三棱锥C'A'MB'=S△A'MC'×BM+S△MA'B'×C'M=×3×3×3+××1×3×3=15.【答案】A7.已知点P是△ABC所在平面上一点,AB边的中点为D,若2=3+,则△ABC与△ABP的面积的比值为().A.3B.2C.1D.【解析】因为2=3+,所以2(+)=3+,所以2=+.因为AB边的中点为D,所以=+,所以=,所以A是PC的中点,所以△ABC与△ABP的面积的比值为1.【答案】C8.函数f(x)=+ln|x|的图象大致为().【解析】当x<0时,函数f(x)=+ln(x),由函数y=、y=ln(x)递减,知函数f(x)=+ln(x)递减,排除选项C、D;当x>0时,函数f(x)=+lnx,此时,f(1)=+ln1=1,而选项A的最小值为2,故可排除A;故选B.【答案】B9.已知实数x,y满足若不等式axy≤3恒成立,则实数a的取值范围为().A.(∞,]B.(∞,4]C.[,2]D.[2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示.若axy≤3恒成立,即y≥ax3恒成立,平面区域ABC在直线y=ax3的上方即可.又直线y=ax3恒过定点D(0,3),所以kCD≥a,即≥a.【答案】A10.设数列{an}是以3为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则+++=().A.15B.60C.63D.72【解析】由题意,得an=3+(n1)×1=n+2,bn=2n1,则+++=b3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60. 【答案】B11.已知二项式(x2+)n的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是().A.10B.8C.6D.4【解析】由题意,得2n=32,即n=5.展开式的通项公式为Tr+1=·x102r·xr=·x103r.令103r=1,得r=3,故展开式中含x项的系数是=10.【答案】A12.已知F为双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,点A(0,b),过点F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=(+1),则此双曲线的离心率是().A. B. C.2 D.【解析】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=x,则直线AF的方程为+=1.联立解得所以点B 的坐标为(,).因为=(+1),所以(c,b)=(+1)(,b),所以c=(+1),即e==.【答案】A二、填空题13.已知全集U={1,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(UA)∪B=.【解析】UA={1,4},(UA)∪B={1,2,4}.【答案】{1,2,4}14.若在区间(0,4)内任取一个实数x,则使不等式x22x3<0成立的概率为.【解析】由x22x3<0解得1<x<3,所以由几何概型的概率公式,得所求事件的概率为=.【答案】15.设a,b为正实数,则+的最小值为.【解析】+==1=1.因为a,b为正实数,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,所以+≥1=1(32)=22,故+的最小值为2 2.【答案】2 216.已知函数f(x)=asin+cos(a≠0),且f(x)≤f()恒成立.给出下列结论:①函数y=f(x)在[0,]上单调递增;②将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为偶函数;③若k≥2,则函数g(x)=kxf(2x)有且只有一个零点.其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)【解析】f(x)=asin+cos=sin(+φ)(tanφ=).f()=asin+cos=a+,因为f(x)≤f()恒成立,所以≤a+,解得a=.所以f(x)=sin+cos=2sin(+).由x∈[0,]可得+∈[,],所以函数y=f(x)在[0,]上单调递增,故①正确;将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,得y=2sin(+),所得图象对应的函数不是偶函数,故②不正确;因为g(x)=kxf(2x)=kx2sinx,即函数g(x)是奇函数,所以g(0)=0.若k≥2,则当x>0时,函数g(x)=kx2sinx≥2x2sinx=2(xsinx)>0,无零点;同理,当x<0时,无零点.综上所述,函数g(x)有且只有一个零点,故③正确.【答案】①③小题大做(六)一、选择题1.复数i3(1+i)2=().A.2B.2C.2iD.2i【解析】i3(1+i)2=i3·2i=2i4=2.【答案】A2.已知M⊆{1,2,3,4,5},若a∈M,则6a∈M的非空集合M有().A.16个B.15个C.7个D.6个【解析】若a∈M,6a∈M,则3,1和5,2和4必同时属于M,将5个数分为3部分,即(3),(1,5),(2,4),故非空集合M 有3+3+1=7个.【答案】C3.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,y≤},若向区域Ω上随机投一点P,则点P落在区域A的概率为().A.B. C.D.【解析】Ω与A所表示的区域如图所示,因为SΩ=×6×6=18,SA=dx==×=,所以点P落入区域A的概率为==.【答案】B4.若函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的部分图象如图所示,则f(x)=().A.y=2sin(2x+)B.y=2sin(x+)C.y=2sin(2x+)D.y=2sin(x+)【解析】根据五点法作图的对应关系,可知(,0)对应第一个点,(,0)对应第五个点,于是有解得故y=Asin(2x+).又函数图象过点(0,),所以Asin=,解得A=2.故y=2sin(2x+).【答案】A5.若(x+)(2x)5的展开式中各项系数的和为2,则a=().A.2B.2C.1D.1【解析】令x=1,则1+a=2,得a=1.【答案】D6.一个正方体的展开图如图所示,B,C,D为原正方体的顶点,A为原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD与AB所成角的余弦值为().A. B.C. D.【解析】还原正方体如图所示,设AD=1,则AB=,AF=1,BE=EF=2,AE=3.因为CD与AB所成角等于BE与AB所成角,所以其余弦值为cos∠ABE==.【答案】D7.若实数a,b满足a≥0,b≥0且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=ab,那么φ(a,b)=0是a与b互补的().A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】若φ(a,b)=0,则=a+b,两边平方得ab=0,又a+b≥0,所以a≥0,b≥0,故a与b互补.若a≥0,b≥0且ab=0,则φ(a,b)=ab===0.综上知选C.【答案】C8.若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足().A.a与b的夹角θ等于αβB.(a+b)⊥(ab)C.a∥bD.a⊥b【解析】对于A,cosθ=,因为|a|=|b|=1,所以cosθ=a·b=cos(αβ),但θ不一定等于αβ;对于B,因为(a+b)·(ab)=0,所以(a+b)⊥(ab);对于C,若a∥b,则cosαsinβsinαcosβ=0,sin(βα)=0,不一定成立;对于D,若a⊥b,则a·b=0,cosαcosβ+sinαsinβ=0,cos(αβ)=0,不一定成立.【答案】B9.执行如图所示的程序框图,若输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值为().A.11B.25C.68D.72【解析】当输入l=2,m=3,n=5时,不满足l2+m2+n2=0,因此执行y=70l+21m+15n=278.由于278>105,故执行y=y105,得y=173,再执行一次y=y105,得y=68,此时68>105不成立,故输出的y的值为68.【答案】C10.若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)g(x)=ex,则有().A.f(2)<f(3)<g(0)B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)<f(3)【解析】用x代换x,得f(x)g(x)=ex,即f(x)+g(x)=ex,联立解得当x>0时,函数f(x)单调递增且大于0,又g(0)=1,故g(0)<f(2)<f(3).【答案】D11.P是椭圆+y2=1上的一点,F为椭圆的一个焦点,且△POF为等腰三角形(O为原点),则点P的个数是().A.2B.4C.6D.8【解析】使△POF为等腰三角形,包括|PF|=|PO|,|FP|=|FO|,|OF|=|OP|三种情形.第一种情形,作线段OF的中垂线,与椭圆交于两点;第二种情形,以F为圆心,为半径画弧,与椭圆交于两点;第三种情形,以O为圆心,为半径画弧,与椭圆交于四点.所以满足题意的点P共有8个.【答案】D12.墙上挂着1张高为2m的油画,它的下沿线距地平面2m,观画者的眼睛距地平面1.7m,若使观画者对此画所张的视角达到最大,则他应距墙()m.A. B. C. D.【解析】如图,设油画上沿为B,下沿为A,观画者的眼睛在O点,他与墙的距离为CD=x(x>0),由已知,得AB=2,EA=0.3,DE=1.7.在Rt△OEB中,tan(α+β)=,在Rt△OEA中,tanα=,则tanβ=tan[(α+β)α]==.因为tanβ在(0,)上单调递增,所以要使β达到最大,即要使tanβ达到最大值.而(tanβ)'=()'==0,解得x=.当x∈(0,)时,f(x)=递增;当x∈(,+∞)时,f(x)=递减.所以当x=m时,观画者对此画所张的视角达到最大.【答案】C二、填空题13.an=则S20=.【解析】当n为奇数时,该数列的奇数项构成公差为4的等差数列,前10个奇数项分别为1,5,9,…,37;当n为偶数时,该数列的偶数项构成公比是2的等比数列,前10个偶数项分别为2,4,8,…,210,故S20=+=2236.【答案】223614.设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为. 【解析】当圆C的半径最大时,设其圆心坐标为(a,0),则半径为3a,其中0<a<3.圆C的方程为(xa)2+y2=(3a)2,联立消去y,得(xa)2+2x=(3a)2,整理得x2+(22a)x+6a9=0.当圆C的半径取到的最大值时,圆C 与抛物线相切,所以Δ=(22a)24(6a9)=0,解得a=4±.又因为0<a<3,所以a=4,故圆C的半径最大为3a= 1.【答案】 115.已知函数f(x)=x3+f'()x2x,则函数f(x)的图象在点(,f())处的切线方程是.【解析】由已知可得f'(x)=3x2+2f'()x1,所以f'()=3×()2+2f'()×1,解得f'()=1,即f(x)=x3x2x,则f()=,得函数f(x)的图象在点(,f())处的切线方程是27x+27y+4=0.【答案】27x+27y+4=016.已知函数fn(x)=[x[x]],x∈(n,n+1)(n=1,2,3,…),其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[2.1]=3,[3]=3,[2.5]=2.函数fn(x)的值域中元素个数记为an,数列{an}的前n项和为Sn,则满足anSn<500的最大正整数n=.【解析】当x∈(n,n+1)时,[x]=n,则x[x]=nx∈(n2,n2+n),所以[x[x]]可取到的值分别为n2,n2+1,n2+2,…,n2+n1,共有n个数,即an=n,所以Sn=,即anSn=.当n=9时,a9S9==405<500,当n=10时,a10S10==550>500,所以nmax=9.【答案】9小题大做(七)一、选择题1.“ab>0且a+b<0”是“a与b均为负数”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】因为“ab>0且a+b<0”⇔“a与b均为负数”,所以“ab>0且a+b<0”是“a与b均为负数”的充要条件.。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题四及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确） 1．设集合A=｛直线｝，B={双曲线}，则集合B A 的元素的个数为 A ．0B ．0或1或2C ．0或1 D ．1或2 2．复数1iz i=+的共轭复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“32b a >是“64b a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点(x ，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足12PAPC 的点P 的个数为为A ．3B ．6C ．9D ．127．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,若C a c b cos 21=-， 则A ．c,a,b 成等差数列 B.A,B,C 成等比数列 C ．C,A,B 成等差数列 D.c,a,b 成等比数列8．市内某公共汽车站10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是 A ．240 B ．480 C ．600 D ．7209 9． 点P 是双曲线2222221222x y a bC :-=1(a>0,b>0)与圆C :x +y =a +b 的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为A 31B 31+C 51+ D ．5110． 如图，点p 是球O 的直径AB 上的动点，PA x =，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则()y f x =的图像是二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11．数列{}n a 中，6,321==a a ，2+n a 是1+⋅n n a a 的个位数，则=2013a . 12．在△ABC 中，若AC AB BC 2,2==,则BA BC ⋅的取值范围为. 13．如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间（－1，0）上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是.14．已知是椭圆22+=11612x y 的右焦点，点M 在椭圆上，当||||MF MA +取得最小值时，点M 的坐标为.15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若函数kx x f y -=)(有三个零点，则k 的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=．17．（本小题共12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率. 18．（本小题共12分）已知椭圆C1:22143x y +=,抛物线C2:2()2(0)y m px p -=>,且C1、C2的公共弦AB 过椭圆C1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB 上；(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条BOB ．C ．D ．件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题共12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （2）求二面角B AC M --的的余弦值; （3）求三棱锥MAC P -的体积. 20．（本小题共13分）已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．21．（本小题共14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S1，S2，S3的值； (3)求数列{Sn}的通项公式． 参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBACBCBAA11． 812．)8,38(13．4514．)3,2(-15．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：(1))3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+= 由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ. 所以f(x)的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ (2)因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A因为Bb A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . 因为a>b ，3π=A ，6π=B ，2π=C .所以B C 3=．17．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（2）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ=== 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=所以商家拒收这批产品的概率为2795 18．解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p .此时C2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（2）解法一 当C2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝22438kk +.因为AB 既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……②设A 、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝22438k k +.从而223)2(4kk +＝22438kk +. 解得6,62±==k k 即.因为C2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 19．（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >， 则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则111101022y z y z +=⎧-=⎪⎩，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为721 （3）取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离1132CA n h n ⋅==∵1,1PC PM ==，∴11111326212P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=20．（1）由e k =得()e e xf x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在上，． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（3）()()()e e x xF x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．21．解：(1)5)20(,3)6(==g g . …………2分(2)211)2()1(1=+=+=g g S ；61311)4()3()2()1(2=+++=+++=g g g g S ；)8()7()6()5()4()3()2()1(3g g g g g g g g S +++++++=.2217351311=+++++++=…………6分(3)由(1)(2)对*N m ∈，m 与2m 的奇数因数相同，则)()2(m g m g =． ………8分所以当2≥n 时，)4()3()2()1(g g g g S n +++=)2()12(nn g g +-++114--+=n n S ……11分于是114--=-n n n S S ，*,2N n n ∈≥.所以112211)()()(S S S S S S S S n n n n n +-++-+-=---3234241)41(41+=+--=-n n ，*,2N n n ∈≥. …………13分又21=S ，满足上式，所以对*N n ∈，)24(31+=nn S . …………14分高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x≠1）的递增区间是（A ）x≥2 （B ）x≤0或x≥2 （C ）x≤0（D ）x≤21-或x≥23、过定点P(2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x2＋x]＝19x ＋99的实数解x 是． 2、设a1＝1，an+1＝2an ＋n2，则通项公式an ＝． 3、数799被2550除所得的余数是．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sinB ＝135，则cosC ＝．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x2－(2k ＋1)x ＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x2＋(a ＋)x ＋a ＝0的两根皆为整数． （2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x3＋(－a2＋2a ＋2)x －2a2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且x2＋(y －7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分） 设a 、b 、c ∈R ，b≠ac ，a≠－c ，z 是复数，且z2－(a －c)z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证： （1） AK ⊥BC ；（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a1,a2,…,an 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124． 确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）． 参考答案第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 CCDABD二、填空题： ACBD QK PA BCDMNA 1D 1B 1C 1图11、38181-或381587；2、7×2n1－n2－2n －3；3、343；4、261235-；5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z} ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）． 三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是（A ）－1，1 （B ）－1，21（C ）±1，2（D ）±1，－4，25 2、如图1，已知正方体ABCD －A1B1C1D1，点M 、N 分别在AB1、BC1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA1⊥MN ；②A1C1∥MN ；③MN ∥平面A1B1C1D1； ④MN 与A1C1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）43、用Sn 与an 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则nnn S a ∞→lim的值为 （A ）43（B ）45 （C ）47（D ）49 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个（B ）252个（C ）324个（D ）432个5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则c b a ab ++-的最大值是（A ）31 （B ）21（C ）3（D ）26、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C依次成等差数列，且2icos2cos 2CA u +=，则2z u +的取值范围是． 2、点P(a,b)在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l 的斜率为．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三OBCAD N M 图2元有序集合组(A,B,C)的个数是．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，Cp ：y2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交Cp 于原点和点Ap ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MAp 交Cp 于点Ap 和Bp ．求证：所有的点Bp 在同一条直线上． 四、（20分）对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a1＝md ． 五、（20分）求最大的正数，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abcc b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z+）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-nn（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 DBDDAB二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、aab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ；4、181；5、21312++n ；6、7n ．三、证略． 四、证略．五、427max =λ． 第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9． 三、1种（每空填1）．全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n|n 是整数，且22n ＋2整除n ＋}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集2、若多项式x2－x ＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a＋b 等于 （A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x2＋(a －3)x ＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a 的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则12V V 为 （A ）21（B ）32 （C ）常数，但不等于21和32 （D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）1013 6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线xcos ＋ysin ＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x2＋20x)－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、f(x)＝82x ＋xcosx ＋cos(2x)(x ∈R)的最小值是．5、若k 是一个正整数，且2k 整除则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a,b] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）． 四、（20分）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出an 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）． 五、（20分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x 的方程x4＋(2b －a2)x2－2ax ＋b2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC＝60°，且PQPC BP 111=+． 求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab ＋b2的取值范围． 三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a1,a2,…,ak （允许相等），必定存在相应的k 的整数x1,x2,…,xk （也允许相等），且|xi|≤2(i ＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak ．参考答案 第一试二、填空题：11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a2n ＝2n+2－2n －3；a2n+1＝3×2n+1－2n －4．五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(∀l ∈Z)第二试 一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)． 三、kmin ＝7．全国高中数学联赛模拟试题（四）（命题人：刘康宁）第一试一、 选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aa x x a x f -+-=22是奇函数的充要条件是（A ）－1≤a ＜0或0＜a≤1 （B ）a≤－1或a≥1 （C ）a ＞0 （D ）a ＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l ：y ＝kx ．当点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是 （A ）点A 在直线l 上 （B ）点B 在直线l 上 （C ）点C 在直线l 上 （C ）点A 、B 、C 均不在直线l 上 3、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l ，使l 与直线AC 和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l 可以做（A ）4条 （B ）3条（C ）2条 （D ）1条4、整数的100200C=n 两位质因数的最大值是（A ）61（B ）67（C ）83（D ）975、若正整数a 使得函数()ax x x f y 213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于 （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第个数是 （A ）3844 （B ）3943 （C ）3945 （D ）4006二、 填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt △ABC 的顶点A 、B 、C 分别对应于复数z ＋1、2z ＋1、(z ＋1)2，A 为直角顶点，且|z|＝2．设集合M ＝{m|zm ∈R ，m ∈N+}，P ＝{x|x ＝m 21，m ∈M}．则集合P 所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sinx|＋sin42x ＋|cosx|的最大值与最小值之差等于．3、关于x 的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a 的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a,b)在曲线arcsinx ＝arccosy 上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb 的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．三、 （20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a≤b≤c ）同时满足下列三个条件 （i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列； （iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a,b,c)的所有可能的解．四、 （20分）在三棱锥DABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、 （20分）设正系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a,b,c}≥94(a ＋b ＋c)；（2） min{a,b,c}≤41(a ＋b ＋c)．第二试一、（50分）已知△ABC 的外角∠EAC 平分线与△ABC 的外接圆交于D ，以CD 为直径的圆分别交BC 、CA 于点P 、Q ．求证：线段PQ 平分△ABC 的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn －xn1（n ∈N+）． 求证：数列{xn}中无完全平方数．三、（50分）有名运动员，号码依次为1，2，3，…，．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、71；2、2；3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-． 三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)． 四、222arccosac b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b≥t 94和b ＜t 94讨论）； （2）证略（提示：分a≤t 41和a ＞t 41讨论）； 第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得xn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设yn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x4－2y2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n2个平面相交． 其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f （C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A ）a+b ＞1 （B ）a+b=1 （C ）a+b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b= （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、S={1,2,…,}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C + （C ）2100221001A A +（D ）32003A6、长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有（A ）V4＜V1+V2+V3 （B ）V4=V1+V2+V3（C ）V4＞V1+V2+V3 （D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为． 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k 使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有个．3、在四面体PABC 中，PA=PB=a ，PC=AB=BC=CA=b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为．4、动点A 对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为．5、∑=200313k k被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、 （20分）已知抛物线y2=2px(p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、 （20分）单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN 、B1M ． （1）求证：AN 、B1M 为异面直线； （2）求出AN 与B1M 的夹角．五、 （20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9． 第二试一、 （50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA·PB 取最小值时， （1）证明：AB≥2BC ； （2）求AQ·BQ 的值．二、 （50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++nn n a a a a a 12212,1（n≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k1,a2k)，…均在曲线x2+xyy2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn1anxan1，g(x)=x2x1，证明：g(x)整除f(x)．三、 （50分）我们称A1,A2,…,An 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai 中有两个元素a 、b 满足b ＜a≤89b ． 参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l pl ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．全国高中数学联赛模拟试题（六） （命题人：秦永 苟春鹏）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，argz1=6π，则z2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+-（D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y≠0）或x=1（y≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x≠0）或x=1（y≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y≠0）或y=1（x≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x≠0）或y=1（x≠0）4、已知正实数a 、b 满足a+b=1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 （A ）9米 （B ）10米 （C ）12米 （D ）15米 6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、 填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C 的最大值是．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3x ，g(x)=52+x ，则f(x)*g(x)的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a5a3+a=2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是．三、 （20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、 （20分）直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P 、Q 两点，O为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=． 五、 （20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c （万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？表1 各部每1万元营业额所需人数表部门 人数 百货部 5 服装部 4家电部2部门 利润 百货部 0.3万元 服装部 0.5万元 家电部0.2万元第二试一、 （50分）矩形ABCD 的边AD=·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．二、 （50分）若ai ∈R+（i=1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211． 三、 （50分）无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1|12cn||，而0≤c1≤1．（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T=2,3,…）？参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 ACABCC二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④． 三、证略． 四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22=λ； 二、证略．三、 （1）证略． （2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题（七）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条8、 已知f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若f(x)g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)=（A ）x2+2x3 （B ）x2+2x3 （C ）x22x+3 （D ）x22x+39、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=32π，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、 设x=0.820.5，y=sin1，z=log37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）20 12、 设(a,b)表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则f(21)=．2、设F1、F2是双曲线x2y2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是． 3、给定数列{xn}，x1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x1999x601=．4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB1中点，则四面体AD1EF 的体积是．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A(1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a≠b ，b≠c ，c≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2． 五、（20分） 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx ，满足 （i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{2,1,0,1,2}，f(x)为整数； （iii ）f(1)=1,f(5)=70．试说明，对于每个整数x ，f(x)是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C1、B1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C1K 交于点B2，直线AB 于B1K 交于点C2．若△AB2C2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f(x)=(xw)(xw3)(xw7)(xw9)．求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案 第一试二、填空题：1、4；2、x2+y2=4；3、0；4、245；5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1． 四、证略．五、是．第二试一、60°； 二、证略． 三、100．全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设logab 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②logab+logba=0； ③0＜a ＜b ＜1；④ab1=0． 其中正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）35、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6 （B ）2 （C ）6.5 （D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC所成的角一定不等于 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等于．2、2004321132112111+++++++++++=． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为．三、（20分）已知实数x 、y 满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M(2,1)作抛物线y2=x 的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-． 五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C(I)是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C(I)的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分） 非负实数x 、y 、z 满足x2+y2+z2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子． A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案 第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816；5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-． 四、证略． 五、证略．第二试一、证略； 二、证略． 三、 n=1．全国高中数学联赛模拟试题（九）（命题人：葛军）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k+1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k+3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984（D ）170093、非常数数列{ai}满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i=0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a1=an+1=1，则∑-=1n i ia等于（A ）2（B ）1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2 （C ）0（D ）3i5、已知a+b+c=abc ，()()()()()()abb a ac c a bc c b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）3（C ）4（D ）46、对xi ∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x1x2…xn=n ！，使x1,x2,…,xn ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A1A2…An 内一点，点P 到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An1An 的距离为hn1，到直线AnA1的距离为hn ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a≠0．那么，对于任意的a 、，F(a,)的最大值和最小值分别是．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n 个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k ）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{an}定义如下：a1=3，an=13-n a （n≥2）．试求an （n≥2）的末位数．五、（20分） 已知a 、b 、c ∈R+，且a+b+c=1．证明：2713≤a2+b2+c2+4abc ＜1． 第二试一、（50分）已知△ABC 中，内心为I ，外接圆为⊙O ，点B 关于⊙O 的对径点为K ，在AB 的延长线上取点N ，CB 的延长线上取M ，使得MC=NA=s ，s 为△ABC 的半周长．证明：IK ⊥MN ．二、（50分）M 是平面上所有点(x,y)的集合，其中x 、y 均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M 的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c 满足b ＜0，ab=9c ．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m ∈N+）． 三、332． 四、7． 五、证略．第二试一、证略；二、证略． 三、 有．全国高中数学联赛模拟试题（十）（命题人：杨建忠 审题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f ：M→N 使对任意的x ∈M ，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①a b-1； ②b a-1；③ab+1； ④ba+1； ⑤11-++-b a b a ． 其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139（D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ=PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f()=．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为．4、设复数z 满足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数2的辐角主值的取值范围是．5、设a1,a2,…,a 均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a1a2…a 的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为Sn ．（1） 用Sn 表示Sn+1； （2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立． 四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i ）对于任意a 、b ∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii ）当x ＞1时，f(x)＜0； （iii ）f(3)=1．现有两个集合A 、B ，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2＞0，p 、q ∈R+}，集合B={(p,q)|f(q p )+21=0，p 、q ∈R+}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ=60°．二、（50分）已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an （n≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5anan+1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p·,7p·)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33； 2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan；5、4002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ． 三、（1）2211+=+n n S S ；（2）不存在．四、1922=+y x ． 五、不存在．第二试PQ。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题学业水平训练一、填空题1．已知△ABC 的面积为14(a2＋b2－c2)，其中边a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，则C ＝________．解析：S ＝14(a2＋b2－c2)＝12abcosC ，又S ＝12absinC ，所以sinC ＝cosC ，而C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π42．在△ABC 中，若a2＝bc ，则角A 是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝b2＋c2－bc 2bc ＝（b －c ）2＋bc2bc>0.答案：锐角3．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c ＝________．解析：a ＝4，b ＝43，cosA ＝48＋c2－162×43c＝32，解得c ＝4或c ＝8.答案：4或84．在△ABC 中，已知c ＝2acosB ，则△ABC 是________三角形．解析：由余弦定理及已知条件知a2＋c2－b22ac ＝cosB ＝c2a，∴a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，亦即a ＝b. 答案：等腰5．在△ABC 中，若A ＝2B ，且2a ＝3b ，则sinB ＝________． 解析：由正弦定理得2sinA ＝3sinB ，又∵A ＝2B ，∴2sin2B ＝3sinB ，∴cosB ＝34，∴sinB ＝74.答案：746．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sinA 的值为________．解析：由余弦定理，求得c ＝7，再由正弦定理sinA ＝asinC c ，可得sinA ＝5314.答案：53147．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围为________．解析：若x 为最大的边，则4＋9－x2>0，解得x2<13；若3为最大的边，则4＋x2－9>0，解得x2>5，故5<x<13，即x 的取值范围是(5，13)．答案：(5，13) 二、解答题8．在△ABC 中，若(a －c ·cosB)·sinB ＝(b －c ·cosA)·sinA ，判断△ABC 的形状． 解：法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a2＋c2－b22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b2＋c2－a22bc ·a ，整理，得(a2－b2)(a2＋b2＋c2)＝0. ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为(sinA －sinCcosB)·sinB ＝(sinB －sinC ·cosA)·sinA ， ∴sinBcosB ＝sinAcosA ，∴sin2B ＝sin2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．9．在△ABC中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.设a ，b ，c 满足b2＋c2－bc ＝a2和c b ＝12＋3，求A 和tanB 的值．解：由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B ，由正弦定理得12＋3＝c b ＝sinC sinB ＝sin （120°－B ）sinB＝sin120°cosB －cos120°sinB sinB＝32tanB ＋12，∴tanB ＝12. [高考水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，A ＝30°，则满足条件的三角形有________个． 解析：如图，bsinA ＝4×12＝2<a ，且a<b.再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ，解得c 有两个值．答案：22．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asinA的值为________．解析：S ＝12bcsinA ＝12×1×c ×32＝3，解出c ＝4.a2＝b2＋c2－2bccosA ＝13， a sinA ＝1332＝2393. 答案：2393二、解答题3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2sinA ＝3cosA. (1)若a2－c2＝b2－mbc ，求实数m 的值．(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由2sinA ＝3cosA 两边平方得： 2sin2A ＝3cosA ，即2cos2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12或－2(舍)，∵a2－c2＝b2－mbc ， ∴m 2＝b2＋c2－a22bc，由余弦定理的推论得 cosA ＝b2＋c2－a22bc，∴m 2＝12，∴m ＝1， (2)∵cosA ＝12，∴sinA ＝32，S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc.又∵a2＝b2＋c2－bc ，∴3＝b2＋c2－bc ＝(b －c)2＋bc ≥bc ，∴S △ABC ＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tanBtanC －3(tanB ＋tanC)＝1.(1)求角A 的大小； (2)现给出三个条件： ①a ＝1； ②b ＝2sinB ；③2c －(3＋1)b ＝0.试从中选择两个条件求△ABC 的面积．解：(1)由tanBtanC －3(tanB ＋tanC)＝1， 得tanB ＋tanC 1－tanBtanC ＝－33. 所以tan(B ＋C)＝－33. 则tanA ＝－tan(B ＋C)＝33，所以A ＝π6. (2)方案一：选择①③.∵A ＝30°，a ＝1，2c －(3＋1)b ＝0，所以c ＝3＋12b ，则根据余弦定理，得12＝b2＋(3＋12b)2－2b ·3＋12b ·32， 解得b ＝2，则c ＝6＋22.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择②③.可转化为选择①③解决，类似也可．(注：选择①②不能确定三角形)高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63（4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈=其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A ）2(,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组3103010x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB∠的最大值等于（A）12（B）34（C）47（D）94（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x xπϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x=对称，则（A）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数（B）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数（D）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三联考数学试题数学 试 题I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z =. 【解析】设z=a+bi ，由()a+bi=2-a-bi i 得a=b=1z=1i ∴+.2.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B =.【解析】{}{}{}{}1,22,41,2,4 ()3,5U A B A B A B =∴=∴=∴=3.在圆22x +y =4所围成的区域内随机取一个点P(x,y)，则 x +y 2≤的概率为.【解析】 x +y 2≤表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆22x +y =4的面积易得概率为2π4.已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈，则tan()4πα+=.【解析】4cos 5α=-且(,)2παπ∈，tan +tan3414sin =tan =-tan()53471-tan .tan 4παπαααπα∴∴∴+== 5.已知定义域为R 的函数121()2xx f x a+-+=+是奇函数，则a =. 【解析】由()()11f f -=-，易得2a =6.已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点， 点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线 的离心率为.【解析】设点P (),x y ，由2AP AB =得()22,,2a x y b b c ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，22,2a P b c ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭把P 点坐标带入到22221x y a b-=中，整理得222e e =∴=7.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是. 【解析】3915+297=7500s =+++……8.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是.【解析】当k>0时，()lg 2lg 1kx x =+()lg 2lg 10kx x ∴-+=即()21kx x =+在()0,+∞仅有一个解()2210x k x ∴--+=在()0,+∞仅有一个解，令()()221f x x k x =∴--+，()00f >00k ∴=∴=或4，0k =时无意义，舍去4k ∴= 当0k <时，函数定义域是()1,0-函数y kx =是一个递减过()1,k --与()0,0的线段，函数()21y x =+在()1,0-递增且过两点()1,0-与()0,1，此时两曲线段恒有一个交点，故0k <符合题意故答案为：4k =或0k <．9.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝.【解析】4AB AC ⋅=，样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图同理22224a c b +-=216c ∴=，4c ∴=10.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量 为1600, 则（即第五组）的频数为.【解析】设前五个长方形面积的公差为d ，由9个长方形的面积为1，可得0.8216d = 中间一组的频数为()16000.024360d ⨯+=.11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为.【解析】22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的几何意义为(),a a 到()2cos ,522sin θθ+距离的平方。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63（4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈=其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A ）2(,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组3103010x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB∠的最大值等于（A）12（B）34（C）47（D）94（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x xπϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x=对称，则（A）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数（B）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数（D）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=B A ▲．2．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =▲．3．若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围▲．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为▲．5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为▲．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为▲．7．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为▲． 8．已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为▲．9．已知数列{}n a 的前n 项和Sn=n2—7n,且满足16＜ak+ak+1＜22,则正整数k=▲．10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11D ACB 的体积为▲． 11．曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ，则实数a=▲． 12．已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m的取值范围是▲．13．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为▲． 14．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果m b =)(*N m ∈，则符合条件的三角形共有▲个（结果用m 表示）． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)设函数()f x =·a b ，其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）求()f x 在[0，2π]上的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点. （1）求证：//GH 平面CDE ；（2）求证：BD ⊥平面CDE ．17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（•江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak•ak+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=+++=++=++，∴（ak•ak+1）=+++++++…++ =+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想评：象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括2124题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修41：几何证明选讲】21．（10分）（•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修42：矩阵与变换】22．（10分）（•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修44：坐标系与参数方程】23．（•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修45：不等式选讲】24．（•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g （x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（10分）（•江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．25．（10分）（•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.故选：C.【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：C.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；。