切平面和法线

微分的几何意义和定义微分是数学中的一个重要概念，其几何意义和定义是理解微分的关键。

微分的几何意义是刻画曲线、曲面等几何图形的某一点的局部性质。

在微分中，重要的概念是切线、法线和切平面。

以曲线为例，设函数 y=f(x) 在点 P 处有切线，该切线与 x 轴的交点为 A，则有：$f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta y\approx f'(x)\Delta x$其中，$y=f(x)$ 是曲线上的一点，$\Delta x$ 为极小增量，$\Delta y$ 是相应的函数值增量，$f'(x)$ 是函数$f(x)$ 在点 $x$ 处的导数。

上述式子表示函数在 $x$ 点处的微小变化对应于函数在 $x$ 点处的切线根据$x$ 增量 $\Delta x$ 产生的变化。

这个切线是定性地描述函数在 $x$ 点的局部性质的基础。

当 $\Delta x$ 趋近于 0 时，切线趋近于与曲线相切的状态。

2.微分的定义微分是函数的导数和自变量的微小变化量之积。

设 $y=f(x)$，在点 $x$ 处微分$dy$ 定义为：$dy=f'(x)dx$对于一元函数$f(x)$，微分的定义可以推广到多元函数 $z=f(x,y)$ 上。

在二元函数$z=f(x,y)$ 中，在点 $(x_0,y_0)$ 处，有：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 分别表示 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，$dx$ 和 $dy$ 分别表示自变量 $x$ 和 $y$ 的极小增量。

微分 $dz$ 可以视为函数在 $(x_0,y_0)$ 点处的平面的局部性质，即该点的切平面。

总的来说，微分是函数在某一点的局部性质的刻画。

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

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该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。

记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

，y。

）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。

法线方程和切平面方程的关系法线方程和切平面方程是解析几何中常用的两个方程，它们之间存在一定的关系。

本文将从理论和实际应用两个方面来讨论这种关系。

一、理论方面1. 法线方程的定义在三维空间中，一条直线的法线方程可以用一个点和一个与该直线垂直的向量来表示。

设直线上一点为P，直线的方向向量为n，则法线方程可以表示为：(P-P0)·n=0，其中P0为直线上的一个已知点。

2. 切平面方程的定义在三维空间中，一个曲面的切平面可以用一个点和一个与该曲面切线垂直的向量来表示。

设曲面上一点为P，曲面上的切向量为n，则切平面方程可以表示为：(P-P0)·n=0，其中P0为曲面上的一个已知点。

根据定义可知，法线方程和切平面方程的形式是相同的，都是(P-P0)·n=0。

这意味着法线方程中的n可以被视为切平面方程中的n，也就是说，直线的法向量可以被视为曲面的切向量。

二、实际应用方面1. 几何图形的法线方程和切平面方程在解析几何中，我们经常需要求解几何图形上某一点的法线方程或切平面方程，以便进行相关的计算或分析。

例如，对于一个球体，我们可以通过求解球心到某一点的向量，然后将该向量作为法向量，得到该点的法线方程。

同理，我们也可以求解球心到某一点的向量，并将该向量作为切向量，得到该点的切平面方程。

2. 曲线的法线方程和切平面方程对于曲线而言，法线方程和切平面方程也是非常重要的。

在计算机图形学中，我们常常需要绘制曲线的平滑效果，这就需要求解曲线上每一点的法线方程和切平面方程。

通过求解得到的法向量，我们可以在每一点处确定曲线的法线方向，从而使得曲线绘制出来更加真实和平滑。

法线方程和切平面方程在解析几何中有着重要的应用。

它们之间的关系在理论和实际应用中都得到了充分的验证。

熟练掌握法线方程和切平面方程的求解方法，对于理解和应用解析几何中的相关概念和问题具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和应用这两个方程，提高解析几何的学习和应用能力。

高中数学-曲面及曲面的切平面与法线方程
一、曲面及曲面的切平面与法线方程历年考点分析
2016年上半年高中，在选择题的第3题考查了二次曲面的方程;
2017年上半年高中，在选择题的第3题考查了柱面方程，简答题第9题考查了椭球面切平面方程;
2017年下半年高中，在解答题考查了旋转曲面方程的求解;
2018年上半年高中，在选择题的第6题、简答题的第10题考查了抛物柱面与平面的交线、二次曲面的切平面和法向量.
从这几套历年真题可以分析出，教师资格证数学曲面的考点主要是两大考点，曲面的方程及曲面的切平面与法线方程.
考生在高中数学教师资格证考试的备考中应注意复习曲面及曲面的切平面与法线方程部分知识点.
二、曲面及曲面的切平面与法线方程历年真题及详细解析。

第二章 曲面的表示与曲面论第三节 曲面的切平面和法线、 光滑曲面1、 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,),(0y x P 是其上一定点。

在该点的切线斜率为),(),()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为)(),(),(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,即0(,)()(,)()0xyF x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为(,)()(,)()0yxF x y x x F x y y y ''---=，(2)例1、 求笛卡尔叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.解 xy y x y x F 9)(2),(33-+=, y x F x 962-=',x y F y962-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='yx F F , 得到切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.图(1)2、 空间曲线的切线与法平面设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0, )(),(),(0t z z t y y t x x ===,动点L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0. 动割线P P 0的方程为tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0的极限位置l : 0()()()x x y y z zx t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0P 的切线.其方向向量为 0{(),(),()}x t y t z t τ'''= 。

求球面在点处的切平面和法线方程球面在点处的切平面和法线方程是数学中的重要概念，它们在几何学和物理学中都有广泛的应用。

本文将全面介绍球面在点处的切平面和法线方程，并通过生动的例子和详细的说明来帮助读者理解和应用这些概念。

首先，我们来看球面的定义。

球面是由所有与固定点距离相等的点组成的曲面。

球面上的每个点到该固定点的距离都相同，这个距离称为球面的半径。

接下来，我们来定义球面上的切平面。

切平面是与球面相切且只与球面有一个公共点的平面。

简单来说，切平面是紧贴球面的平面，与球面仅有一个点相接触。

然后，我们来看球面在点处的切平面方程。

设球面的中心点为O，该点处的切平面与球面相切点为A。

切平面的法线向量与半径OA垂直，所以切平面的法线向量可以通过点A和中心点O来确定。

我们可以得到切平面的法线向量为n = OA。

现在，我们要求切平面的方程。

切平面的方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为切平面的法线向量的分量，D为常数。

我们已经确定了切平面的法线向量为n = OA，所以可以得到切平面的方程为xA + yB + zC + D = 0。

然而，我们还需要求解常数D的值。

由于点A在球面上，所以点A 的坐标(xA, yA, zA)必须满足球面的方程。

球面的方程可以表示为x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0，其中R为球面的半径。

代入点A的坐标，我们可以得到x^2A + y^2A + z^2A - R^2 = 0。

将以上两个方程联立起来，我们可以解出常数D的值。

最后，就可以得到球面在点处的切平面方程为xA + yB + zC + (xD + yE + zF) = 0。

接下来，我们来看球面在点处的法线方程。

法线方程是描述切平面法线向量的方程。

由于法线向量与切平面的方程垂直，所以法线向量的方向可以通过切平面的方程的系数A、B、C确定。

法线方程可以写成x/A = y/B = z/C。

最后，我们来看一些生动的例子来帮助我们理解和应用切平面和法线方程。

曲面的切平面方程1. 引言曲面的切平面方程是解析几何中一个重要的概念。

在三维空间中，曲面可以用方程描述，而曲面上的任意一点都有一个唯一的切平面。

切平面是通过该点并且与此点的切矢量垂直的平面。

本文将介绍曲面的概念、切线、法线以及曲面的切平面方程的推导与应用。

2. 曲面的概念在解析几何中，曲面是三维空间中的一个二维对象。

曲面可以通过方程来表示，例如二次曲面可以用二次方程Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0来描述。

其中的参数A、B、C等决定了曲面的形状。

常见的曲面有球面、圆柱面和锥面等。

3. 切线与法线曲面上的任意一点都有一个切平面。

为了求解切平面方程，我们首先需要了解曲面上点的切线和法线。

3.1 切线切线是曲面上一点处曲线的切矢量方向所确定的直线。

对于一个曲面上的点P，其切线可以通过对曲面方程求偏导来计算。

例如，对于二次曲面Ax2+By2+Cz2+ Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0，该曲面上的点P的切线可以通过计算x、y和z的偏导数得到。

3.2 法线法线是与切线垂直的一条线。

在曲面上的任意一点P处，可以通过对曲面方程的梯度向量作为法向量，从而得到法线的方向。

4. 曲面的切平面方程的推导我们已经了解了切线和法线的概念，现在我们来推导曲面的切平面方程。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是一个光滑函数。

设曲面上的一点为(x0,y0,z0)，对应的法线为(a,b,c)。

根据切平面的性质，切平面上的任意一点(x,y,z)都满足以下条件： 1. 该点在曲面上，即F(x,y,z)=0； 2. 切线上的任意一点到(x0,y0,z0)的矢量与法线方向(a,b,c)垂直。

根据以上条件，我们可以得到切平面上的任意一点(x,y,z)的坐标表示为：(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c)，其中t是一个任意参数。

将上述坐标表示带入曲面方程F(x,y,z)=0，得到：F(x0+ta,y0+tb,z0+tc)= 0对上述等式两边关于t求导，可得：a dx0dt +b dy0dt+c dz0dt+t(a dadt+b dbdt+c dcdt)+F x dx0dt +F y dy0dt+F z dz0dt=0由于曲面上的点(x0,y0,z0)满足F(x0,y0,z0)=0，所以上式可化简为：a dx0dt+b dy0dt +c dz0dt+t(a dadt+b dbdt+c dcdt)=0由于a dx0dt +b dy0dt+c dz0dt等于曲面上任意一点(x0,y0,z0)的切矢量，所以上式可以继续简化为：∇F(x0,y0,z0)⋅(x−x0,y−y0,z−z0)=0以上就是曲面的切平面方程的推导过程。