随机变量的分布列精品教案

⾼中数学2.1.2离散型随机变量的分布列教案（优秀经典公开课教案）§2．1．2离散型随机变量的分布列教学⽬标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与⽅法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：⼀、复习引⼊：1.随机变量：如果随机试验的结果可以⽤⼀个变量来表⽰，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常⽤希腊字母ξ、η等表⽰2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按⼀定次序⼀⼀列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某⼀区间内的⼀切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是⽤变量表⽰随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按⼀定次序⼀⼀列出，⽽连续性随机变若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？⼆、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每⼀个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表2. 分布列的两个性质：任何随机事件发⽣的概率都满⾜:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下⾯两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某⼀范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1、在掷⼀枚图钉的随机试验中，令1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上⾯这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应⽤⾮常⼴泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的⼀件产品是否为正品；新⽣婴⼉的性别；投篮是否命中等，都可以⽤两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two ⼀point distribution)，⽽称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布⼜称0⼀1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<4. 超⼏何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数X 的分布列；（2）⾄少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

离散型随机变量的分布列 教学目标(一)教学知识点1.离散型随机变量的分布列、随机变量ξ的取值范围及取这些值的概率、分布列的两个基本性质.2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.3.研究独立重复试验及相关的二项分布.(二)能力训练要求1.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.2.能根据分布列求出某事件的概率.3.培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力.(三)德育渗透目标通过离散型随机变量的分布列和独立重复试验及相关的二项分布列的学习，使学生了解社会、热爱人生、热爱生命、学会生存、学会审美、学会收集信息和处理信息的能力，培养学生爱国精神和为中华民族的伟大的复兴和崛起而发奋读书的意识，培养学生刻苦钻研的坚强毅力的非智力因素，让他们树立自信心. 教学重点离散型随机变量的分布列和二项分布，特别是运用分布列研究有关随机变量的概率，研究独立重复试验和其相关的二项分布. 教学难点离散型随机变量的分布列的两个性质，二项分布P (ξ=k )=k n k k n q pC 与二项式定理的联系与区别. 教学过程Ⅰ.课题导入同学们，上学期我们学习了概率知识，其中有这样的一个试验，(教师拿出一枚硬币)抛掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率都是21(教师边说边演示)，上节课我们也讨论这个随机试验中的随机变量，我们可以规定正面向上记为0，反面向上记为1，(板书0，1及概率21，这时黑板上呈现的形状)这样我们把随机变量及相应的概率都一一列举出来，这就是我们今天这节课要学习的内容：离散型随机变量的分布列(二)(板书课题，左上角). Ⅱ．讲授新课1.［师］(教师放幻灯片A)，请同学们看这样的两个问题：问题1：抛掷一个骰子，得到的点数为ξ，则ξ的取值为 ，每一个ξ所对应的概率是 .(用纸片遮住问题2)［生］(走到讲台上，边讲边写)，ξ的取值为1，2，3，4，5，6(板书)，骰子各面向上的概率都是均等的，即等于61.于是就有任何一个随机变量的ξ所对应的概率都是61. 点评：这时学生就模仿老师讲课的姿势，按刚才掷硬币正面向上所得概率的表列一样写出：写完后，学生高兴地回到座位上.［师］讲得很好，但上述表中有点问题，两行数字，哪一行是随机变量ξ的值，哪一行是ξ对应的概率的值呢？［生］你写在黑板上表格也是这样的，我是照着你的样子写的.［师］这是我的错误，向大家检讨，做事应严谨，要一丝不苟才行.(教师实事求是的教学态度赢得广大学生的信任和高度的赞扬，这时课堂上的气氛开始活跃了，学生研究问题、探究问题的情绪高涨)我现在把这两张表格补齐(第一行写上ξ，第二行写上P ).现在我们再来看问题2：连续抛掷两个，求所得的两个骰子的点数之和ξ的取值及各个ξ对应的概率是什么？［生］(站起来走到讲台上，拿起粉笔，边讲边写)，由于骰子是均匀的，每个面向上的概率都是相等的，即61，而这两个骰子所得点数的取值是相互独立的.抛一个骰子得到点数为1，2，3，4，5，6.连续抛掷两个骰子，将以相同的概率361得到以下36种结果之一：(板书如下)(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)；(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)；(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)；(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).以上的(i ,j )表示抛出的第一个骰子得i 点，且第2个骰子得j 点.设两个骰子的点数之和为ξ，则ξ的取值及对应的概率如下表：［生］刚才的36种情形可以不要一一列举出来，我们可以用数形结合思想法，作出ξ=i +j ∈［2,12］,ξ∈N 在坐标系中的点.从这个图中一目了然ξ的取值情况，ξ的取值就是6×6正方形中的点(36个点)求横坐标与纵坐标之和，由对称性，区域关于直线y =x 对称，故只有11个值.然后再利用对称性找出ξ的每个值的概率，从图形中，这样点出现的次数(关于y =x 对称)，如ξ=3时，直线y =x 两侧各有一个点(1，2)，(2，1)，概率P (ξ=3)=362;又如ξ=4时，直线y =x 两侧各有一个点(1，3)，(3，1)，但直线上还有一点(2,1),这样ξ=4就对应着3个点，它所对应的概率为363.余下以此类推得到上述同学列出的概率表格.这就是我的想法，请老师和同学批评指正(这时班级同学给予掌声鼓励).［师］刚才两位同学的精彩表演，给我很大的启发，他们都是爱动脑筋，勤于思考的学生，这也是我们班级很有特色的学风.同学们严密科学的论证、实事求是的作风、谦虚务实的态度、敢于创新的勇气值得我们教师学习.(学生被我这番小结深深感动，对教师的敬佩油然而起，课堂气氛十分活跃，打破师生之间的界限，这种融洽的、和谐的、民主的教学氛围是学生积极主动建构新知识最佳的途径之一)［师］问题1和2中随机变量ξ可能取的值，以及ξ取这些值的概率，从表中直观上可以看出这些.此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量ξ的概率分布.如何给出定义呢？［生］就是把刚才两个问题中的具体数字抽象化就可以了. ［师］你说说看，如何抽象呢？又怎样表述呢？［生］设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,…,x n ,…,ξ取每一个值x n (n =1,2,3,…)的概率P (ξ=x n )=p n ,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.(教师根据学生抽象概括的语言进行总结，并板书分布列的定义)［师］问题1和2的两个随机变量ξ的概率分布表可以得出这个表格具有什么性质呢？连同我开始讲的抛掷硬币正面向上的概率分布(教师边说边指向黑板)，从这三个问题中进行总结概括.［生］任何一个随机变量ξ的概率p n 都是大于或等于0的，即pi ≥0(i =1,2,3,…).(教师板书)［师］请同学们再观察表格对于ξ所取的所有值x i 而言，所有的概率p i 满足什么关系呢？ ［生］由“硬币”问题有：2121+=1；由问题1有：616161616161+++++ =1；由问题2有：361362363364365366365364363362361++++++++++ =1，于是我们可以猜想：一般地应有p 1+p 2+…+p n +…=1.但我没有办法证明这是正确的，还是错误的.(该生也是走上讲台，指着三张表，进行总结概括，然后在p i ≥0，下方写出猜想).［师］他的猜想是正确的.这样我们就得到了随机变量的分布列的两个重要性质：(1)p i ≥0,i =1,2,3,…;(2)p 1+p 2+…+p n +…=1.这两条性质都是由直觉猜想而得到的，这种思想方法在科学领域中是十分重要的，不少科学的发明、发现都是依靠直觉提出猜想和预见，然后再通过大量的试验或科学论证，才得到证实或否定，这样才能推动科学技术的发展，所以我们在以后的学习中要大胆猜想、科学地证明.(课堂反应：学生的脸上充满了喜悦的情绪，他们在议论着教师的总结)［师］(打出幻灯片B)，现在请同学们看问题3，并运用我们学过的知识回答问题. ［生］(走向讲台，指着银幕说)连续抛掷10次，正面向上的次数ξ取值为0，1，2，3，…，10共11个值.每一个ξ对应的概率为P (ξ=k )=k 10C (21)k ·(1－21)10－k =k 10C ·(21)n ,这是由n 次独立重复试验发生k 次的概率P n (k )=k n C p k (1－p )n －k 而得到的.可以得下表：［师］回答得很好，完全正确.对问题3，我们推广到一般情况呢？(打出问题4) ［生］在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (ξ=k )=kn C p k q n －k ,其中q =1－p ,k =0,1,2,3, …,n .于是得到随机变量ξ的概率分布如下：(学生边说边板书，列出上述表格)［师］由上述表格中各概率的表达式，我们能联想到什么呢？［生］由0C n p 0q n ,1C n p 1q n －1,…,k n C p k q n －k ,…, nn C p n q 0,我们联想到二项式定理(q +p )n 的展开式:0C n p 0q n +1C n p 1q n －1+…+k n C p k q n －k +…+n n C p n q 0.它们分别是这个展开式中的项.k n C p k q n －k 是展开式中的第k +1项(k =0,1,2,…,n )中的各个值.［师］联想的正确.由于kn C p k q n －k 恰好是二项展开式. (q +p )n =0C n p 0q n +1C n p 1q n －1+…+k n C p k q n －k +…+nn C p n q 0中的第k +1项(这里k 可取0，1，2，3，…，n )中的各个值，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布.记作ξ~B (n ,p ),其中n ,p 为参数，并记kn C p k q n －k =b (k ;n ,p ). 例如：抛掷一个骰子，得到任一确定点数(比如2点)的概率都是61.重复抛掷骰子n 次，得到此确定点数的次数ξ服从二项分布，ξ~B (n ,61). 又如，重复抛掷一枚硬币n 次，得到正面向上的次数ξ服从二项分布，ξ~B (n ,21).二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布.2.课本例题某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：［师］(分析)“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”“ξ=8”“ξ=9”“ξ=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.［生］(教师板书)【解析】根据射手射击所得环数ξ的分布列，有P (ξ=7)=0.09,P (ξ=8)=0.28, P (ξ=9)=0.29,P (ξ=10)=0.22,所求的概率为P (ξ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88.［师］若求此射手“射击一次命中环数≥6”的概率.［生］由上述问题知：P (ξ≥7)=0.88,所以P (ξ≥6)=P (ξ=6)+P (ξ≥7)=0.06+0.88=0.94.［师］此射手“射击一次命中环数<4”的概率.［生］由对立事件的概率公式P (A )=1－P (A )，我们只要计算P (ξ≥4)的概率.因为 P (ξ≥4)=P (ξ=4)+P (ξ=5)+P (ξ≥6)=0.02+0.04+0.94=1,∴“命中环数小于4”的概率为1－1=0.［师］由此题可以看出：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和(教师板书).3.精选例题［例1］(2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中，任意地连续取出2件，其中次品数ξ的概率分布是【解析】由题意“任意连续取出2件”可认为两次独立重复试验，则次品数ξ服从二项分布.即ξ~(2,0.05)∴ξ=0时，p 1=02C 0.952=0.9025ξ=1时，p 2=12C 0.95×0.05=0.095ξ=2时，p 3=22C 0.052=0.0025则：ξ的概率分布为［例2］一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列.分析：随机取出3个球的最大号码ξ所有可能取值为3，4，5，6.“ξ=3”对应事件取出的3个球，编号为1，2，3；“ξ=4”对应事件取出的3个球中恰取到4号球和1，2，3号球中的2个；“ξ=5”对应事件取出的3个球中恰取到5号球和1，2，3，4号球中的2个；“ξ=6”对应事件取出的3个球中恰取到6号球及1，2，3，4，5号球中的2个，而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得ξ的分布列.【解析】随机变量ξ的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为36C ，事件“ξ=3”包含的基本事件总数为33C ，事件“ξ=4”包含的基本事件总数为2311C C ；事件“ξ=5”包含的基本事件总数为2411C C ；事件“ξ=6”包含的基本事件总数为2511C C ；从而有 P (ξ=3)=201C C 3633= P (ξ=4)=203C C C 362311=P (ξ=5)=103C C C 362411= P (ξ=6)=21C C C 362511= ∴随机变量ξ的分布列为：评析：确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件.进一步利用排列组合知识求出ξ取每个值的概率.［例3］在一袋中装有一只红球和九只白球.每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数ξ的分布列.分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球，取后又放回.因此应注意如下几点.(1)一次取球两个结果：取红球(A )或取白球(A )，且P (A )=0.1(2)取球次数ξ可能取1，2，…；(3)由于“取后放回”.因此，各次取球相互独立.【解析】ξ的所有可能取值为：1，2，…，n ,….令A k 表示第k 次取得红球，则由于各次取球相互独立，且取到红球的概率为p =0.1,于是得：P (ξ=1)=P (A 1)=p =0.1P (ξ=2)=P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2)=0.9×0.1.……P (ξ=k )=P (A 1A 2…A k －1·A k )=P (A 1)P (A 2)…P (A k －1)P (A k )=(1－p )(1－p )…(1－p )p =0.9×0.9×…0.9×0.1=0.9k －1×0.1因此，分布列为评析：此例进一步抽象可表述为：在每次试验时，若事件A 发生的概率为p ，A 发生的概率为q =1－p ，则事件A 首次发生的试验次数ξ是一个随机变量，它的取值为1，2，…，n ,…,其分布列为这类分布称为几何分布.这一模型具体化可表现在射击命中目标次数的讨论、也可体现在产品次品的抽查上，…教材中曾多次出现，你能化归为一类数学模型去认识它们吗？［例4］某同学计算得一离散型随机变量ξ的分布列如下：试说明该同学的计算结果是否正确.错解：以上计算结果正确.错因：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)p i ≥0,i=1,2,…;(2)p 1+p 2+…=1(总概率为1).故只要有一条不满足，所得结果都不可能是任何离散型随机变量的分布列.【解析】因为p 1+p 2+p 3=P (ξ=－1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=11211614121<=++. 不满足总概率为1这一条件，因而该同学的计算结果是错误的.Ⅲ.课堂练习(一)课本P 8练习第4题.(二)补充练习题A.选择题1.设随机变量ξ的分布列为P (ξ=i )=a (31)i , i =1,2,3,则a 的值为( )A.1B.139C.1311D.1327 【答案】D【解析】P (ξ=1)=a ·31, P (ξ=2)=a ·(31)2, P (ξ=3)=a ·(31)3, 由P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1, 知，a ·(31)+a ·(31)2+a ·(31)3=1. ∴a =1327.故本题应选D. 2.设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则p 的值为( )A.21B.61C.31D.41 【答案】C【解析】∵P (ξ=1)=61, P (ξ=2)=31, P (ξ=3)= 61, P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)+p =1,∴p =1－61－31－61=31. 故本题应选C.3.如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )A.ξ取每一个可能值的概率是非负实数B.ξ取所有可能值的概率之和为1C.ξ取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【答案】D解析:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.已知随机变量ξ服从二项分布，ξ~B (6, 31),则P (ξ=2)等于( ) A.163 B.2434 C.24313 D.24380 【答案】D【解析】已知ξ~B (6, 31), P (ξ=k )=k n C p k q n －k , 当ξ=2, n =6, p =31时有 P (ξ=2)=26C (31)2(1－31)6－2=26C (31)2·(32)4=24380. B.填空题 5.已知随机变量ξ~B (5,31),则P (ξ=3)= . 【答案】24340 【解析】P (ξ=3)=35C (31)3(1－31)5－3=35C ×271×94=24340. 6.抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功.则在54次试验中成功次数n ~ .【答案】B (54，2719) 【解析】抛掷三个骰子，三个骰子都不出现5点和6点的概率是277646464=⨯⨯， ∴至少有一个5点或6点的概率为27192781=- ∴n ~B (54, 2719).7.设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这十二个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)=_____,P (6<ξ≤14)=_____. 【答案】32 32 【解析】P (ξ>8)=P (ξ=9)+P (ξ=10)+…+P (ξ=16)321281211211218==+++= 个； P (6<ξ≤14)=P (ξ=7)+P (ξ=8)+…+P (ξ=14)=32128=. C.解答题 8.现有一大批种籽，其中优质良种占30%，从中任取8粒，记ξ为8粒中的优质良种粒数，求ξ的分布列.【解析】由于种籽批量很大，从中任取8粒可视为8次独立重复实验，服从二项分布B (8，0.3)，其分布列为9.设射手甲每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击30次，求击中目标的次数ξ的概率分布.【解析】ξ的分布列为Ⅳ.课堂小结1.这节内容与排列、组合和概率的内容有密切的联系，学习时应从整体的观点处理这部分知识.2.事件的概率的要求较基本，学习本节内容关键是基本概念的掌握和灵活运用. 板书设计：教后记：。

知识与技能：理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质，在具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列，理解两点分布。

培养学生独立思考问题的能力。

过程与方法：通过生活中的实例说明引入概率分布列的必要性。

概念的建立主要以教师讲解为主，并通过师生互动、例题处理达到让学生加深对概率分布列及其性质的的理解，和基本技能的掌握，以及能力的训练的目的。

情感态度与价值观：加强师生情感交流，营造和谐课堂。

在教学过程中让学生体会数学在生活的应用。

充分发挥非智力因素在教学中的作用，增强学生对数学学习的兴趣。

教学重点：
1.离散型随机变量概率分布列的概念。

2.离散型随机变量分布列的表示方法和性质。

教学难点：
1.确定离散型随机变量的取值、随机变量所对应的概率
2.随机变量在某个范围内取值的概率的计算
2.2、新课导入：
对于一个随机试验，仅仅知道试验结果的取值是不够的，还要把握每一个结果发生概率的大小。

还要研究这些结果取值的平均数，这些结果取值的波动状态等等。

离散型随机变量的分布列，不仅列出了随机变量X的所有取值．而且列出了X
的每一个取值的概率．
这样，我们就从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，为进
一步研究随机现象奠定了基础。

2、分布列的构成:
⑴列出随机变量ξ的所有取值;
⑵给出ξ的每一个取值的概率
教师：在具体问题中关键是要搞清楚什么是随机变量，随机变量能取哪些值，随
机变量取值的概率是什么。

离散型随机变量的分布列一．教学目标：1．理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列． 2．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题． 3．了解二项分布的概念，能举出一些服从二项分布的随机变量的例子． 二．教学重点：离散型变量的分布列及其求法． 教学难点：理解随机变量分布列的性质． 三．教学用具：投影仪 四．教学过程： 1．复习提问（1）可问：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念． （2）点评上节课学生做的课外作业． 2．提出教科书中关于抛掷一枚骰子的例子 可问：你能举出类似这样的例子吗？精选1～2个学生举的例子，加以分析和研究．3．提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 i x x xξ取每一个值),2,1( =i x i 的概率为i i P x P ==)(ξ，则称表ξ 1x 2x (i)x…P1P2P…iP…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．引导学生回顾概率的基本性质，归纳总结出任一离散型随机变量的分布列的两个简单性质：（1） ,2,1,0=≥i P i ； （2）.121=++ P P4．讲解例1、例2例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列．解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n ．∴.717)0(,7272)1(,7474)1(=====-====n n P n n P n n P ξξξ ∴从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为ξ 1 －1 0P7472 71例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是),3,2,1(21=n n ．记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目．求)10(≤ξP ．解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为ξ 2 4 8 16 …n 2 …P214181 161 … n 21…∴)8()4()2()10(=+====≤ξξξξP P P P .87814121=++=通过例2及教科书中的例子，归纳总结出： 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．5．提出离散型随机变量服从二项分布的概念引导学生回顾n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式．然后提出离散型随机变量ξ服从二项分布的概念．可问：你能举出离散型随机变量服从二项分布的例子吗？ 根据学生举的例子，教师引导他们对此加以简单分析． 6．讲解例3、例4例3 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量%)5,2(~B ξ．所以，.0025.0%)5()2(,095.0%)95%)(5()1(,9025.0%)95()0(22212202=========C P C P C P ξξξ因此，次品数ξ的概率分布是ξ 0 1 2P0.9025 0.095 0.0025例4 重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求)3(>ξP ． 解：依题意，随机变量)61,5(~B ξ．∴.77761)61()5(,77762565)61()4(555445====⋅==C P C P ξξ ∴.388813)5()4()3(==+==>ξξξP P P7．课堂练习教科书中的“练习”． 8．归纳总结（1）对离散型随机变量ξ的分布列及其性质和二项分布的概念作一次小结． （2）对本课的4道例题的解题思路进行总结． 五．布置作业：教科书习题第3、5、6题。

2.1离散型随机变量的分布列一、【教材的地位和作用】概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的。

“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一。

随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究；离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究随机现象。

并为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示了离散型随机变量的统计规律。

二、【教学目标】知识技能目标：了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；过程方法目标：发展学生的抽象、概括能力；情感态度目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受数学表示的简洁，从而激发学生学习数学的热情.三、【重点、难点】教学重点:会求离散型随机变量的分布列, 会应用离散型随机变量的分布列的性质.教学难点：求离散型随机变量的分布列.四、【学情分析】知识结构方面，学生已学习了排列、组合、二项式定理、概率和随机变量，已具备了本节课所需的预备知识。

能力方面，经过两年学习，学生具有了一定的发现、分析、解决问题的能力，抽象、概括能力，逻辑思维能力.五、【教学策略及方法】主动建构式的教学方式——在教师的正确引导下，由学生已学过的有关知识，如离散型随机变量ξ的取值及所取的值对应的概率，让学生积极主动地建构出离散型随机变量的分布列.六、【教具准备】多媒体课件.七、【教学过程】1、新课导入（1）随机变量：我们将随机试验中的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．随机变量常用字母X 、Y 、ξ、η等表示．（2）两类随机变量若随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 若随机变量的取值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 今天先来学习离散型随机变量的分布列.2、探究问题抛掷一枚骰子，所得的点数X 有哪些值？X 取每个值的概率是多少？3、新课讲授（1）离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X 可能取的值为12,,a a ,随机变量X 取i a 的概率为(1,2,,)i P i n = ，记作：()()1,2,3,i iP X a p i === （1）或把上式列成表2-2：表2-2或（1）式称为离散型随机变量X 的分布列.（2）根据随机变量的意义与概率的性质，你能发现分布列有什么性质？ ①0,12，，i p i >= ②121p p ++=4、典例探究例1 一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，用X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列．思考：(1)取出球的最大号码小于5的概率是多少？(2)结合X 的分布列你能给同学提一个问题吗？例2 随机变量X 的分布列为（1）求常数a ；（2）求(14)P X <<5、随堂练习（1）下列A 、B 、C 四个表，其中能成为随机变量X 的分布列的是（ ）（2）设随机变量X 的分布列为(),2i P X i a ==1,2,3.i = 则(2)P X ==__________.(3) 一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，用X 表示取出球的最小号码，求X 的分布列．6、课堂总结（1）分布列的定义.（2）分布列的性质：①0,12，，i p i >= ②121p p ++= （3）求分布列的步骤：①确定随机变量X 的所有可能的值；②求出各取值对应的概率；③画出表格.八、【板书设计】。

一、教案简介本教案为人教A版高中数学选修课程《离散型随机变量的分布列》的教学设计，主要针对高中学生，旨在帮助学生理解离散型随机变量的概念，掌握分布列的性质及其计算方法，培养学生的数学思维能力和实际应用能力。

二、教学目标1. 理解离散型随机变量的定义及其性质。

2. 掌握离散型随机变量的分布列的概念及其计算方法。

3. 能够运用分布列解决实际问题，提高数学建模能力。

三、教学内容1. 离散型随机变量的定义及其性质。

2. 分布列的概念及其计算方法。

3. 常用离散型随机变量的分布列（如伯努利分布、二项分布、几何分布等）。

4. 离散型随机变量分布列的应用。

四、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍离散型随机变量的概念，引导学生思考其分布规律。

2. 讲解离散型随机变量的定义及其性质，让学生理解并掌握基本概念。

3. 讲解分布列的概念及其计算方法，让学生能够自行求解离散型随机变量的分布列。

4. 通过例题讲解常用离散型随机变量的分布列及其应用，让学生能够解决实际问题。

5. 课堂练习：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。

五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对离散型随机变量及其分布列的基本概念的理解。

2. 课堂练习：评估学生运用分布列解决实际问题的能力。

3. 课后作业：巩固学生对离散型随机变量分布列的知识，提高学生的数学应用能力。

六、教学策略1. 实例引入：通过生活中的实际例子，激发学生的学习兴趣，引导学生思考离散型随机变量的分布规律。

2. 互动教学：在讲解过程中，鼓励学生积极参与，提问解答，增强课堂的互动性。

3. 分层教学：针对学生的不同层次，给予适当的引导和辅导，使所有学生都能跟上教学进度。

4. 实践操作：通过大量的例题和练习，让学生在实践中掌握离散型随机变量的分布列的计算方法及其应用。

七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，直观展示离散型随机变量的分布列的性质和计算方法。

2. 教学案例：收集与离散型随机变量分布列相关的实际案例，用于引导学生思考和巩固所学知识。

数学高考复习名师精品教案第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。

2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。

教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．教学过程：1．通览基础知识2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …，x i,…,ξ取每一个值x i (I=1，2，…)的概率为P(ξ= x i)=P i，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。

离散型随机变量的分布列的两个简单性质：(1) P i≥0，I=1，2，…；(2) P1 +P2 + (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。

解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n 。

71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴ 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。

设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。

记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。

概率论与数理统计教案-随机变量及其分布一、教学目标1. 了解随机变量的概念及其重要性。

2. 掌握随机变量的分布函数及其性质。

3. 学习离散型随机变量的概率分布及其数学期望。

4. 理解连续型随机变量的概率密度及其数学期望。

5. 能够运用随机变量及其分布解决实际问题。

二、教学内容1. 随机变量的概念及分类。

2. 随机变量的分布函数及其性质。

3. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等。

4. 连续型随机变量的概率密度：正态分布、均匀分布、指数分布等。

5. 随机变量的数学期望及其性质。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍随机变量及其分布的概念、性质和计算方法。

2. 利用案例分析，让学生了解随机变量在实际问题中的应用。

3. 借助数学软件或图形计算器，直观地展示随机变量的分布情况。

4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

四、教学准备1. 教学PPT课件。

2. 教学案例及实际问题。

3. 数学软件或图形计算器。

4. 教材、辅导资料。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入随机变量的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解随机变量的定义、分类及其重要性。

3. 讲解随机变量的分布函数及其性质，引导学生理解分布函数的概念。

4. 讲解离散型随机变量的概率分布，结合实例介绍二项分布、泊松分布、超几何分布等。

5. 讲解连续型随机变量的概率密度，介绍正态分布、均匀分布、指数分布等。

6. 讲解随机变量的数学期望及其性质，引导学生掌握数学期望的计算方法。

7. 案例分析：运用随机变量及其分布解决实际问题，提高学生的应用能力。

8. 课堂练习：布置适量练习题，巩固所学知识。

10. 作业布置：布置课后作业，巩固课堂所学。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对随机变量及其分布的理解程度。

2. 课堂练习：检查学生解答练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。

3. 课后作业：布置相关作业，收集学生作业情况，评估学生对知识的运用能力。

离散型随机变量其分布列教案一、教学目标1.知识与技能：掌握离散型随机变量的概念；了解离散型随机变量的分布列的概念与相关性质；能够根据问题给出离散型随机变量的分布列。

2.过程与方法：通过讲解、示例分析和实际问题解答等方式培养学生的分析问题和解决问题的能力；通过课堂练习、小组合作等方式培养学生的合作精神和团队意识。

3.情感、态度和价值观：培养学生对离散型随机变量的兴趣；培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；培养学生的合作意识和团队合作能力。

二、教学重点与难点1.教学重点2.教学难点三、教学过程1.导入新知识引入离散型随机变量的概念，与连续型随机变量进行对比，引出离散型随机变量的分布列的概念，并讲解分布列的性质。

2.学习新知识2.1引入概念解释离散型随机变量的概念，并给出几个常见的离散型随机变量的例子，如二项分布、泊松分布等。

2.2分布列的概念详细讲解分布列的概念，即离散型随机变量的取值及其对应的概率，并通过示例进行说明。

2.3分布列的性质讲解分布列的性质，包括非负性、和为1等。

3.巩固与拓展通过例题进行分布列的计算练习，同时讲解分布列的期望值和方差的计算方法。

4.拓展应用结合实际问题，如掷硬币、扔骰子等，引导学生找出问题中的离散型随机变量，并计算其分布列。

四、教学设置1.教具准备黑板、彩笔、教案、习题册等。

2.师生活动教师以讲解为主，学生以听讲、思考、举手发言为主。

3.学生活动主要是听讲、思考、讨论、合作等。

五、教学反思离散型随机变量的分布列是基础内容，是理解和应用概率论中的重要概念。

通过本节课的学习，学生对离散型随机变量的概念和分布列的性质有了初步的了解，并能够通过例题进行分布列的计算。

教学过程中需要注意让学生进行思考和灵活运用，培养学生的分析问题和解决问题的能力，同时注重实际问题的应用，提高学生的理论与实践结合的能力。

2.1离散型随机变量分布列复习课教学设计【教学背景分析】1．学情分析学生已基本对选修2-3第二章《随机变量及其分布》中的离散型随机变量的概念，如何求离散型随机变量分布列，二项分布列的概念及其应用、离散型随机变量的均值与方差、和正态分态的概念都有了一定程度的掌握，但对分布列的性质还不能很好的理解和应用，故拟定通过本课加强学生对分布列性质的掌握和应用。

2．教学重点（1）通过分布列计算随机事件的概率；（2）通过已知分布列求与之相关的另一随机变量分布列。

3．教学难点（1）确定随机变量的取值范围；（2）计算相关随机事件的概率。

4．教学方式“四合一”主体学习模式。

5．教学手段多媒体辅助教学手段6．技术设备计算机，屏幕，实物投影仪，黑板，《离散型随机变量分布列复习课学案》【教学目标设计】1．知识与技能（1）离散型随机变量的分布列、随机变量ξ的取值范围及取这些值的概率、分布列的两个基本性质；（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；（3）能根据分布列求出某事件的概率；（4）培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力。

2．过程与方法（1）通过学生自主独立思考，解决一些较容易的问题；（2）帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习.3．情感、态度与价值观（1）优化学生的思维品质；（2）通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识；（3）充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识。

【教学过程】一、 复习：1．展示要点回顾的幻灯片： （要点回顾：1．根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）n i p i ,,2,1,0 =≥；（2）∑==ni i p 11） 【设计意图】唤起学生对已学知识的记忆。

2．展示学案中要点自测题1，2题的幻灯片。

A 1 B221±C 221+D 221-求出随机变量2X Y =的分布列。