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山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。
秘密★启用前山东省威海市2020届高考模拟考试（4月一模）数学试题2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{}|2,x B y y x ==-∈R ，则A B ⋃=（ ）A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．RD ．(,0)-∞ 2．已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-3．“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素．数在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）A ．110B ．421C ．415D ．155．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在11,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．512π是()f x 的一个极值点 6．已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b =（ ）AB ．2C ．D ．4 7．函数6cos ()2sin x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知点(,)P m n 是函数y =图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ） A ．25 B ．21 C ．20 D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B ．第一季度居民人均收入为4900元C ．第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D ．第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元10．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论：A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11．已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）A ．若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =- B ．12mn >C ．4m n +D ．||AB 的最小值为32 12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）A ．,[]1x x x ∃∈+R …B ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++R …C ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 同时成立，则正整数n 的最大值是5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6x⎛ ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 14．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =uuu u r uuu r ，点N 满足12CN DA =uuu r uu u r ，则AM MN ⋅=uuu r uuu r _________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F 0y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=︒（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．16．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC △是边长为1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是33S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________．（1）求n a ；（2）设34n n n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B -=．（1）求B ；（2）若2a =，且ABC △为锐角三角形，求ABC △的面积S 的取值范围． 19．如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，12AM MA =u u u r u u u r ，12CN NC =uuu r uuu r ．（1）求证：AN ∥平面11MB D ；（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=︒，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，B ，且当1k =时，/||||5AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）直线2l 与C 相切于点P ，且21l l ∥，若PAB △的面积为4，求k ．21．某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩． 举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861x x --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)N μσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；（2）①求x ，2s （同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z ，求()E Z ．附：若()2~,(0)X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<+=…，(22)0.9545P X μσμσ-<+=…，(33)0.9973P X μσμσ-<+=…．22．（1）若x ∀∈R ，x a e x -…恒成立，求实数a 的最大值0a ；（2）在（1）的条件下，求证：函数0()cos xe f x x a x x=++在区间(,0)π-内存在唯一的极大值点0x ，且()002f x x >．2020届高三模拟考试数学试题参考答案及评分标准2020.4一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．CABD DBAC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ACD 10．AD 11．ABD 12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．20- 14．0 15．(4,0) 1 16．[25,32]ππ四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（1）解：若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，则42212S a a =+， 即()()1114324222022a a a ⨯⎛⎫+⨯=+++⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．若选②7a 是33S 与22a 的等比中项，则237223S a a =⋅， 即()()2111316222122a a a -⎛⎫+⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．若选③数列{}2n a 的前5项和为65，则2(1)2[2(1)2]24n n a a n n +-=+-⋅=．又212a a =+，所以{}2n a 是首项为12a +，公差为4的等差数列．由{}2n a 的前5项和为65，得()154524652a ⨯++⨯=． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．（2）33(21)44n n n n b a n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 1133(23)(21)44n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1133[3(23)4(21)](52)44n nn n n n n -+=+-+=-． 所以110520 2.51,2n n n n b b b b n n n ++>⇔->⇔->⇔<⇔=；110520 2.53,4,5,n n n n b b b b n n n ++<⇔-<⇔-<⇔>⇔=L所以123456b b b b b b <<>>>>L ．所以{}n b 中的最大项为333727(231)464b ⨯⎛⎫=⨯+⋅= ⎪⎝⎭．显然37278272764648b ⨯⨯=<=．所以*27,8n n b ∀∈<N ． 所以不存在*k ∈N ，使得278k b >． 18．（1）山题设条件及正弦定理，得sin sin cos sin A B C C B -=．由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得cos sin sin B C C B =． 由0C π<<，得sin 0C ≠．所以cos B B =．又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=．这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =．又0B π<<，得6B π=． （2）在ABC △中，由正弦定理，得sin sin c a C A =，即25sin sin 6c C C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以2sin 5sin 6C c C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭． ABC △的面积112sin 1sin 25222sin 6C S ac B C π==⨯⨯⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎝⎭2cos sin C C=+． 由ABC △为锐角三角形，得02C π<<，5062B C ππ<=-<，所以32C ππ<<，从而tan C >sin cos C C >．所以cos 0sin 3C C <<S << 所以S的取值范是23⎛ ⎝⎭．19．（1）证法1：取AM 的中点E ，连接1EC 、11AC ．设1111AC B D O ⋂=，连接MO ． 由题意，O 是线段11AC 的中点，E 是线段MA 的中点， 所以MO 是11A C E △的中位线，所以1MO EC ∥． 由题意，113AE AA =，1113NC CC =，11AA CC =， 所以1AE NC =，又1AE NC ∥，所以四边形1AEC N 是平行四边形． 所以1AN EC ∥．又1MO EC ∥，所以AN MO ∥．又AN ⊄平面11MB D ，MO ⊂平面11MB D ，所以AN ∥平面11MB D ．证法2：AN AB BC CN =++uuu r uu u r uu u r uuu r111112A B A D MA =++u u u u r u u u u r u u u r11111111()()MA A B MA D M A B MD =+++=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ．又AN ⊄平面11MB D ，所以AN ∥平面11MB D ．（2）在ABD △中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒， 由余弦定理，得22212212cos603BD =+-⨯⨯⨯︒=． 可见222DA DB AB +=，所以DA DB ⊥． 以D 为坐标原点，以DA uu u r ，DB uuu r ，1DD uuu u r 所在方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,2)M，1B ，1(0,0,3)D，(N -．所以1(1,0,1)D M =-u u u u r，11D B =u u u u r ，1(1,0,1)NB =u u u r ．设(,,)n x y z =r 为平面11MB D 的法向量，则1110,0,n D M n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuuu r r uuuu r即0,0.x z -=⎧⎪= 令1x =，则(1,0,1)n =r ． 可见，1NB uuu r 就是平面11MB D 的一个法向量，所以1NB 与平面11MB D 所成的角为90°．20．（1）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ．由221x py y x ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2220x px p --=．判别式2480p p ∆=+>，122x x p +=．因此1212||||2325AF BF y y p x x p p +=++=+++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为22x y =．解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ． 由221x py y x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2(22)10y p y -++=．判别式2(22)40p ∆=+->，1222y y p +=+．由抛物线的定义，12||||325AF BF y y p p +=++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为22x y =．（2）方法1：22x y =即为212y x =，求导得y x '=．设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，当0x x =时，0y x '=，因此直线2l 的斜率为0x ． 又因为12l l ∥，所以0k x =，因此21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由221x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2220x kx --=． 2480k ∆=+>，则122x x k +=，122x x =-．因此||AB ==．直线1:1l y kx =+即为10kx y -+=．因此点21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线1l211k +=． 所以PAB △的面积为21111||22k S AB h +=⋅=⨯312=． 由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =方法2：由方法1可得21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线2l 的斜率为k ．因此直线2l 的方程为21()2y k k x k -=-．令0x =，则212y k =-． 设直线2l 与y 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为210,2k ⎛⎫-⎪⎝⎭． 设(0,1)D ，由方法1可知，122x x k +=，122x x =-． 因为12l l ∥，所以PAB △的面积与QAB △的面积相等．PAB △的面积1211||||22S DQ x x DQ =⋅-=231111222k ⎛=+= ⎝由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =方法3：设AB 的中点为M ，由方法1可知，122x x k +=，122x x =-． 因此122M x x x k +==，211M M y kx k =+=+． 又因为21,2P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭的横坐标也为k ，所以PM y ∥轴．因此PAB △的面积为1211||22M p S PM x x y y =⋅-=-231111222k ⎛=+= ⎝由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =21．（1）设张明转换后的物理等级分为x ，由938690868281xx --=--，求得84.27x ≈．所以，张明转换后的物理成绩为84分． 由题意，~(100,0.1)Y B ． 下分两种解法：解法1：由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩……得10011100(1)10010010011100(1)1001000.10.90.10.90.10.90.10.9,.k k k k k k k k k k k k C C C C ------++--⎧⎨⎩…… 解得9.110.1k 剟．又*k ∈N ，所以10k =． 所以，Y 最有可能的取值是10．解法2：1001001110011100()0.10.9101(1)0.10.99kk k k k k P Y k C kP Y k C k-----=-===-，1,2,3,,100k =L ． 所以()1011110.1(1)9P Y k k k P Y k k =->⇔>⇔<=-；()110.1(1)P Y k k P Y k =<⇔>=-．于是，当10.1k <时，(1)()P Y k P Y k =-<=；当10.1k >时，(1)()P Y k P Y k =->=． 所以10k =时，()P Y k =最大．故Y 最有可能的取值是10．（2）①解：300.02400.08500.22600.36700.22800.08900.0260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．22222(3060)0.02(4060)0.08(5060)0.22(6060)0.36s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(7060)0.22(8060)0.08(9060)0.02144+-⨯+-⨯+-⨯=．②由①中的数据，60μ=，12σ=，所以()2~60,12X N ．所以26021284μσ+=+⨯=．所以1(22)10.9545(84)0.0227522P X P X μσμσ--<+->===…由题意，~(2000,0.02275)Z B ． 所以()20000.0227545.5E Z =⨯=．22．（1）解：令xy e x =-，则01xxy e e e '=-=-． 可见，00y x '<⇔<；00y x '>⇔>．故函数xy e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增． 所以，当且仅当0x =时，函数xy e =，x 取最小值1． 由题意，实数1a …．所以01a =．（2）由（1），2222(1)(1)sin ()sin 1x x e x e x x x x f x x x x ---+'=-+=． 令22()(1)sin xg x e x x x x =--+，则()2()2sin cos 22sin cos 2x xg x xe x x x x x x e x x x '=--+=--+． 令()2sin cos 2x h x e x x x =--+．①当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，0x e >，2sin 0x ->，cos 0x x -…，所以()0h x >． 可见，()()0g x xh x '=<，所以()g x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减． 又22213210222g e ππππ+⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以1212ππ+<）， (0)10g =-<，所以存在唯一的0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =．从而，当0[,2)x x π∈-时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,0x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．②当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，令2()(1)x p x e x x =-+． 则()()220xxp x xe x x e '=+=+<．所以()p x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减． 所以222132()10244p x p e ππππ+⎛⎫>-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以2121e ππ+<）． 又当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，20x >，sin 0x <，2sin 0x x ->， 所以当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，2()()sin 0g x p x x x =->，从而()0f x '>．所以()f x 在,2ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦单调递增．综上所述，()f x 在()0,x π-上单调递增，在()0,0x 上单词递减． 所以，函数()f x 在区间(,0)π-内存在唯一极大值点0x ． 关于()002f x x >的证明如下： 由上面的讨论，0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()020000201sin 0x g x e x x x x =--+=，所以()0000001sin x e x x x x --+=，所以()000001sin 1x x x e x x -=-．于是()()00000000001sin cos cos 1x x x e f x x x x x x x -=++=++-．令()sin q x x x =-．当,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()1cos 0q x x '=->．所以()q x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．所以，当,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()(0)0q x q <=，即sin x x <． 又因为0,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以00sin x x <，0011sin 0x x ->->，所以001sin 011x x -<<-． 所以()()0000000000001sin cos cos 2cos 21x x f x x x x x x x x x x -=++>++=+>-．。
山东省枣庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）三个数, , 的大小顺序为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知复数，则下列结论正确的是（）A . 的虚部为iB .C . 为纯虚数D .3. （2分） (2019高三上·汕头期末) 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知函数则在区间[0,]上的最大值与最小值分别是（）A . 1,-2B . 2,-1C . 1,-1D . 2,-25. （2分）(2017·安庆模拟) 已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1 ，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 26. （2分） (2018高三上·辽宁期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）若a≠b，数列a，x1 ， x2 ， b和数列a，y1 ， y2 ， y3 ， b都是等差数列，则 =（）A .B .C . 1D .8. （2分）在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·济南模拟) 执行如下框图所示算法，若实数a、b不相等，依次输入a+b，a，b，输出值依次记为f（a+b），f（a），f（b），则f（a+b）﹣f（a）﹣f（b）的值为（）A . 0B . 1或﹣1C . 0或±1D . 以上均不正确11. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）的实义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣1，1）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针方向旋转角后，得到角，则（）A . 的最大值为，的最小值为B . 的最大值为，的最小值为C . 的最大值为，的最小值为D . 的最大值为，的最小值为二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为________．(用数字作答).14. （1分）(2017·济南模拟) 以曲线与y=x为边的封闭图形的面积为________．15. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为________．16. （1分）(2020·安阳模拟) 2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 .记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=．（1）求角B的大小；（2）若a=2，且，求边c的取值范围．18. （10分） (2018高三上·沈阳期末) 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格（单位：人）.参考公式：，其中 .参考数据：0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出了3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.19. （10分）(2017·江西模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，AB∥DE，BC∥EF，AB=BC=3，AF=2 ．（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．20. （10分）(2018·南京模拟) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．21. （10分） (2015高二下·椒江期中) 已知a为正的常数，函数f（x）=|ax﹣x2|+lnx．（1）若a=2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）= ，求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（e≈2.71828为自然对数的底数）22. （10分） (2019高一下·石河子月考) 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )A. B.C.D. 2.已知集合，，则2023-2024学年山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学试题( )A.，B.，C.，D.，3.指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.4.5.已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是( )A. B.C. 存在不全为0的实数，，使D. 若，则6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为( )参考数据：，，A. 455B. 2718C. 6346D. 95457.如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则线段MP 长度的取值范围为( )A. B. C. D.8.已知，，曲线上存在点，使得，则a 的范围是( )A.B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线：，：，则( ) A.的长轴长为 B. 的渐近线方程为C.与的离心率互为倒数 D. 与的焦点相同10.已知为等差数列，前n 项和为，，公差，则( )A.B. 当戓6时，取得最小值为30C. 数列的前10项和为50D. 当时，与数列共有671项互为相反数11.已知函数的图象过点和，的最小正周期为T ，则( ) A. T 可能取 B.在上至少有3个零点C. 直线可能是曲线的一条对称轴D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则12.已知函数，则下列结论正确的是( )A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为B. 若满足，则C. 若过点可作出曲线的三条切线，则D. 若存在极值点，且，其中，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届山东枣庄市高考第二次模拟测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 2．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．543．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B 3C ．212D 31+ 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（ ） A ．512- B ．32- C ．212-D ．23-6．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．17．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．459．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 10．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()22(4)50f x f x +++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦11．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．215二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．12C ．2 D3.已知123a -=，31log 2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤ 5.已知2()log (41)xf x ax =-+是偶函数，则a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )a b A B +-()sin c b C =-，则A =（ ）A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．188.已知1sin()43πα-=，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．79C ．19-D ．199.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ． 10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．643 C ．163 D ．32311.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=o ，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞UB ．(0,1][8,)+∞UC ．1(0,][4,)2+∞U D ．(0,1][4,)+∞U12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的最大值为（ ）A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r．15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知数列{}n a 的前n 项和2352n n n S +=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，且23SA AD AB ==.（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为SC 的中点，三棱锥E BCD -的体积为89，求四棱锥S ABCD -外接球的表面积. 19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.20.已知抛物线C ：22(01)y px p =<<上的点(,1)P m 到其焦点F 的距离为54. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点.21.已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A . （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，求证：121x x <.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）.（Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2020届高三模拟考试 数学（文科）参考答案一、选择题1-5: ACBDA 6-10: BCBAD 11、12：AD二、填空题13. 2 14. 3 15. 22(2)2x y +-= 16. 37[,]48三、解答题17.（Ⅰ）解：114a S ==. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22353(1)5(1)22n n n n +-+-=-. 又14a =符合2n ≥时n a 的形式，所以{}n a 的通项公式为31n a n =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为121111()()47710n b b b ++⋅⋅⋅+=-+-1111()()32313134n n n n +⋅⋅⋅+-+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证明：由底面ABCD 为矩形，得BC AB ⊥.又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面SAB .所以BC SA ⊥. 同理可得CD SA ⊥.又BC CD C =I ，BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）解：设6SA a =，则2AB a =，3AD a =.13E BCD BCD V S h -∆=⨯⨯111()()322BC CD SA =⨯⨯⨯⨯ 311(23)(3)332a a a a =⨯⨯⨯⨯=.又89E BCD V -=，所以3839a =.解得23a =. 四棱锥S ABCD -的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球，设半径为R .则2R =1473a ==，即73R =. 所以，四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为219649R ππ=.19. 解：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；221[(527.5)(400.1)40S =⨯-⨯⨯甲2(1527.5)(400.2)+-⨯⨯2(2527.5)(400.3)+-⨯⨯ 2(3527.5)(400.2)+-⨯⨯2(4527.5)(400.15)+-⨯⨯2(5527.5)(400.05)]+-⨯⨯178.75=.（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2⨯⨯=人，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6⨯⨯=人，记为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B . 随机选出2人有以下28种可能：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B ，12(,)B B ， 13(,)B B ，14(,)B B ，15(,)B B ，16(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，25(,)B B ， 26(,)B B ，34(,)B B ，35(,)B B ，36(,)B B ，45(,)B B ，46(,)B B ，56(,)B B ，甲、乙两所高中各有1人，有以下12种可能：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B .所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287=. 20.解：（Ⅰ）由题意，得21pm =，即12m p=. 由抛物线的定义，得1()222p pPF m p =--=+. 由题意，15224p p +=.解得12p =，或2p =（舍去）. 所以C 的方程为2y x =.（Ⅱ）证法一：设直线PA 的斜率为k （显然0k ≠），则直线PA 的方程为1(1)y k x -=-，则1y kx k =+-.由21y kx k y x=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得22[2(1)1]k x k k x +--2(1)0k +-=. 设11(,)A x y ，由韦达定理，得212(1)1k x k -⨯=，即212(1)k x k -=.2112(1)11k y kx k k k k -=+-=⋅+-11k=-+.所以22(1)1(,1)k A k k --+. 由题意，直线PB 的斜率为1k. 同理可得221(1)1(,1)11()k B kk--+，即22((1),1)B k k --. 若直线l 的斜率不存在，则222(1)(1)k k k-=-.解得1k =，或1k =-. 当1k =时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1，A ，B 两点重合，与题意不符； 当1k =-时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1-，A ，B 两点重合，与题意不符. 所以，直线l 的斜率必存在.直线l 的方程为2(1)(1)k y k k --=-2[(1)]x k --，即21(1)k y x k =--.所以直线l 过定点(0,1)-. 证法二：由（1），得(1,1)P . 若l 的斜率不存在，则l 与x 轴垂直. 设11(,)A x y ，则11(,)B x y -，211y x =. 则11111111PA PBy y k k x x ---=⋅--211221111(1)(1)y x x x --==--111x =-. （110x -≠，否则，11x =，则(1,1)A ，或(1,1)B ，直线l 过点P ，与题设条件矛盾） 由题意，1111x =-，所以10x =.这时A ，B 两点重合，与题意不符. 所以l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ，显然0k ≠，设l ：y kx t =+， 由直线l 不过点(1,1)P ，所以1k t +≠.由2y x y kx t⎧=⎨=+⎩消去y 并整理得222(21)0k x kt x t +-+=. 由判别式140kt ∆=->，得14kt <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12212ktx x k-+=①，2122t x x k =②， 则12121111PA PBy y k k x x --=⋅--12121111kx t kx t x x +-+-=⋅--2212121212(1)()(1)()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 由题意，2212121212(1)()(1)1()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 故212(1)(1)k x x kt k -+-+212()20x x t t ++-=③将①②代入③式并化简整理得2210t kt k k---=，即210t kt k ---=. 即(1)(1)(1)0t t k t +--+=，即(1)(1)0t t k +--=.又1k t +≠，即10t k --≠，所以10t +=，即1t =-. 所以l ：1y kx =-.显然l 过定点(0,1)-. 证法三：由（1），得(1,1)P .设l ：x ny t =+，由直线l 不过点(1,1)P ，所以1n t +≠.由2y x x ny t⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得20y ny t --=. 由题意，判别式240n t ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y n +=①，12y y t =-② 则12121111PA PB y y k k x x --=⋅--1222121111y y y y --=⋅--12121()1y y y y =+++. 由题意，1212()11y y y y +++=，即1212()0y y y y ++=③ 将①②代入③式得0t n -+=，即t n =. 所以l ：(1)x n y =+.显然l 过定点(0,1)-.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x-=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a a a -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=； 取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a x =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->. 又()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数， 则由零点存在性定理，()f x在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意.综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）由题意，2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±.由（Ⅰ）的结论，得3a =-. 2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>. 由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<.从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =.所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <.22.选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （2）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===， 其中0θ满足0cos θ=0sin θ=由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()10θθ=-=，02sin 2sin()5θθ=-=-. 因此，当点M位于(105-时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解105x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 因此，当点M位于时，点M 到直线l的距离取最小值23.选修4-5：不等式选讲解：（1）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （2）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a a x x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03a x x -+≤时取等号） 13a =+. 综上，当3a x =时，()()f x g x +有最小值13a +. 故由题意得113a +>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞U .。
2020年山东枣庄市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√35．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18 B．21 C．24 D．276．已知向量a→=（5，5），a→+2b→=（﹣3，11），则向量a→在向量b→方向上的投影为（）A．1 B．√22C．−√22D．﹣17．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A ．−π3B ．π3C ．−5π6D ．5π68．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n =22n+1(n =0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641*6700417，不是质数．现设a n ＝log 4（F n ﹣1）（n ＝1，2，…），S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n ＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知双曲线C ：x 2a −y 24a =1(a ＞0)的右焦点为F ，点N 在C 的渐近线上（异于原点），若M 点满足OF →=FM →，且ON →⋅MN →=0，则|MN |＝（ ） A ．2aB ．√5aC ．4aD ．2√5a10．已知曲线y ＝ae x ﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x 轴相切，若tan θ＝2，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．32D ．211．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2AD ＝4，过AA 1作平面α使BD ⊥α，且平面α∩平面A 1B 1C 1D 1＝l ，M ∈l ．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（ ） ①l ∥AC ； ②BM ⊥AC ；③l 和AD 1所成的角为60°； ④线段BM 长度的最小值为√6． A ．1B ．2C ．3D ．412．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x ≤−1，log 2(x +1)，−1＜x ≤4，若函数g （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1恰有5个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A．(0，32)B．(0，32]C．（0，2）D．（0，2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足{0≤x−y≤1，0≤x+y≤1，则z＝2x+y的最大值为．14．已知α是锐角，且sin（α−π6）=13．则sin（α+π3）＝．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，则PA＝，该“阳马”外接球体积为．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：y2=12x交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M 是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，（α为参数），以y=2sinα坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，A∩B＝{0，2），∴a＝2．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z（1﹣i）＝i，得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为（−12，12），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较大小．解：a=213＞1，b=log213＜0，c=log1312=log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于基础试题．4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：12×4×4×√32=34；解得S＝3√3：故选：C．【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+3a 5＝12，则S 7＝（ ） A ．18B ．21C ．24D ．27【分析】由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，化为a 1+3d ＝3＝a 4，利用性质可得：S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4．解：由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，∴a 1+3d ＝3＝a 4， ∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4＝21． 故选：B ．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．已知向量a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），则向量a →在向量b →方向上的投影为（ ） A ．1B ．√22C ．−√22D ．﹣1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算，由a →和a →+2b →的坐标计算出向量b →，然后由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），∴b →=(−4，3)，∴向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√(−4)2+32=−1，故选：D ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+cos2x sin φ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（ ） A ．−π3B ．π3C ．−5π6D ．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解． 解：f （x ）＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， 由题意可得，sin （φ−2π3）＝0， 所以φ−2π3=k π即φ=2π3+k π，k ∈Z ， 结合选项可知，当k ＝﹣1时，φ=−13π．故选：A ．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n =22n+1(n =0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641*6700417，不是质数．现设a n ＝log 4（F n ﹣1）（n ＝1，2，…），S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n ＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n 即可．解：因为F n =22n+1(n =0，1，2，⋯)，所以a n ＝log 4（F n ﹣1）=log 4(22n+1−1)=log 422n=2n ﹣1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n =1(1−2n)1−2=2n ﹣1．所以32（2n﹣1）＝63×2n﹣1，解得n＝6，故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．9．已知双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a【分析】画出图形，利用F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，然后转化求解即可．解：双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的一条渐近线y＝2x的斜率为：2，且b＝2a，F（√5a，0）．由题意可得：F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，则|FH|=√5a1+4=2a，所以|MN|＝4a，故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，数形结合以及计算能力，是中档题．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．2【分析】由题意可知，未转动前曲线与直线y＝2x相切，由此设切点为（x0，y0），求切点处导数，并令其为2，求出x0，即可求出a的值．解：由已知得：曲线y＝ae x﹣1与直线y＝2x相切．设切点为（x0，y0），因为y′＝ae x﹣1，所以ae x0−1=2①，又切点满足：ae x0−1=2x0②，①②两式联立解得：x0＝1，a＝2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和化简运算能力．属于中档题．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，结合题意可得面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，可知①正确；只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，可知②错误；由题意，知∠A1C1B即为l和AD1所成角，由A1B＝BC1≠A1C1，得∠A1C1B≠60°，故③错误；当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，求得BM判断④错误．解：由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，即平面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，则l∥AC，故①正确；由M∈l，即M∈A1C1，只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，故②错误；由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即为l和AD1所成角，∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③错误；由A1B＝BC1=√22+42=2√5，可知当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，且BM=√BB12+B1M2=√42+(√2)2=3√2，∴④错误．故只有①正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x ≤−1，log 2(x +1)，−1＜x ≤4，若函数g （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1恰有5个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0，32)B ．(0，32]C ．（0，2）D ．（0，2]【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解解：如图所示，作出f （x ）的图象，令f （x ）＝t 显然t ＝0不是方程t 2﹣mt ﹣1＝0的解，若t ＝﹣1是方程t 2﹣mt ﹣1＝0的解，则m ＝0，此时t ＝±1，结合图象可知不满足题意，所以g （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1恰有5个零点等价于t 2﹣mt ﹣1＝0一个解在（﹣1，0），一个解在（0，2]，令h （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{h(−1)=m ＞0h(0)=−1＜0h(2)=4−2m −1≥0，解可得，0＜m ≤32．故选：B ．【点评】本题主要考查了由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足{0≤x−y≤1，0≤x+y≤1，则z＝2x+y的最大值为 2 ．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．解：作出约束条件的可行域，如图：直线z＝2x+y经过可行域的A时，z取得最大值，由{x+y=1x−y=1解得A（1，0），所以z的最大值为：2×1+0＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．14．已知α是锐角，且sin（α−π6）=13．则sin（α+π3）＝2√23．【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．解：因为α是锐角，且sin（α−π6）=13．所以−π6＜α−π6＜13π，cos（α−π6）=2√23，则sin（α+π3）＝sin[（α−π6）+12π]＝cos（α−π6）=2√23，故答案为：2√23．【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，则PA＝ 3 ，该“阳马”外接球体积为323π．【分析】以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，由此能求出该“阳马”外接球体积．解：由题意得∠PDA＝60°，则PA=√3AD=3，以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，即2R=√22+(√3)2+32=4，即R＝2，∴该“阳马”外接球体积为V=43πR3=43π×8=32π3．故答案为：3，323π．【点评】本题考查线段长、“阳马”的外接球的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知直线x ﹣my ﹣2＝0与抛物线C ：y 2=12x 交于A ，B 两点．P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的平行线交C 于点Q ，若以AB 为直径的圆经过Q ，则m ＝ ±2 ．【分析】设AB 的坐标，直线与抛物线的方程联立求出两根之和，进而求出AB 的中点P 的坐标，由题意求出Q 的坐标，进而求出弦长|AB |，|PQ |，再由题意可得m 的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x −my −2=0y 2=12x ， 整理可得2y 2﹣my ﹣2＝0，△＝m 2+8＞0，y 1+y 2=m 2，y 1y 2＝﹣1，所以AB 的中点P （m 24+2，m 4），则Q （m 28，m 4），即|PQ |=m 28+2， 又|AB |=√1+m 2|y 1﹣y 2|=√1+m 2√m 24+4， 所以√1+m 2√m 24+4=2（m 28+2）即√1+m 2=√m 24+4，解得m ＝±2， 故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质及以线段为直径的圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）（i）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a，b．（ii）由频率分布直方图能求出评分的众数和评分的平均值，从而得到该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的概率．解：（1）（i）由已知得（0.005+a+0.03）×10＝0.45，解得a＝0.01，又（0.015+b）×10＝0.55，∴b＝0.04．（ii）由频率分布直方图得评分的众数为85，评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15＝80，∴该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的概率为P＝1−3=710．10【点评】本题考查频率、众数、平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出A的值．（2）利用正弦定理的应用和锐角三角形的角的范围的应用求出结果．解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．∴sinB⋅sinAcosA =(2sinC−sinB)⋅sinBcosB，由于sin B≠0，所以sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，则：sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，所以cos A=12，由于0＜A＜π，所以A=π3．（2）根据正弦定理asinA =bsinB，所以b＝2√3sinB．则：cosCb =cos(2π3−B)2√3sinB=−12cosB+√32sinB2√3sinB=4√3tanB+14．由于△ABC为锐角三角形，所以{0＜B ＜π20＜C ＜π2，即{0＜B ＜π20＜2π3−B ＜π2，所以π6＜B ＜π2， 所以tanB ＞√33， 即043tanB14，所以0＜cosC b ＜14， 所以cosC b 的取值范围为（0，14）． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1＝2AC ＝4，AB ＝3，∠CAB ＝90°．M 是CC 1的中点．（1）证明：平面A 1B 1M ⊥平面ABM ；（2）求四棱锥M ﹣ABB 1A 1的侧面积．【分析】（1）由已知求解三角形证明即A 1M ⊥AM ，再证明AB ⊥平面ACC 1A 1，得AB ⊥A 1M ，由直线与平面垂直的判定可得A 1M ⊥平面ABM ，进一步得到平面A 1B 1M ⊥平面ABM ；（2）分别求出四棱锥M ﹣ABB 1A 1的四个侧面三角形的面积，作和得答案．【解答】（1）证明：在矩形ACC 1A 1中，AM =A 1M =√22+22=2√2，AA 1＝4． 则A 1M 2+AM 2=AA 12，即A 1M ⊥AM ，又AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，则AB⊥平面ACC1A1，∵A1M⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1M，又AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM，∵A1M⊂平面A1B1M，∴平面A1B1M⊥平面ABM；（2）解：由（1）知，AB⊥AM，∴S△ABM=S△A1B1M=12×3×2√2=3√2．在△ABC中，BC=√22+32=√13，∴S△B1BM=12×√13×4=2√13，又S△A1AM=12×4×2=4．∴四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积为2×3√2+4+2√13=6√2+4+2√13．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体侧面积的求法，是中档题．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）由题意可得a 的值及b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出b ，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F 2的坐标，由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形PQMN 为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形OPQ 的面积，由均值不等式可得面积的最大值．解：（1）由题意可得2a ＝2√2，且b ＝c ，又c 2＝a 2﹣b 2，所以可得a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）由（1）可得右焦点F 2（1，0），再由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程可得{x =my +1x 2+2y 2=2整理可得（2+m 2）y 2+2my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2， 由题意可得四边形MNPQ 为平行四边形，所以S ＝4S△OPQ ＝4×12×|OF 2|×|y 1﹣y 2|＝2×1×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√4m 2(2+m 2)2−4⋅−12+m 2=4√2√1+m 2(1+1+m 2)2=4√2√1(1+m 2)+11+m 2+2≤4√2√12+2=2√2， 当且仅当1+m 2=11+m 2即m ＝0时取等号， 所以四边形MNPQ 面积的最大值为2√2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及四边形的面积公式及均值不等式的应用，属于中档题．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2【分析】（1）先求f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，再求导g'（x），原问题可转化为g'（x）≤0在[0，π2]上恒成立，即a≥3cos x恒成立，于是求出y＝3cos x 在[0，π2]上的最大值即可；（2）令h(x)=f(x)+1x3+3，原问题转化为证明h（x）≥0，求出h'（x），由于a2≤3，所以h′(x)≥3sinx−3x+3x2，再令p(x)=3sinx−3x+32x2，再求导p'（x），2又令m（x）＝p'（x），又求导m'（x），并得出m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，因此m （x）在[0，π2]上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明h（x）≥h（0）＝0即可．解：（1）由题可知，f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，则g'（x）＝3cos x﹣a，∵f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，∴当0≤x≤π2时，3cos x﹣a≤0，即a≥3cos x恒成立，而当0≤x≤π2时，3cos x∈[0，3]，∴a≥3．（2）证明：令h(x)=f(x)+1x3+3，则h′(x)=f′(x)+32x2=3sinx−ax+32x2，2∵a≤3，∴h′(x)≥3sinx−3x+3x2，2令p(x)=3sinx−3x+3x2，则p'（x）＝3cos x﹣3+3x，2令m（x）＝3cos x﹣3+3x，则m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，∴m（x）在[0，π2]上单调递增，即m（x）≥m（0）＝0，∴p'（x）≥0，∴p（x）在[0，π2]上单调递增，即p（x）≥p（0）＝0，则h'（x）≥0，∴h（x）在[0，π2]上单调递增，即h（x）≥h（0）＝0，也就是f(x)+1x3+3≥0．2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、不等式恒成立问题，解题的关键是多次构造函数，并求导，判断新函数的性质，然后再逐层往回递推，考查学生的转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．一、选择题（α为参数），以22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，y=2sinα坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C1的直角坐标方程，再由x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得极坐标方程；联立C1与C2的极坐标方程，即可得到交点坐标；（2）分别联立曲线C 3和C 1，C 3和C 2的极坐标方程，分别得到OM 和ON 的长度，再求值即可．解：（1）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）消去参数可得（x ﹣2）2+y 2＝4，即x 2+y 2﹣4x ＝0，又{x =ρcosθy =ρsinθ，则ρ2﹣4ρcos θ＝0， 即C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．由{ρ=4cosθρcosθ=1，可得4cos 2θ＝1，又−π2＜θ＜π2，所以θ＝±π3，ρ＝2． 即C 1与C 2交点的极坐标为（2，π3），（2，−π3）． （2）由{θ=βρ=4cosθ，可得|OM |＝4cos β， 由{θ=βρcosθ=1，可得|ON |=1cosβ， 所以|OM |•|ON |＝4．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|﹣2|x +1|．（1）解不等式f （x ）≤0；（2）记函数f （x ）的最大值为m ，且a +b +c ＝m ，求证：（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥12．【分析】（1）由题意可得|2x ﹣1|≤2|x +1|，两边平方，化简整理，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得m ＝3，即a +b +c ＝3，再由三个数的完全平方公式，结合基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：f（x）≤0即为|2x﹣1|﹣2|x+1|≤0，即|2x﹣1|≤2|x+1|，，即为（2x﹣1）2≤4（x+1）2，化为12x≥﹣3，可得x≥−14}；则原不等式的解集为{x|x≥−14（2）证明：由f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当x≤﹣1时，上式取得等号，则m＝3，即a+b+c＝3，又（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）＝3（a2+b2+c2）（当且仅当a＝b＝c＝1时取得等号），（a+b+c）2＝3，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝a2+b2+c2+2a+2b+2c+3所以a2+b2+c2≥13≥3+2×3+3＝12，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用：证明不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
山东省枣庄市薛城区枣庄八中东校区2024年高三下学期第二次调研（二模）数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ．D ．2．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283 C ．5 D ．43．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）A ．23B ．25C ．28D ．29 5．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．53C ．52 D6．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月7．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ） A ．∅ B ．1{|}2x x <- C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<< 8．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >> 9．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．310．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近3C 的实轴的长为A ．1B ．2C ．4D ．855 12．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[1,)+∞ D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
绝密★启用前2020年山东省枣庄市数学二模试卷与详细解析第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{}|2,x B y y x ==-∈R ，则AB =（ ） A ．(1,0)- B ．(1,)-+∞C ．RD ．(,0)-∞2．已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ） A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-3．“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）A ．110B ．421C ．415D ．155．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在11,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．512π是()f x 的一个极值点 6．已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b =（ ）AB ．2C ．D ．4 7．函数6cos ()2sin x f x x x=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知点(,)P m n 是函数y =图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ）A ．25B ．21C ．20D ．4二、多选题 9．2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B ．第一季度居民人均收入为4900元C ．第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D ．第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元10．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11．已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）A ．若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =- B ．12mn >C ．4m n +D ．||AB 的最小值为32 12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题 13．6x⎛- ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答）14．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =，点N 满足12CN DA =，则AM MN ⋅=_________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，0y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=︒（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．16．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC 是边长为1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）．四、解答题17．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是33S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________． （1）求n a ；（2）设34n n n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B -=．（1）求B ；（2）若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．19．如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，12AM MA =，12CN NC =．（1）求证：AN ∥平面11MB D ；（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=︒，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，B ，且当1k =时，||||5AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）直线2l 与C 相切于点P ，且2l ∥1l ，若PAB △的面积为4，求k ．21．某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861x x --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)N μσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；。
山东省枣庄市高三数学第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018高一上·雨花期中) 集合是直线，是圆，则（）A . 直线B . 圆C . 直线与圆的交点D .2. （2分）若复数（为虚数单位），则的值是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·齐齐哈尔模拟) 的展开式中的系数为（）A . 15B .C . 5D .4. （2分）(2020·武汉模拟) 圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·高青开学考) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A . 4B . 11C . 12D . 146. （2分）已知定义域为R的函数f（x）满足：（1）当x∈（0，1]时，f（x）=x2；（2）f（x+1）=2f（x），则的最大值为（）A .B .C . 1D . 27. （2分） (2018高二下·陆川期末) 已知随机变量，且，，则与的值分别为（）A . 16与0.8B . 20与0.4C . 12与0.6D . 15与0.88. （2分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，若∀x∈R，f′（x）＞﹣2，则不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）的解集是（）A . （0，1）B . （1，+∞）C . （，+∞）D . （，1）9. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 是边长为2的等边三角形，是边上的动点，于，则的最小值是（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)10. （1分） (2017高二下·汪清期末) 已知双曲线离心率，虚半轴长为3，则双曲线方程为________．11. （1分） (2017高一下·张家口期末) 已知等比数列{an}的首项为32，公比为﹣，则等比数列{an}的前5项和为________．12. （2分） (2018高二上·鄞州期中) 一个个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．13. （1分）已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为________．14. （1分） (2016高二下·东莞期末) 用1，2，3，4这四个数字能组成________个没有重复数字的四位数．15. （1分） (2017高一上·上海期中) 不等式≥0的解集为________（用区间表示）16. （1分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，B=60°，AC= ，则AB+2BC的最大值为________．三、解答题 (共6题；共62分)17. （2分）已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则18. （20分）弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间内离开平衡位置(静止时的位置)的距离由下面的函数关系式表示： .（1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；（3）经过多长时间小球往返振动一次？（4）每秒内小球能往返振动多少次？19. （10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若D为AB中点，∠CA1D=30°且AB=4，求三棱锥F﹣AEC的体积．20. （10分） (2016高三上·焦作期中) 已知函数f（x）=1﹣ax+lnx，（x＞0），函数g（x）满足g（x）=x ﹣1，（x∈R）．（1）若函数f（x）在x=1时存在极值，求a的值；（2）在（1）的条件下，当x＞1时，blnx＜，求实数b的取值范围．21. （5分）已知函数f（x）=x+sinx．（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在上恒成立．22. （15分） (2016高一下·湖北期中) 已知数列{an}为等差数列，a1=2，{an}的前n项和为Sn ，数列{bn}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式sin ＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{cn}，满足c39=a1007，且存在正整数k，使c1，c39，ck成等比数列，若数列{cn}的公差为d，求d的所有可能取值之和．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共7题；共8分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共62分)17-1、18-1、18-2、18-3、18-4、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
山东省枣庄市 高三数学4月模拟考试试题 文（枣庄市二模）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部份，共4页.第I 卷1~3页，第II 卷3~5页.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分） 注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上.3.考试结束后，监考人员将答题卡和第II 卷的答题纸一并收回.参考公式：球的表面积24,S R R π=是球的半径.(),,.ax b ax beaea b ++'=这里为实常数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}=012=2,,A B x x a a A A B =∈⋂，，，则中元素的个数为B.12.已知i 是虚数单位，若纯虚数z 知足()242i z ai -=+，则实数a 的值为 A.2-B.2C.4-3.“*212,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{}n a 为等比数列”的A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()2log ,0143,0,x x x f x f f x >⎧⎛⎫⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪≤⎝⎭⎝⎭⎩则A.19B.9C.19-D.9-5.已知实数,x y 知足10,0,20,x y x y x y x +-≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则的最大值为A.12B.0C.1-D.12-6.右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 B.277.一名蓝球运动员在5场比赛中的得分为：14，16，21，24，25，则这组数据的平均数与标准不同离为，18，8 ， ，18.8，18.88.若双曲线()22221x y a b a b -=>0,>0的一个核心到一条渐近线的距离等于焦距的14，则此双曲线的渐近线方程为 A.15y x =±B.15y x =±C.3y x =±D.3y x =±9.如图所示是一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 π π π π 10.已知A,B是ABC ∆的两个内角，向量62cos ,sin ,,222A B A B a a +-⎛⎫== ⎪⎝⎭且则tan tan A B ⋅=B.13C.3-D.13-11.函数1cos 2y x x =-的大致图象为12.已知函数()()()()()623,1f x x R f x f x f y f x ∈++==-对任意都有的图象关于点（1，0）对称，则()2013f =B.5-第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：第II 卷所有题目的答案须用0.5mm 黑色签字笔答在“答题纸”指定的位置上。
山东省枣庄市2021届高三数学下学期4月模拟考试（二模）试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)1．已知集合A ＝{}ln x y x =，B ＝{}2sin y Z y x ∈=，则A B ＝A ．(0，2]B ．［0,2］C ．{1，2}D ．｛0,1,2}2．命题“n N ∀∈,21nQ-∈”的否定为A ．n N ∀∈，21n Q -∉ B ．n N ∀∉，21nQ -∈ C ．n N ∃∈，21n Q-∉ D ．n N ∃∈，21nQ -∈3．已知函数ln 2e , 0()(3), 0x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则(2021)f ＝A ．2eB ．2eC ．22eD ．22e4．已知点(1,1)在抛物线C ：22(0)ypx p =>上，则C 的焦点到其准线的距离为A ．14B ．12 C ．1 D ．25．大数学家欧拉发现了一个公式：i ecos isin xx x=+,i 是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥"．根据此公式，2022(cos isin )44ππ+=（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算)A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i 6．若623601236(1)(1)(1)(1)xa a x a x a x a x =+++++++⋅⋅⋅++，则3a ＝A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣157．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层）,外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标,根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x ～N(0.9372，0。
山东省枣庄市2021届高三第二学期4月模拟考试（二模） 数学【含答案】一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}ln x y x =，B ＝{}2sin y Z y x ∈=，则A B ＝A ．(0，2]B ．[0，2]C ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．命题“n N ∀∈，21n Q -∈”的否定为A ．n N ∀∈，21n Q -∉B ．n N ∀∉，21n Q -∈C ．n N ∃∈，21n Q -∉D ．n N ∃∈，21n Q -∈3．已知函数ln 2e , 0()(3), 0x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则(2021)f ＝A ．2eB ．2eC ．22eD ．22e4．已知点(1，1)在抛物线C ：22(0)y px p =>上，则C 的焦点到其准线的距离为A ．14B ．12C ．1D ．25．大数学家欧拉发现了一个公式：i e cos isin x x x =+，i 是虚数单位，e 为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，2022(cosisin )44ππ+= （注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算） A ．1 B ．﹣1 C ．i D ．﹣i 6．若623601236(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x =+++++++⋅⋅⋅++，则3a ＝A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣157．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x ~N(0.9372，0.01392)．若x ~N(μ，σ2)(σ＞0)，则P(μ﹣2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ﹣3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：甲：P(x ≤0.9)＜0.5；乙：P(x ＜0.4)＞P(x ＞1.5)；丙：P(x ＞0.9789)＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，则P(X ≥1)≈0.6．其中假命题是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知椭圆C 与双曲线221x y -=有相同的左焦点F 1、右焦点F 2，点P 是两曲线的一个交点，且12PF PF 0⋅=．过F 2作倾斜角为45的直线交C 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），且2AB AF λ=，则λ的值为A ．33+B ．32+C ．23+D ．22+二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知0a >，0b >，21a b +=，则A ．54a b +<B ．1a b ->-C ．12a b ⋅≤ D ．3a ≥-10．已知函数()sin 3sin()2f x x x π=+-，则A ．()f x 在[2π，π]上的最小值是1B ．()f x 的最小正周期是2πC ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点11．列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci ，1170—1250年)是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用()()F n n N *∈表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}()F n 满足：(1)(2)1F F ==，(2)(1)()F n F n F n +=++．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩Aidan Dwyer 观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo 设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子．下列选项正确的是 A ．2[(8)](7)(9)1F F F =+B ．(1)(2)(6)1(8)F F F F ++⋅⋅⋅++=C ．(2)(4)(2)(21)2F F F n F n ++⋅⋅⋅+=+-D ．222[(1)][(2)][()]()(1)F F F n F n F n ++⋅⋅⋅+=⋅+12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是△B 1CD 1内部（不包括边界）的动点．若BD ⊥AP ，则线段AP 长度的 可能取值为 A ．23B ．65C ．6 D ．5 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为 ．14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD 中，AF 3AE =，设AF AB AD x y =+，则x y +的值为 ．第13题 第14题15．写出一个图象关于直线2x =对称且在[0，2]上单调递增的偶函数()f x ＝ ．16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2 000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2 000元但不超过5 000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5 000元，不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠，超过5 000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3 150元和4 850元； 方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省 元．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，121a a ==，且212n n n a a a ++=+．记1n n n b a a +=+，求证： （1）{}n b 是等比数列； （2）{}n b 的前n 项和n T 满足311223112n n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅． 18．（本小题满分12分）若()sin()f x x ωϕ=+(0ω>，02πϕ<<)的部分图象如图所示，1(0)2f =，5()012f π=． （1）求()f x 的解析式；（2）在锐角△ABC 中，若A ＞B ，A B 3()2125f π--=，求A B cos2-，并证明25sin A >．19．（本小题满分12分）如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点F 在棱CC 1上，过B ，D 1，F 三点的正方体的截面α与直线AA 1交于点E ．（1）找到点E 的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF ＝a ，求α将正方体分割所成的上半部分的体积1V 与下半部分的体积2V 之比．20．（本小题满分12分）天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A ，B ，C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A ，B ，C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题． （1）求甲获得的奖金X 的分布列及均值；（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）21．(本题满分12分)已知动点M 与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点P(3，p )(p ≠0)分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求△NEF 的面积S 的取值范围．22．(本题满分12分)已知函数2()cos 1e xf x a x π-=+-，且()02f π'=．（1）求实数a 的值，并判断()f x 在(0，2π)上的单调性；（2）对确定的k N *∈，求()f x 在[22k ππ+，2k ππ+]上的零点个数．答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}ln x y x =，B ＝{}2sin y Z y x ∈=，则A B ＝A ．(0，2]B ．[0，2]C ．{1，2}D ．{0，1，2} 答案：C解析：集合A ＝{}ln x y x =＝(0，+∞)，B ＝{}2sin y Z y x ∈=＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A B ＝{1，2}，故选C ．2．命题“n N ∀∈，21n Q -∈”的否定为A ．n N ∀∈，21n Q -∉B ．n N ∀∉，21n Q -∈C ．n N ∃∈，21n Q -∉D ．n N ∃∈，21n Q -∈答案：C解析：全称量词的否定，首先全称量词改为存在量词，其次否定结论，故选C ．3．已知函数ln 2e, 0()(3), 0x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则(2021)f ＝A ．2eB ．2eC ．22eD ．22e答案：A解析：1ln 22(2021)(1)e ef f -+=-==，故选A ． 4．已知点(1，1)在抛物线C ：22(0)y px p =>上，则C 的焦点到其准线的距离为A ．14B ．12C ．1D ．2答案：B解析：因为点(1，1)在抛物线C 上，所以1＝2p ，p ＝12，故C 的焦点到其准线的距离为12，故选B ．5．大数学家欧拉发现了一个公式：i e cos isin x x x =+，i 是虚数单位，e 为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，2022(cos isin )44ππ+= （注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算） A ．1 B ．﹣1 C ．i D ．﹣i 答案：D解析：2022210111011322(cosisin)[(]i i i 44ππ+=+===-，故选D ． 6．若623601236(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x =+++++++⋅⋅⋅++，则3a ＝ A ．20 B ．﹣20 C ．15 D ．﹣15答案：B解析：623601236[(1)1](1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x +-=+++++++⋅⋅⋅++，3336(1)20a C =-=-，故选B ． 7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x ~N(0.9372，0.01392)．若x ~N(μ，σ2)(σ＞0)，则P(μ﹣2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ﹣3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：甲：P(x ≤0.9)＜0.5；乙：P(x ＜0.4)＞P(x ＞1.5)；丙：P(x ＞0.9789)＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，则P(X ≥1)≈0.6．其中假命题是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案：D解析：对于丁，P(X ≥1)＝00505010.022750.9772510.31640.7C -=-≈，故假命题是丁，选D ．8．已知椭圆C 与双曲线221x y -=有相同的左焦点F 1、右焦点F 2，点P 是两曲线的一个交点，且12PF PF 0⋅=．过F 2作倾斜角为45的直线交C 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），且2AB AF λ=，则λ的值为A ．33+B ．32+C ．23+D ．22+ 答案：A解析：首先求出椭圆C 的离心率是e ＝23，因为2AB AF λ=，所以21AF AB 1λ=-，λ＞2，所以212113()11tan 4511λλ--=+︒+-，解得33λ=+，故选A ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知0a >，0b >，21a b +=，则A ．54a b +<B ．1a b ->-C ．12a b ⋅≤ D ．3a ≥-答案：BCD解析：首先可得0＜b ＜1，当34a =，12b =时，54a b +=，故A 错误；经判断，其他选项均正确，故选BCD ．10．已知函数()sin 3sin()2f x x x π=+-，则A ．()f x 在[2π，π]上的最小值是 1B ．()f x 的最小正周期是2πC ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点答案：ACD解析：()sin 3cos f x x x =+，()sin 3cos ()f x x x f x π+=+=，而()()2f x f x π+≠，故()f x 的最小正周期是π，B 错误；当x ∈[2π，π]时，()sin 3cos 2sin()3f x x x x π=-=-，此时3x π-∈[6π，23π]，所以2sin()3x π-∈[1，2]，故A 正确； 2sin(), 032()2sin(), 32x x f x x x πππππ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，作出()f x 的图像，再作出直线2y x π=的图像，可以判断出C 、D 都正确，故选ACD ．11．列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci ，1170—1250年)是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用()()F n n N *∈表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}()F n 满足：(1)(2)1F F ==，(2)(1)()F n F n F n +=++．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩Aidan Dwyer 观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo 设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子．下列选项正确的是 A ．2[(8)](7)(9)1F F F =+B ．(1)(2)(6)1(8)F F F F ++⋅⋅⋅++=C ．(2)(4)(2)(21)2F F F n F n ++⋅⋅⋅+=+-D ．222[(1)][(2)][()]()(1)F F F n F n F n ++⋅⋅⋅+=⋅+答案：BD解析：选项A ，22[(8)]21F =，(7)(9)113341F F +=⨯+，显然2[(8)](7)(9)1F F F ≠+，A 错误；选项C ，当n ＝3时，(2)(4)(6)12F F F ++=，(7)213211F -=-=，故(2)F +(4)(6)(7)2F F F +≠-，C 错误．故选BD ．12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是△B 1CD 1内部（不包括边界）的动点．若BD ⊥AP ，则线段AP 长度的 可能取值为 A ．23B ．65C ．6 D ．5 答案：ABC解析：根据BD ⊥平面ACC 1A 1，设O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点，则平面ACC 1A 1平面B 1CD 1＝O 1C ，故点P 在线段O1C上运动，求得O1A＝O1C＝32，AC＝2，点A到O1C的距离为233，故233≤AP＜2，故选ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为．答案：20解析：2000×50%×2%＝20（人）14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，AF3AE=，设AF AB ADx y=+，则x y+的值为．答案：65解析：连接BD交AF于点M，令BF＝1，则AF＝3，tan∠FBM＝tan(∠ABF﹣45°)＝12，所以FM＝12，AM＝52，根据等和线知识可得AF365AM52x y+===．15．写出一个图象关于直线2x=对称且在[0，2]上单调递增的偶函数()f x＝．答案：答案不唯一，开放性试题，符合题意的均给分解析：cos2xπ-；sin4xπ；4x k-，x∈[4k﹣2，4k＋2]，k∈Z；2(4)x k-，x∈[4k﹣2，4k＋2]，k∈Z等（符合题意的均给分，注意tan4xπ不正确）16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2 000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2 000元但不超过5 000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5 000元，不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠，超过5 000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3 150元和4 850元； 方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省 元． 答案：700解析：3150÷0.9＝3500，(4850﹣4500)÷0.7＋5000＝5500，3500＋5500＝9000， 4500＋4000×0.7＝7300，3150＋4850﹣7300＝700．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，121a a ==，且212n n n a a a ++=+．记1n n n b a a +=+，求证： （1）{}n b 是等比数列； （2）{}n b 的前n 项和n T 满足311223112n n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅． 解：（1）证明：由，得，又，所以{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）知，，于是，因为，所以．18．（本小题满分12分）若()sin()f x x ωϕ=+(0ω>，02πϕ<<)的部分图象如图所示，1(0)2f =，5()012f π=．（1）求()f x的解析式；（2）在锐角△ABC中，若A＞B，A B3()2125fπ--=，求A Bcos2-，并证明25sin A>．解：（1）由，得，又，故，由，得，所以，即，由，结合函数图象可知，所以，所以有，即，又，所以，从而，因此，；（2）由，得，又，故，于是，又，所以，又在上单调递增，，所以．19．（本小题满分12分）如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点F 在棱CC 1上，过B ，D 1，F 三点的正方体的截面α与直线AA 1交于点E ．（1）找到点E 的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；（2）已知CF ＝a ，求α将正方体分割所成的上半部分的体积1V 与下半部分的体积2V 之比．解：（1）在正方形中，过F 作FG ∥DC ，且交棱于点G ， 连接AG ，在正方形内过作，且交棱于点E ，连接，则四边形就是要作的截面，理由：由题意，平面，，平面平面，应有，同理，，所以四边形应是平行四边形， 由作图过程，又所以，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以AG ∥BF ，AG ＝BF ， 由作图过程，，又EA ∥，所以四边形是平行四边形，所以又，所以，且，所以四边形是平行四边形，四边形就是要作的截面；方法不唯一，其他方法正确的一律给分，（2）由题意，，由（1）的证明过程，可得，连接，则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥与四棱锥的组合体，该正方体的体积所以20．（本小题满分12分）天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）解：（1）分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立，由题意，X的可能取值为0，1000，3000，6 000P(X＝0)＝P()＝0.2；P(X＝1000)＝P(A)＝0.8×0.4＝0.32P(X＝3000)＝＝0.8×0.6×0.6＝0.288P(X＝6000)＝P(ABC)＝0.8×0.6×0.4＝0.192所以甲获得的奖金X的分布列为：E(X)＝0×0.2＋1000×0.32＋3000×0.288＋6000×0.192＝2336；（2）改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同，决策的原则是选择期望值E(X)大的做题顺序，这称为期望值原则，做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难．猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大．21．(本题满分12分)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为12，动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x=上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：346x y+=分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．解：（1）设，由，得，化简得，即，故C是以(﹣1，0)为圆心，半径为2的圆，（2）设，又，则DP的中点为，以线段DP为直径的圆的方程为，整理得由题意，Q、R在以DP为直径的圆上，又Q、R在C：上，由，得，所以，切点弦QR所在直线的方程为可见QR恒过坐标原点O(0，0)，由消去x并整理得设，则，点N 纵坐标，因为，显然，所以点N 与点D(﹣1，0)，O(0，0)均不重合，因为N 为弦QR 的中点，且D(﹣1，0)为圆C 的圆心， 由圆的性质，可得DN ⊥QR ，即DN ⊥ON ， 所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为G(12-，0)，半径r ＝12， 因为直线分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以，因此，圆心到直线的距离，设△NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线的距离h 的最小值为；点N 到直线的距离h 的最大值为．S 的最小值，最大值．因此△NEF 的面积S 的取值范围是．22．(本题满分12分)已知函数2()cos 1e xf x a x π-=+-，且()02f π'=．（1）求实数a 的值，并判断()f x 在(0，2π)上的单调性；（2）对确定的k N *∈，求()f x 在[22k ππ+，2k ππ+]上的零点个数．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，所以，由题意，，即于是，当时，所以()f x 在(0，2)上单调递增；（2）因为，所以与在上有相同的零点，当时，又，所以，所以，当时，单调递减，又由零点存在性定理及的单调性，知在上有且仅有一个零点，所以()f x 在上恰有一个零点．。
