2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教材分析㈠地位与作用向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用．向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念．经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的．本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力．㈡学情分析1．知识储备：学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中，已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识储备．2．能力储备：学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知储备．㈢教学目标1．知识与技能（1）通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；（2）学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；（3）理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，并会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法（1）培养用联系的观点，类比的方法研究向量；（2）获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维．3．情感态度与价值观（1）使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；（2）让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐．㈣教学重难点1．教学重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念．2．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．二、教法学法分析㈠教法分析根据本节课的特点及课改要求，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象7具体7抽象7再具体的反复过程，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移．㈡学法分析学生主动参与,三、教学过程㈠课前1分钟㈡情境创设1南辕北辙一一战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”结果离目的地越来越远，原因方向错了；2.如图1,在同一时刻，老.鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？结果无法抓到老鼠，原因方向错了 .思考：上述情景中，描绘了物理学中的哪些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？这些量的共同特征是什么？㈢形成概念观察：如下图中的三个量有什么区别?自主探究，合作交流的学习方式.l.tan 300'= ,2.ta n—：=___,3.tan 90"= ,4.tan 兀=姚明的身高h=2.26 m1.向量的物理背景与概念：力既有大小，又有方向.重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到到的浮力就越大；被拉长或压缩的弹簧的弹力也有方向和大小.在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量（年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量.2.向量的表示方法：①几何表示法：向量常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. H （终点）②字母表示法：以A I为起点,B为终点的有向线段记为AB，线段AB的长度记作|AB|（读为模）；也可a,b,ill拍球的力F=20 N摩托车的速度v=80 km/h.只有大小、没有方向的量川A（起点）C4 D7.练习：如图4,小船由A 地向西北方向航行15海里到达B 地，小船的位移如何表示? （用1cm 表示5海里）数量与向量有何区别？数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的. 说明：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点 可以取任意位置.所以数学中的向量也叫自由向量. 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向； 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向. 3.两个特殊的向量： j① 零向量一一长度为零的向量，记作0，零向量模为0，方向任意；② 单位向量一一长度等于1个单位长度的向量，单位向量模为1,方向不一定相同.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？ 4. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定：零向量与任一向量平行.思考：两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别?5共线向量：a// b//c ，称 a 、任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行 向量又称共线向量.思考：两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否 一样？ 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量. 向量a 与b 相等，记作：a = b . 注意：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.思考： 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 向量a 与b 相反，记作：a = - b . ㈣拓展应用,_. _,T T T例2 .如图，设0是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相4 4记作：a//be 与f 是平行向量吗?b 、c 为共线向量.-(-a) = ? -A B等的向量. .思考：①与向量 O A 长度相等的向量有多少个？ ② 是否有与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ ③ 与向量OA 共线的向量有哪些？ 例3.在图中的3x4方格纸中有一个向量 AB 分别以图中的格点为起点和终点作向量，其 中与AB相等的向量有多少个？与 AB 长度相等的共线向量有多少个？ ( AB 除外) (1) 共有7个向量与与AB 相等； (2) 共有15个向量与与AB 相等.例4 .下列命题正确的是( IIIIa 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线; IIII向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量; A. B. C. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; D. 有相同起点的两个非零向量不平行. ㈤ 1. A. B. 课堂精练 下列说法正确的是(C )共线的向量，若起点不同，则终点一定不同; II若a 与b 都是单位向量，则a = b ； C. 设0是正心ABC 的中心，则向量 AO 、BO 、CO 是模相等的向量; D. 2. (2) 向量AB 与CD 是共线向量，则 A B 、C 、D 四点必在一直线上. 判断下列说法是否正确： (1) (3) 一一 4 4若 a =b ，则 |a|=|b|;■I 4 -- 若 a// b ，贝y a = b ； 斗 T 4 4一一若 a =b ，b =c ，贝U a =c ； 4 4 4 4 4 4若 a//b,b//c ，贝U a//c . 0变题：若a = ]b ，则a = b ;变题：若a = b ，则 a 〃b ； (4)3•下列结论中正确的有 (1) (2) (3) (4)个 若两个向量相等，则它们的起点和终点分另憶合; 模相等的两个平行向量相等； 大小相等，方向不同的向量互为相反向量； 零向量没有方向； I I若a 的模比b 的模大，则a Ab .课堂感悟1.描述一个向量有两个指标 ----- 模、方向；2 •平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的 一对向量，与长度无关；共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关； 向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性. 课后作业书P77-78习题2.1 A 组，B 组2 （做书上）; 预习2.2.1 ; 课时训练 课后反思3. 4. ㈦ 1. 2. 3. ㈧。
