二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. A(起点) B
（终点）
a 5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
1
平面向量的概念及线性运算
知识点：
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λaμa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
2
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
选择题：
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③ C．①③ D．①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )
平面向量及应用
温州八中 林胜杰
向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。
【考点梳理】
一、考试内容
1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4．平移及平移公式。
二、考试要求
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2．掌握向量的加法与减法。
3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点精析
1．平面向量知识结构
2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
（3）表示法
①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。
②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
§2.1 平面向量的实际背景与基本概念
学习目标：⒈能说出向量的物理意义，理解向量的概念．
⒉掌握向量的几何表示和字母表示，明确向量的长度（模）、零向量、单位向量的几何意义．
⒊掌握平行向量、相等向量和共线向量的定义，并能够根据图形进行判定．
教学重点：向量的基本概念．
教学难点：共线向量的概念．
教学方法：讨论式．
教具准备：《几何画板》演示：向量的相等．
教学过程：
（Ⅰ）课题引入：
师：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.
还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、速度等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量（在物理学中称之为矢量）．
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.
而这一节课，我们将学习向量的有关概念．
（Ⅱ）讲授新课：
⒈向量
师：物理中所学习的位移、速度、力等有什么共同的特征呢？
生：它们都是一些既有大小、又有方向的量．
师：数学中，我们把这种既有大小又有方向的量叫做向量．那些只有大小没有方向的量，称为数量．
⒉向量的表示
师：在学习任意角三角函数时，我们曾经用有向线段表示了三角函数，你还记得怎样的线段叫做有向线段吗？怎样表示有向线段呢？
生：带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，起点写在终点的前面．
师：已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||AB．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了．
⑴向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作||AB．
