全等三角形和轴对称提高练习

2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷第十三章轴对称（能力提升）时间：100分钟总分：120分一、选择题（每题3分，共24分）1．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（）A．7 B．8 C．11 D．14【解析】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，答：△AED的周长为7．故选：A．【点睛】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、理解对应关系是解题的关键．2．如图，将一张矩形纸片折叠，若128∠=︒，则2∠的度数是（）A．51°B．56°C．61°D．76°【解析】解：如图由平行可知∠3=∠1=28°，由折叠可知∠4=∠2．∵∠3+∠4+∠2=180°，∴18032762︒-∠∠=︒＝．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．A．100°B．40°C．40°或100°D．40°或70°【解析】当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：180240︒︒-⨯=100°；综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想．4．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD ＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°【解析】解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．5．如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．6．如图，已知ABC，OA OB OC==，则点O是ABC（）A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【解析】解：∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∵OB=OC，∴点O 在线段BC 的垂直平分线上，∴点O 为△ABC 的三条边的垂直平分线的交点， 故选：A ． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．7．如图，在△ABC 中，ED BC ∥，∠ABC 和∠ACB 的角平分线分别交ED 于点F 、G ，若FG ＝2，ED ＝6，则DB +EC 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】解：∵ED BC ∥，∴∠DFB =∠FBC ，∠EGC =∠GCB ，∵FB 是∠ABC 的平分线，CG 是∠ACB 的平分线， ∴∠DBF =∠FBC ，∠ECG =∠GCB ， ∴∠DFB =∠DBF ，∠ECG =∠EGC ， ∴BD =DF ，CE =GE ， ∵FG =2，ED =6，∴DB +EC =DF +GE =ED -FG =6-2=4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．8．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……；这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．35D ．100【解析】解：由题意可知：AO = A 1A ，A 1A = A 2A 1, …； 则∠AOA 1=∠OA 1A ，∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…； ∵∠BOC =9°，∴∠A 1AB =2∠BOC = 18°，同理可得∠A2A1C= 27°，∠A3A2B= 36°，∠A4A3C= 45°，∠A5A4B= 54°，∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，∴最多能画9条线段；故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．若一个等腰三角形的周长是20，一边长是4，则另一边长是______．【解析】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，则有x+4×2=20，解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以组成三角形；若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，则有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以组成三角形；∴三角形的另一边的长分别为8，故答案为：8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．10．如图，在△ABC中，AB AC∠=︒，点D在BC边上，连接AD．若△ABD为直角BAC=，120∠的度数是____．三角形，则ADC【解析】∵在△ABC中，AB= AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，如图1，当∠BAD=90°时，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°-90°=30°，∵∠C =30°，∴∠ADC =180°−(∠CAD +∠C )=120°，如图2，当∠ADB =90°时，则∠ADC =90°，综上所述，∠ADC 的度数是120° 或90° ， 故答案为120°或90°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．11．如图，在等边△ABC 内，AD ＝BE ，BD ＝CE ，点D 在BE 上，若∠CBE ＝15°，则∠CAD 的度数为__________．【解析】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB =BC ，60BAC ∠=︒，∵在△ABD 和△BCE 中，AB BC AD BE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD BCE ∆∆≌，∴∠BAD =∠CBE ＝15°，∴601545CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明ABD BCE ∆∆≌，是解题的关键．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =140°，点D 在BC 上，△ABD 和△AFD 关于直线AD 对称，∠FAC 的平分线交BC 于点G ，连接FG 当∠BAD =________时，△DFG 为等腰三角形．【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=140°，∴∠B=∠C=20°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，AF ACFAG CAGAG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=40°．∵∠ADG=20°+θ，∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，∴θ=50°；②当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=40°，∴∠FDG=∠FGD=70°．∴20°+70°+20°+2θ=180°，∴θ=35°；③当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=40°，∴∠GDF=100°，∴20°+100°+20°+2θ=180°，∴θ=20°．∴当θ=20°，35°或50°时，△DFG为等腰三角形．故答案为：20°或35°或50°．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．13．若正多边形的一个外角是72︒，则这个多边形对称轴的条数是________． 【解析】解：∵正多边形的一个外角是72︒， ∴正多边形的边数为36072︒︒＝5， ∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5条． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 、F 分别是边BC 、AB 、AC 上的点，EDF C ∠=∠，且DE DF =，8BE =，5CF =，则BC 边的长是______．【解析】解：∵AB AC =， ∴∠B =∠C ，∵∠CDF +∠EDF +∠BDE =180°，∠CDF +∠C +∠CFD =180°，EDF C ∠=∠， ∴∠BDE =∠CFD ， 在△EBD 和△DCF 中BDE CFD B CDE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EBD ≌△DCF （AAS ）， ∴CD =BE =8，BD =CF =5， ∴BC =BD +CD =5+8=13， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，此题难度不大，解题的关键是能证明△EBD ≌△DCF ．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线和∠ACB 相邻的外角平分线CD 交于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于G ，若EG =2，且GC =6，则BE 长为_________．【解析】解：CD平分ACF∠，BD平分∠ABC，∴∠=∠，∠ABD=∠CBD，ACD FCD∥，DE BC∴∠=∠，∠EDB=∠CBD，EDC FCD∴∠=∠，∠ABD=∠EDB，ACD EDC∴==，BE=DE，GD GC6EG=，2∴=+=，DE EG GD8BE∴=，8故答案为：8．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．16．如图，四边形ABCD中，70A∠=︒，90△的B D∠=∠=︒，E、F分别是AD、AB上的动点，当CEF周长最小时，ECF∠的度数是______．【解析】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．∵70∠=︒，90A∠=∠=︒，B D∴∠DCB=110°，由对称可得：CF 1=F 1N ，E 1C =E 1M ， ∴11,M MCE N NCF ∠=∠∠=∠， ∵180M N DCB ∠+∠+∠=︒，∴1170M N NCF MCE ∠+∠=︒=∠+∠，∴1111()1107040E CF BCD NCF MCE ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒， 即当CEF △的周长最小时，ECF ∠的度数是40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出CEF △的周长最小时，E ，F 的位置是解题关键． 三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，两条公路OA ，OB 相交于点O ，在AOB ∠内部有两个村庄C ，D ．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在AOB ∠内部再启动一个方舱式接种点P ，要求同时满足：（1）到两条公路OA ，OB 的距离相等．（2）到两村庄C ，D 的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P 的位置（保留作图痕迹）． 【解析】如图，作线段CD 的垂直平分线MN ，作∠AOB 的角平分线OF ，OF 交MN 于点P ，则点P 即为所求．【点睛】本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的性质并知道如何正确的作图．18．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ． （1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；（2）若5AE =，BCD △的周长17，求ABC 的周长．【解析】（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40︒，∴∠ABC＝∠C＝12×（180︒−40︒）＝70︒，∵DE所在的直线是AB的垂直平分线∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40︒，∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70︒−40︒＝30︒；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．19．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．(1)求证：OC＝OD；(2)求证：OP是CD的垂直平分线．【解析】(1)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，在Rt△POC与Rt△POD中，∵PC PD OP OP=⎧⎨=⎩，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC ＝OD ；(2)证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，∴∠COP ＝∠DOP ， ∵由（1）知，OC ＝OD ， ∴在△COE 与△DOE 中，OC OD COP DOP OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴CE ＝DE ，∠CEO ＝∠DEO ， ∵∠CEO +∠DEO =180°， ∴∠CEO ＝∠DEO= 90°， ∴OE ⊥CD ，∴OP 是CD 的垂直平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 20．如图，AB AC ⊥，AD AE ⊥，AB AD =，BC DE =． (1)求证：AM AN =；(2)连接EC ，AO ，求证：AO 垂直平分EC ．【解析】(1)证明：在Rt ABC 和Rt ADE △中， ∵AB AD =，BC DE =， ∴()Rt ABC Rt ADE HL ≌△△，∴B D ∠=∠．∵AB AC ⊥，AD AE ⊥，∴90BAM EAC DAN ∠=︒-∠=∠， ∵AB AD =，∴()ABM ADN ASA ≌△△， ∴AM AN =； (2)证明∶如图，由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠． ∴ACE AEC ∠=∠，∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠， 即BCE DEC ∠=∠， ∴OE OC =，∴点O 在EC 的垂直平分线上． 又∵AE AC =，∴点A 也在EC 的垂直平分线上， ∴AO 垂直平分EC ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，E 是AB 上的一点，EF ∥AD 交CA 的延长线于F ．求证：AF ＝AE ．【解析】证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF AD，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．22．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．【解析】证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．23．在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如图①，求证：△ADE 是等腰三角形；(2)如图②，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE 相等的角（∠CDE 除外）． 【解析】(1)证明：ADC ∠是ABD △的一个外角， B BAD ADC ADE CDE ∴∠+∠=∠=∠+∠ 又BAD CDE ADE C ∠∠∠∠＝，＝， B C ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD DCE AAS ∴≅AD DE ∴=，∴ADE 是等腰三角形．(2)解：由（1）得，ABD DCE ≅， B C ∴∠=∠，DE 平分∠ADC ， ADE CDE ∴∠=∠， 又∠BAD ＝∠CDE ，2B BAD ADC CDE ∴∠+∠=∠=∠， B CDE ∴∠=∠， C CDE ∴∠=∠，所以图中与∠CDE 相等的角有∠B ，∠C ，∠ADE 和∠BAD ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质． 24．如图，在△ABC 中，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边在AD 的右侧作等腰Rt △ADE ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ．(1)如果∠BAC ＝90°，AB ＝AC ． ①如图1，当点D 在线段BC 上时，线段CE 与BD 的位置关系为 ，数量关系为 ； ②如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．【解析】（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD ＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．∵∠DAE ＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD ＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键．25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【解析】(1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）； (2)如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°， ∴∠BAD =∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠ADB =∠AEC ，令AD 与CE 交于点G ， ∵∠AGE =∠DGO ，∴180°-∠ADB -∠DGO =180°-∠AEC -∠AGE ， ∴∠DOE =∠DAE =60°， ∴∠BOC =60°；(3)∠A +∠BCD =180°．理由： 如图3，延长DC 至P ，使DP =DB ，∵∠BDC =60°，∴△BDP 是等边三角形， ∴BD =BP ，∠DBP =60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．。

北师大版七年级（下）轴对称数学综合测试卷一、选择题1．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点； (4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 ） ( )2．如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线 L 对称，下列结论中正确的有（ （1）△ABC≌△A′B′C′ （2）∠BAC=∠B′A′C′ （3）直线 L 垂直平分 CC′ （4）直线 BC 和 B′C′的交点不一定在直线 L 上． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个第2题 第5题 第7题 3．一个角的对称轴是（ ） A．这个角的其中的一条边 B．这个角的其中的一条边的垂线 C．这个角的平分线 D．这个角的平分线所在的直线 4．下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对 称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 5．如图，在平面内，把矩形 ABCD 沿 EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于（ ） A．115° B．130° C．120° D．65° 6．下图是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7.如图，∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D、E，则下列结论中错误的是（ ） A．PD=PE B．BD=BE C．∠BPD=∠BPE D．BP=BE 8.如图，∠AOB 和一条定长线段 a，在∠AOB 内找一点 P，使 P 到 OA，OB 的距离都等于 a，作法如下：（1）作 OB 的垂线段 NH，使 NH=a，H 为垂足． （2）过 N 作 NM∥OB． （3）作∠AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P． （4）点 P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ） A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上第8题 第 10 题 第 11 题 9.下列四个图形中，如果将左边的图形作轴对称变换，能变成右边的图形的是（）A．B．C．D．10．如图，在桌面上坚直放置两块镜面相对的平面镜，在两镜之间放一个小凳，那么在两镜 中共可得到小凳的象（ ） A．2 个 B．4 个 C．16 个 D．无数个 11.如图，直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，则供选择的地址有（ ） A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处二、填空题 11．已知等腰三角形的腰长是底边长的 ________.4 ，一边长为 11cm，则它的周长为 3第 12 题第 13 题第 14 题第 17 题12． 如图， 在△ABC 中， AB=AC， E 分别是 AC， 上的点， BC=BD， D， AB 且 AD=DE=EB， 则∠A=（ ） 度． 13.如图，如果直线 m 是多边形 ABCDE 的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠ BCD 的度数等于______________ 度． 14.如图，等边△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD=CE，BE、CD 交于点 P，若∠ ABE：∠CBE=1：2，则∠BDP= （ ）度．15. 等腰三角形的“三线合一”是指 （ ）（ ） ， ， （ ） 互相重合． 16. 在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是（ ） ，它有 （ ）条 对称轴；最少的是（） ，它有（） 条对称轴． 17. 如图，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，若 AC=6 cm，BC=4 cm，则△BDC 的 周长是 （ ） ． 18. 一天小刚照镜子时，在镜子中看见挂在身后墙上的时钟，如图，猜想实际的时间应是 （ ） ．第 18 题 第 19 题 第 20 题 第 21 题 19.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，则点 D 到 AB 的距离为（ ） cm． 20.如图，D、E 为 AB、AC 的中点，将△ABC 沿线段 DE 折叠，使点 A 落在点 F 处，若∠ B=50°，则∠BDF=（ ） 度． 21. 如图，直角△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD 平分∠BAC，CD：BD=1：2， BC=2.7 厘米，则点 D 到 AB 的距离 DE= 厘米，AD= （ ）厘米．三、解答题1．已知：如图 7—110，△ABC 中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E 度数？2．如图 7—111，在 Rt△ABC 中，B 为直角，DE 是 AC 的垂直平分线，E 在 BC 上，∠BAE：∠ BAC＝1：5，则∠C 的度数？3．如图 7—112，∠BAC＝30°，AM 是∠BAC 的平分线，过 M 作 ME∥BA 交 AC 于 E，作 MD⊥ BA，垂足为 D，ME＝10cm，则 MD 的长度？4．如图 7—119，点 G 在 CA 的延长线上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求证：AD 平分∠BAC．5．已知：如图 7—120，等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，D 为 BC 中点，E、F 分别为 AB、 AC 上的点，且满足 EA＝CF．求证：DE＝DF．6.已知，如图Δ ABC 中，AB＝AC,D 点在 BC 上，且 BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰三角 形全都写出来.并求∠B 的度数.ABDC7.如图，已知 P 点是∠AOB 平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为 C、D， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2） 是 CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ OPA CPODB8. 已知，△ABC 中，∠ABC 为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD 为 BC 边上的高，延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 ED 并延长交 AC 于 F．求证：AF=CF=DF．答案 三、1.∠ABC=∠BDE - ∠BAD=100° =30° -70° ∠ACB = ∠ABC =30 ∠DAC = 180-100 - 30 =50 因为 BE//AC ∠E = ∠DAC=50°2∵DE 是 AC 的垂直平分线∴AE=CE ∴∠C=∠CAE ∵∠BAE∶∠BAC=1∶5 ∴∠BAE=1/5∠BAC ∴∠CAE=4/5∠BAC ∴∠C=4/5∠BAC 即∠BAC=5/4∠C ∵∠B=90° ∴∠BAC+∠C=90° ∴5/4∠C+∠C=90° ∠C=40°3 解：过 E 点作 AB 的垂线交 AB 于 F因为 ME‖AB，且 AM 是∠BAC 的平分线 所以∠EMA=∠MAB=1/2 乘以 30°=15° 所以三角形 AEM 为等腰三角形 所以 AE=EM=10cm 又，在直角三角形 AEF 中 ∠BAC=30° 所以 EF=1/2AE=5cm 又 EFDM 为长方形，所以 MD=EF=5cm4 证明：∵AF=AG， ∴∠G=∠GFA． ∵∠ADC=∠GEC， ∴AD∥GE． ∴∠BAD=∠GFA，∠DAC=∠G． ∴∠BAD=∠DAC，即 AD 平分∠BAC．5.证明：连 AD，如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为 BC 中点， ∴AD=DC，AD 平分∠BAC，∠C=45°， ∴∠EAD=∠C=45°，在△ADE 和△CDF 中∴△ADE≌△CDF， ∴DE=DF．6. 解 析因为 AB=AC，BD=AD，DC=AC，由等腰三角形的概念得△ABC，△ADB，△ADC 是等腰三角形，再根据角之间的关系求得∠B 的度数．解 答图中等腰三角形有△ABC，△ADB，△ADC ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形； ∵BD=AD，DC=AC ∴△ADB 和△ADC 是等腰三角形； ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵BD=AD，DC=AC ∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC ∴5∠B=180° ∴∠B=36° ．7.解： （1）∠PCD=∠PDC。

第二讲全等三角形与轴对称第一部分知识梳理一、全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：3．直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

4．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

5．角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。

二、轴对称1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点。

2．等腰三角形的性质：①两底角相等。

②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

③等边三角形各角都相等，并且都等于60°。

3．等腰三角形的判定：①等角对等边。

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

③三个角都相等的三角形是等边三角形。

如果一个三角形的两个内角分别是80°、50°，那么这个三角形是等腰三角形。

4．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

第二部分例题与解题思路方法归纳类型一全等三角形的性质与判定【例题1】（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．〖选题意图〗本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．〖解题思路〗（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．〖参考答案〗解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG，（2）BE=CM，证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC ，又∵AC=BC ，∠ACM=∠CBE=45°， ∴△BCE ≌△CAM ， ∴BE=CM ． 【课堂训练题】1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．〖参考答案〗数量关系为：BE=EC ，位置关系是：BE ⊥EC ． 证明：∵△AED 是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°， ∴∠EAD=∠EDA=45°， ∴AE=DE ， ∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°， ∠EDC=∠ADC ﹣∠EDA=180°﹣45°=135°， ∴∠EAB=∠EDC ， ∵D 是AC 的中点， ∴AD=12AC ， ∵AC=2AB ， ∴AB=AD=DC ， ∴△EAB ≌△EDC ，∴EB=EC ，且∠AEB=∠DEC ，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°， ∴BE ⊥EC ．2．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．〖参考答案〗解：猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，又∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．类型二直角三角形全等的性质与判定【例题2】课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）〖选题意图〗本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．〖解题思路〗（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B 与∠D 互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC 和ABC 中得出AD=AB=√32AC ，那么AD+AB=√3AC ．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和BCD 全等即可得到（1）的条件．根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE ．然后按照（1）的解法进行计算即可． 〖参考答案〗证明：（1）∠B=∠D=90°， ∠CAD=∠CAB=30°， ∴AB=√32AC ，AD=√32AC ． ∴AB+AD=√3AC ．（2）由（1）知，AE+AF=√3AC ， ∵AC 为角平分线，CF ⊥CD ，CE ⊥AB ， ∴CE=CF ．而∠ABC 与∠D 互补， ∠ABC 与∠CBE 也互补， ∴∠D=∠CBE ． ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE ． ∴DF=BE ．∴AB+AD=AB+（AF+FD ）=（AB+BE ）+AF=AE+AF=√3AC ．【课堂训练题】1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．〖参考答案〗解：∵△ADC和△BDE是等腰三角形且AD⊥BC∴△ADC和△BDE均为等腰直角三角形∴AD=DC，BD=ED∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL）∴AB=CE=5cm2．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．〖参考答案〗解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．类型三角平分线的性质【例题3】在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．〖选题意图〗此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．〖解题思路〗（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．〖参考答案〗解：（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．【课堂训练题】1．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE ⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．〖参考答案〗解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．2．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为cm．〖参考答案〗解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，∴CD就是D到AB的距离，∵BD：DC=5：3，BC=16cm，∴CD=6，即D到AB的距离为6cm．故填6．类型四轴对称的性质与应用【例题4】如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m= ，n= （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．〖解题思路〗（1）根据题意，设出并找到B （4，﹣1）关于x 轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；（2）过A 点做AE ⊥x 轴于点E ，且延长AE ，取A'E=AE ．做点F （1，﹣1），连接A'F ．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC 的周长最短等于A'F+CD+AB ，从而确定C 点的坐标值．（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN 周长最短的点M 、N ，当且仅当m=52，n=﹣53；时成立．〖参考答案〗解：（1）设点B （4，﹣1）关于x 轴的对称点是B'，其坐标为（4，1）， 设直线AB'的解析式为y=kx+b ，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：{2k +b =﹣34k +b =1，解得{k =2b =﹣7∴y=2x ﹣7， 令y=0得x=72， 即p=72．（2）过A 点做AE ⊥x 轴于点E ，且延长AE ，取A'E=AE ．做点F （1，﹣1），连接A'F ．那么A'（2，3）． 直线A'F 的解析式为y ﹣1=3﹣（﹣1）2﹣1•（x ﹣1），即y=4x ﹣5∵C 点的坐标为（a ，0），且在直线A'F 上，∴a=54．（3）存在使四边形ABMN 周长最短的点M 、N ，作A 关于y 轴的对称点A′，作B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N ，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=23x ﹣53，∴M （52，0），N （0，﹣53）．m=52，n=﹣53．【课堂训练题】1．如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 ．〖参考答案〗解：要使△PBG 的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG 最短即可． 连接AG 交EF 于M ．∵等边△ABC ，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，∴AG ⊥BC ，EF ∥BC ，∴AG ⊥EF ，AM=MG ，∴A 、G 关于EF 对称，∴P 点与E 重合时，BP+PG 最小，即△PBG 的周长最小，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．故答案为：3．2．如图，在锐角△ABC 中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ．〖参考答案〗解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4√2，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．类型五线段垂直平分线的性质【例题5】公园内有一块三角形空地（如图），现要将它分割成三块，种植三种不同的花卉，为了美观，要求每块都要是轴对称图形，请你在右图中画出分割线，保留必要的画图痕迹．〖选题意图〗本题考查了利用轴对称设计图案的知识，根据等腰三角形是轴对称图形的特点，分割后得到等腰三角形，是本题的突破口．〖解题思路〗根据等腰三角形是轴对称图形，作任意两边的垂直平分线，找出垂直平分线的交点P，然后连接PA、PB、PC，把三角形分成三块等腰三角形．〖参考答案〗解：如图，分别作AB、BC的垂直平分线，相交于点P，沿PA、PB、PC进行分割，得到的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，都是轴对称图形．【课堂训练题】1．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．〖参考答案〗证明：（1）∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=√2．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．〖参考答案〗解：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EF，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）．（2）证明：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．类型六等腰三角形的性质与判定【例题6】（2011•山西）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．〖选题意图〗本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．〖解题思路〗（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．〖参考答案〗（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB于D，∴∠EAD+AED=90°，∴∠CFA=∠AED，∵∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠CEF，∴CE=CF；（2）BE′=CF．证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG．由平移的性质可知：D′E′=DE，∴D′E′=GE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，在Rt△CEG与Rt△BE′D′中，{∠GCE=∠B∠CGE=∠BD′E′CE=D′E′，∴△CEG≌△BE′D′，∴CE=BE′，由（1）可知CE=CF，∴BE′=CF．【课堂训练题】1．（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．〖参考答案〗证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD．在△BDC与△ADC中，{BD =AD ∠CBD =∠CAD BC =AC， ∴△BDC ≌△ADC ，∴∠DCB=∠DCA ，又∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠DCB=∠DCA=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，∴∠BDM=∠EDC ，∴DE 平分∠BDC ；（2）如图，连接MC ．∵DC=DM ，且∠MDC=60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ．又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°，∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°，∴∠EMC=∠ADC ．又∵CE=CA ，∴∠DAC=∠CEM ．在△ADC 与△EMC 中，{∠ADC =∠EMC∠DAC =∠MEC AC =EC，∴△ADC ≌△EMC ，∴ME=AD=DB ．2．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．（1）猜一猜，MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果∠BAD=45°，BD=2，求MN 的长．〖参考答案〗解：（1）连接BM，DM，∵∠ABC=90°，AM=MC，AC，∴BM=12AC，同理DM=12∴BM=DM，∵BN=ND，∴MN⊥BD（2）∵AM=BM，∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，同理∠CMD=2∠CAD，∴∠BMD=2∠BAD=90°，∵BM=MD，∴△BMD是等腰直角三角形，BD=1．∴MN=12类型七等边三角形的性质与判定【例题7】图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．〖选题意图〗本题考查了SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．〖解题思路〗（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．〖参考答案〗解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB．∴AN=BM．（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE=∠CMB．∵∠MCN=60°=∠ACM，AC=MC，∴△ACE≌△MCF．∴CE=CF．∴△CEF的形状是等边三角形．【课堂训练题】1．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为．〖参考答案〗解：根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3．有轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，DC=DC′=2，∠BDC′=60°，故△BDC′为等边三角形，故BC′=3．故答案为：3．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．在平面直角坐标系中，x轴一动点P到定点A（1，1）、B（5，7）的距离分别为AP和BP，那么当BP+AP最小时，P点坐标为．2．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为．3．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为．4．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB 于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．5．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．B类试题：6．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA 边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．7．（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．8．已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD 于点F，且AC=FD，求证：△ABF是等腰直角三角形．C类试题：9．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．10．（1）如图，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形ABCD…X ，请你作出猜想：当∠AMN= 时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）课后自我检测试卷参考答案A 类试题：1．解：依题意得：B （5，7）关于x 轴的对称点是（5，﹣7）过（1，1）与（5，﹣7）的直线为y=kx+b∴{1=k +b ﹣7=5k +b ，∴{k =﹣2b =3∴y=﹣2x+3令y=0，得x=32 故P 点坐标为（32，0）． 2．解：如图：C′B′与AB 交点G′，与AD 交于点H′，FC′与AD 交于点W′，则这三个点关于EF 对称的对应的点分别G 、H 、W ，由题意知，BE=EB′，BG=B′G′，G′H′=GH ，H′C′=HC ，C′W′=CW ，FW′=FW ，∴①②③④四个三角形的周长之和等于正方形的周长=4×8=32．故本题答案为：32．3．解：根据垂线段最短，当DP ⊥BC 的时候，DP 的长度最小，∵BD ⊥CD ，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC ，又∠ADB=∠C ，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．4．相等．证明如下：连EB、EC，∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴EF=EG．∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC．∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF=CG．5．证明：连接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．B类试题：6．解：连DE，如图∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=√2DG=√2CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为√2．故答案为：√2．7．解：（1）AD⊥BE，AD=BE，∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，∴DC=EC，∠DCA=∠ECB，AC=BC，∴△BEC≌△ADC，∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BEC=∠AEF，∠BEC+∠EBC=90°，∴∠AEF+∠DAC=90°，∴∠AFB=90°，∴AD⊥BE．（2）仍存在．如图，∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，∴DC=EC，AC=BC，∠DCE=∠ACB，∴∠DCA=∠ECB，∴△BEC≌△ADC∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BOC=∠AOE，∠BOC+∠EBC=90°，∴∠AOE+∠DAC=90°，∴AD⊥BE．8．证明：∵EF是AB的垂直平分线，∴FA=FB．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴△ACF与△FDB是直角三角形．在Rt△ACF与Rt△FDB中，AC=FD，FA=BF，∴Rt △ACF ≌Rt △FDB （HL ）．∴∠CAF=∠DFB ．∵∠C=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∴∠CFA+∠BFD=90°，∴∠AFB=90°．∴△ABF 是等腰直角三角形．C 类试题：9．解：（1）由图①可猜想PD=PE ，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE ． 理由如下：连接PC ，因为△ABC 是等腰直角三角形，P 是AB 的中点，∴CP=PB ，CP ⊥AB ，∠ACP=12∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE ，∴∠DPC=∠BPE ．∴△PCD ≌△PBE ．∴PD=PE ．（2）△PBE 是等腰三角形，①当PE=PB 时，此时点C 与点E 重合，CE=0；②当PB=BE 时，1）E 在线段BC 上，CE =2﹣√2，2）E 在CB 的延长线上，CE =2+√2；③当PE=BE 时，CE=1．10．解：（1）证明：在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC ．∴∠NMC=180°﹣∠AMN ﹣∠AMB=180°﹣∠B ﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE ， BE=AB ﹣AE=BC ﹣MC=BM ，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N 是∠DCP 的平分线上一点，∴∠DCN=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM 与△MCN 中，∠MAE=∠NMC ，AE=MC ，∠AEM=∠MCN ， ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN ．（2）结论AM=MN 还成立证明：在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ．△ABC 中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC ．∴∠NMC=180°﹣∠AMN ﹣∠AMB=180°﹣∠B ﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE ， BE=AB ﹣AE=BC ﹣MC=BM ，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N 是∠ACP 的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120．在△AEM 与△MCN 中，∠MAE=∠NMC ，AE=MC ，∠AEM=∠MCN ， ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN ．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形ABCD…X ，则当∠AMN=（n ﹣2）•180°n时，结论AM=MN 仍然成立．。

第十二章全等三角形1、如图，四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E、F．求证：BE=BF．2、如图，锐角△ABC中，∠BAC=60°，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．3、如图，已知AD∥BC，P为CD上一点，且AP，BP分别平分∠BAD和∠ABC．（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；（2）比较DP与PC的大小，并说明理由．4、已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．(有十来种做法)5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，交梯形的对角线BD于F，连接AF．若△BDC为等腰直角三角形，且∠BDC=90°．求证：CF=AB+AF．连接法6、已知:如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠DD COA B7、如图11-30，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点.求证：AF⊥CD.8、如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM=CN倍长中线9、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.10、如图，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC 边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM．11、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，∠EAF=45，求证：BE+DF=EF.FE DCB A 12、如图，AC∥BD，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA，CD 过点E，求证;AB＝AC+BDC13、如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE、BE．给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．(1)用序号写出一个真命题(书写形式如：如果×××，那么××)，并给出证明：(2)用序号再写出三个真命题(不要求证明)；(3)加分题：真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写出一个真命题就给你加1分，最多加2分．14、在等边ABC ∆的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC.探究：当M、N 分别在直线AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L的关系．（I）如图1，当点M、N 边AB、AC 上，且DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是；此时=L Q ；（II）如图2，点M、N 边AB、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N 分别在边AB、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q=（用x 、L 表示）．利用角平分线15、如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分ABC ∠，求证：0180=∠+∠C A 。

全等三角形习题一、填空1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是角平分线，AC ＝6cm ，则AD 的长是___________。

2．在等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角是30°，则△ABC 的面积是_____________。

3．已知三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，它的最大边长为6cm ，那么它的最小边长为_____________，最大边上的中线长为____________。

4．直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为_________。

5．如图,，把△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ′，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC ＝90°，则∠A 的度数是___________。

二、选择题1．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1，则AC ＝（ ）。

A 、6 B 、6 C 、5 D 、42．若等腰三角形的腰长为2，顶角为120°，则底边长为（ ）A 、3B 、32C 、323D 、334 3．在△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝15cm ，则ABC S 等于（ ） A 、54cm 2 B 、90 cm 2 C 、108 cm 2 D 、180 cm 2 4．以下各组数字能组成直角三角形的三边是（ ）A. 5、11、12B. 6、11、12C. 5、12、13D. 6、12、13 5．下列说法中：①如果两个三錋形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等。

正确的是： A 、①和② B 、②和③ C 、①和③ D 、①②③三、解答题1 已知：如图AB=CD ，BC=DA ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF 。

一. 本周教学内容：一次函数、全等三角形、轴对称的复习【典型例题】（一）一次函数 例1：马戏团演出场地的外围围墙是若干块长为5m ，宽为2.5m 的长方形帆布缝制而成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1m ，围成的围墙高2.5m 。

（1）若先用6块帆布缝制成宽为2.5m 的条形，求其长度；（2）若用x 块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y 与所用帆布的块数x 之间的函数关系式；（3）要是围成的圆形场地的半径为10m ，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙。

解：（1）6块帆布缝制成条形后，有五块公共部分，所以6块帆布缝制后的总长度为： m 5.291.0556=⨯-⨯（2）x 块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x 块公共部分。

设圆形围墙的周长为ymx y x x x y 9.4,9.41.05=∴=-=∴（3）要围成半径10m 的圆形场地，则x 9.4102=⨯π82.129.48.629.420≈≈=∴πx 块 答：需要买这样的帆布13块。

例2：已知等腰三角形周长为20cm ，求：（1）它的底边y 和腰长x 的函数关系式； （2）出自变量的取值范围； （3）画出函数图像。

解：（1）y ＝20－2x ；⎪⎩⎪⎨⎧>>>.2,0,0)2(y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧->>->∴.2202,0220,0x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧><>∴.5,10,0x x x ;105<<∴x（3）当x ＝5时，y ＝10；当x ＝10时，y ＝0连结A （5，10）、B （10，0）则线段AB （A 、B 两点除外）就是所求函数图像，如图。

例3：（1）在某一电路中，若电压保持不变，电流强度I 与电阻R 成反比例关系。

当电阻R ＝10欧姆时，电流强度I ＝4安培，则I 关于R 的函数关系式是（ ）A. I ＝40R （R>0）B. )0(401>=R R I C. )0(40>=R RID. )0(401>=R RI（2）生物学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10% 的能量能够流动到下一个营养级。

全等三角形练习例1.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．例2.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN∠=︒，射线MN与∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?DBA例3.如图，在△ABC中，60BAC∠=︒，AD是BAC∠的度数.∠的平分线，且AC=AB+BD，求ABC例4.正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S△BEF为多少？例5.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=510，求∠DFE 的度数。

例6.如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE ，AB=BC ．(1)求证：AD=CE ，AD ⊥CE(2)若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明例7.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BE AF -（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则α∠与BCA ∠应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．1.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A.相等B.不相等C.互余或相等D.互补或相等2.如图等边△ABC 中，∠BFC=1200，那么 （ ）A.AD ＞CEB.AD ＜CEC.AD=CED.不确定3.正三角形ABD和正三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来如图，E是AD上异于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a，当E，F移动时，三角形BEF的形状为（）A.不等边△B.等腰直角△C.等腰△非正△D.正△4.如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD＝4，BC=2，那么AB=5.在不等边△ABC中，AQ=PQ，PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN，①AN=AM；②QP∥AM；③△BMP≌△QNP，其中正确的代号是6.如图，AB∥CD，AB＝CD，O为AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，E、F在直线MN上，且OE＝OF。

全等三角形与轴对称练习题一、填空题1、如图1所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，则边BC的长为 .2、如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAD＝30°，且AD=AE，则∠EDC＝ .3、在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(3，3)，若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是________。

4、如图3，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=_________度．图1 图2 图35、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图的方式进行折叠，使折叠的左侧部分比右侧部分短1；展开后按图的方式再折叠一次，使第二侧折痕的左侧部分比右测部分长1，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 .6、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是______.7、如图4，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．8、如图5，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，若AD=AB，∠CAD=36°，则∠DBC的度数是。

9、如图6，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________.图4 图5 图6二、选择题1、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°2、如图7，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4，若已知∠1＝55°，∠3=75°，那么∠2等于（）.A.50° B.55° C.66° D65°3、如图8，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为（）.A.1B.2C.3D.44、如图9，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）.A.50° B.55° C.60° D.65°5、如图10，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则( )A、AF=2BFB、AF=BFC、AF>BFD、AF<BF图7 图8 图9 图106、如下图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③），那么∠AFE的度数为：（）A.60°B.67.5°C.72°D.75°8.如下图1，AB⊥AC，AG⊥BG,CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°其中正确的结论是（）A、①③ B、②④ C、①③④ D、①②③④9.如下图2所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2 等于（） A 、270° B、180° C、135° D、90°10.如下图3，已知在△ABC中，∠CAB、∠ABC的外角平分线相交于点D。

单元检测之五兆芳芳创作一、选择题（请把选项写在下面的答题框内）△ABC ≌△EFD ，那么（）A 、AB=DE ，AC=EF ，BC=DFB 、AB=DF ，AC=DE ，BC=EFC 、AB=EF ，AC=DE ，BC=DFD 、AB=EF ，AC=DF ，BC=DE2.下列每组数辨别是三根小木棒的长度，其中能摆成三角形的是（ ）A3cm ，4cm ，5cmB7cm ，8cm ，15cmC 3cm ，12cm ，20cm D5cm ，5cm ，10cm 3. 下列说法正确的是A ．轴对称图形的对称轴只有一条B ．角的对称轴是角的平分线C ．成轴对称的两条线段必在对称轴同侧D ．等边三角形是轴对 称图形4. 下列条件中不克不及证明两个三角形全等的有 （） A 、有两条边及两边夹角对应相等的两个三角形 B 、有两个角和一条边对应相等的两个三角形 C 、有三条边对应相等的两个三角形D 、有一个角和两条边对应相等的两个三角形 5. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 辨别是AB 、AC 、BC 的中点，图中全等三角形共（）.A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对6.等腰三角形的两边辨别长7cm 和15cm ，则它的周长是（ ）7.若三角形外角中有一个锐角，则这个三角形是（ ）三角形.A 锐角B 钝角C 直角D 等腰8. 如图，AB⊥AC，AG ⊥BG,CD 、BE 辨别是△ABC 的角平分线，AG∥BC ，下列结论：①∠BAG=2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135° 其中正确的结论是（ ）A 、①③ B、②④C、①③④ D、①②③④9. 如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠FEDCBAF第12题图G EDCBAA第5题图第8题第9题虚线剪去∠B，则∠1+∠2 等于（）A 270° B、180° C、135° D、90°10. 如图，已知在△ABC中，∠CAB、∠ABC的外角平分线相交于点D.∠C=88°，则∠D=（）A 46°B 44°C 88°D 56°11. 如图（在背面），P点到AD、AB、BC的距离相等，则下列关于Ｐ的判断正确的是（）．①PC平分∠DCF；②AP平分∠BAC；③PB平分∠CBE．Ａ①Ｂ①③Ｃ②③Ｄ①②③12.如图，Rt △ABC 中, ∠C ＝90°,ＢＣ＝３，ＡＣ＝４，ＡＢ＝５，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＥＤ⊥ＡＢ，则△A ＤＥ的周长为（ ）． A 5 B 6 C 7 D 8二、填空题 13. 如图，∠1＝. 14.从n 边形一个顶点出发可作5条对角线，则这个n 边形的内角和是. 15. 如图，△ABC ≌△AED ，∠C=400，∠EAC=300，∠B=300，则∠D=， ∠EAD=.16.如图，在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°,ＢＤ是∠ＡB Ｃ的平分线，交ＡＣ于Ｄ，若ＣＤ＝４，ＡＢ＝８，则△ABD 的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿． ∠1=∠2，请你添加一个条件使△ABC ≌△BAD ， 你的添加条件是（填一个便可）. 三、解答题18.如图，已知△ABC ，求作：∠A ’，使∠A ’=∠A.(要求：用尺规作图，保存作图陈迹，不必写画法)19. 如图，Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，且ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．20. 在△A ＢＣ中，∠ＢＡC ＝90°,ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＤＥ，ＣＥ⊥ＤＥ，且 ＤＥ过点Ａ．求证：ＤＥ＝ＢＤ＋ＣＥ．F E D C B A P ABCDE图4 DEB CA 50°1150°DCBAE DABCE D BA第19题图第11题图 第12题图第13题图第15题图 第17题图第16题图第18题图B A。

全等三角形和轴对称专练题（50题）一．解答题（共60小题）1．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠F AG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．4．如图，AB平分∠CAD，AC＝AD，求证：BC＝BD．5．已知：如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B．求证：∠E＝∠D．6．如图，CE＝DE，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠3的度数．7．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，AC＝BD．求证：∠C＝∠D．8．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．10．在△ABC中，D为AC的中点，DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，且DM＝DN．（Ⅰ）求证：△ADM≌△CDN．（Ⅱ）若AM＝2，AB＝AC，求四边形DMBN的周长．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．12．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．14．如图，点C、E、F、B在同一直线上，CE＝BF，AB＝CD，AB∥CD．（1）求证∠A＝∠D；（2）若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．15．如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．16．如图，AB∥CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；（2）试说明△AOD≌△EOC．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交边AC于点E．（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°．（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．18．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．19．如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．求证：EG＝EF．20．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：DE＝EF．（2）当∠A＝36°时，求∠DEF的度数．21．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；22．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．23．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．24．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，BD＝CE，求证：∠B＝∠C．25．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．26．已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E，求证：AB＝DE．27．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，求证：∠A＝∠D．28．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．29．已知：如图，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF．30．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，BE＝FC，AB＝DF．求证：∠B＝∠F．31．如图，△ABC和△EFD的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知∠A＝∠E，AB∥EF，BD＝CF．（1）求证：△ABC≌△EFD；（2）求证：AC∥DE．32．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF；33．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．34．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．35．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．37．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ 的形状，并加以证明．38．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．39．如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．40．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝CB．判断BE和DF的位置关系，并说明理由．41．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠B＝40°，AB＝BE，求∠DAE的度数．42．已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC∥BD且AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝BD．43．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF＝DE，BE＝CF．求证：AB＝DC．44．已知：点A、E、D、C在同一条直线上，AE＝CD，EF∥BD，EF＝BD．求证：AB∥CF．45．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，AB＝CD，求证：△AOB≌△DOC．46．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE＝CF，求证：AB∥CD．47．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AC＝2BF．48．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN ⊥AB于点B，在BN上截取BC＝CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直线上，则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离，请说明理由．49．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF．请推导下列结论：（1）∠D＝∠B；（2）AE∥CF．50．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF．求证：△ABF≌△CDE．51．已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：BD＝CE．52．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．53．已知：如图，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO．求证：AB∥CD．54．已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE＝CD．55．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC上一点，AB＝AD，求证：EB＝ED．56．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）求当AD取何值时，DE＝EF．57．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE．58．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝CE，求证：AB∥CF．59．如图，BE＝BC，∠A＝∠D，求证：AC＝DE．60．如图，AD，BC相交于点O，OA＝OB，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ACB≌△BDA．（2）当AC＝3，AB＝5时，求OD的长．2022年11月03日遵义三十二钟的初中数学组卷一．解答题（共60小题）1．如图所示：（1）A，B两点关于轴对称；（2）A，D两点横坐标相等，线段AD y轴，线段ADx轴；若点P是直线AD上任意一点，则点P的横坐标为；（3）线段AB与CD的位置关系是；若点Q是直线AB上任意一点，则点Q的纵坐标为．2．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A'，B'，C'的坐标；（3）直接写出△ABC的面积．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？4．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．6．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD ＝22°，求∠C的度数．7．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC关于x对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）求△AA1A2的面积．8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为；（3）△A1B1C1的面积为；（4）在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．（1）求证：BD＝CD．（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）△ABC的面积；（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．12．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．（1）求证：BD⊥BC．（2）求DB的长．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；（2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；（2）写出点A'，B'，C'的坐标．（3）在y轴上找一点P，使P A+PC的长最短．15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．16．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．17．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠BAC和∠ACB的度数；（2）求证：△ACF是等腰三角形．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB＝CD．20．如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC求证：∠C＝2∠D．21．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．22．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．25．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．26．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．27．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．28．如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．30．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE＝CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．31．已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．34．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．35．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．36．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．37．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．38．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．39．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．（1）求证：CE＝CB；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．40．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．41．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．42．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE ＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．43．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．45．已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．（1）求证：CE＝CB；（2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．46．已知：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠1＝80°，AB＝AD＝DC．求：∠C的度数．47．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．（1）求△ABC中BC边的长度；（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．48．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E．（1）若AC＝12，BC＝10，求△EBC的周长；（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．49．已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．50．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE ＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．51．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．52．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．53．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝42°，求∠BED的度数．54．如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．（1）求△PDE的周长；（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．55．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E．（1）求△ACD的周长；（2）若∠C＝25°，求∠CAD的度数．56．如图在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．57．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）．58．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．59．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．求证：FC＝2BF．60．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B＝∠CAF．。

一、选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或 17D ．10或 122. 下列美丽的图案中，是轴对称图形的是（ ）3. 如图，∠ACB=900，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ，则BE=(1) A 、1cm B 、0.8cm C 、4.2cm D 、1.5cm4. 等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是 ( )A ．17B ．22C ．17或22D ．135. 等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（ ）A 、14B 、23C 、19或23D 、196. 如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）B. C.5D.4A ．B ．C ．D ．A题7图7. 已知等腰三角形一边长为4，一边的长为10，则等腰三角形的周长为（ ）(1) A 、14 B 、18 C 、24 D 、18或24 8. 如图，∠B 、∠C 的平分线相交于F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的是①△BDF 、△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝BD ＋CE ； ③△ADE 的周长为AB ＋AC ；④BD ＝CE ；A ．③④B ．①②C ．①②③D ．②③④9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）。

10.已知△ABC 的周长是24，且AB=AC ，又AD⊥BC ，D 为垂足，若△ABD 的周长是20，则AD 的长为（ ）。

A 、6B 、8C 、10D 、1211.已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（ ）。

BCDADBCE F（第8题图）A、14B、16C、10D、14或1612.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等腰梯形 B．平行四边形C．正三角形 D．矩形13.在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25° B．40°或30° C．25°或40° D．50°14.和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点15.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，•则对这个三角形的形状最准确的判断是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形16.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC•的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm17.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与EF交于F，若BF=AC ，那么∠ABC 等于（ ）A ．45°B ．48°C ．50°D ．60° 18.下列各命题中，假命题的个数为( )1面积相等的两个三角形是全等三角形;②三个角对应相等的两个三角形是全等三角形;③全等三角形的周长相等④有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形.A ．1B ．2C ．3D ．419.等腰三角形有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）(1) A B C 或 D 大小无法确定 20.已知等腰三角形的两边的长分别为3和7，则其周长为（ ）(1) A)13 B 17 C 13或17 D 不确定 21.如图∠BOP=∠AOP=15°，PC ∥OB ，PD⊥PB 于D ，PC=2， 则PD 的长度为（ ）。

全等三角形与轴对称复习题一、知识回顾1、全等三角形的性质：判定方法：2、轴对称与轴对称图形的区别与联系：3、线段与角的轴对称性：4、等腰三角形的性质：判定：5、等边三角形的性质：判定：二、学习探究【典型例题】（一）全等的性质和判定例1、如图1，已知正方形ABCD（正方形四条边都相等，四个角都是直角），把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的A点重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时。

（1）证明：BE＝DF；（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG。

证明：BE＋DG＝EG；（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF＝45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF。

线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明。

（二）线段与角的对称性例1、已知△ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条例2、如图，直线l 1、l 2相交于点A ，点B 是直线外一点，在直线l 1 、l 2上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形．满足条件的点C 有…………………………………… （ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个变式1、已知：如图，∠AOB 外有一点M ，作点M 关于直线OA 的对称点N ，再作点N 关于直线OB 的对称点P.(1)试探索∠MOP 与∠AOB 的大小关系；(2)若点M 在∠AOB 的内部，上述结论还成立吗？请补全图形并证明.（五）翻折题型例1、如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为 _______OABMNPOABl 2l 1AB（六）旋转题型例2、如图1,两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起,并且有公共的直角顶点O ．（1）在图1中,你发现线段AC,BD 的数量关系是 ,直线AC,BD 相交成角的度数是 ．（2）将图1中的△OAB 绕点O 顺时针旋转90°角,在图2中画出旋转后的△OAB 。