人教版八年级数学上册培优讲义 第二讲：全等三角形与轴对称

轴对称专题复习讲义 一. 知识要点对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本. 本次课主要研究以下内容：（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.（2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一. 二.基本知识点过关测试1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 叫做 .如果一个图形沿一直线折叠，直线 能够相互重合，这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说 . 2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数： （1）圆 ；（2）正方形 ；（3）等腰三角形 3.平面直角坐标系中，点A （-2,3）关于y 轴的对称点A 1的坐标是 ，点B （-4,1）关于x 轴的对称点B 1的坐标是 ，点A 1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 .知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 为AB 的中垂线. 且△BEC 的周长为14，BC =6，则AB 的长为 .知识要点3：等腰三角形的性质与判定5.如图，在等腰△ABC 中,AB =AC ，若∠1=∠2，则BD CD ，AD BC6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为 ，若一个内角为40°，则另两个角为 .7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x 的范围是 ；若底边长为10，则腰长y 的范围是 .C E B DA（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm ，则腰为 .（3）等腰△ABC ，AB =AC ，BD 为AC 边的高，则∠DBC = ∠BAC ；若∠DBA =45°，则∠C = .（4）三角形三内角度数比为1：2：3，它的最短边为5cm ，则最长边为 ；等腰三角形底角为15°，腰长为30cm ，，则此三角形面积为 .知识要点4：等边三角形的性质与判定8.如图，在等边△ABC 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 .知识要点5：含30°的特殊三角形9.如图，在△ABC ，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交于BC 于点D ，交AB 于点E ，BD =10，则AC = .知识要点6：尺规作图问题10.如图，直线MN 表示一条铁路，A 、B 两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN 旁修建一个车站C ，要使A 、B 两个村到车站的距离相等，请确定车站C 的位置11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M 、N 表示大学AO 、BO 表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.C ED PE AD B EC A A B N MA三. 综合、提高、创新方法与技巧1：利用轴对称解决几何问题【例1】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管道最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P AB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.方法与技巧2：利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中【例2】（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F, 求证：∠ABF=∠CGF.（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=12AB. ①求证：∠ACE=45°BAlNOFGECBDABDCA②若点E 在AB 的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【例3】如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是角平分线，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：BE=12BD【练】如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 上的高线，P 是AD 上一点，试比较PB —PC 与AB —AC的大小.方法与技巧3：截长补短在特殊三角形中的应用 【例4】（1）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C =2∠B .求证：AC +CD =BD .A CDE BE CD P B AC D B A（2）在△ABC，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AM=12（AB+AC）【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：AG=AH方法与技巧4：特殊要素法在特殊三角形中的应用【例5】（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：AG=AH（2）如图，点P为△ABC内一点G，PG垂直平分BC，交点为G，且∠PBC=12∠A，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CDCMDBADCBACHGBADPEA【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 为AC 所在直线上一点，AE ∥BC ，且满足∠BDE =60°，当D 点分别运动到如图所示情形时. （1）求∠CBD 和∠ADE 的关系；（2）求证：DB =DE ；（3）求AD 、AE 和BC 之间的关系.三. 反馈练习1.如图，四边形EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？2.如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两定点，在BC 上求一点M 使△MEF 的周长最短.GC B AE C D B A E D B C A C E B D3 如图，A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，4），作∠BAO 的平分线AC 交y 轴于C ，过B 作BD ⊥AC 于D ,求AC ：BD 的值.4 如图，AB =AC ，若∠A =20°，在AB 上取点W ，使AE =BC .求∠BWC 的度数？5.如图，A 、B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使C 到A ，B 的距离只差最大.6.如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，BE 平分∠ABC 交CD 于F ，CG 平分∠ACD . 求证：BE ⊥CGC BW AB Al C F EB D G A7.如图，∠1=∠2，DA =DB ，AC =12AB ，求证：DC ⊥AC .8.（1）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，求∠B ：∠C（2）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =AC9.如图，AM 为△ABC 的角平分线，BD =CE ，NE ∥AM ，求证：N 为BC 中点.C D BAC D B A C D B ACD E A10.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于O ，交AB 于E ，OF ∥BC ，交AB 于F ，AE =6，AB =18，求EF .11.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE =12（AB +AD ）. 求∠ABC +∠ADC 的度数.12.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，△ABE 和△ACD 都为等边三角形，F 为BE 中点，DF 交于AC 于M ，连接DE .求证：（1）AM =MC ；（2）AB 平分DE .OC DB E F A BC ED A MD FE A13.如图，△ABC 为等边三角形，CF 为∠C 的外角平分线，在BC 上任取一点D ，使∠ADE =60°，DE 交CF 于点E .求证：△ADE 为等边三角形14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =80°，O 为三角形内一点，∠OBC =10°，∠OCB =30°，求∠BAO 的度数.E F C D BA COBA。

初中数学提高讲义——全等三角形、轴对称
初中数学提高讲义——全等三角形、轴对称
目录
运用三角形全等，可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，证题的基本思路是将要证明的问题，转化为证两个三角形全等，在要证的两个全等的三角形中，找出对应的边或角相等。

但在找全等的条件时，要注意添加适当的辅助线，而辅助线的添加由图形特征及已知条件决定.
我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的，了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形，确定对应元素，善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键.
在轴对称变换下，图形中两点间的距离、弧长、角度、面积等保持不变，而这种变换在现实生活中有着广泛的应用和丰富的文化价值。

同时通过这种变换，可以使相关元素相对集中，从而构造出新的图形，在解决间题中起到出奇制胜的效果。

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全等三角形【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理 1、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。

2、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理A B C D E F 中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEAB DEF(SSS) ABC ∆∆∴≌ A B C D EF中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB DEF(SAS) ABC ∆∆∴≌ AB CDE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

注意：①全等三角形问题中，找准对应点，对应边，对应角。

（突出对应） ②题中已知平移、翻折、旋转相当已知全等；③判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

④要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

⑤要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

其中：一般三角形有四 种判定方法 。

直角三角形有五 种判定方法。

3、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上DEF(ASA)ABC ∆∆∴≌ A B C DE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A DEF(AAS)ABC ∆∆∴≌ A C BEFD中和在DEF Rt ABC Rt ∆∆⎩⎨⎧==DF AC DE AB )HL (DEF Rt ABC Rt ∆∆∴ ≌ ·ADP COB角平分线的性质）平分PD(PC OAPD OB PC AOB OP =∴⊥⊥∠ ·ADP CBAOB∠∠=∠∴=⊥⊥平分或：角平分线的判定）OP BOP(AOP PD PC OA PD OB PC注：①性质与判定都是由三个条件推出一个结论，要正确应用； ②会用尺规做一个角的平分线，依据为“边边边”。

人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题分数：100 考试时间：80分钟一、选择题(10=30分)1. 下列运算正确的是 （ ）A 、x 2 + x 3 = x 5B 、－2x ·x 2 =－2x 3C 、x 6÷x 2 = x 3D 、(－ x 2 )3 = x 62. 的值是（ ）A 、0B 、－2C 、2D 、 3. 下列各组图形中，是全等形的是（ ）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形4. 若二次三项式26x ax +-可分解成，则a ，b 的值分别为（ ）A ． 1，3B ． 1-，3C ． 1，3-D ． 1-，3-5.要使二次三项式25x x p -+在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．无数个6.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( ) A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、77.如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论，其中说法错误的是（ ）A.△EBD 是等腰三角形，EB =ED ；B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；C .折叠后得到的图形是轴对称图形 ； D.△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。

8.如图,等边三角形△ABC 的边长是6，面积是，AD 是BC 边上的高，点E 是AB 的中点，在AD 上求一点P ，则P B ＋PE 的和的最小值为( )A 、3B 、6C 、D 、9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，已知△ABC 的 面积为28．AC ＝6，DE ＝4，则AB 的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．1010. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对 称点B ′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB 的 度数为（ ）A ．40°B ．45° C ．60° D ．80° 二、填空题(5=15分)11. 分解因式得正确结果为． 12. 满足的整数的值是 ．13. 如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058，则∠FHI= 度。

人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第一章：三角形的初步知识
1. 三角形的基本性质：稳定性、内角和定理（三角形内角和为180度）。

2. 三角形的分类：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

3. 三角形的边与角的关系：边长与角度的关系，如a:b:c=sinA:sinB:sinC。

第二章：全等三角形
1. 全等三角形的定义及性质。

2. 全等三角形的判定方法：SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）、HL（直角边斜边公理）。

3. 全等三角形的证明方法。

第三章：轴对称与中心对称
1. 轴对称与中心对称的基本性质。

2. 轴对称与中心对称图形的识别与证明。

3. 图形变换的基本方法。

第四章：四边形
1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等的基本性质。

2. 四边形的判定方法。

3. 四边形的面积计算。

第五章：一次函数
1. 函数的基本概念：自变量、因变量、常数。

2. 一次函数的定义及性质。

3. 一次函数的图象表示方法。

4. 一次函数的解析式及求法。

5. 一次函数的应用：求最值、求交点等。

第六章：一元一次不等式
1. 不等式的基本性质。

2. 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项合并同类项等。

3. 一元一次不等式的应用：比较大小、求解最值等。

专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE 的长．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，CE AB ⊥，BD 与CE 交于点O ，且BE CD =．下列说法错误的是（）A ．BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点EB ．3BDC ABD ∠=∠C ．当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形D ．当E 为AB 中点时，34BOC AEC S S =△△【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．。

八年级数学全等三角形新课讲义全面完整版（全八讲）A B C 1 E DA B C D O 1 2（1） （2） A B D C （1） （2） AB C E D第一讲 全等三角形概念及其性质（一） 知识要点1、 全等三角形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做 形。

2）能够完全重合的两个三角形叫做全等 形。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

3）全等三角形表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC ≌△DEF 。

4）对应元素：①对应顶点：点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点 ②对应边：AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是对应边 ③对应角：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 是对应角当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC 和△DEF 全等，是，记作△ABC ≌△DEF 。

其中，。

2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。

（1）平移型：如下左图，若△ABC ≌△DEF ，则BC=EF 。

将△DEF 向左平移得到下右图，则仍有BC=EF ，在右图中，若知BC=EF ，则可推出BE=CF 。

（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A ，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O ，有一对对顶角∠1=∠2。

（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、 全等三角形的性质1） 全等三角形的对应边相等； 2） 全等三角形的对应角相等。

3） 知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。

AB C DE F AB C DE FA B C D E FB AC D EEAB C D OA B C DFE 4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角； （4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。

人教版八年级数学上册第13章轴对称讲义)h 之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60°，RS=n ，BC=m ，点P 在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，梯形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为：___________；图（4）与图（6）中的等式有何关系？例3 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数. 变式 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为形内一点，且AB=BD ，∠ABD ＝30°，求∠ADC 的度数. 变式 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =80°，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =10°，∠OCA=20°，求∠BAO 的度数．例4 如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE =1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的D Q C A C B M D E AC B MDE P AC B MDE P AC B MDE PF A C B M D E P F B PG R S C M F E D （1） （2） （4） （5） A D B C A B C D A O B C周长取最小值时，则四边形AEPQ 的面积为 ．变式 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ，AE ＝DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为 . 【能力提升】 1．如图所示，已知在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ， 求证：AE ＋CD ＝AC ． 3.已知，如图，∠ABD ＝12°，∠CBD ＝36°，∠ACB ＝48°，∠ACD ＝24°. 求ADB 的度数． 3．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC ＝60°．问题1：如图1，若∠ACB ＝90°，AC ＝m AB ，BD ＝n DC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________． 问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD>DC ．（1）求证：BD －DC <AB －AC ；AEO BD C AE N D C M B A DB C（2）若点E 在AD 上，且DE ＝DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数．A CB D A F ECD B图 1。