当前位置：文档之家 › 浙江省杭州高级中学高三仿真模拟考试数学试题含答案

浙江省杭州高级中学高三仿真模拟考试数学试题含答案

  • 格式：doc
  • 大小：1.05 MB
  • 文档页数：10

绝密★考试结束前杭高2019学年第二学期高三高考仿真模拟卷数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。

本卷满分（150）分，考试时间（120）分钟。

2．答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方。

3．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。

4．考试结束后，只需上交答题卡。

参考公式：如果事件,A B 互斥那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+. V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π121()3h V S S =球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R =πh 表示为台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{lg(4)}A x y x ==-，{3,0}xB y y x ==>时，AB =A ．{2}x x >-B ．{12}x x <<C ．{12}x x ≤≤D ．∅2．“sin 0α=”是“cos 1α=”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．二项式612x x（）的展开式的常数项为 A ．20B ．20-C ．160D ．160-4．如下图，在矩形ABCD 中，=2=3AB BC ，，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -侧视图的面积为A ．613B ．1813C ．213D ．3135．函数22x y x =-的图像大致是A ．B ．C ．D ．6．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球的个数为X ，若()1D X =，则()E X = A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a R ∈，函数()f x 满足：存在00x >，对任意的0x >，恒有0()()f x a f x a -≤-.则()f x 可以为 A ．()lg f x x =B ．2()2f x x x =-+C ．()sin f x x =D ．()2x f x =8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是A ．若30S >，则20200a >B ．若30S <，则20200a <C ．若21a a >，则20212020a a >D ．若2111a a >，则20212020a a < 9．如图，已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ,O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线C 及其渐近线在第一象限的交点分别为,Q P ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则该双曲线的离心率为 A ．15+ B ．15+ C ．35+D ．35+ 10．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，S CA B--的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A ．111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B ．32παβγ++< C ．αβγπ++>D ．111tan tan tan αβγ++的值恒为正数 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上） 11．复数z 满足：1za i i=-+（其中0a >，i 为虚数单位），10z =，则a = ▲ ；复数z 的共轭复数z 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限.12．若实数,x y 满足10102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，（1）2x y -的最大值为 ▲ ；（2）若15y ax -≤-≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13．在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，32AB =，35AC =,5CD =，则sin ACB ∠= ▲ ，AD = ▲ .14．已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，点F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+， 则=λ ▲ ，AFDABCDS S ∆= ▲ .15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件""a b c d e <<>>的五位数的个数有 ▲ .16．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ▲ ．17．设直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点,,A B C ，且210AB BC ==l 的方程为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（本小题满分14分）已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =⋅--（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称中心； （Ⅱ）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.19．（本小题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，三角形APB 为等边三角形，已知2AD ，2AB =,PD AB ⊥，5PC .（1）求证：BD AD ⊥（2）求直线BD 与面PDC 所成的角的正弦值.20．（本小题满分15分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）如果对任意正整数n 22n n n a a a ++>都成立，求实数c 的最大值.21．（本小题满分15分）已知椭圆C ：22184x y +=的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4P 斜率为()0k k ->的直线与椭圆C 自上而下交于,M N 两点.（Ⅰ）证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上. （Ⅱ）记AGM ∆和BGN ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的取值范围.22．（本小题满分15分）已知函数()()ln f x a e x x =--.（其中e 为自然对数的底）（Ⅰ）当2a e =时，是否存在唯一的0x 的值，使得()02f x =？并说明理由；（Ⅱ）若存在a R ∈，使得()0f x ka +≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.杭高2019学年第二学期高三高考仿真模拟卷数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BBDBABCDBD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．2 四 12．4 [1,1]-135210 14．13 1615．21162 17．31y x =+三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．解： （1）31cos21()222x f x x +=-- 312cos212x x -- sin(2)16x π=-- 故()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈， 其图像的对称中心是1(,1),212k k Z ππ+-∈.（2）∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤，∴3sin(2)16x π≤-≤，从而31sin(2)106x π-≤--≤ 则()f x 的值域是3[1--.19．解析：（1）证明：设AB 的中点为O ，连接PO 与BO ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PO AB ⊥，又因为AB PD ⊥，所以AB ⊥平面POD ，则AB OD ⊥，2AD BD ∴==2AB = ,所以ABD ∆是等腰直角三角形，且AD BD ⊥（2）由（1）可知AB ⊥平面POD ，即平面POD ⊥平面ABD ，又因为5PC =，//,,1CD AB CD PD PD ∴⊥∴=,所以0120,PDO ∠=030POD ∠=以为O 原点，过O 在POD ∆所在平面内作OD 的垂线z 为轴，,OD AB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系则点()()()330,1,0,1,0,0,1,1,0,0,,2D B C P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()1,1,0BD =-,13130,,,1,,222PD PC ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则平面PCD 的法向量(),,n x y z =，13020,3,11302y z x y z x y z ⎧--=⎪⎪⇒==-=⎨⎪--=⎪⎩ 则()0,3,1n =-，所以36sin cos ,22BD n θ===⋅20．解析（1）当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+， 即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由（122n n n a a a ++>22n n n +>+*n N ∈，222222n n nn nc n n n n n++-+∴<++=++===，因为1n ≥，所以22023n <≤+，1≤<1>，所有1c ≤，即c 的最大值为1；21．解：（1）①()()0,2,0,2A B -,直线:4MN y kx =+，②()()2222224248,121624028y kx x kx k x kx x y =+⎧⇒++=+++=⎨+=⎩， 设()()1122,,,M x y N x y ，则1212221624,1212k x x x x k k +=-=++ ③直线212122:2,:2y y AN y x BM y x x x -+=+=-，削去x 得到1y =（骗分？） ④分析法：要证明交点G 在定直线1y =上2200220110011221=21,22123y y x x x x x y y x x x x --⎧⎧+=-⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨++⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩存在使得 ()()()()121212121212223232632y y y x x y kx x x kx x x ⎛⎫+-⇔=-⇔+=--⇔+=-+ ⎪⎝⎭()1212460kx x x x ⇔++=()12121212221624,,6401212k x x x x x x kx x k k+=-=∴++=++ 综合法：()()()()222212121121211122222222222622y y y x y x x x x y x kx y y y y x y x kx y x y xx x --⎧⎧=+-=⎪⎪-+-⎪⎪⇒⇒==⎨⎨+++++⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩()12121212221624,,6401212k x x x x x x kx x k k+=-=∴++=++，1y ∴= ⑤1112222111121111AMNAMN GMNGMN BMN BMN GMNGMNS y AN S S S S y NG S BMy S S S MG y S ∆∆∆∆∆∆∆∆------====+-----()12211211131331331y y kx y kx y --+===-⋅-+-()()()12121212122133640,,22x x x x x x kx xkx kx x x ++++=∴=-=-()()()()()()1212211111212121221222333332221111333333333222x x x x x x S x x x x x x x x x x S x x x x ++--+-∴=-=-=-=⋅++--+- ()2211=,0xx x x λ>>设()2222211221121221648211212=2412k x x x x x x k k x x x x k λλ⎛⎫- ⎪+-++⎝⎭∴++==+()()()()()2222223261210211610163312312312k k k k k k -++-===-+++ 22223256961920,6496,2k k k k ∆=-->∴>> ()21016102,33312k ⎛⎫∴-∈ ⎪+⎝⎭，即()1102,1,33λλλ⎛⎫+∈⇒∈ ⎪⎝⎭121,13S S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22．。

合集下载

2020-2021学年浙江省杭州市高三高考数学仿真模拟检测试卷19及答案解析

2020-2021学年浙江省杭州市高三高考数学仿真模拟检测试卷19及答案解析

高考模拟试卷 数学卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上． 参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 343V R π= 棱锥的体积公式其中R 表示球的半径 ()112213V h S S S S =++棱锥的体积公式 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 13V Sh = h 表示棱锥的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创题）在空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（1,0,2），（1,2,0），（1,2,1），（0,2,2），该四面体正视图面积为1S 、侧视图面积为2S 、俯视图面积为3S ，则321S S S 、、的大小关系是（ ） （A ）231S S S >> （B ）321S S S >> （C ）321S S S == （D ）321S S S >= 【命题意图】：考查用平行投影解决三视图的问题，属容易题。

2.（原创题）已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于R x ∈∀，都有)2()()4(f x f x f +=+成立，若[]0)()(,2,0,21112121<--≠∈x x x f x f x x x x 时，都有且，则函数)(x f y =在[]4,4-上有（ ）个零点.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【命题意图】：考查函数的基本性质，属容易题。

3.（2015德州模拟改编）已知向量AB 与AC 的夹角为o 60，且2||||==,若,+=λ且⊥,则实数λ的值是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【命题意图】：考查用平面向量解决简单的几何问题，属容易题。

浙江省杭州高级中学2017-2018学年高三 高考模拟考试数学试题

浙江省杭州高级中学2017-2018学年高三 高考模拟考试数学试题

浙江省杭州高级中学 2017-2018学年高三 高考模拟考试第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}21110,24,,2x M x x N xx N +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭则M N =（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．{}02. 已知函数()()21121,13xx f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，则函数()()()2g x f f x =-在区间(]1,3-上的零点个数是（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．4 3. 已知227xyA == ，且112x y+= ，则A 的值是( )A ． 7B ．．± D ． 984．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“90C ∠>”的一个充分非必要条件是 ( )A ．222sin sin sin A B C +< B ．1sin 4A =，cos B = C. ()221c a b >+- D ．sin A <cos B5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C. 可能是等差数列，但不会是等比数列 D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 6. 已知不等式组40410x y x y +-≤⎧⎨-+≤⎩所表示的平面区域为M ，不等式组23302230x y x y --≥⎧⎨+-≤⎩所表示的平面区域为N ，若M 中存在点在圆()()()222:310C x y r r -+-=>内，但N 中不存在点在圆内，则r 的取值范围是 （ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝ C. ( D ．⎛ ⎝⎦ 7. 已知双曲线方程为()()()222210,0,0,,0,,x y a b A b C b a b -=>>-B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为( )A B D 8．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A ．B ．C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题有 7小题, 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分.把答案填答 题卷的相应位置）9. 在等差数列{}n a 中，2145,12a a a =+=，则n a = ，设()211n n b n N a *=∈-，则数列{}n b 的前n 项的和n S = .10. 已知空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积是 ；几何体的体积是 .11．函数()()sin ,0,02y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤<的部分图象如图，则函数表达式为 ；若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍得到函数()g x = ．12.设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1234,,,P P P P ，则1234PP P P +的值 ，若直线m 与抛物线相交于,M N 两点，且与圆相切，切点D在劣弧AB 上，则MF NF +的取值范是 ． 13.设,,a b c 为正数，且123b ca ++=，则23223a bc ac ab +++的最大值为 ．14.在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1,6,AB EF BC CA ====2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于 ．15. 如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为15，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值为__________．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∆所对边，()4,2cos tan sin .2Ca b A A +=-= （1）求边长c 的值;（2）若E 为AB 的中点，求线段EC 的范围．17. 在矩形ABCD 中，AB AD ==，将ABD ∆沿BD 折起，使得点A 折起至A '，设二面角A BD C '--的大小为θ．（1）当90θ=时，求A C '的长；（2）当1cos 4θ=时，求BC 与平面A BD '所成角的正弦值．18.设函数()()23,2f x x ax a g x ax a =-++=-．（1）若函数()()()h x f x g x =-在[]2,0-上有两个零点，求实数a 的取值范围； （2）若存在0x R ∈，使得()00f x ≤与()00g x ≤同时成立，求实数a 的最小值． 19. 如图,焦点在x 轴的椭圆，离心率2e =，且过点A ()2,1-，由椭圆上异于点A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 点与P 点不重合)． （1）求椭圆标准方程；（2）求证：直线PQ 的斜率为定值； （3）求OPQ ∆的面积的最大值．20. 数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2112n n n a a a +=+，n N *∈ （1）若()1012a a a a =>+，求1210111222a a a ++++++的值；（2）当0a >时，定义数列{}n b ，()112k b a k =≥，11n b +=-数(),i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++．如果存在，求出一组(),i j ，如果不存在，说明理由．试卷答案一、选择题1-5: DCBBC 6-8:DCB二、填空题9.21n +44n n + 10.288π+ 124π+ 11. sin 44y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos2y x π=12.222⎡⎤+⎣⎦13. 3 14. 2cos 3θ=三、解答题16. (1)22c a b c =+⇒=(2)方法一：易得()222214742a b CE b b a b +=-=-+=-又)13a c bb CE bc a+>⎧⇒<<∈⎨+>⎩方法二： 以AB 所在直线为x 轴， 中垂线为y 轴， 则C 的轨迹方程是()221043x y y +=≠，三角代换，可得[)22cos33,4CE θ=+∈故)CE ∈17. （1）在图 1中，过A 作BD 的垂线交BD 于E ，交DC 于F ，则410AD AB AE BD ⋅===，从而2,1,8DE EF BE === 如图 2，以,DA DC 所在直线分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系4A ⎫'⎪⎪⎝⎭，()CA C '==（2）当1cos 4θ=时，A F '由余弦定理知90A FE '∠=又易知BD ⊥平面A FE '，故有BD A F '⊥ 所以A F '⊥平面ABCD(A '故(DA '=，又()DB =求得A BD '的法向量()123,n=又()CB =设BC与平面A BD '成角为θ，1113sin cos ,CB n CB n CB n θ⋅=<>==⋅ 18.（I ）由已知()()()22330h x f x g x x ax a =-=-++=在[]2,0-上有两个不同的实数解，所以()()22770033020412120h a h a a a a⎧-=+≥⎪=+≥⎪⎨-≤≤⎪⎪∆=-->⎩，即120a a a a ⎧⎪≥-⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪<>⎪⎩ 解得312a -≤<（II ）由已知，()()2000301202x ax a ax a ⎧-++≤⎪⎨-≤⎪⎩ ()()12+得203x a ≤-，得3a ≥，再由()2得02x ≤，由()1得()20013a x x -≥+，得01x >于是，问题等价于：3a ≥，且存在(]01,2x ∈满足20030x ax a -++≤令(]010,1t x =-∈，2003421x a t x t+≥=++-因为 ()42t t tϕ=++ 在(]0,1 上单调递减， 所以 ()()17t ϕϕ≥=，即 7a ≥ 故实数a 的最小值为 7.19. 解： （1）设椭圆方程为()222210,0x y a b a b+=>>，c e a ==，椭圆经过点()2,1- ∴椭圆方程为22163x y += （2）设直线AP 方程为 ()21y k x =++，则直线AQ 的方程为 ()21y k x =-++由2221163y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222124218840k x k k x k k +++++-=0∆>，设()11,P x y , 由()2,1A -可得()211224214422,1212k k k k x x k k -+--+-==++，222244224,1212k k k k P k k ⎛⎫--+-+∴ ⎪++⎝⎭ 同理可得222244224,1212k k k k Q k k ⎛⎫-++-- ⎪++⎝⎭2222222424121214424421212PQk k k kk k k k k k k k k ---+-++==--++--+-++（3）由（2）,设PQ 的方程为y x m =-+.由22163y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：2234260x mx m -+-=,令0∆>，得33m -<<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212426,33m m x x x x -+=⋅=,()221699m PQ -∴=设原点O 到直线的距离为d ，则222m d =()222222919492OPQ m m S PQ d ∆-∴==≤当m =时，OPQ ∆20. ()()11212,22n n n n n na a a a a a +++==+ 所以11112n n n a a a +=-+ 故11112n n n a a a +=-+ 所以1210111111111212222a a a a a a a a++++=-=-=+++（2）由11n b +=-得11n b ++=()21112n n b b ++=+所以21112n n n b b b ++=+当1k b a =时，由212212b b b =+知22212k a b b =+ 又21112k k k a a a --=+，数列{}n a 递增，所以21k b a -= 类似地，321,k t k t b a b a --+==又21212a a a += ))2111112a a +==101a = 1012i j b b a a +=+所以111012k i k j a a a a -+-++=+存在正整数(),i j i j ≤，112,110k i k j -+=-+=11,9i k j k =-=-存在一组()(),11,9i j k k =--。

浙江省杭州市高级中学2022届高三数学5月仿真模拟试题

浙江省杭州市高级中学2022届高三数学5月仿真模拟试题

浙江省杭州市高级中学2020届高三数学5月仿真模拟试题1. 本试卷分试题卷和答题卷（和机读卡），本卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸（和机读卡）规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4. 请用2B 铅笔将选择题答案填在机读卡上。

（可选）5. 考试结束后，只需上交答题卷（和机读卡）。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}11,02P x R x Q x R x =∈-<<=∈≤<，那么R P C Q =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)2． 双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．33．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ） A ．B ．C ．D ．4．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，，，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞5．若函数()2()4mxf x n =-的大致图象如下图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>6．对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知随机变量ξ的分布列如下：则当a10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（ ） A. D ξ增大 B. D ξ减小 C. D ξ先增大后减小 D. D ξ先减小后增大8．已知123,,e e e 是空间单位向量,且满足12233112e ⋅=⋅=⋅=e e e e e ,若向量 123(1),λλλ=+-∈b e e R .则3e 在b 方向上的投影的最大值为（ ）A ．2 B C 9．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,310．已知数列n a 满足：0na ，且22*1132n n n a a a n N ，下列说法正确的是（ ）A.若112a ，则1n n a a B.若12a ，则1317n naC. 1532a a aD. 21133nn n n a a a a 非选择题部分 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省杭州高级中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷(附答案解析)

浙江省杭州高级中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷(附答案解析)

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题（共7小题）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于；外接球表面积等于．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝；a5＝．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）解：A＝{x|x≤﹣1，或x≥1}；∴A∩B＝[1，4）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i解：∵＝，∴z的虚部为﹣2．故选：B．3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有＝，即a＝2b，由双曲线的几何性质分析可得c＝＝a，由离心率的计算公式可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其渐近线方程为y＝±x，则有＝，即b＝2a，c＝＝a，则其离心率e＝＝；故选：B．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．解：当x＞0时，f（x）＝x﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小【分析】ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，故Eξ＝1﹣x，Dξ＝（1﹣x）x＝x﹣x2，进而，得到Eξ和Dξ在x∈（0，），上的单调性．解：根据题意，ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，所以Eξ＝1﹣x，当x∈（0，）时，Eξ单调递减，即E（ξ）随着x的增大而减小，Dξ＝（1﹣x）x＝﹣x2+x，因为Dξ的对称轴为x＝，开口向下，故当x∈（0，）时，Dξ随着x的增大而增大．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为2，三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体是体积，所求体积为：＝．故选：C．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．【分析】根据平面向量的数量积和二次函数的性质，结合余弦函数的性质即可求出结果．解：如图所示，由•＝（﹣）•＝•﹣•＝||×||cos∠BCO﹣||×||cosθ＝﹣||•||•cosθ＝﹣||•cosθ，且﹣||•cosθ≥﹣||＝（||﹣）2﹣，由||∈[0，2]，当||＝时，•有最小值为﹣，又当||＝2，且cosθ＝﹣1时，﹣||•cosθ，此时•＝3，为最大值．所以•的取值范围是[﹣，3]．故选：A．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC【分析】解题的关键是通过构造垂面得出∠PMC＝α，然后转化到平面中解决即可．解：如图，取PC中点D，连接AD，BD，由PB＝BC＝a，PA＝AC易知BD⊥PC，AD⊥PC，故可得PC⊥平面ABFD，作PM⊥AB于M，由△ABP≌△ABC，可得CM⊥AB，∴∠PMC＝α，又PM＝CM＝h＜a＜b，∴，∴2α＞∠PAC+∠PBC，，故选：C．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立【分析】取a＝1，b＝1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．解：取a＝1，b＝1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b＝x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2﹣4a且b＞0，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于3；外接球表面积等于9π．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求得几何体最长棱长，再由分割补形法得到多面体外接球的半径，则球的表面积可求．解：如图，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PA＝AB＝2，AD＝1，∴最长棱PC＝＝；其外接球的半径为．则其外接球的表面积为．故答案为：3；9π．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为11；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点C时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z＝2×1+3×3＝11，可行域的面积为：＝故答案为：11；．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝﹣160；a5＝15．【分析】在所给的等式中，令x等于0，求得a0的值；再利用通项公式求得a5即x5的系数．解：∵（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，令x＝0，可得a0＝﹣160．a5即x5的系数为﹣5+•2•2＝15，14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．【分析】，，利用正弦定理可得：sin B＝（4+2）sin cos B，tan B＝2+，可得B，C．再利用三角形的面积计算公式即可得出．解：，，∴sin B＝（4+2）sin cos B，∴tan B＝2+，∵tan（）＝＝＝2+，B∈（0，π）．∴B＝．∴C＝＝＝B．∴c＝b＝1．∴S＝bc sin A＝＝．故答案为：，．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有21．【分析】由题意可得c最大，a不能为0，分两类，当c＝5时，当c＝4时，根据分类计数原理可得．解：由题意可得c最大，a不能为0，当c取5时，则从剩下4个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下3个数（包含0）取两个，放在右边，有C42C32＝18个，当c取4时，则从剩下3个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下2个数（包含0）取两个，放在右边，有C32C22＝3个，故满足条件的五位数的个数有18+3＝21个，故答案为：21．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是[0，1]．【分析】利用三角形的面积的表达式，结合椭圆方程，求通过二次函数，转化即可得到|x0|的取值范围．解：设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，当P是短轴端点时，三角形的面积取得最大值，所以|y0|＝，，可得：x02＝4﹣，0＜m＜2，可得4m2﹣m4∈（0，4]，所以﹣3，可得x02≤1所以|x0|的取值范围是：[0，1]．故答案为：[0，1]．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】易知f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F （x）＝|lnx+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．解：f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F（x）＝|lnx+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）＝max{|1+a﹣b|，|1﹣e+a﹣b|}，F（x）＝max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a﹣b|+|1﹣e+a﹣b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2﹣e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得函数解析式为f（x）＝，由已知可求T，利用周期公式可求ω的值，令，可求函数的增区间．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求，由范围，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）因为：（ω＞0），所以：＝，…………………由条件T＝8，所以：，…………………所以：，令，得：．所以增区间为：．…………………（Ⅱ）因为：，由（1）知：，即：，…………………因为：，所以：，所以：，…………………所以：＝＝．…………………19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过求解三角形证明EC⊥CA，EC⊥CB，推出EC⊥面CAB．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出面ABE的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ABE所成角的正弦函数值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理得，在△EBC中，由余弦定理得由CE2+CA2＝EA2，CE2+CB2＝EB2得，EC⊥CA，EC⊥CB，所以EC⊥面CAB……………………（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则所以，所以，……………………所以是面ABE的一个法向量，则取……………………记直线AD与平面ABE所成角为α，则……………………20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d≠0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到a n；可令n＝1，求得b1，再将n换为n﹣1，相减可得b n；（Ⅱ）原不等式转化为++…+＞n+1﹣，应用数学归纳法证明，注意检验n＝1不等式成立，再假设n＝k时不等式成立，证明n＝k+1时，不等式也成立，注意运用分析法证明．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，a3＝3，可得a1+2d＝3，a l，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解方程可得a1＝d＝1，则a n＝n；数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n，可得b1＝2a1＝2，将n换为n﹣1可得b1+2b2+……+（n﹣1）b n﹣1＝2a n﹣1，联立b1+2b2+……+nb n＝2a n，相减可得nb n＝2a n﹣2a n﹣1＝2，则b n＝，对n＝1也成立，则b n＝，n∈N*；（Ⅱ）证明：不等式++……+＞a n+1﹣（n∈N*）即为++…+＞n+1﹣，下面应用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，不等式的左边为＝，右边为2﹣，左边＞右边，不等式成立；（2）假设n＝k时不等式++…+＞k+1﹣，当n＝k+1时，++…++＞k+1﹣+，要证++…++＞k+2﹣，只要证k+1﹣+＞k+2﹣，即证﹣＞1﹣，即证（﹣）（1﹣）＞0，由k∈N*，可得上式成立，可得n＝k+1时，不等式也成立．综上可得，对一切n∈N*，++…+＞n+1﹣，故++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，进而得到所求抛物线方程；（2）方法一、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和直线方程的交点可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值；方法二、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和向量共线定理、以及向量垂直的条件可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值．解：（1）Q（1，2）代入y2＝2px解得p＝1，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）证法1：（巧设直线）证明：设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得，则有，可设AP：，即，同理BP：，解得P（﹣3，3t），即动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．证法2：（利用向量以及同构式）证明：设l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则有，，，又O为△PAB的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，y1，y2是方程的两根，所以，所以动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H max（x）＜0即可．解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，∴x2+3x+1＜0，∴，又x＞﹣2，∴；当f′（x）＜0时，解得，∴f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．。