江苏省启东中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题+含答案

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试

高二数学

考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．圆O1：2220xyx与圆O2：2240xyy的位置关系是（ ）

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

2．“4m”是“m为2与8的等比中项”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列命题中，不正确的是（ ）

A．若ab，cd，则adbc B．若22axay，则xy

C．若ab，则11aba D．若110ab，则2abb

4．在等差数列na中，首项10a，公差0d，前n项和为*nSnN，且满足315SS，则nS 的最大项为（ ）

A．7S B．8S C．9S D．10S

5．若两个正实数x，y满足，且不等式x＋y4＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（ ）

A．(－1，4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C．(－4，1) D．(－∞，0]∪[3，＋∞)

6．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（ ）

A．51 B．552 C．55 D．52

7．双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点F与抛物线24yx的焦点重合，若这两曲线的一个交点P满足PFx轴，则a（ ） A．21

B．21

C．12 D．222

8．已知F是椭圆22xCy12：的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q4,3，则PQPF的最大值为（ ）

A. 52 B. 32 C. 34 D. 42

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9．在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）

A．221fxxx B．1cos0cos2fxxxx

C．2243xfxx D．4323xxfx

10．下面命题正确的是（ ）

A．“1a”是“11a”的充分不必要条件

B．命题“任意xR,则210xx”的否定是“ 存在xR,则210xx”.

C．设,xyR,则“2x且2y”是“224xy”的必要而不充分条件

D．设,abR,则“0a”是“0ab”的必要不充分条件

11．如图,在棱长均相等的四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有（ ）

A．PD∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMN

C．直线PD与直线MN所成角的大小为90o D．ONPB

12．将2n个数排成n行n列的一个数阵，如下图：

111213212223231323331312nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中0m）.已知112a，13611aa，记这2n个数的和为S.

下列结论正确的有（ ）

A．3m B．767173a

C．1(31)3jijai D．1(31)314nSnn

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．命题“∃x0∈R, 200410xax”为假命题，则实数a的取值范围是________．

14．点P((x－2)2＋(y－2)2＝│3x―4y―6│10，则点P的轨迹为_____________

离心率为________．

15．设双曲线22221xyab0,0ab的左右焦点分别为12,FF，过1F的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点2F且22MFNF，则双曲线的离心率为________

16．,

使得

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17．(本小题满分10分)已知集合13Axx，集合()(1)0Bxxaxa，aR.（1）若“1B”是真命题，求实数a取值范围；

（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

18. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为8，短轴长为4．

(1)求椭圆方程；

(2)过(2,1)P作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长．

19．(本小题满分12分)某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元

（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数*xxN的函数关系；

（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？

20. (本小题满分12分)如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

21. (本小题满分12分)设数列na、nb都有无穷项,na的前n项和为nS=)53(212nn,

nb是等比数列, 3b=4且6b=32.

(1)求na和nb的通项公式;

(2)记nc=nnba,求数列nc的前n项和为nT,

22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心E 率为32直线yx被椭圆C截得的线段长为4105．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点的直线与椭圆C交于BA,两点（BA,不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且ABAD，直线BD与x轴、y轴分别交于NM,两点．

(ⅰ)设直线AMBD,的斜率分别为12,kk，证明存在常数使得12kk，并求出的值；

(ⅱ)求OMN面积的最大值．

CACCB,CAA,AD ABD ABD ACD

4,4 椭圆 12 3

17．（1）若“1B”是真命题，则10aa，得01a.

（2）10Bxxaxa1xaxa，

若“xA”是“xB”的必要不充分条件，

则B是A的真子集，

即113aa，即12aa，得-12a，

即实数a的取值范围是1,2.

18.(1)由椭圆2222:1(0)xyCabab长轴长为8，短轴长为4，

得28,24ab，所以4,2ab，

所以椭圆方程为221164xy．

(2)设以点(2,1)P为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)AxyBxy，则12124,2xxyy.

1122(,),(,)AxyBxyQ在椭圆上，所以22111164xy，22221164xy，

两式相减可得12121212()()4()()0xxxxyyyy，

所以AB的斜率为212112yykxx，

∴点(2,1)P为中点的弦所在直线方程为240xy.

由221164240xyxy，得240xx，所以02xy或40xy，

所以22||4225AB．

19.解：（1）由题意知，x年总收入为100x万元 x年维护总费用为10(123)5(1)xxxL万元.

∴总利润1005(1)180yxxx，*xN

即251936yxx，*xN

（2）年平均利润为36595yxxx

∵0x，∴3636212xxxx

当且仅当36xx，即6x时取“”

∴35yx

答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.

20．解：（1）由已知得，11BC平面11ABBA，BE平面11ABBA，

故11BCBE．

又1BEEC，所以BE平面11EBC．

（2）由（1）知190BEB．由题设知RtABE△≌11RtABE△，所以45AEB，

故AEAB，12AAAB．

以D为坐标原点，DAuuur的方向为x轴正方向，||DAuuur为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，

则C（0，1，0），B（1，1，0），1C（0，1，2），E（1，0，1），(1,0,0)CBuuur，(1,1,1)CEuuur，1(0,0,2)CCuuuur．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 0,0,CBCEuuuruuurnn即0,0,xxyz

所以可取n=(0,1,1).

设平面1ECC的法向量为m=（x，y，z），则

10,0,CCCEuuuuruuurmm即20,0.zxyz

所以可取m=（1，1，0）．于是1cos,||||2nmnmnm．

所以，二面角1BECC的正弦值为32．

21．解.(1)1a=1S=4;

当n2时,

1nnnSSa=)53(212nn)]1(5)1(3[212nn =]5)12(3[21n=3n+1,

且1a=4亦满足此关系,故na的通项为na=3n+1(*Nn).

设nb的公比为q,则3q=36bb=8,故q=2,从而33nnqbb=12n(*Nn).

(2)由定义,nc=nnba=1213nn,

而 nT= 41027142223nn+1213nn,

2nT=8+413210172213nn

两式相减,有nT=8+3(1+4121221n)1213nn

=8+3(2221n)1213nn