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极限部分练习题答案

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《极限部分练习题》参考答案1. 42lim416--→x x x解1 ()()()()()()84244x 48422lim 42lim4424344243416416++++-++++-=--→→x x x x x x x x x x x x x()()()()84216x 416lim4424316+++-+-=→x x x x x x 418888448424lim4424316=++++=++++=→x x x x x .解2 ()()4122121lim 222lim 42lim41644416416=+=+=+--=--→→→x x x x x x x x x . 【注】解1中是分子、分母同乘分子24-x 的共轭根式84244243+++x x x ，解2中是分子、分母同乘分母4-x 的共轭根式4+x ，显然解2比解1简单.2. 求a 的值，使得411lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x a解 a aa xx aa xx xx e x a x a x a ---∞→--∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1lim 1lim 1lim Θ，41=∴-a e ，即4=ae ,取对数得2ln 24ln ==a . 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x sin 11sinlim 解 101sin 1lim 11sinlim sin 1lim 1sin lim sin 11sin lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→∞→x x xx x x x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限xx x 1sin lim ∞→时应用了第一个重要极限，而求极限x x x sin 1lim ∞→时则应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.4. 当∞→n 时，n 1sin2与k n1等价，则=k ？ 解 Θ当∞→n 时k n n 1~1sin 2，111sin lim2=∴∞→k n n n ，而111sin lim 11sin lim 11sin lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→kn kn k k n n n n n n n ，2=∴k .5. xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1212lim 解1 e e e x x x x x x x x x x xx x xx x x x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→2121212212212212211lim 211lim 211211lim 211211lim 1212lim . 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→2121212211221lim 1221lim 1212lim x x x x x x x xx xxe e x x x x x =⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→11221lim 1221lim 21212. 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→n n n 1111311311211211lim Λ 21121lim 1134322321lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n Λ. 7. 设()3222+-=+x x x f ，则()[]=2f f ？解 在()3222+-=+x x x f 中令0=x ，得()32=f ，从而()[]()32f f f =；再在()3222+-=+x x x f 中令1=x ，得()23=f ，即()[]22=f f .8. xxx 3sin 11lim0--→解1 ()()()()xx xx x x x x x x x x -+=-+-+--=--→→→113sin lim113sin 1111lim 3sin 11lim000 ()()616111131lim 3sin 3lim 11313sin 3lim 000=⨯=-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=→→→x x x x x x x x x . 解2 注意，当0→x 时，x x 3~3sin ，且()2~1111xx x ---+=--，所以当0→x 时，()2~1111x x x ---=--，于是由无穷小量替换法得613lim 3sin 11lim 00==--→→x 2xx x x x .9. xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→12lim 解1 31212212211lim 21lim 1121lim 1121lim 12lim e e e x x x x x x x x x x xx x x x xx x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→131131lim 131lim 12lim 331x x x x x x x xx xx333311131lim 131lim e e x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→. 10. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0解 110sin lim 1sin lim sin 11sinlim 000=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x 1sin lim 0时应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.11. 623lim 2232--++-→x x xx x x解 ()()()()()5231lim 2321lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .12. hx h x h 330)(lim -+→解1 ()()2220322033333lim 33lim limx h xh x hh xh h x hx h x h h h =++=++=-+→→→. 解2 ()()()[]()()[]2220220333lim lim limx x x h x h x hx x h x h x h hx h x h h h =++++=++++=-+→→→.【注】解1中分子是直接将二项式()3h x +展开再减3x ，而解2中分子是直接对()33xh x -+应用立方差公式. 13. 321lim3--+→x x x解 ()()()()()()41211lim 2133lim 2132121lim 321lim3333=++=++--=++-++-+=--+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 14. ()x x x x -+++∞→)2)(1(lim解 ()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-+++∞→+∞→212121lim )2)(1(lim()()()()23123123lim2323lim 2121lim222=++++=++++=+++-++=+∞→+∞→+∞→x x x xx x x x x x x x x x x x . 【注】仿上步骤可知，()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-++-∞→-∞→212121lim )2)(1(lim()()()()+∞=+++-+=++++=+++-++=-∞→-∞→-∞→123123lim2323lim 2121lim222x x xxx x x x x x x x x x x x ，即极限()x x x x -++-∞→)2)(1(lim不存在，所以()x x x x -++∞→)2)(1(lim 也不存在，故将原题改为()x x x x -+++∞→)2)(1(lim .15. xx xx x e e e e 2223lim ++-+∞→解1 21231lim 23lim 322=++=++--+∞→-+∞→x x x x x x x x e e e e e e .解2 令xe u =，则当+∞→x 时，+∞→u ，故由无穷小量分出法，有212311lim 231lim23lim32222=++=++=+++∞→+∞→-+∞→uu u u u u e e e e u u x x xx x .16. xxx x 3sin sin 2tan 2lim+-+→ 解 ()()()xx x xx x x xxx x x sin 2tan 2sin sin 2tan 2sin 2tan 2lim sin sin 2tan 2lim3030+++++++-+=+-+→→ ()()xx x x x x x x x x x sin 2tan 2sin 1cos 1lim sin 2tan 2sin sin tan lim 2030+++-=+++-=→→ ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅-=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin cos 1lim 20（以下分3种作法） ① 原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin 2sin 2lim 220 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅⋅=→x x x x x x x xxx sin 2tan 21cos 1sin 242sinlim 2222220 241221111121sin 2tan 21lim cos 1lim sin lim 22sin lim21002020=⨯⨯⨯⨯=+++⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→→→x x x x x x x x x x x .② 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅+⋅-=→x x x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11sin cos 1lim 220 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅+=→x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim cos 11lim000=⨯⨯⨯=+++⋅⋅+=→→→x x x x x x x .③ Θ当0→x 时，2~cos 12x x -，且22~sin x x ，∴由无穷小量替换法，原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 12lim 220⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x sin 2tan 21cos 121lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim 2100=⨯⨯⨯=+++⋅⋅=→→x x x x x . 17. xx x x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 22解 x x xx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→222111lim 1lim xx x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∞→∞→11111lim 11111lim 1 1111lim 11lim 111=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→--∞→ee x x xx xx . 18. ()xx x 3sin 21ln lim 0+→ 解1 ()()()xx x xx x x x x x x x x x x 33sin 21ln lim 32333sin 221ln 21lim 3sin 21ln lim 21000+=⋅⋅+=+→→→()x x x x xx 33sin lim 21ln lim 320210→→+= ()321ln 3233sin lim 21lim ln 320210=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→→e x x x x x x . 解2 ()3232lim 3sin 21ln lim 00==+→→x x x x x x （Θ当0→x 时，x x 2~)21ln(+，且x x 3~3sin ）.19. 9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，求=a ？解 Θa a a a a x x aa xx a a x aa x x xx x x e e e x a x a x a x a x a x a a x a x 21lim 1lim 11lim 11lim lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. ∴92=a e ，两边取对数，得3ln 29ln 2==a ，3ln =a .20. ()x x xx ++-∞→100lim2解 ()()()xx x xx xxx xx x x x x -+-+++=++-∞→-∞→100100100lim100lim 22225011001100lim100100lim100100lim2222-=-+-=-+=-+-+=-∞→-∞→-∞→xxx x x xx x x x x x x x .【注】解题过程中要特别注意的是，由于-∞→x ，故x ＜0，于是作到第3步骤后，分母中的根式x x x x x x 1001100110022+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（同样的情况前面也有遇到，请参见第14题【注】的第4步骤）.。

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第一章求极限练习题答案

第一章求极限练习题答案

n dAl l th i nb ea rgo1．求下列极限：(1) 解：原式===22221lim(1)n n n n →∞++-2221lim 21n n n n n →∞++-+22112lim 211n n n n n→∞++-+(2) 解：原式==(3) 解：原式20lim(1)x x x →+12lim[(1)]x x x →+2e 3x →==(4) 解：原式=3x →x →141lim (1)xx x e →∞-=1(5) 求.解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-0x ≠当当当lim cos cos cos 242nn x x x→∞==cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞ 1cos sin22lim 2sin 2n n nx xx →∞-sin lim 2sin 2n nn x x →∞ ==(6) 解：原式==sin 2lim()sin 2n n nx x x x →∞A sin x x limx lim x (7) limx lim x 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令 2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (8)解：原式=n →∞Al th ng i nt hi n g2n n →∞→∞==1.3 函数的极限 作业1.根据函数极限的定义,验证下列极限:(1) 解: ,要使, 即,31lim0x x→∞=0ε∀>3311|0|||x x ε-=<||x >只要取,则当时,恒有 , 所以. X =||x X >31|0|xε-<31lim0x x→∞=(2) 解: ,要使,2x →=0ε∀>|4||2|2x ε-=<<还要使，即，或，只要取,0x ≥44x -≥-|4|4x -<min{2,4}δε=则当时,恒有 , 所以. 0|4|x δ<-<|2|ε-<42x →=2.求下列数列极限:(1) 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)解：原式=n →∞2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 解：原式=-9(2) 解：原式==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+a re (3)解：原式=1x→11x x →→==(4) 解：原式=x →∞x =(5) 解：原式=2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(6) 解：原式=2121lim()11x x x →---211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+4.设，分别讨论在，和23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪-⎩()f x 0x →1x →时的极限是否存在.2x →解：，，故不存在.0lim ()2x f x -→=0lim ()1x f x +→=0lim ()x f x →，趋向无穷大，故不存在.1lim ()2x f x -→=1lim ()x f x +→1lim ()x f x →，，故.2lim ()1x f x -→=2lim ()1x f x +→=2lim ()1x f x →=1.43．求下列函数极限：(1) =-9(3) ==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+1x →1x x →→==(7) 00h h h →→→===(9) =x →∞x =ngsin(11) =2(21)(32)lim(21)xx xx→∞--+226723lim4412xx xx x→∞-+=++(13) lim lim0x x==(15) =2121lim(11x x x→---211(1)11lim lim112x xxx x→→---==--+2. 设，分别讨论在，时的左右1100()01112xxxf xx xx-⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪<<⎪≤<⎪⎩()f x0x→1x→极限，并说明这两点的极限是否存在.解：，，故001lim()lim11x xf xx--→→-==-00lim()lim0x xf x x++→→==00lim()lim()x xf x f x-+→→≠不存在.，lim()xf x→11lim()lim1x xf x x--→→==11lim()lim11x xf x++→→==.11lim()lim()x xf x f x-+→→=1lim()1xf x→=1.51．求下列极限：(1)00sin3sin3lim lim333x xx xx x→→=⋅=00tan333(3)lim limsin444x xx xx x→→==2220002sin22(5)24()2x x xxxxxx→→→⋅===注:在，.0(0,)Uδ2sin02x≥220002(5)4x x xxx→→→===Al ng snt he (7) 解: 原式=0x →0x →=202sin sin lim sin 2x x x x x x→→+==42021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+注意: 代数和中的一部分不能用无穷小替换.错 原式=0x →0→ (8)1sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式==2022sin cos 2sin 222lim2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++0sin (cos sin )222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++===00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++A 02lim 12x x x β→A 1β注意: 代数和的一部分不能用无穷小替换.错 =01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-202112lim 12x x xx x βββ→+=+33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim(lim[(1]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++113330(13)lim(13)lim[(13)]xx x x x x e →→+=+=4. 当时，下列函数中哪些是的高阶无穷小，哪些是的同阶0x →x x无穷小，哪些是的低阶无穷小？x32(1)1000x x+322001000lim lim(1000)0x xx xx xx→→+=+=解：因为321000()x x o x+=所以3(2)2sin x32002sin sinlim lim2sin0x xx xxx x→→=⋅=解：因为3sin()x o x=所以(3) 解:ln(1)x+100ln(1)lim lim ln(1)1xx xxxx→→+=+=因为ln(1)~x x+所以(4) 解: ，1cos x-20002sin sin1cos22lim lim lim(sin)022x x xx xx xxx x→→→-===A因为1cos()x o x-=所以(5) 解: 因为==2，故是的同sinx x+sinlimxx xx→+sinlim(1xxx→+sinx x+x阶无穷小.解: 因为==，x→131233sin11lim[()cosxxxx x→A A∞的低阶无穷小.或：因为=xx→0x→是的低阶无穷小.x→x思考题：1．==9=911331lim(39)lim9(13xxx x x xxx x→+∞→+∞+=+A A1331lim9[(1]3x xxxx→+∞+A0e2．，因为当时，.arccotlimxxx→=∞0x→arccot2xπ→习题2.2 1．求下列函数的导数：解：2(1)cosy x x=+'sin2y x x=-+(3) 解：（注：）sin cosy x x e=++'cos1y x=+(cos)'0e=(5) 解2cos2xy='2cos(cos)'22x xy=A==2cos(sin)('222x x x-A A2cos(sin)22x x-cos sin22x x-A解：(7)sin3y x='3cos3y x=解：2(9)sin(1)y x x=++2'(21)cos(1)y x x x=+++解：3(11)lny x=+1139'(ln)'(3ln)'222y x xx x x=+=+=(6) 解：=6(21)y x=+5'6(21)2y x=+A512(21)x+(10) 解：=ln(ln)y x=1'(ln)'lny xx=11ln x xA(11) 解：ln(sin)y x=1''(sin)'siny xx=+1cossinxx+A2．在下列方程中，求隐函数的导数：(1)解：cos()y x y=+'sin()(1')y x y y=-+⋅+(2)解：222333x y a+=113322'033x y y--+=3. 求反函数的导数：(1)解：lny x x=+1111dxdydydx x===+(2) 解：，故arcsin xy e=sin lnx y=1cos lndxydy y=⋅4. 求下列函数的导数(1) 解：2siny x x='y=22sin cosx x x x+(5) 解：3(3)lny x x=23221'3ln3lny x x x x x xx=+=+解：1ln1lnxyx-=+21ln1ln'(1ln)x xx xyx+---=+211lnyx=-++eanrb22212'0(1ln)(1ln)yx x x x=-⋅=-++(7) 解21cosy xx=1'2cosy xx=+2x1(sinx-12cosxx+2x1(sinx-(9)ln(y x=+''y x=+==解：(10) 解：12 (0)xy x e a=->112'2x xy xe x e=+A(ln(x xa a a--(11) arccos xyx=-arccosln(1lnxy xx=-+-解：1'yx=-+2arccos1xx x=+2arccos xx=-ln(13)xy x=2ln ln(ln)x x xy e e⋅==解：ln ln11'2ln2lnx xy x x x xx-=⋅⋅=⋅(14) cos(sin)xy x=解：，对该式两边求导数得ln cos ln siny x x=11'sin ln sin cos cossiny x x x xy x=-+cos'(sin)(sin ln sin cos tan)xy x x x x x∴=-+(15) 解：，对该式两边求导y x=11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x=+--+数得1111'2(1)2(1)yy x x x=---+Al t he (10)解：arcsin lnx y x =-'[ln(1(ln )'y x =++-(1'1x+(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)解：ln y x x =+1111dxdy dydx x===+arcsin xy e =解：，故求下列参数方程的导数：sin ln x y =1cos ln dx y dy y =⋅'y 211(1)(1)x t t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-⋅+-+===+-+解： (2) 解：3233131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dy dy at t t dt dxa x at t dx a t dt t +-⋅-+===+-⋅-+(3) 解：2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若在点连续，且。

极限练习题及答案

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

数学—极限练习题及详细答案

数学—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高数练习册答案

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第一章 函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、 充要 2、1 3、1；不存在 二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则 两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、 计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、 计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、 填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点 三、跳跃间断点 四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。

§2.2 二、2,e e ππ--； 三、（1； （2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。