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极限练习题及答案

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2016

1 / 28 极限练习题及答案

一. 选择题

1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有.

F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数 ．设函数f?

1

x

,则

ex?1?1

x?0，x x?0，x

?1都是f?1都是f

的第一类间断点. 的第二类间断点

x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点.

x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??

x?1x

?1是f

的第一类间断点.

1，则f[，x?0、，

1f

]? 精品文档

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2 / 28 1

1

A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是

C）

X

D） x

1+ )?e

xx11lim??elimC） D）?e

xx

A） lim

x?0

?

1

x

?1B）lim

x?0

1

x

?

x?x

x??x??

5．已知lim 精品文档

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3 / 28 x

?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3； D.2ln3。．极限：lim

x

?

?2

A.1；B.?；C.e7．极限：lim

； D.e。

2

x??

x3?2

= x3

A.1；B.?；C.0； D.2．

8．极限：lim

x?0

x?1?1x

=

A.0；B.?；C 1； D.2．

2

9. 极限：lim=

x??

? 精品文档

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4 / 28 A.0；B.?；C.2； D. 1．

2

sinx

10．极限: limtanx?=

x?0

sin2x

A.0；B.?；C.

二. 填空题 11．极限limxsin

x??

116

； D.16．

2xx?1

2

= ； 12. limarctanx= ；

x?0

x

13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ；

x?x?

14. lim

sin5xx

x?0

?；15. lim 精品文档

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5 / 28 n

?；

16. 若函数y?

x?1x?3x?2

2

2

，则它的间断点是17. 绝对值函数

?x,x?0;?

f?x??0,x?0;

??x,x?0.?

其定义域是 ，值域是 。

?1,x?0;?

18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是 ，值域是三个点的集合 。

??1,x?0.?

19无穷小量是 。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是 。 三. 计算题1.求lim. ；22.设f?3x?2,求f；

x?5

23.求lim

x?2

x?2 精品文档

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6 / 28 ； 4.求lim；

x

25.求lim

sinx

2

2

x?0

tan2x

；6. 已知lim

x

?9，求a的值；

1

27. 计算极限limn ；28.求f?

x??

n??

nn

x?1

?lg?5?2x?它的定义域。

29. 判断下列函数是否为同一函数：

g?x?=1 ；⑴f=sin2x＋cos2x与⑵f?

x

2 精品文档

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7 / 28 ?1

x?1

与g?x?1；

⑶f?

?

x?1与g?x?1； ⑷f?x??

?

2

?x?1?2

与g?x?1；

⑸y?ax2与s?at2。

30. 已知函数f?x2?1， 求f?x?1?、f)、f

?f?3??2?；

1?2n

n2?32?3

nn

nn

31. 求 lim

3n?5n?16n?4n?7

n?1?

2

2 精品文档

2016

8 / 28 n

；2. 求 lim

n

2

；

33. 求 lim；34. 求 lim

n

。

35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限

?sinx,x?0

?x?1,x?2?

⑴ y?? ，x?； ⑵ y??1 ，x?0 。

?x,x?2?x,x?0

?3

36.求lim

1x?3

x?3

；37. 求lim

x?3x?9

2

；

2x?x?1x?x?1 精品文档

2016

9 / 28 33

2

x?3

38.求lim

?x?1x

x?0

；.求当x→∞时，下列函数的极限y?

2

。

40. 求当x??时，函数y?

sin3xx

2x?x?1x?x?1

3

的极限。

1?cosx

x

2

41.求lim

x?0

；.求lim

n?3

； 精品文档

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10 / 28 x?0

1??

43.求lim?1??

n??n??

1

1??

； 4.求lim?1??

n??n??

x

2n

；

1??

)；6.求lim?1??；5.求lim??x在点x0=0处的连续性。

?1,x?0?

49. 指出函数f?

1x?1

在点x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

?1

?,x?0

50. 指出函数f??x在点x=0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

?0,x?0? 精品文档

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11 / 28 ?x2,x?0

51. 指出函数f??在点x=0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

?1,x?0

52.求lim

ln

x

；

x?0

?x2?1； lim?lnx53.求??x?1x?1??

54. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1，2]至少有一根。5. 求lim

tanx?sinx

。

sin32x

x?0

56. 试证正弦函数y?sinx在区间 内连续。

?x，x?0??x，x?0

57. 函数f?x??lxl??

；在点x?0处是否连续？

58. 函数

?xsin1，x?0 精品文档

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12 / 28 ?

f??

?0， x?0?

；是否在点x?0连续？

ax?1.9. 求极限 limx?0函数与极限测试题答案

一.选择题

1.A 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

方法一：任一原函数可表示为F?

x

?

fdt?C，且F??f.

当为偶函数时，有F?F，于是FF?，即 ?f?f，也即f??f，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则?fdt为偶函数，从而

0x

F?

?

x

fdt?C为偶函数，可见为正确选项.

函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函 精品文档

2016

13 / 28 数的有界性之间有何关系? . D 显然x?0，x?1为间断点，其分类主要考虑左右极限.

由于函数在x?0， x?1点处无定义，因此是间断点.且 limf??，

x?0

所以x?0为第二类间断点；

limf?0，limf??1，所以x?1为第一类间断点，故应选.

x?1

?

x?1

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第一章 函数与极限习题

第一章 函数与极限习题

第一章 函数与极限

【内容提要】

1. 函数的定义与性质

（1）常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。

（2）函数的概念 设有两个变量x和y，D为一非空数集，如果对于D内每一个数x，变量y按一定的法则f总有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。记作y=f(x)。数集D称为函数的定义域。

（3）函数的表示法 解析法、列表法、图象法。

（4）函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。

2. 函数的极限

（1）自变量趋于无穷大时函数的极限

对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X，当|x|>X时，不等式|)(|Axf（A是一个确定的常数）恒成立，则称常数A为函数xxf当)(时的极限，记作lim()()()xfxAfxAx或。

（2）自变量趋于有限值时函数的极限

设函数f(x)在点0x的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当||00xx时，不等式|)(|Axf（A是一个确定的常数）恒成立，则称常数A为函数0)(xxxf当时的极限，记作0lim()()()xfxAfxAxx或。

（3）极限存在定理

函数f(x)在点0x极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即

lim()xfxA00lim()lim()xxxxfxfxA

（4）函数极限的性质

定理1（唯一性）若lim()xfx（或0lim()xxfx）存在，则它的极限是唯一的。

定理2（局部有界性）若0lim()xxfx存在，则在点0x的某一邻域内函数f(x)有界。

定理3（局部保号性）若0lim()xxfx=A，且A>0(或A<0)，则存在点0x的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x都有f(x)>0(或f(x)<0)。

推论1 若0lim()xxfx=A，且在点0x的某一去心邻域内恒有)0)((0)(xfxf或，

高数习题集及答案

高数习题集及答案

高数习题集及答案

一、极限

1. 求下列极限：

- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)

- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)

2. 利用夹逼定理证明：

- \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \)

答案：

1. 对于第一个极限，我们可以使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质得到：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

对于第二个极限，我们可以使用重要极限：

\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \]

2. 利用夹逼定理，我们可以找到两个序列 \( a_n \) 和 \( b_n \)

使得：

\[ a_n \leq (1 + \frac{1}{n})^n \leq b_n \]

并且 \( \lim_{n \to \infty} a_n = e \) 和 \( \lim_{n \to

\infty} b_n = e \)，从而证明 \( \lim_{n \to \infty} (1 +

\frac{1}{n})^n = e \)。

二、导数与微分

1. 求下列函数的导数：

- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)

- \( g(x) = \ln(x) \)

2. 利用导数求函数的单调区间：

- 对于函数 \( h(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求其单调增区间。

答案：

1. 对于 \( f(x) \) 的导数，我们有：

\[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]

对于 \( g(x) \) 的导数，我们有：

\[ g'(x) = \frac{1}{x} \]

极限配合试题

极限配合试题

.

. 第一章 极限与配合 练习题

一．选择题

1.关于孔和轴的概念，下列说法中错误的是（ ）

A、圆柱形的内表面为孔，外表面为轴

B、由截面呈矩形的四个内表面或外表面形成一个孔或一个轴

C、从装配关系看，包容面为孔，被包容面为轴

D、从加工过程看，切削过程中尺寸由小变大的为孔，由大变小的为轴

答案：B

2.公称尺寸是（ ）

A.测量时得到的 B.加工时得到的 C.装配后得到的 D.设计时给定的

答案：D

3. 实际偏差是（ ）。

A、设计时给定的； B、直接测量得到的；

C、通过测量，计算得到的；

D、最大极限尺寸与最小极限尺寸之代数差。

答案：C

4. 关于偏差与公差之间的关系，下列说法正确的是（ ）。

A、实际偏差愈大，公差愈大； B、上偏差愈大，公差愈大；

C、下偏差愈大，公差愈大； D、上下偏差之差的绝对值愈大，公差愈大。

答案：D

5.下极限尺寸减其公称尺寸所得的代数差为（ ）

A.上极限偏差B.下极限偏差C. 基本偏差D. 实际偏差

答案：B

6. 尺寸公差带图的零线表示（

）。

A、最大极限尺寸；B、最小极限尺寸；C、公称尺寸；D、实际尺寸

答案：C

7. 基本偏差确定公差带的位置，一般情况下，基本偏差是（ ）。

A、上偏差；B、下偏差、C、实际偏差；D、上偏差或下偏差靠近零下的那个。

答案：D

8.当孔的下极限尺寸与轴的上极限尺寸之差为正值时，此代数差称为（ ）

A.最大间隙 B. 最小间隙 C.最大过盈 D.最小过盈

答案：B

9.当孔的下极限尺寸与轴的上极限尺寸之差为负值时，此代数差称为（ ）

A.最大间隙B. 最小间隙C.最大过盈D.最小过盈

答案：C

10.当孔的上极限偏差大于相配合的轴的下极限偏差时，此配合的性质是（ ）

极限方程题型练习题答案

极限方程题型练习题答案

极限方程题型练习题答案

随着教育水平的提高，数学的重要性日益凸显。而在数学中，极限是一个关键的概念，涉及到许多不同的题型和解题方法。本文旨在提供一些极限方程题型的练习题答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 问题：求极限lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)]

解答：我们可以使用泰勒级数展开来解决这个问题。根据泰勒级数展开公式，sinx在x等于0的情况下的展开式为x-x^3/6。将其代入题目中的极限式中得到：

lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)] = lim(x→0) [(2x-2x^3/3)/(x^2)] = lim(x→0)

[2-2x^2/3] = 2-0 = 2。

因此，极限lim(x→0) [(sin2x)/(x^2)]等于2。

2. 问题：求极限lim(x→∞) [ln(x+1)/ln(x)]

解答：我们可以利用洛必达法则来解决这个问题。洛必达法则可以用于解决形如f(x)/g(x)形式的极限问题，其中f(x)和g(x)均可导。

不妨设f(x) = ln(x+1)和g(x) = ln(x)，则我们可以直接对其求导：

f'(x) = 1/(x+1) 和 g'(x) = 1/x。

根据洛必达法则，当x趋于正无穷时，lim(x→∞) [f(x)/g(x)] =

lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)]，所以我们可以计算lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)]： lim(x→∞) [f'(x)/g'(x)] = lim(x→∞) [(1/(x+1))/(1/x)] = lim(x→∞)

[(x/(x+1))] = 1。

因此，极限lim(x→∞) [ln(x+1)/ln(x)]等于1。

通过以上两个解答示例，我们可以看到在解决极限方程题时，有时需要运用到泰勒级数展开和洛必达法则等更高级的数学工具。这也反映了数学的深度和复杂性。

总结起来，通过不断练习和理解不同类型的极限方程题，我们可以提高我们的数学能力，并为今后更复杂的数学问题打下坚实的基础。因此，建议读者在掌握了上述题型的答案之后，进一步扩展练习题目，通过自己的理解和推导，加深对极限方程的理解和掌握。