28(高中竞赛讲座)高斯函数

数学竞赛中的高斯函数一、 知识概要1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。

则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。

任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。

2，性质1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+；4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；7，[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩8，若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

（x 不是整数时） （x 是整数时）证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n 所含p 的方次数之总和。

由性质10可知，在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数，有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数， ，当1m m p n p +≤<时，120m m n n p p ++⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以命题成立。

28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R ，值域为Z ；的定义域为R ，值域为 （2）对任意实数，都有. （3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I －4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）.其中. （6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.][x y =][,x x x ][x x ].[}{},{x x x x y -==][x }{x ][x y =}{x y =)1,0[x 1}{0},{][<≤+=x x x x 且x x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][][x y =21x x ≤][][21x x ≤}{x y =}{}{];[][x n x x n n x =++=+*∈∈N n R x ,∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][].[][ba nb na ≥][][][y x xy ⋅≥+∈R y x ,∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][（8），其中. 例题讲解1．求证：其中k 为某一自然数.2．对任意的3．计算和式4．设M 为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？5．求方程]][[][nx n x =*∈+∈N n R x ,,2!211--=⇔k n n n ∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和.]503305[502的值∑==n nS 222}{][x x x =-.051][4042的实数解=+-x x6．7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：.8．求出的个位数字.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ ]31010[10020000+例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使由于n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因对一切k =0,1,…成立，因此， 又因为n 为固定数，当k 适当大时,3．解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.∑∞==1].2[)!(2t t n n ∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则!.|21n n -+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++ 12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则]212[]22[11+=+++k k n n ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k nn n .)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503305n 503305n ,305503)503(305=-n 503305n .304]503)503(305[=-n ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S设x 是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数.5．解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】 由于222}{}{}{2][x x x x x +⋅+==}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于.1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x .0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或.2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令.,1],[1命题成立时则==n x A7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ⑴若|－|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2∴ M≥2＞⑵|－|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|，|－＋b|}≥(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)≥[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.8．先找出的整数部分与分数部分..,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k 2a 2a212a2a 4a 24a 24a 2414a 24a 2414a 24a 2)2a 2(412+213101010020000+=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.3101010020000+31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知。

高斯函数性质和竞赛
高斯函数性质：
1、高斯函数是一种可以定义在实数上的函数，它具有某种可以用来描述统计性质的特性，可以用来表示概率分布；
2、高斯函数的形状取决于它的均值μ和方差σ，它的峰值出现在μ处，它的宽度取决于σ，当σ越大，它的宽度越宽；
3、高斯函数的值在μ处是最大的，在μ两边的值会越来越小；
4、高斯函数具有积分性质，即它的积分结果是1；
竞赛函数：
1、竞赛函数是一种特殊的函数，它可以用来模拟竞争环境中的激烈竞争；
2、竞赛函数的形状取决于它的参数，它的峰值出现在参数的均值处，它的宽度取决于参数的方差；
3、竞赛函数的值在参数的均值处是最大的，在均值两边的值会随着参数的变化而减小；
4、竞赛函数也具有积分性质，即它的积分结果是1。

§28高斯函数数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,.例题讲解1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.2．对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？5．求方程.051][4042的实数解=+-x x6．.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ .8．求出]31010[10020000+的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为∑∞==1].2[)!(2t t n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s t s n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x5．解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)] ＝)2a 2(412+≥21 综上所述，原命题正确.8．先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.。

漫话高斯函数作者：仓万林来源：《新高考·数学基础》2019年第02期“数学王子”高斯小时候的故事，连小学生都知道.在许多人眼中，他就是数学的代名词.高斯（Gauss，1777 1855），德国著名数学家，近代数学奠基者之一.如果推选世界十大数学家，高斯是其中的一位;如果推选世界三大數学家，高斯仍然位列其中.一、高斯函数简介我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].取整函数y=[x]早在18世纪就为“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.和前面遇到的狄利克雷函数一样，高斯函数也是高中阶段我们会遇到的感觉“怪怪”的函数.它的图象是由一些高低不同的水平线段组成，形状上像个阶梯，通常义称为“阶梯函数”.二、高斯函数的应用例1 （2017年北京顺义区二模）某学校为了提高学生综合素质、发展创新能力和实践能力，促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A.y=[x/10]B.y=[x+2/10]c.y=[x+3/10]D.y=[x+4/10]答案 B.解析由题意，根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表，即余数分别为8，9时可以增选一名代表，此时要进一位，所以x最小应该加2，最大要小于3，因此利用取整函数可表示为y=[x+2/10]，所以选项B是正确的.点评本题在处理时，除了用高斯函数性质来分析外，也可以直接特殊化确定结论.例2 （2016年高考课标理科卷）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[0. 9]=0，[lg99] =1.（1）求bl，b11，b101;（2）求数列{bn}的前1 000项和.解析（1）设{an}的公差为d，据已知有7+21d=28，解得d=l，所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg1]=0，b11=[lg11] =1，b101=[lg101]=2.（2）因为bn={ 0，1≤n<10， 1，10≤n<100， 2，1OO≤n<1 OOO， 3，n=1 OOO，所以数列{bn）的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.点评原本简单的基本量运算问题，和高斯函数进行整合后立即变得很新颖.一是通过转化，化“新”为“旧”;二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”.要看清问题的本质，我们可以在阅读上多下功夫.类比取整函数，我们不难构造出小数函数f（x）=x-[x].图象如图2所示：例3 已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x- [x]在R上为（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数答案 D.解析因为f（x）=x-[x]，则f（x+1）=（x+1）- [x+1]=x+1- （[x]+1）=x-[x]=f（x），所以f（x） =x一[x]在R上是周期为1的函数，故选D.1855年高斯去世，留下遗言把正十七边形（高斯第一个给出了正十七边形的尺规作图法）刻在墓碑上，母校哥廷根大学实现了他的遗愿，树立了以正十七棱柱为底座的墓碑，由于完整的十七边形，看起来会和圆难以区分，所以用正十七边形的各顶点代替，刻在墓碑上，以此纪念“数学王子”对数学的贡献.。

作者： 穆德华
作者机构： 昭通地区一中
出版物刊名： 昭通学院学报
页码： 74-83页
主题词： 高斯函数 数学竞赛 中学数学教师 数论函数 取整函数 解题技巧 竞赛试题 辅导讲座 整数集 文介
摘要： 高斯函数又称取整函数,是一个非常重要的数论函数,与它相关的问题在目前国内外数学竞赛试题中频繁出现。

作为参加数学竞赛的选手,要获取优异成绩,掌握一些高斯函数的基础知识和解题技巧是十分必要的,因此高斯函数也就成为许多中学数学教师关注的一个重要课题。

本文介绍几类有关高斯函数的问题的解法技巧。

高斯函数公式
高斯函数是一种广泛应用于数学和物理学的概率函数，由德国数学家卡尔·高斯于1809年发明。

它通过平滑的曲线描述一个随机变量的概率分布。

高斯函数有许多应用，其中最常见的是高斯分布，它描述了一个变量的概率分布，其中变量的期望值和标准差都是已知的。

高斯函数的公式如下：
f(x) = 1/(sqrt(2*pi)*sigma) * exp(-((x-mu)^2)/2*sigma^2)
其中，mu是随机变量的期望值，sigma是随机变量的标准差。

高斯函数的形状是一个正态分布，它是函数值最大值（即期望值处）最高，其他位置处函数值越来越小，向两边变大的过程。

在这个过程中，函数值的变化越来越缓慢，最后趋近于0，形成一个“钟形”的曲线。

高斯函数的应用非常广泛，比如在统计学中，它被广泛用于估计概率分布，以及做出估计和预测。

它还可以用于图像处理，比如图像模糊化，图像增强，以及图像检测等。

此外，高斯函数也可以用于模拟和分析系统，如电磁学，天文学，热力学和化学等。

总之，高斯函数是一种非常有用的数学函数，它在数学和物理学中
有着广泛的应用。

它的函数形状可以很好的描述正态分布的概率，可以用于多种应用，从而使我们更好地理解和研究系统的模拟和分析。

与高斯函数有关的恒等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯函数是一种在数学和物理领域广泛应用的特殊函数。

它由德国数学家高斯在18世纪末提出，并被广泛研究和应用于各个领域，如信号处理、图像处理、统计学以及自然科学等。

高斯函数不仅具有良好的数学性质，还具有许多重要的物理意义。

在本文中，我们将讨论高斯函数的定义及其一些基本性质，并介绍与高斯函数相关的一些重要恒等式。

这些恒等式是由高斯函数的特殊性质和运算规律导出的，对于解决实际问题和推导其他数学定理具有重要意义。

本文结构如下：第2部分将详细介绍高斯函数的定义与性质。

我们将从高斯函数的数学定义开始，并讨论它的图像、曲线特征以及一些重要的性质，如对称性、峰值和标准差等。

此外，我们还将介绍高斯函数在概率密度函数和误差函数中的应用。

第3部分将重点讨论与高斯函数相关的恒等式。

这些恒等式涉及到高斯函数的运算规律、积分性质以及与其他特殊函数的关系。

我们将详细介绍这些恒等式的推导过程，并给出一些实际应用的例子。

最后，结论部分将对本文内容进行总结，并展望未来对高斯函数及其相关恒等式的研究方向。

高斯函数作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用和深入的研究价值。

未来的研究可以着重于高斯函数在更复杂问题中的应用，以及与其他数学工具的结合，为解决实际问题提供更多的数学方法和技巧。

通过本文的阅读，读者将对高斯函数有更深入的了解，并了解到与高斯函数相关的一些重要恒等式的推导方法和应用。

希望本文能为读者提供有关高斯函数的全面信息，激发读者对高斯函数和相关数学工具的兴趣和研究热情。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分首先概述了与高斯函数有关的恒等式的重要性和应用背景。

然后介绍了本文的结构和目的，以给读者一个整体的了解。

正文部分主要包括两个小节。

第一小节（2.1 高斯函数的定义与性质）详细介绍了高斯函数的定义和一些基本性质，包括其数学表达式、图像特点以及常见的应用领域。