有色噪声下的卡尔曼滤波

有色噪声下的卡尔曼滤波摘要Kalman滤波技术是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器)，它是现代信息处理中的重要工具。

但是基本的Kalman滤波基本方程中要求系统噪声和量测噪声必须为互不相关的均值为零的白噪声过程, 限制了应用的范围。

本文研究了在系统噪声和量测噪声都是有色噪声条件下的Kalman滤波方法, 并推导了全套的滤波方程。

最后以GPS多天线三维姿态测量系统为例，根据推导出的动态噪声、观测噪声为有色噪声的线性系统滤波公式，在MATLAB环境下进行了仿真实验。

关键词：有色噪声，卡尔曼滤波，白噪声ABSTRACTKalman filtering technology is a kind of efficient algorithm.on filter (autoregressive filter), it is an important tool in modern information processing. But the basic Kalman filtering basic equations of noise and measurement requirements system for irrelevant noise must be zero of white noise process, limit the scope of application. In this paper we studied system noises and measurement noise are colored noise Kalman filtering method under the conditions, and derived full set of filter equation. Finally for example with GPS multi-antenna 3d pose measurement system, Carried out in MATLAB simulation experiment according to the dynamic noise is deduced, observation noise for colored noise linear system filtering formula.Key Words：Colored Noise, Kalman Filter, White Noise一、引言卡尔曼滤波技术是20世纪60年代在现代控制理论的发展过程中产生的一种最优估计技术。

它不要求保存过去的测量数据，而是根据新的数据和前一时刻的诸量估计值，借助系统本身的状态转移方程（即动态方程），按照一套递推公式，即可算出新的诸量的估计值。

因此，这种方法十分适合于动态测量，即目标是运动的，如飞机、船舶、人造卫星以及导弹等运载体[1]，Kalman滤波最成功的工程应用在于高精度组合导航系统的设计，并发展出了分散滤波理论和联邦滤波理论等[2]。

在基本Kalman滤波方程中，要求系统噪声矢量和量测噪声矢量都是互不相关的零均值的白噪声过程。

实际工程系统中，系统噪声和量测噪声往往都不是白噪声；噪声均值即使为零，2种噪声在不同历元的协方差函数也不为零。

如果按照理想状态进行处理，必将造成滤波发散，使滤波器无法正常工作。

本文在此基础上进一步推导了系统噪声和量测噪声都为有色噪声情况下的滤波方程。

二、卡尔曼滤波在卡尔曼滤波方法出现以前，采用的是线性最小方差估计，它适用于随机变量是个平稳的随机过程，其确定性部分的变化在观测值采集期间是不变的或变化很慢，所以是一种静态估计。

为了提高观测精度和减少噪声的影响，常需要将观测次数K增大，这样就降低了实时性。

在工程实践中，经常会碰到待估的随机量(状态变量)是确定性部分变化比较快的非平稳随机过程，这时用静态的线性最小方差估计显然是不合适的。

随着空间技术的发展，60年代初，卡尔曼（Kalman）、布西（Bucy）等人提出了一种递推式滤波方法，即卡尔曼滤波，它可以满足要求的，它不是为了寻求最优解，而是在数字计算机上得出递推的数字解，这是由于下一时刻(K+1)的数值估计是利用了上一时刻的估计值和实时观测值，而上一时刻的估计是建立在上一时刻和上一时刻以前的所有时刻的估计基础上，所以它具有递推性;其次，卡尔曼滤波把被估计的随机量作为系统的状态,用系统状态方程来描述状态的转移过程，各时刻之间的状态相关函数，可用状态方程的转移特性来描述，从而解决了非平稳随机过程估计困难的问题，因此卡尔曼滤波具有动态性[2]。

卡尔曼滤波的对象是用状态方程描述的随机线性系统。

它按照估计误差的方差最小的原则，从被观测噪声污染了的观测值中实时估计出系统的各个状态值。

卡尔曼滤波的最优准则是无偏最小方差估计，即在滤波过程中，噪声方差必须是收敛的，最终达到接近于无偏的最优状态。

随机线性离散系统的状态方程和量测方程为[3]：kk k k k k k k k k V X H Z W X X +=Γ+Φ=----1111, （1）式中：k X ：状态方程；1-Φk k ：状态转移矩阵；1-k X ：前一时刻的状态量；1-Γk ：系统噪声矩阵；1-k W ：输入信号，是高斯白噪声；k Z ：系统的量测数据；k H ：系统量测值的矩阵；k V ：输出信号的观测噪声，是高斯白噪声； Kalman 滤波基本方程为[3]：()()()1/11,1.1/11,1/1/1/11,1/ˆˆˆˆˆ--------------=+ΦΦ=+=-+=Φ=k k k k k k T k k k k k k k k T kk k k Tkk k k k k k k k k k k k k k k k P H K I P Q P P R H P H H P K X H Z K X X X X （2）式中：1ˆ-k X 为前一步计算的状态估计；k R 为量测噪声方差阵；1-k P 为前一时刻估值均方差；1-k Q 为系统上一时刻的噪声方差阵；I 为单位矩阵。

在上面的基本Kalman 滤波方程中，要求系统噪声矢量k W 和量测噪声矢量k V 都是互不相关的、零均值的白噪声过程[3]。

三、有色噪声下的卡尔曼滤波1、系统噪声为有色噪声有色噪声可以看成是由白噪声通过一个动态系统形成的，k W 可以描述成为：111,---+∏=k k k k k W W ξ （3）式中：k ξ为零均值的白噪声序列。

在设计滤波器时可以将k W 看成系统状态进行处理，可以得到系统的状态方程和量测方程：ka kak k ak a k a k a k k a k V X H Z W X X +=Γ+Φ=----1111, （4）式中：()k ak ak W W ξ=是零均值的白噪声序列，方差为ak Q 。

2、量测噪声为有色噪声有色量测噪声k V 可以描述成：111,---+ψ=k k k k k V V ζ （5）方差k R ，k ζ与k W 不相关。

由（4）中量测方程可得：a k a k k k X H Z V -= （6）由（5）、（6）可得：[]ka k a k a k ak a k k k a k k a k k k k k W H X H H Z Z ζψψ+Γ+-Φ=-++++++1,1,11,11 （7）令： k k k k k Z Z Z ,11++*ψ-= （8）a k k k a k k a k k H H H ,1,11+++*ψ-Φ= （9）k a k a k a k k W H V ζ+Γ=+*1 （10）可以得到状态方程和量测方程：***----+=Γ+Φ=ka k k k ak a k q k a k k a k VX H Z W X X 1111, （11）方差为 k Tak aT k a k a k a k k R H Q H R +ΓΓ=++*11 （12）*k V与ak W相关，且T a k aT ka k k HQ S 1+Γ=。

根据白噪声条件下一步预测的一般方程[4],有：()***+++-+Φ=kk k k a k a k k a k X H Z K X X ˆˆˆ1,11 （13）()()1,11-****+++Γ+Φ=kTkkk k a kT kk a kk k RHP H S HP K （14） ()T a kT k T a kk kk k T a k a ka kT a kk k akk k S P H K Q P P Γ+Φ-ΓΓ+ΦΦ=+*++++,11,1,11 （15）由此就可以确定系统噪声有量测噪声都为有色噪声时的Kalman 滤波方程。

四、实验仿真对于GPS 多天线三维姿态测量系统，当考虑该系统为随机系统时，要采用状态反馈控制，必须对状态进行估计，常用的状态估计器就是卡尔曼滤波器。

通过卡尔曼滤波器对三维姿态角（偏航角、俯仰角、横滚角）进行测量估计。

有色噪声可以看作是白色噪声通过具有某个传输函数的网络时的响应，所以，我们就可以对有色噪声建立数学模型。

也就是说，不论是连续信号还是离散信号我们总是有办法将有色噪声白色化，从而可以用卡尔曼滤波器对其进行所需的处理。

根据测姿原理，可列出如下系统方程和量测方程：kk k k k k k k k k H Z W G ν+Φ=Γ+Φ=Φ----1111, （16）当1-k W 是有色噪声时，对其建模，有下式：111,---+=k k k k k S W F W （17）1-k S 为零均值白噪声。

对系统噪声1-k W 做白色化处理，即将1-k W 也列为状态，得到状态方程和量测方程：k k kk k k k k kk X H Z W X G X ν+'='Γ'+'=----1111, （18）式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ='----1,11,1,0k k k k k k k F G G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Γ'-I k 0111--='k k S W[]011--='k kH H因为系统噪声中11--='k k S W ，即1-'k W 为零均值白噪声，量测方程中k ν也为零均值白噪声，所以（18）式符合卡尔曼滤波基本方程。

因此，就完成了对原系统有色噪声的白色化处理。

对（18）式应用卡尔曼滤波方程，则有：状态一步预测：11,1/ˆˆ---'=k k k k k X G X状态估计：()1/1/ˆˆˆ--'-+=k k k k k k k k X H Z K X X滤波增益：[][]()11/1/---+'''=k Tk k k k Tkk k k R H P H H P K一步预测均方误差：[][]T k k k T k k k k kk k Q G P G P 1111,11,1/-------Γ'Γ'+''= 估计均方误差：()()()1/1/--'-=+'-'-=k k kk Tk k k Tk k k k kk k P H K I K R K H K I P H K I P本文仿真以风云一号气象卫星-C 星（FY-1C ）为模型。