河南理工大学高数历年试卷标准答案

《高等数学》竞赛试卷(文管类) 第1页（共3页）河南理工大学2012年度《高等数学》竞赛试卷（文管类）考试方式：闭卷 复查总分 总复查人一、填空题(第小题5分,计30分)1.已知函数()⎩⎨⎧>+≤=112x bax x x x f 在1=x 处可导，则=a ，=b .2.极限=⎪⎭⎫⎝⎛+→xx x x 102cos 2sinlim . 3.微分方程()()0arctan 12=-++dy y x dx y 的通解为 .4. 设()y x z z ,=是由方程()z y x z y x 3232s i n2-+=-+确定的二元函数，则=∂∂+∂∂yzx z . 5. 设有一半径为R 的球形物体，其内任一点P 处的体密度01PP =ρ，其中0P 为一定点，它到球心的距离为()R a a >，则该物体的质量为 .6. 已知()∑∞=++12321n n nα发散，而级数α∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11sin 1n n n收敛，则正数α取值范围为 .二、试解下列各题1、（本题10分）求xx nx xx n a a a 1210lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→ （n i a i ,,2,1,0 =>）.2、（本题10分）求可微函数()t f ，使之满足()()⎰+=tudu u f t t f 0sin 2cos .《高等数学》竞赛试卷(文管类) 第2页（共3页）3、（本题10分）设闭曲线L ：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2z1222222z y x z y x 的方向与z 轴正向满足右手法则，求曲线积分⎰+Lzdz dx x y )-(.4、（本题10分）过原点作曲线L ：1-=x y 的切线l ，由L 、l 及x 轴围成的图形为D .求：（1）D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体表面积S ；（2）D 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积V .5.（本题10分）在椭球面∑：122222=++z y x 上求一点()()0,0,,00000>>z x z y x P ，使得∑在点P 处的法向量与向量()1,1,1-垂直，且使函数()222,,z y x z y x ++=ϕ在点P 处的梯度的模为最小.《高等数学》竞赛试卷(文管类) 第3页（共3页）6.（本题10分）计算曲面积分()()⎰⎰∑++-=dxdy z dzdx y yI 2212,其中∑为曲面22y x z +=介于平面1=z 与平面2=z 之间的那部分的外侧.三、（本题10分）证明：方程021cos 222=+--x x x xe x有且仅有两个实根.。

河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。

7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。

二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。

解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。

123456789
11．设)(x y y =为033
3
=++xy y x 确定的隐函数，求
dx
dy ．
12．求
⎰
-20
2sin 1π
dx x ．
13．求曲线x
e x y 1)13(+=的斜渐近线．
14．设⎪⎩
⎪⎨⎧><≤≤=.0,0,
0,sin 21
)(ππx x x x x f 或．求⎰=Φx dt t f x 0
)()(在),(∞+-∞内的表达式．
二、计算题（共4题，每题6分,请写出必要的文字说明和做题过程．
）
15．讨论a 的取值，使⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0
,
0,1sin x x x
x y a
在0=x 处连续，可导．
16．试问a 为何值时，函数x x a y 3sin 31sin +=在3
π
=x 处取得极值？是极大值还是极小值？并求这个
值．
17．计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ的全长．
18．设n n a a a +==+3,31
1，证明数列}{n a 收敛，并求出其极限．
19．设)(x f 在),0[∞+内连续且0)(>x f ．证明函数
⎰⎰=
x x
dt
t f dt t tf x F 0
0)()()( 在),0(∞+内为单调增加函数．
三、解答题（共3题，每题8分，请写出必要的文字说明和做题过程．
） 四、证明题（共2题，每题11分，请写出必要的文字说明和做题过程．）。

河南理工大学第 一 学期《高等数学b1、c1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例100%收敛数列性质(4分)1．下列命题正确的是 ( )．（A ）有界数列必定收敛（B ）单调数列必定收敛 （C ）无界数列必定发散（D ）发散数列必定无界等价无穷小求极限，重要极限，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则，夹逼定理(两边夹法则)(4分)1．极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x x sin 11sin lim 0 ． (4分)2．极限=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∞→x x x x x )3)(2(lim 2． (6分)1．求极限xx x x 30sin sin tan lim -→． (6分)2．求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x ． (6分)5．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→2222222)()2(2)1(1lim n n n n n n n ．连续性，连续的定义，间断点类型判断，综合极限，综合导数定义，证明连续(4分)3．设11)(11+-=x x e e x f ，则0=x 是)(x f 的（ ）．（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点 （C ）第二类间断点（D ）连续点 (4分)3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,3tan 0,sin 2)(x xax x x a x f 在0=x 处连续，则=a ．闭区间上连续函数的性质，证明题，应用根的存在性定理(4分)6．方程0cos 2141=-+x x x 的根的情况是（ ）． （A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根（C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根(8分)1. 已知函数)(x f 在],[b a 上连续，且b b f a a f ><)(,)(，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ξξ=)(f ．导数定义可导与连续的关系(4分)2．设)(x f 在点0x 处存在左、右导数，则)(x f 在点0x 处 ( )．（A ）可导 （B ）不连续 （C ）不可导 （D ）连续求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法，相关变化率问题，切线，法线 (4分)4．设)5)(4)(3)(2)(1()5)(4)(3)(2)(1()(+++++-----=x x x x x x x x x x x f ，则=')1(f ． (4分)5．曲线⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos 2sin 在点)1,0(处的切线方程是 ．(6分)3．设)0(>=x x y x ，求y '． (6分)4．设函数)(x y y =由方程0arctan =+-y y x 所确定，求y ''．求微分（与求导是等价的）(4分)6．设)1ln(2++=x x y ，则=dy ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式(4分)5．设x ey x sin 3+=，则=)40(y （ ）． （A ）x e x sin 3+ （B ）x e x cos 3+（C ）x e x cos 3340+ （D ）x e x sin 3340+(6分)6．已知函数x x y cos 2=，求)0()100(y．泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题(8分)2. 设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π内可导．证明存在一点),0(πξ∈，使得ξξξcot )()(f f -='．导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率水平，铅直，斜渐近线(4分)4．曲线224xy -=的渐近线情况是（ ）． （A ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线（B ）只有水平渐近线 （C ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线（D ）只有铅直渐近线。

河南理工大学2012年研究生入学《高等代数》试题 参考答案一、填空题 （每题8分）1、 323n +-⨯2、 ()B A B +3、<4、, 5、C 6、 B 7 D二、判断题（每小题8分）1、错 2．对 3、对 4对三、（15分）解 设则利用已知公式可得：四、（12分）解：取得一组基1(1,0,0)ε=,2(0,1,0)ε=,3(0,0,1)ε=由①式可得123123000(,,)(,,)100010T εεεεεε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，令000100010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设23,,T T T 的特征多项式分别为123(),(),()f f f λλλ则31()||f E A λλλ=-=232()||f E A λλλ=-=333()||f E A λλλ=-=五、（15分）解 由设由。

除的余数是3有代入①式，得 再由条件“被除的余数等于被除的余数”，有 代入①式，得 代入②式，有得 代入③式，有代入①式，得。

其中为任意常数六、（10分）解1）由 ()()()24120212022+--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-λλλλλλλA E可得A 的特征值为2,4,1321-===λλλ对应的特征向量为()()(),2,2,1,1,2,2,2,1,2321=-=--=ααα 将其正交单位化，可得标准正交基为,32,31,321⎪⎭⎫ ⎝⎛--=η ,31,32,322⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η ,32,32,313⎪⎭⎫ ⎝⎛=η 故所求正交矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21222112231T 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=241'AT T七、（10分）证明：2T T = ，有1(0)V TV T -=⊕ ①而1V TV =，下证12(0)T V -= ② 2V α∀∈，则T αββ=-20T T T T T αββββ∴=-=-=1(0)T α-∴∈，此即12(0)V T -⊆③ 反之，1(0)T β-∀∈，则0T β=2T T V βββ∴=-∈，此即12(0)T V -⊆④ 由③，④即证②再将1V TV =，12(0)T V -=代入①式，即证。

河南理工大学 2017-2018 学年第 一 学期《高等数学b1》期中考试试卷（A 卷）1、设()x f 在点0x 处存在左、右导数，则()x f 在点0x 处（ ）.(A) 可导 (B) 不连续 (C) 不可导 (D)连续 2、当0→x 时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（ ）.(A)x 2sin 21(B) ()x -1ln (C) x x -sin (D) x cos 1- 3、若极限2lim arctan 2kx x x→∞=，则=k ( ) .(A) 2 (B) 0(C)21(D) 1 4、函数()22sin 3xf x x =+在区间()+∞∞-,内是( ) .(A) 有界函数 (B) 单调增函数 (C) 偶函数(D) 单调减函数5、当0x → 时，113--x （ ）(A) 是比x 高阶的无穷小 (B) 是比x 低阶的无穷小 (C) 与x 是等价无穷小 (D) 是x 的同阶但非等价无穷小6、设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，5lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则下列选项一定正确的是（ ）.(A) n n n c b ∞→lim 不存在 (B) n n n c a ∞→lim 不存在(C) +∈<N n c b n n , (D) +∈<N n b a n n ,1、已知)1ln(2+=xx y ，它在1=x 处的微分==1|x dy .2、设x y sin =，则=)10(y . 3、求极限=→xx x 1sinlim= .4、曲线21y -=x 的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 .5. 2sin 2y x x =，求(10)y = ________________________. 6.32()2421f x x x x =-+-的单调减区间是________________________.一、选择题（每小题4分，共24分.）二、填空题（每小题4分，共24分）1. 设lim '(),x f x k →∞=求lim[()()].x f x a f x →∞+-2、求(1)xy x e -=-的拐点及凹或凸区间3、求函数()xf x xe =的带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式4、求参数方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定函数的二阶导数22dx y d5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数在0x =处的切线方程与法线方程6、利用等价无穷小求极限x →三、计算题（每小题6分，共36分）1.利用凹凸性证明不等式22x yx ye e e ++>2.证明方程510x x +-=只有一个正根.四、证明题（每小题8分，共16分）。

河南理工大学2016-2017学年第 1 学期《高等数学提高》期末考试试卷（A 卷）1.设1sin , 0(),0sin , 0x a x x f x b x x x x⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪<⎩在0x =连续，则a b +=____________.2.3sin tan lim x x xx→-=____________. 3.当(0,)2x π∈时, sin 0x=⎰____________.4.32d d x x x =⎰____________. 5.函数(1)ln(1)x x ++展成x 的幂级数后的收敛区间为____________. 1.极限0)()lim x x x f x x x∆→+∆--∆∆存在是函数()f x 在点x 处可导的一个（ ）（A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件.2.直线127:27x y z L x y z +-=⎧⎨-++=⎩和23638:20x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩，则（ ）（A ）12L L ⊥； （B ）12//L L ； （C ）12,L L 异面； （D ）12,L L 相交. 3.球面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在XOY 面上的投影方程为（） （A ）229x y +=； （B ）221172()22x y -+= （C ）226x y +=； （D ）2228x y +=4.设在[0,1]上，''()0f x >，则'(0)f ，'(1)f ，(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序为（ ）（A ）'(1)(1)(0)'(0)f f f f >->； （B ）'(1)'(0)(1)(0)f f f f >>-； （C ）(1)(0)'(1)'(0)f f f f ->>； （D ）'(1)(0)(1)'(0)f f f f >->. 5.下列等式中，正确的结果是（ ）（A ）'()d ()f x x f x =⎰； （B ）d ()()f x f x =⎰； （C ）d()d ()d f x x f x x =⎰； （D ）d ()()f x f x =⎰.12．设ln z x xy =，求32.zx y∂∂∂3．求微分方程 2d 32d yxy x x x+=++的通解. 4．计算三重积分：222222()d d d x y z I x y z a b c Ω=++⎰⎰⎰，其中222222:(,,)|1x y z x y z a b c ⎧⎫Ω++≤⎨⎬⎩⎭ 5．计算22d d Lx y y xx y-+⎰Ñ，其中L 为椭圆曲线2221x y +=的正向。

河南理工大学大学2021—2022学年第一学期《高等数学A（三）》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）2分，共10分）1、下列陈述正确的是（）。

(A)若方程组有唯一解，则方程组有唯一解(B)若方程组有唯一解，则方程组有唯一解(C)若方程组有无穷多解，则方程组有无穷多解(D)若方程组无解，则方程组无解2、已知维向量组线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数，使得(B)中任何两个向量线性相关(C)存在一组不全为零的数，使得(D)对于每一个都可以由其余向量线性表出3、设，且，则 ( )。

(A) 事件与事件互不相容(B)事件与事件对立(C)事件与事件不独立(D)事件与事件独立4、设（指数分布），是总体的样本，则参数的矩估计是( )。

(A)(B)(C)(D)5、设是来自正态总体的样本，则下列结论正确的是( )。

(A)(B)(C)(D)10分）6、若齐次线性方程组有非零解，则＝。

7、矩阵的逆矩阵为。

8、若3阶方阵的特征值分别为、0、1，则行列式= 。

9、已知（泊松分布），，且，则。

10、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）为：19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3设零件直径服从正态分布，其中未知，（毫米），，则这批零件平均直径的对应于置信度为0.95的置信区间为。

三、计算题（本大题共4小题，共46分）11、(本小题10分) 计算下列行列式12、(本小题14分) 已知三阶矩阵求: (1) 矩阵的特征值及特征向量（6分）；(2) 正交矩阵，使得为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4分）；(3) (为正整数)(4分)。

13、（本小题10分）已知二次型正定，求的取值范围。

14、(本小题12分) 设二维随机向量的联合概率密度函数为求：(1) 常数(6分)；(2) (6分)。

四、证明题（本大题共2小题，共24分）15、(本小题12分) 设为实矩阵，且满足。

《高等代数》试卷A 第1页（共4页）河南理工大学2009—2010 学年第 1 学期《高等代数》试卷考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80%一、填空：（每小题4分，共24分）1．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且r (A ) = n －1则Ax = 0 的通解为___________ 2．用ax b -除()f x ，所得余式为_________3.每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 的乘积；每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成 的乘积。

4.设B A ,为可逆矩阵，则1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭=_________5．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2A =，则*(=1-1A)-5A 26．设有四阶行列式1030123414916182764，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则11121314A A A A +++=___________二、 选择题：（每小题5分，共30分）1．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =2．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ）(A)ACB E = (B)BAC E = (C)BCA E = (D) CBA E = 3.已知向量组12,,,m ααα线性相关，则命题（ ）成立。

(A)12,,,m ααα中至少有一个含有零向量；(B) 对任意一组不全为零的常数12,,,m k k k 有1120m m m k k k ααα+++=；(C)12,,,m ααα中任意一个向量均可由其余m －1个向量线性表示；(D) 秩12(,,,)m m ααα<4．向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有（ ） (A)4β可由23,ββ线性表示； (B)3β可由24,ββ线性表示； (C)2β可由34,ββ线性表示； (D)1β可由324,,βββ线性表示.5．设1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====专业班级： 姓名： 学号：…………………………密………………………………封………………………………线…………………………《高等代数》试卷A 第2页（共4页）则它的极大无关组为（ ） (A) 12,αα(B) 123,, ααα(C) 124,,ααα(D) 1234,, ,αααα6．设b Ax =为非齐次线性方程组,其有唯一解的充要条件是（ ）（A ）向量b 能由A 的列向量组线性表示，（B ）矩阵A 的列向量组是矩阵),(b A 的列向量组的极大无关组 （C ）0=Ax 有唯一解(D))(),(A R b A R =三、计算与证明：（共46分）1．（8分）设((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，证明：((),()())1f x g x h x =。

《高等代数》试卷A 第1页（共4页）河南理工大学2009—2010 学年第 1 学期《高等代数》试卷考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80%一、填空：（每小题4分，共24分）1．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且r (A ) = n －1则Ax = 0 的通解为___________ 2．用ax b -除()f x ，所得余式为_________3.每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 的乘积；每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成 的乘积。

4.设B A ,为可逆矩阵，则1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭=_________5．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2A =，则*(=1-1A)-5A 26．设有四阶行列式1030123414916182764，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则11121314A A A A +++=___________二、 选择题：（每小题5分，共30分）1．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =2．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ）(A)ACB E = (B)BAC E = (C)BCA E = (D) CBA E = 3.已知向量组12,,,m ααα线性相关，则命题（ ）成立。

(A)12,,,m ααα中至少有一个含有零向量；(B) 对任意一组不全为零的常数12,,,m k k k 有1120m m m k k k ααα+++=；(C)12,,,m ααα中任意一个向量均可由其余m －1个向量线性表示；(D) 秩12(,,,)m m ααα<4．向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有（ ） (A)4β可由23,ββ线性表示； (B)3β可由24,ββ线性表示； (C)2β可由34,ββ线性表示； (D)1β可由324,,βββ线性表示.5．设1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====专业班级： 姓名： 学号：…………………………密………………………………封………………………………线…………………………《高等代数》试卷A 第2页（共4页）则它的极大无关组为（ ） (A) 12,αα(B) 123,, ααα(C) 124,,ααα(D) 1234,, ,αααα6．设b Ax =为非齐次线性方程组,其有唯一解的充要条件是（ ）（A ）向量b 能由A 的列向量组线性表示，（B ）矩阵A 的列向量组是矩阵),(b A 的列向量组的极大无关组 （C ）0=Ax 有唯一解(D))(),(A R b A R =三、计算与证明：（共46分）1．（8分）设((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，证明：((),()())1f x g x h x =。