数值分析简明教程

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《数值分析简明教程》讲义

例1：已知，，求。（10.723）
例2：取节点，，对函数建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点上的函数值分别为，求n次插值多项式，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中为以为节点的n次插值基函数，其公式为：
则称为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值的误差限是某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，则我们称有位有效数字。
例如，取时，
所以，作为的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若具有位有效数字，则其相对误差限为
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知，，求。（10.714）
例2：取节点，对函数建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式，使满足条件：
几何解释就是通过三点，，的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。

数值分析简明教程0-1 (14)

10
• 对于欧拉格式，对于欧拉格式，假设 y n = y ( xn ) ，则有：则有：
' y n +1 = y ( x n ) + hf ( xn , y ( x n )) = y ( x n ) + h y ( xn )
• 按泰勒展开有：按泰勒展开有：
y ( x n +1) = y ( xn ) + h y ( xn ) +
第三章常微分方程的差分法
第三章常微分方程数值解
3.1 欧拉方法 § 3.2 龙格-库塔方法 § 3.3 亚当姆斯方法 § 3.4 收敛性与稳定性 § 3.5 方程组和高阶方程 §
2
本章要点：本章要点本章主要研究常微分方程的定解问题。本章主要研究常微分方程的定解问题。这类问#39; h2 2
y
''
(ξ )
x n < ξ < x n +1
• 从而有：从而有：
y ( x n +1) − y n +1 =
h2 2
y
''
(ξ )
• 这说明欧拉格式是一阶方法。这说明欧拉格式是一阶方法。
11
二、隐式欧拉格式
y ( x n +1 ) − y ( x n ) 若用向后差商 h
' y 代替方程 ( xn +1) = f ( xn +1 , y ( x n +1))
-----------(3)
(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:
′ = f 1 ( x , y1 , y2 ) y1 ′ = f 2 ( x , y1 , y 2 ) y2 y1 ( x0 ) = y10 y2 ( x0 ) = y20

数值分析简明教程修订版教学设计

数值分析简明教程修订版教学设计一、教学目标本教学设计旨在让学生学会使用数值分析方法处理实际问题，掌握数值解法的基本原理、基本思想和方法，具备数值分析和计算机辅助设计能力，并能够对不同数值分析方法进行综合分析，选择最佳的解法。

二、教学内容和教学方法2.1 教学内容1.方程求解与根的寻找2.一次线性方程组求解3.常微分方程数值解法4.插值与逼近5.数值积分与微积分方程求解2.2 教学方法本课程采用讲授与实例演示相结合的教学方法。

针对不同内容，采用不同的教学方法：1.方程求解与根的寻找：讲解主要理论知识，然后通过编程演示实例进行深入讲解。

2.一次线性方程组求解：通过算法推导演示求解过程，然后结合实例进行练习。

3.常微分方程数值解法：通过算法推导演示求解过程，然后通过实例让学生独立进行求解。

4.插值与逼近：通过实例演示讲解，然后通过编程让学生进行计算。

5.数值积分与微积分方程求解：通过算法推导演示求解过程，然后通过实例让学生独立进行求解。

三、教学评估与作业3.1 教学评估课程中将采用多种方式来进行教学评估，包括课堂提问、小组讨论、实验报告和期末考试等。

其中，期末考试占总评成绩的50%。

3.2 作业要求本课程将布置多种类型的作业，包括课后习题、课堂练习、编程作业和实验报告等。

作业占总评成绩的50%。

四、教学进度安排1.方程求解与根的寻找（2周）2.一次线性方程组求解（2周）3.常微分方程数值解法（4周）4.插值与逼近（2周）5.数值积分与微积分方程求解（4周）五、教学资源本课程所需的教学资源包括：1.讲义：对数值分析基本知识和方法进行全面讲解。

2.编程软件：如MATLAB、Python等。

3.实例程序：涵盖方程求解、矩阵计算、方程组求解等。

4.教学视频：教师根据课堂教学内容精心录制的视频，便于学生复习。

六、教学心得与体会本教学设计将理论讲解和实践操作相结合，使学生在实践中深入理解数值分析的思想、方法和技术，从而提高他们的计算机科学与数学水平，增强他们的迈向工程技术领域和科学研究领域的实用能力。

数值分析简明教程---课后答案

0.1算法1、(p.11，题1)用二分法求方程X’ -X-1 =0在［1,2］内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式|x=X k匡异二士 _ ； =10」，得到2k1_1000.两端取自然对数得k—3^-仁8.96，因此取k=9，即至少需In 2二分9次.求解过程见下表。

2、( p.11，题2)证明方程f(x)=e X・10x-2在区间［0,1］内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过-10^。

2【解】由于f(x)=e X・10x-2，则f (x)在区间［0,1］上连续，且f(0) =e°10 0 -2 - -1 ：：0，f (1) ^e110 1 -2 =e 8 0，即卩f (0) f(1) ：：0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间［0,1］上至少有一个零点.又f'(x) =e x10 0，即f (x)在区间［0,1］上是单调的，故f (x)在区间［0,1］内有唯一实根.由二分法的误差估计式|x* -x k匸尹二十—；二110’，得到2k—100.两端取自然对数得k 一2210、2 3.3219 = 6.6438，因此取k = 7，即至少需二分In 2r3评（1）(2) X1|e - X 2 | X 2 | e - X 3 |X 3四=1.85% ； 2.70.05 2.71-1.85% ；:::0.0005 =0.0184%。

2.718经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;近似数的0.2误差1- （p.〔2 ,题 8）已知 e=2.71828 …；试冋其近似值 x^ = 2 3 4 5-7 , x 2 = 2.71 , x 2=2.71 , X 3 = 2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：1 1因为|e-x 1 | = 0.01828…：：：0.05 10 ，所以x 1 =2.7有两位有效数字；21 』因为|e-x 2 | = 0.00828…：：：0.05 10 ，所以x 2 =2.71亦有两位有效数字；2 1 3因为|e-x 3 |=0.00028…：：：0.0005 10 ，所以x^2.718有四位有效数字； 22 （ p.12，题9）设捲=2.72 ； x 2 =2.71828 ； x3 =0.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

数值分析简明教程课后习题答案

比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、（p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程

ℓi1
=
ai1 u11
(i = 2,3,∙∙∙, n)
ukj = akj − ∑km−=11 ℓkmumj
ℓik
=
1 ukk
�aik
−
∑km−=11
ℓimumk�
(j = k, k + 1,∙∙∙, n) (i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对．称．正．定．）：
则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x∗；
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周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且
lim
k→+∞
��
=
��∗
(3) 后验误差估计：
|xk
−
x∗|
≤
L 1−L
|xk
−
xk−1|
先验误差估计：
|xk
−
谱半径：
n 阶矩阵 B 在复数范围内的各特征值为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ，则称 ρ(B) = max1≤i≤n|λi| 为 B 之谱半径。
ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）
矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1‖‖A‖
② 系数矩阵 A = (aij)n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x(k+1) = (1 − ω)x(k) + ωD−1(b − Lx(k+1) − Ux(k))� ： ⇓
x(k+1) = Bωx(k) + ω(D + ωL)−1b Bω = (D + ωL)−1[(1 − ω)D − ωU]

数值分析简明教程课后习题答案

比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、（p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案(习题3)

数值分析P97页习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112p n n n n n n c n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数所以在均收敛。

数值分析简明教程 - 课后答案

0.1算法1、（p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

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② 系数矩阵 A = (aij )n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x (k+1) = (1 − ω)x (k) + ωD−1 (b − Lx (k+1) − Ux (k) )� ： ⇓ x = Bω x (k) + ω(D + ωL)−1 b Bω = (D + ωL)−1 [(1 − ω)D − ωU]
⎠
(i = 1,2,∙∙∙, n)
② 系数矩阵 A = (aij )n×n 严格对角占优（按行或按列均可）误差控制： max1≤i≤n �xi
(k+1) (k)
− xi � < ℰ 即 �x (k+1) − x (k) �∞ < ℰ (k = 0,1,∙∙∙)� ： (i = 1,2,∙∙∙, n) 或
(k = 1) (k = 2,3,∙∙∙, n)
ℓ11 = √a11 ℓi1 =
ℓ11
⎡1 ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ unn ⎦ ⎢ ⎣
u12 u11 1
ℓik =
2 ℓkk = �akk − ∑k−1 m=1 ℓkm ℓkk 1
(i = 2,3,∙∙∙, n)
u1n u11 ⎤ u2n ⎥ ⎥=⋯ ⋯ u22 ⎥ ⋱ ⋮ ⎥ 1 ⎦ ⋯
an−1
⋱
c2
⋱ bn−1 an

1 ⋱
谱半径： n 阶矩阵 B 在复数范围内的各特征值为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ，则称 ρ(B) = max1≤i≤n |λi | 为 B 之谱半径。 ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1 ‖‖A‖ 简单迭代法 �x = Bx + g , x k+1 = Bx (k) + g ① limk→+∞ BK = 0 ② ρ(B) < 1 充分条件： ‖B‖ < 1 收敛速度： η = −In ρ(B)
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周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且 (3) 后验误差估计： |xk − x ∗ | ≤ 先验误差估计： (4) |xk − x ∗ | ≤
k→+∞
lim �� = �� ∗
1−L 1−L Lk L
局部收敛定理：存在方程 x = φ(x) 根 x ∗ 的闭邻域 U(x ∗ , δ) (δ > 0) 以及 0 < �� < 1 使 φ′ (x) 连续且 |φ′ (x)| ≤ L < 1 ，则对任意 x0 ∈ U(x ∗ , δ) ，迭代 xk+1 = φ(xk )收敛。收敛阶定理（应用） Steffensen 迭代格式：（推导：利用微分中值定理） [φ(xk ) − xk ]2 xk+1 = xk − φ[φ(xk )] − 2φ(xk ) + xk
f (a) f(a)
�：
则对任何初值x0 ∈ [a, b]，Newton 法产生的迭代序列二阶收敛于 x ∗ 。求重根的修正 Newton 迭代法：至少二阶收敛
� ≤ b − a ,� ′
f (b)
f(b)
� ≤ b − a；
Chapter 3 线性代数方程组求解
Gauss 顺序消去法：求解过程中方程次序不变（无换行操作）的 Gauss 消去法，将原方程转化为上三角形方程组，再用回代算法求解。
周斌
数值分析简明教程
Chapter 1 误差分析的基础知识
相对误差：绝对误差： er (x ∗ ) =
x∗ −x x∗ ∗
相对误差限： |er (x ∗ )| ≤ ℰr (x ∗ ) 有效数字：绝对误差限： | e(x ∗ ) | ≤ ℰ (x ∗ )
e(x ∗ ) = x − x
er (x ∗ ) = ℰr (x ∗ ) =
(i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
(j = k, k + 1,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对称正定）：．．．．
1 ℓ21 A=� ⋮ ℓn1
A = LLT （L 的对角元素全为正）
1 ⋮ ℓn2 ⋱ ⋯ ⎡ �⎢ ⎢ 1 ⎣ u11 u22 ⋱
ai1
f′ (x) f(x)
xk+1 − x ∗ = φ′ (x ∗ ) lim k→+∞ x k − x ∗
| x1 − x0 |；
|xk − xk−1 |
Newton 迭代法 �φ(x) = x −
充分条件一：设 x ∗ 是方程 (2.1) 在 [a, b] 上的根且 f ′′ (x) 在 [a, b] 上连续若 ① 对于 ∀ x ∈ [a, b] ，有 f ′ (x) ≠ 0 , f ′′ (x) ≠ 0； ② 取 x0 ∈ [a, b] ，使 f(x0 )f ′′ (x0 ) > 0；则 Newton 法产生的迭代序列二阶收敛于 x ∗ 。充分条件二：设 x ∗ 是方程 (2.1) 在 [a, b] 上的根且 f ′′ (x) 在 [a, b] 上连续若 ① f(a)f(b) < 0 ② 对于 ∀ x ∈ [a, b] ，有 f ′ (x) ≠ 0 , f ′′ (x) ≠ 0； ③ �′
i−1
+ � bij xj
j=i
n
(k)
+ gi
‖B‖∞ < 1
‖B‖1 < 1
1 (k+1) (k) = �bi − � aij xj − � aij xj � aii BJGS = −(L + D)−1 U
j=i+1
(i = 1,2,∙∙∙, n)
对任意初始向量 x (0) 都收敛的充要条件：ρ(BJGS ) < 1 ① �BJGS � < 1 关于任意初始向量 x (0) 都收敛的充分条件：
Gauss-Seidel 迭代法 �x (k+1) = B1 x (k+1) + B2 x (k) + g
(k+1) xi
JGS 迭代法（基于 Jacobi 迭代的 Gauss-Seidel 迭代）：
(k+1) xi
对任意初始向量 x (0) 都收敛的充分条件：
i−1 j=1 n
=
(k+1) � bij xj j=1
�aik −
∑k−1 m=1 ℓim ℓkm �
(i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
解三对角方程组的追赶法（系数矩阵按行严格对角占优）：．．．．
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b1 ⎡ a ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣ c1 b2 ⋱ 1 ⎤ ⎡ ℓ2 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ cn−1 ⎥ ⎢ bn ⎦ ⎣ u1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥∙⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ c1 u2 ⎤ ⎥ ⎥ cn−1 ⎥ un ⎦
(k) 充要条件：akk ≠ 0 (k = 1,2,∙∙∙, n)
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周斌
Gauss 列主元消去法：每步按列选主元→作相应行变换条件：系数矩阵 A 非奇异 Gauss 全主元消去法：第 k 步在 n − k + 1 阶矩阵中选主元，行变换+列变换，特别注意最后求得的解 x1 , x2 ,∙∙∙, xn 的次序可能发生了变化。
ak +bk 2
误差估计：
xk =
, |xk − x ∗ | ≤ (bk − ak ) = k≥ ln(b − a) − ln ℰ ln 2
2
1
2k
1
(b − a) (k = 1,2,∙∙∙)
简单迭代法 [x = φ(x)] ：全局收敛定理（证明过程）：若 ① 对任意x ∈ [a, b] , φ(x) ∈ [a, b] ； ② 存在 0 < �� < 1 ，使对任意 x ∈ [a, b] , |φ′(x)| ≤ L 成立；则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x ∗ ；
ℰ (x ∗ ) |x ∗ |
e(x ∗ ) x∗
其中 ai (i = 1,2,∙∙∙, n,∙∙∙, p) ∈ {0,1,2,∙∙∙ ,9} 且 a1 ≠ 0 ，则称 m 为 x ∗ 之量级；若使不等式 |x ∗ − x| ≤ × 10m−n 成立之最大整数为 n ，则称 x ∗ 具有 n 位有效数字。
2 1
x ∗ = ±10m × 0. a1 a2 ∙∙∙ an ∙∙∙ ap ,
误差的传播： e(y
∗) ∗ ∗ ∗ )e(x ∗ = � fi (x1 , x2 ,∙∙∙, xn i) , i=1 n
其中 fi =
∂xi
∂f
。
Chapter 2 非线性方程求根
二分法： [a, b] = [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃∙∙∙⊃ [ak , bk ] ⊃∙∙∙ 1 bk − ak = k−1 (b − a) 2
(k+1)
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周斌
i−1 j=1 n
(k+1) xi
收敛性
=
(k) xi
ω (k+1) (k) + �bi − � aij xj − � aij xj � aii
j=i
Chapter 4 函数插值
插值余项：
充要条件：ρ(Bω ) < 1 充分条件：① ‖Bω ‖ < 1 ② A 对称正定且 0 < �� < 2 ③ A 严格对角占优且 0 < �� ≤ 1

数值分析简明教程

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