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第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等． 考点一 弦长、面积问题 核心提炼已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 考向1 弦长问题例1 (2022·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.(1)解 由题意得，椭圆半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63，所以a ＝3， 又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y ＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±(x －2)，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1·x 2＝34，所以|MN |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝3， 所以必要性成立；充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋b (kb <0)，即kx －y ＋b ＝0， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|b |k 2＋1＝1，所以b 2＝k 2＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 23＋y 2＝1，可得(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6kb1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2，所以|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫－6kb 1＋3k 22－4·3b 2－31＋3k 2＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3， 化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1，所以⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝－2或⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立， 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. 考向2 面积问题例2 (2022·大庆模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴长为23，椭圆左顶点A 到左焦点F 1的距离为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B ，过F 1的直线l 与椭圆C 交于点M ，N ，且S △BMN ＝1827，求直线l 的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝23，a －c ＝1，a 2－c 2＝b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F 1(－1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 即y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4.又S △BMN ＝12·|BF 1|·|y 1|＋12·|BF 1|·|y 2|＝12·|BF 1|·|y 1－y 2| ＝12·|BF 1|·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2 ＝18m 2＋13m 2＋4＝1827，解得m ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 方法二 由(1)知F 1(－1,0)，B (2,0)，当直线l 的斜率不存在时，|MN |＝3，点B (2,0)到直线l ：x ＝－1的距离为3，所以S △BMN ＝92≠1827，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4(4k 2－12)3＋4k 2 ＝1＋k 2·144(k 2＋1)(3＋4k 2)2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.因为点B (2,0)到直线l 的距离为d ＝|3k |k 2＋1，所以S △BMN ＝12·|MN |·d ＝12·12(k 2＋1)3＋4k 2·|3k |k 2＋1＝1827，即k 2＝1，得k ＝±1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等． (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12. (1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 解 (1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4.当y ＝0时，解得x ＝－4， 所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m .如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝m ，x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0， 所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0， 即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 即d ＝8＋41＋4＝1255，由两点之间距离公式可得 |AM |＝(2＋4)2＋32＝3 5.所以△AMN 的面积的最大值为12×35×1255＝18.考点二 中点弦问题 核心提炼已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k . 若E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63.(1)证明：a ＝3b ；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ . ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程． (1)证明 ∵e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63，∴b a ＝33，∴a ＝3b . (2)解 ①由(1)知，椭圆C 的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 当⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部时，⎝⎛⎭⎫9102＋3·⎝⎛⎭⎫－3102<3b 2，可得b >3010. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 22＝910，y 1＋y 22＝－310，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝－39，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，两式作差得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 23(y 1＋y 2)＝－13×⎝⎛⎭⎫－93＝3，所以直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－310＝3⎝⎛⎭⎫x －910， 即y ＝3x － 3.所以直线l 的方程为3x －y －3＝0.②联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3b 2，y ＝3(x －1)，消去y 可得10x 2－18x ＋9－3b 2＝0. Δ＝182－40(9－3b 2)＝120b 2－36>0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝95，x 1x 2＝9－3b 210，又∵OP ⊥OQ ，而OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－1)·3(x 2－1)＝4x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3 ＝2(9－3b 2)－27＋155＝6－6b 25＝0，解得b 2＝1，合乎题意，故a 2＝3b 2＝3， 因此椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.规律方法 (1)处理中点弦问题常用的求解方法(2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．跟踪演练2 (1)(2022·太原模拟)若过椭圆x 29＋y 24＝1内一点P (2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( ) A ．8x ＋9y －25＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．4x ＋3y －15＝0 D ．4x －3y －9＝0答案 A解析 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P 为AB 的中点，因为A ，B 在椭圆上，所以x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减得x 21－x 229＋y 21－y 224＝0，因为x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 可得y 1－y 2x 1－x 2＝－89，则k ＝－89，且过点P (2,1)，所以y －1＝－89(x －2)，整理得8x ＋9y －25＝0.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 在双曲线上，且点M (－2,1)为线段PQ 的中点，PQ ∥BF ，双曲线的离心率为e ，则e 2等于( ) A.2＋12 B.3＋12 C.2＋22 D.5＋12答案 A解析 方法一 由题意知F (c ,0)，B (0，b )，则k PQ ＝k BF ＝－b c .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2).因为线段PQ 的中点为M (－2,1)， 所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，又k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b c ，所以－b c ＝－4b 22a 2，整理得a 2＝2bc ，所以a 4＝4b 2c 2＝4c 2(c 2－a 2)，即4e 4－4e 2－1＝0，得e 2＝2＋12. 方法二 由题意知F (c ,0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc .设直线PQ 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 即y ＝kx ＋2k ＋1， 代入双曲线方程，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2k (2k ＋1)x －a 2(2k ＋1)2－a 2b 2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，所以2a 2k (2k ＋1)b 2－a 2k 2＝－4，又k ＝k BF ＝－b c ，所以2a 2·⎝⎛⎭⎫－b c ⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫－b c ＋1＝－4b 2＋4a 2⎝⎛⎭⎫－b c 2， 整理得a 2＝2bc ，所以c 2－b 2－2bc ＝0， 即⎝⎛⎭⎫c b 2－2c b －1＝0，得cb＝2＋1， 则e 2＝c 2a 2＝c2c 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫c b 2⎝⎛⎭⎫c b 2－1＝()2＋12()2＋12－1＝2＋12. 考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用 核心提炼直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程． (2)消元得到关于x 或y 的一元二次方程．(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．例4 (1)已知直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，与直线x ＝－a ，x ＝a 分别交于点M ，N ，F 为椭圆的左焦点，若以MN 为直径的圆为E ，则F ( ) A ．在圆E 上 B ．在圆E 内C ．在圆E 外D ．以上三种情况都有可能答案 A解析 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0， 因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0， 故m 2＝a 2k 2＋b 2.易知F (－c ,0)，M (－a ，－ak ＋m )， N (a ，ak ＋m )，则FM →＝(c －a ，m －ak )，FN →＝(c ＋a ，m ＋ak )，则FM →·FN →＝c 2－a 2＋m 2－a 2k 2＝－b 2＋a 2k 2＋b 2－a 2k 2＝0，故∠MFN ＝90°， 即点F 在圆E 上．(2)(多选)(2022·漳州龙海二中模拟)已知直线y ＝x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)无公共点，则双曲线的离心率可能为( )A ．1 B. 2 C.62D. 3 答案 BC解析 双曲线的一条渐近线为y ＝b a x ，因为直线y ＝x 与双曲线无公共点，故有ba ≤1.即b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1≤1，所以e 2≤2， 所以1<e ≤ 2.易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)． 跟踪演练3 (2022·沈阳模拟)已知A ，B 分别是椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，P 为椭圆C 上一点，若△P AB 的面积是2－1，则P 点的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由C ：x 24＋y 2＝1可得a ＝2，b ＝1 ，所以A (2,0)，B (0,1)，|AB |＝ 5 ，所以直线AB 的方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1，设过点P 与直线AB 平行的直线l ：y ＝－12x ＋t ，则直线l 与直线AB 的距离d ＝|t －1|1＋14＝25|t －1|， 因为点P 为直线l 与椭圆的交点， 所以点P 到直线AB 的距离为d ， 因为△P AB 的面积是2－1,可得S △P AB ＝12×|AB |×d ＝12×5×25|t －1|＝2－1，解得t ＝2或t ＝2－2，当t ＝2时，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋2，可得(x －2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝22，此时P ⎝⎛⎭⎫2，22，当t ＝2－2时，⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋2－2，可得x 2＋(22－4)x ＋10－82＝0，因为Δ＝(22－4)2－4(10－82)＝16(2－1)>0，此时直线l 与椭圆有2个交点，此时有2个点P ，所以共有3个点P .专题强化练一、单项选择题1．直线l 经过P (4,2)且与双曲线x 22－y 2＝1交于M ，N 两点，如果点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －6＝0 C ．2x －3y －2＝0 D ．不存在答案 A解析 当斜率不存在时，显然不符合题意； 当斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 因为点P 是线段MN 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，代入双曲线方程得⎩⎨⎧x 212－y 21＝1，x222－y 22＝1，两式相减得x 21－x 22＝2(y 21－y 22)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，又直线过点P ，所以直线方程为y ＝x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，y ＝x －2，得到x 2－8x ＋10＝0，经检验Δ>0，方程有解，所以直线y ＝x －2满足题意．2．已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F 的直线l 交该抛物线于M ，N 两点，若|MN |＝52，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x答案 B解析 设直线l ：y ＝－2x ＋p ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋p ，y 2＝2px ， 得4x 2－6px ＋p 2＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则x M ＋x N ＝6p 4＝3p 2. 又|MN |＝52， 所以x M ＋p 2＋x N ＋p 2＝5p 2＝52， 所以p ＝1，所以所求抛物线的方程是y 2＝2x .3．(2022·成都模拟)设O 为坐标原点，直线l 过定点(1,0)，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－14B ．x ＝－12C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 A解析 由题意可知直线l 的斜率不为0.设直线l ：x ＝my ＋1，与y 2＝2px (p >0)联立得y 2－2pmy －2p ＝0，Δ>0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－2p .由OA ⊥OB ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0， 即4p 24p 2－2p ＝0，得p ＝12， 所以其准线方程为x ＝－14. 4．过椭圆内定点M 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M 的“好弦”．在椭圆x 264＋y 216＝1中，过点M (43，0)的所有“好弦”的长度之和为( )A ．120B ．130C ．240D ．260答案 C解析 由已知可得a ＝8，b ＝4，所以c ＝43，故M 为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直于x 轴时弦长最短，所以当x ＝43时，最短的弦长为2b 2a ＝2×168＝4， 当弦与x 轴重合时，弦长最长为2a ＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度之和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.5．已知过椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点的直线l ，斜率存在且与椭圆交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，则点M 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，85 B.⎝⎛⎦⎤－85，0 C.⎣⎡⎭⎫0，85 D.⎣⎡⎭⎫－85，0 答案 C解析 当直线AB 的斜率k ＝0时，即AB 为x 轴，则垂直平分线为y 轴，所以x M ＝0； 当直线AB 的斜率k ≠0 时，又斜率存在，则设直线方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5y 2＝5，y ＝k (x －2)，得(5k 2＋1)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝20k 25k 2＋1，x 1x 2＝20k 2－55k 2＋1， 设N 为线段AB 的中点，所以x N ＝10k 25k 2＋1，代入直线方程可得y N ＝－2k 5k 2＋1， 则AB 的垂直平分线MN 的方程为y ＋2k 5k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －10k 25k 2＋1， 当y ＝0时，x ＝8k 25k 2＋1＝85＋1k 2， 因为k 2>0，所以x ∈⎝⎛⎭⎫0，85， 综上所述，x ∈⎣⎡⎭⎫0，85， 即点M 横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，85. 6．(2022·大连模拟)第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD (如图)，且两切线斜率之积等于－916，则椭圆的离心率为( )A.34B.74C.916D.32答案 B解析 若内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m >1)，∴A (－ma ,0)，B (0，mb )，设切线AC 为y ＝k 1(x ＋ma )，切线BD 为y ＝k 2x ＋mb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋ma )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2k 21＋b 2)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0知， (2ma 3k 21)2－4(a 2k 21＋b 2)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0， 整理得k 21＝b 2a 2·1m 2－1， 同理，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)， ∴(k 1k 2)2＝b 4a 4＝⎝⎛⎭⎫－9162，即b 2a 2＝916，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝74. 二、多项选择题7．(2022·兰州模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，若线段MN 的中点为P ，且线段FP 的长为4，则直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －1＝0B ．x －3y －1＝0 C.3x －y －3＝0 D.3x ＋y －3＝0 答案 AB解析 由y 2＝4x 得p ＝2，所以F (1,0)，准线为x ＝－1，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，消去x 并整理得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，所以y 1＋y 22＝2t ， 依题意得M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则线段MN 的中点P (－1,2t )，因为|PF |＝4，所以22＋4t 2＝4，解得t ＝±3，所以直线l 的方程为x ＋3y －1＝0或x －3y －1＝0.8．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，两条渐近线的夹角正切值为22，直线l ：kx －y －3k ＝0与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设△F 1AB 的内心为I ，则( )A ．双曲线E 的标准方程为x 26－y 23＝1 B ．满足|AB |＝6的直线l 有2条C ．IF 2⊥ABD ．△F 1AB 与△IAB 的面积的比值的取值范围是(2,6]答案 ACD解析 A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，0<θ<π2，因为a >b ，所以0<2θ<π2，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝22，解得tan θ＝22或tan θ＝－2(舍去)，所以b a ＝22，又a 2＋b 2＝9，所以a 2＝6，b 2＝3，所以双曲线E 的标准方程为x 26－y 23＝1，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx －y －3k ＝0，即k (x －3)－y ＝0，则直线l 恒过右焦点F 2，又过焦点F 2的弦最短为2b 2a ＝66＝6，所以满足|AB |＝6的直线l 只有1条，B 错误； C 选项，由双曲线的定义可知，|AF 1|－|AF 2|＝26＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 1|－|BF 1|＝|AF 2|－|BF 2|，因此F 2是△F 1AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此IF 2⊥AB ，C 正确；D 选项，由题意知1F ABIAB S S △△＝12|IF 2|·(|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |)12|IF 2|·|AB | ＝26＋|AF 2|＋26＋|BF 2|＋|AB ||AB |＝46|AB |＋2， 因为|AB |≥6，所以1F AB IAB S S △△∈(2,6]，D 正确．三、填空题9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 2m＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,4)∪(4，＋∞)解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故点(0,1)在椭圆x 24＋y 2m＝1上或内部， ∴1m≤1，且m >0，m ≠4， ∴m ≥1，且m ≠4.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43， 不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43， ∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 11．(2022·绵阳模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)有共同的一焦点，过E 的左焦点且与曲线C 相切的直线恰与E 的一条渐近线平行，则E 的离心率为________．答案 2 解析 因为抛物线与双曲线共焦点，所以c ＝p 2，p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ， 双曲线的左焦点为F 1(－c ,0)，过F 1与一条渐近线y ＝b a x 平行的直线方程为y ＝b a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4cx ，y ＝b a (x ＋c )，得by 2－4acy ＋4bc 2＝0， 所以Δ＝16a 2c 2－16b 2c 2＝0，所以a ＝b ，从而c ＝a 2＋b 2＝2a ，离心率为e ＝c a ＝ 2.12．已知直线y ＝kx ＋2(k >0)与抛物线C ：x 2＝8y 相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，|F A |＝4|FB |，则k ＝________.答案 34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,2)，直线y ＝kx ＋2(k >0)与抛物线C ：x 2＝8y 联立方程得x 2－8kx －16＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝8k 2＋4，y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2)＝4，又因为|F A |＝4|FB |，所以y 1＋2＝4(y 2＋2)，即y 1＝4y 2＋6，所以由y 1＝4y 2＋6和y 1y 2＝4，解得y 1＝8，y 2＝12(负值舍去)， 所以y 1＋y 2＝8k 2＋4＝8＋12，解得k 2＝916，所以k ＝34. 四、解答题13．已知点A (0,2)，B 为抛物线x 2＝2y －2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)A 关于直线y ＝x 的对称点为D ，斜率为12的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，且△MDN 是以MN 为底边的等腰三角形，求△MDN 的面积．解 (1)设C (x ，y )，B (m ，n )，∵B 是AC 的中点，∴⎩⎨⎧m ＝x 2，n ＝y ＋22，∵B 在抛物线x 2＝2y －2上，∴m 2＝2n －2，∴x 24＝2×2＋y 2－2， ∴曲线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意得D (2,0)， 设l ：y ＝12x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ，x 2＝4y ，得x 2－2x －4t ＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4t ，Δ＝4＋16t >0，∴y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2t ＝1＋2t . 设MN 的中点为P ，则P ⎝⎛⎭⎫1，12＋t ， ∵△MDN 是以MN 为底边的等腰三角形，则k DP ·k MN ＝－1，∴12＋t 1－2·12＝－1，解得t ＝32，符合Δ>0. ∴x 2－2x －6＝0，∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎫122·|x 1－x 2|＝1＋14·4－4×(－6)＝35，|DP |＝5， ∴S △MDN ＝12×35×5＝572. 14．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，圆F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和圆F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与圆F 交于A ，B 两点，与椭圆E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 如图，由e ＝32，即c a ＝32， 再由a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2b ，①将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程，可得1a 2＋34b 2＝1，② 由①②可解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1， ∴F (3，0)，∵PF ⊥x 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫3，±12，∴圆F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14. (2)由A ，B 在圆上得|AF |＝|BF |＝|PF |＝r ＝12， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|CF |＝(x 1－3)2＋y 21＝2－32x 1， 同理|DF |＝2－32x 2， 若|AC |＝|BD |，则|AC |＋|BC |＝|BD |＋|BC |， 即|AB |＝|CD |＝1，∴4－32(x 1＋x 2)＝1，∴x 1＋x 2＝2 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －3)，得(4k 2＋1)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1， ∴83k 24k 2＋1＝23， 得4k 2＝4k 2＋1，无解，故不存在．。
第七讲 直线与圆锥曲线教学目标：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.一、知识回顾 课前热身知识点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.例题辨析 推陈出新例1(1)已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a ＝1，得(a ＋4k 2)x 2－8kx ＋4－4a ＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝64k 2－4×(4－4a )(a ＋4k 2)＝0， 即a ＋4k 2－1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1. [答案] (1)a ＋4k 2－1＝0 (2)D 变式练习1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，得－1≤k ≤1，且k ≠0.综上－1≤k ≤1.例2已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[自主解答] (1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N 、y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒ m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是12<m <2.变式练习2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，b ＝23.故所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.例3已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆M 的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[自主解答] (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得 ⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32， 解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．＝－4k 22k 2＋1，x 0如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12<x G <0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.变式练习3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)∵焦点F 到准线的距离为12，∴p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)， 则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，∴k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x＝x 0＋x .∵NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，∴k PM ·k NQ ＝－1，即2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1， 整理得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ ―→与MP 共线，得x 0＝2xtx ＋t.②由①②得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t (t >0)，∴t ＝－x 2＋13x＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋13x . ∴t ≥23或t ≤－23(舍去)．∴所求t 的最小值为23.三、归纳总结 方法在握归纳2种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．3类问题——圆锥曲线中的三类问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．求最值常见的解法有几何法和代数法.四、拓展延伸 能力升华(2012·福建高考·满分13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.⇨(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， 所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知， 点M 必在x 轴上．⇨(10分)设M (x 1,0)，则MP ·MQ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． 因为MP ＝⎝⎛⎭⎫－4k m－x 1，3m ， MQ＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP ·MQ＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－b aB ．k <baC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <b a解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a <k <ba .2．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433C ．2D ．不能确定解析：选B 直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.3.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1 解析：选D 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，又b 2＝a 2－c 2，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.4．(2013·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA|为( )A.21p 4B.21p2 C.136p D.1336p|AD |＝3解析：选B 如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，m ，由抛物线定义知|F A |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ，∴m ＝p .∴|OA |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 5．(2013·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 设过点(0,1)斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*) 当k ＝0时，(*)式只有一个根；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝－16k ＋16， 由Δ＝0，即－16k ＋16＝0得k ＝1.所以k ＝0，或k ＝1时，直线与抛物线只有一个公共点， 又直线x ＝0和抛物线只有一个公共点．6．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32解析：选B 设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0.又∵M ，N ，P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)． ∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 ·y ＋y 0x ＋x 0.∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|， 即|k 1|·|k 2|＝b 2a 2.又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2ba，∴2ba ＝1，即4b 2＝a 2.∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2. ∴c 2a 2＝54.即e 2＝54，∴e ＝52. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝08．一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________． 解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－19．(2012·重庆高考)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0， x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22.11．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． 解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m 8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10. ∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k 2，∴b 2k 2＋16bk＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．12．(2012·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有 x 20a 2＋y 20b2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P在椭圆上，有x20a2＋k2x20b2＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a2<1，即(1＋k2)x2<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2.代入③，得(1＋k2)4a2(1＋k2)2<a2，解得k2>3，所以|k|> 3.。
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学习目标核心素养位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、逻辑推理、数学运算素养．激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？[提示]不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝错误!＝1＋1k2|y1－y2|＝错误!．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．( )(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．( )(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．( ) [答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)√(2)√(3)×必要不充分条件．2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )A．15B．13C．215D．213A[令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1y2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝错误!＝错误!＝错误!．] 3．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y22＝1的位置关系为 ． 相交[联立⎩⎨⎧y ＝x ＋1x2＋y22＝1消去y 得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0∴直线与椭圆相交．]4．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x29－y 2＝1交点个数为 个．1 [直线与渐近线平行因此只有一个交点．] 5．过椭圆x213＋y212＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．241313 [椭圆的右焦点为(1,0)，把x ＝1代入x213＋y212＝1中得：y 2＝12213，∴y ＝±121313，∴|AB |＝241313．]直线与圆锥曲线的位置关系[直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x24＋y 2＝1的位置关系．[解]由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，①x24＋y2＝1，②得x24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0．③此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交．当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切． 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离．1．(变条件，变设问)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点(6，1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． [解] (1)由e ＝233可得c2a2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x23b2－y2b2＝1，将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1．所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1．(2)联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x2－3y2－3＝0⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得错误! 解得－1＜k ＜1且k ≠±33． 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1．2．(改变条件)已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ．问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？[解] 由方程组错误!消去y 得 k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，记Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)， (1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ＞0，即k 2≠0，且16(1－k 2)＞0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点， 则k 2＝0或k 2≠0时，Δ＝0． 解得k ＝0或k ＝±1．所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点， 则k 2≠0且Δ＜0． 解得k ＞1或k ＜－1． 所以当k ＞1或k ＜－1时， 直线l 和抛物线C 无交点．直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．弦长问题及中点弦问题【】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． [思路探究] 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a ，b 的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0．而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ．∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4．将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋23y 2＝1．法二：由⎩⎨⎧ax2＋by2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝错误! ＝2·错误!． ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1．①设C (x ，y )，则x ＝x1＋x22＝ba ＋b， y ＝1－x ＝a a ＋b ．∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22， 代入①，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋23y 2＝1．直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.[跟进训练]1．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|．[解] 法一：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上， ∴y 21＝6x 1，y 2＝6x 2．两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0． 由⎩⎨⎧y2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋19·错误!＝错误!． 法二：由题意设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0．设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24kk，∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k ＝2，∴k ＝3，∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)． 由y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， 得|P 1P 2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303． 圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C ：a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围． [解] (1)由双曲线x2a2－y2b2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92．① 由题意知b a ＝22，②由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x23＋23y 2＝1． (2)由(1)知P (－3，0)． 设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)． 即⎩⎨⎧x0＋3＝－2x0，y0＝－2y0，解得⎩⎨⎧x0＝－33，y0＝0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0．设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x1－332＋y 21＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113． 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]， ∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，203．1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法 (1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． (2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．[跟进训练] 2．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，C 过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，离心率e ＝12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 为椭圆C 过F 1的弦，R 为PF 2的中点，O 为坐标原点，求△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和的最大值．[解] (1)由e ＝c a ＝12，设a ＝2t ，c ＝t ，t ＞0，可得b ＝3t ，椭圆方程为x24t2＋y23t2＝1，代入M ，可得14t2＋34t2＝1，可得t ＝1，则a ＝2，b ＝3，c ＝1， 可得椭圆方程为x24＋y23＝1．(2)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，可得△RF 1F 2的面积为△PF 1F 2的面积的一半，即为△PF 1O 的面积，△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和设为S ，则S ＝S △PQO ，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x ＝－1，此时S △PQO ＝12×1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0，联立错误!，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0，故x 1＋x 2＝－8k23＋4k2，x 1x 2＝4k2－123＋4k2， 故|PQ |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2错误!＝错误!，点O 到直线PQ 的距离d ＝|k|1＋k2， S ＝12|PQ |d ＝6错误!，令u ＝3＋4k 2∈(3，＋∞)， 故S ＝6u －34·u ＋14u2＝32－3u2－2u ＋1＝ 32－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋132＋43∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32， 故S 的最大值为32．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．1．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18B [∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12．]2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0 C [设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2．∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 2＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y1－y2x1－x2＝－4， ∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0．]3．已知双曲线C ：x 2－y24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是 ． (4,2) [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎨⎧ x －y ＝2，y2＝4x.整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4,2)．]5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x22＋y 2＝1交于M 、N 两点， 且|MN |＝423．求直线l 的方程． [解] 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x22＋y2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0． 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k22＝329，化简得：k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1．∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1．。
