【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2020届高三第二次月考数学(文)试题含答案

2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．设全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．48．如图所示的四个正方体中，A，B正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①②③9．函数f（x）＝x3e x的图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于g（x）的结论错误的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）关于点对称C．g（x）关于直线对称D．g（x）在区间上单调递增11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b＝（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣112．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．在复平面内，复数z＝所对应的点位于第象限．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2＝8所截得的弦长等于．15．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再铵下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED ＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距离．19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M＜85时，产品为二级品；当70≤M＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）频数10304020 B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80）[80，85）[85，00）[90，95）频数510153040（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：y＝其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？20．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝（ax﹣1）e x．（Ⅰ）记h（x）＝x﹣，试判断函数h（x）的极值点的情况；（Ⅱ）若af（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．21．已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数正数x，y满足x+y＝1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】∁U B＝{﹣2，3，4}，图中阴影部分所表示的集合为A∩（∁U B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴∁U B＝{﹣2，3，4}，∴图中阴影部分所表示的集合为：A∩（∁U B）＝{3，4}．故选：B．2．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差【分析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解解：由茎叶图可知：①＝＝84，＝＝84，即＝，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B错误，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2＝[（75﹣84）2+（82﹣84）2+（83﹣84）2+（87﹣84）2+（93﹣84）2]＝，S乙2＝[（77﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2+（85﹣84）2+（91﹣84）2]＝，即S甲2＞S乙2，即选项D正确，故选：D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1，解得答案．解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．解：若输入N＝20，则i＝2，T＝0，＝＝10是整数，满足条件．T＝0+1＝1，i＝2+1＝3，i≥5不成立，循环，＝不是整数，不满足条件．，i＝3+1＝4，i≥5不成立，循环，＝＝5是整数，满足条件，T＝1+1＝2，i＝4+1＝5，i≥5成立，输出T＝2，故选：B．8．如图所示的四个正方体中，A，B正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①②③【分析】首先由线面平行的判定可知①正确，由此排除选项BC，再根据面面平行的性质，由此排除A，即可得到正确答案．解：对①，连接BD交NP于点O，则OM∥AB，易知AB∥平面MNP，即①正确，故排除BC；对③，由正方体的性质可知，平面MNP∥平面ABC，又AB在平面ABC内，故AB∥平面MNP，即③正确，故排除A．故选：D．9．函数f（x）＝x3e x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由x＜0时x3e x＜0排除B；由f（1）＝e＞1排除D；求出函数在x＝0处的切线方程排除A．解：当x＜0时，x3e x＜0，故排除B；f（1）＝e＞1，故排除D；f′（x）＝（x3+2x2）e x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2．当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0），（0，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，故f（x）在x＝0的切线为x轴，故排除A．故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于g（x）的结论错误的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）关于点对称C．g（x）关于直线对称D．g（x）在区间上单调递增【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：将函数＝sin2x﹣sin（﹣2x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+﹣）＝sin（2x﹣）的图象，对于g（x），它的周期为＝π．故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，故函数g（x）的图象关于点对称，故B正确；当x＝，求得g（x）＝﹣，故g（x）图象不关于直线对称，故C错误；在区间上上，2x﹣∈[﹣，]，故g（x）在区间上上单调递增，故D正确，故选：C．11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b＝（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣1【分析】设直线y＝kx+b与y＝lnx+2的切点为（x1，y1），与y＝e x的切点为（x2，y2），可得切线的斜率，注意运用两点的斜率公式，解方程即可得到切点和斜率，进而得到切线方程，可得b的值．解：直线y＝kx+b与y＝lnx+2的切点为（x1，y1），与y＝e x的切点为（x2，y2），由y＝lnx+2的导数为y′＝，y＝e x的导数为y′＝e x，可得k＝e x2＝＝，消去x2，可得（1+lnx1）（1﹣）＝0，则x1＝或1，则切点为（，1）或（1，2），得k＝e或1，则切线为y＝ex或y＝x+1，可得b＝0或1．故选：C．12．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心C（4，1），半径r为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|＝＝＝，令g（m）＝﹣8m+17，可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，g（m）递减；m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，g（m）递增．所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC|≥，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，且为，所以切线长为|PA|＝2，如图：由直角三角形的射影定理可得|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，|AB|＝2，即|AB|＝．故选：C．二、填空题：共4小题.每小题5分，共20分.13．在复平面内，复数z＝所对应的点位于第三象限．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平面内对应点的坐标为（，﹣），位于第三象限．故答案为：三．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2＝8所截得的弦长等于4．【分析】根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可．解：因为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，即＝，所以＝，所以＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±3y＝0，又圆（x+4）2+y2＝8的圆心为（﹣4，0），半径r为2，所以圆心到任一条渐近线的距离为d＝＝2，因此，弦长为2＝2＝4．故答案为：4．15．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为8π．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，结合等腰三角形△ABC的面积为4，利用基本不等式求最值．解：如图，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，由已知，BD⊥平面ADC，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，则球的直径2R＝．∴球的表面积S＝4πR2＝（a2+2b2）π，∵，∴．故答案为：．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再铵下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是440．【分析】直接利用数列的前n项和的关系式建立等量关系，进一步求出结果．解：根据题意知：该数列得前：1+2+3+…+k＝，则：＝2k+1﹣k﹣2，要使，则有k≥14，所以：k+2是之后的等比数列1，2，…2k+1的部分的和．即：k+2＝1+2+…+2t﹣1＝2t﹣1，所以：k＝2t﹣3≥14，则：t≥5，此时k＝25﹣3＝29，对应满足的最小条件N＝．故答案为：440三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cos C•sin C＝sin C，由0＜C＜π，sin C≠0，可求cos C＝，进而可求C的值．（2）根据ABC的面积公式可求ab＝6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c，正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）＝sin C，即2cos C•sin C＝sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝ab sin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2ab cos C，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED ＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BD中点O，连接OM，通过证明四边形OMEF为平行四边形得出FM ∥OE，故而FM∥平面BDE；（2）取AD的中点H，证明EH⊥平面ABCD，根据V E﹣BDM＝V M﹣BDE得出M到平面BDE 的距离，也是F到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取BD中点O，连接OM，OE，因为O、M分别为BD，BC的中点，所以OM∥CD且OM＝CD，由EF∥AB且EF＝AB，在菱形ABCD菱形中，AB∥CD，且AB＝CD，∴OM∥EF，且OM＝EF，∴四边形OMEF为平行四边形，所以MF∥OE．又OE⊂平面BDE且MF⊄平面BDE，所以MF∥平面BDE．（2）解：由（1）得FM∥平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离．取AD的中点H，因为EA＝ED，所以EH⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，所以EH⊥平面ABCD．由已知可得EH＝＝，BE＝＝＝，所以等腰三角形BDE的面积为S△BDE＝××＝；又因为S△BDM＝S△BCD＝××2×2×sin60°＝，设F到平面BDE的距离为h，由V E﹣BDM＝V M﹣BDE得S△BDM•EH＝S△BDE•h，即××＝××h，解得h＝，即F到平面BDE的距离为．19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M＜85时，产品为二级品；当70≤M＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）频数10304020B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80）[80，85）[85，00）[90，95）频数510153040（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：y＝其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？【分析】（1）先求出5件产品中有二级品2件，有一级品3件，再利用古典概率公式即可求出从这5件产品中任取3件恰好取到1件二级品的频率；（2）分别求出A配方、B配方生产的产品平均利润率，再比较即可求出结果．解：（1）由题意，5件产品中二级品的件数为：0.4×5＝2（件），记为a，b，5件产品中一级品的件数为：0.6×5＝3（件），记为x，y，z，从这5件产品中任取3件共有10种方式：（a，b，x），（a，b，y），（a，b，z），（a，x，y），（a，x，z），（a，y，z），（b，x，y），（b，x，z），（b，y，z），（x，y，z），其中恰好取到1件二级品共有6种，所以恰好取到1件二级品的频率为；（2）A配方生产的产品平均利润率E（A）＝＝2t2+0.6t，B配方生产的产品平均利润率E（B）＝＝1.3t2+0.7t，∴E（A）﹣E（B）＝0.7t2﹣0.1t＝0.1t（7t﹣1），∵0＜t＜，∴0＜7t＜1，∴E（A）＜E（B），所以投资B配方的产品平均利润率较大．20．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝（ax﹣1）e x．（Ⅰ）记h（x）＝x﹣，试判断函数h（x）的极值点的情况；（Ⅱ）若af（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．【分析】（I）h（x）＝x﹣＝x﹣，h′（x）＝．令u（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，又u（0）＝﹣1，u（1）＝e﹣1＞0．可得存在唯一x0∈（0，1），使得u（x0）＝0，即h′（x0）＝0．利用单调性即可得出函数h（x）的极值点与极值．（Ⅱ）af（x）＞g（x）化为：a（x﹣）＜1，即ah（x）＜1．对a分类讨论，即可得出a的取值范围．解：（I）h（x）＝x﹣＝x﹣，h′（x）＝．令u（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，又u（0）＝﹣1，u（1）＝e﹣1＞0．∴存在唯一x0∈（0，1），使得u（x0）＝0，即h′（x0）＝0．x∈（﹣∞，x0），h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减．x∈（x0，+∞），h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴x＝x0为极小值点，无极大值点．（Ⅱ）af（x）＞g（x）化为：a（x﹣）＜1，即ah（x）＜1．①当a≤0时，由不等式有整数解，∴h（x）在x∈Z时，h（x）≥1，∴ah（x）＜1有无穷多整数解．②当0＜a＜1时，h（x）＜，又＞1，h（0）＝h（1）＝1．∴不等式有两个整数解为0，1．即，解得：≤a＜1．③当a≥1时，h（x）≤，又≤1，∴h（x）在x∈Z时小于或等于1，∴不等式ah（x）＜1无整数解．综上可得：≤a＜1．21．已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．【分析】（1）由题设条件能够求出c、b＝，从而求出椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆联立方程组，由根与系数的关系，结合，即可证得结论；（3）由题设条件证明点N（，0）在既直线AE上，又在直线BD上，即可得到结论．【解答】（1）解：椭圆右焦点F（1，0），∴c＝1，抛物线的焦点坐标（0，），∴b＝∴b2＝3∴a2＝b2+c2＝4∴椭圆C：…（2）证明：由题意，m≠0，，设A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴△＝（6m）2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0∴…又由得：，∴…（3）解：m＝0时，得N（，0），猜想：m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0），由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）于是D（4，y1），E（4，y2），先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：当x＝时所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0）…22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴﹣，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数正数x，y满足x+y＝1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．【分析】（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．解：∵正数x，y满足x+y＝1，∴由不等式|x+2y|+|x﹣y|≤，得∴，∴≤x＜1，∴不等式的解集为{x|≤x＜1}．（2）∵正数x，y满足x+y＝1，∴＝＝＝+5≥2+5＝9，当且仅当x＝y＝时取等号．。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（下）月考数学试卷（文科）（六）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 3}，T＝{4}，则(∁U S)∪T等于（）A.{2, 4}B.{4}C.⌀D.{1, 3, 4}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】∵全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{l, 3}，T＝{4}，∴(∁U S)∪T＝{2, 4}∪{4}＝{2, 4}．2. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=bi1+i，则a+bi＝（）A.2+iB.2−iC.1+2iD.1−2i【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简复数，通过复数的相等求出a，b即可．【解答】a+i=bi1+i =bi(1−i)(1+i)(1−i)=b+bi2，∴{2a=b2=b，解得a＝1，b＝2，∴a+bi＝1+2i．3. 下列叙述正确的是（）A.函数f(x)=x2+2x2+2的最小值是2√2−2B.“0<m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件C.若命题p:∀x∈R，x2−x+1≠0，则∃p:∀x0∈R,x02−x0+1=0D.“已知x，y∈R，若xy<1，则x，y都不大于1”的逆否命题是真命题【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A，f(x)=x2+2x2+2=x2+2+2x2+2−2≥2√2−2，x2+2=2x2+2的等号不成立，B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立；C，根据含有量词的命题的否定判定；D，当x=13,y=2时，xy<1也成立．【解答】对于A，f(x)=x2+2x2+2=x2+2+2x2+2−2≥2√2−2，x2+2=2x2+2的等号不成立，所以A错；对于B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立，所以B错；对于D，当x=13,y=2时，xy<1也成立，所以D错；4. 如图，该程序运行后的输出结果为（）A.0B.3C.12D.−2【答案】B【考点】程序框图【解析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件i>2，跳出循环，确定输出S的值．【解答】由程序框图知：第一次循环S＝0+5＝5，i＝5−1＝4，S＝5−4＝1；第二次循环S＝1+4＝5，i＝4−1＝3，S＝5−3＝2；第三次循环S＝2+3＝5，i＝3−1＝2，S＝5−2＝3．不满足条件i>2，跳出循环，输出S＝3．5. 已知奇函数f(x)＝2sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<2π)满足f(π4+x)＝f(π4−x)，则ω的取值不可能是（）A.2B.4C.6D.10【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】首先利用函数是奇函数求出：φ＝kπ(k∈Z)，进一步利用f(π4)=2sin(π4ω+π)=±2求出ω的值．【解答】由于f(x)＝2sin(ωx+φ)为奇函数，故：φ＝kπ(k∈Z)由于：0<φ<2π，所以：当k＝1时，φ＝π，满足f(π4+x)＝f(π4−x)，则：f(π4)=2sin(π4ω+π)=±2，所以：当ω＝2，6，10时2sin(π4ω+π)=±2成立，当ω＝4时，2sin(π4ω+π)=0．6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.9 5B.59C.53D.275【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，7. 已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)＝f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)＝log2(−x)，则函数g(x)＝f(x)−2在(0, 8)内所有的零点之和为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合进行求解．【解答】∵奇函数y＝f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)＝f(1−x)，∴f(1+x)＝f(1−x)＝−f(x−1)，则f(2+x)＝−f(x)，即f(4+x)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数．若0<x≤1，则−1≤−x<0，则f(−x)＝log2x＝−f(x)，则f(x)＝−log2x，0<x≤1，若1≤x<2，则−1≤x−2<0，∵f(2+x)＝−f(x)，∴f(x)＝−f(x−2)，则f(x)＝−f(x−2)＝−log2(2−x)，1≤x<2，若2<x<3，则0<x−2<1，f(x)＝−f(x−2)＝log2(x−2)，2<x<3，由g(x)＝f(x)−2＝0得f(x)＝2，作出函数f(x)在(0, 8)内的图象如图：由图象知f(x)与y＝2在(0, 8)内只有4个交点，当0<x≤1时，由f(x)＝−log2x＝2，得x=14，当1≤x<2时，由f(x)＝−log2(2−x)＝2得x=74，则在区间(4, 5)内的函数零点x＝4+14=174，在区间(5, 6)内的函数零点x=74+4=234，则在(0, 8)内的零点之和为14+74+174+234=484=12故在(0, 8)内所有的零点之12，8. 设α＝70∘，若β∈(0,π2)，且tanα=1+sinβcosβ，则β＝（）A.50∘B.60∘C.70∘D.80∘【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据两角和差的三角公式以及三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】由tanα=1+sinβcosβ得，sinαcosβ＝cosα+cosαsinβ，sin(α−β)=cosα=sin(π2−α)，因为β∈(0,π2)，α＝70∘，所以α−β∈(−π2,π2)，π2−α∈(0,π2)，由sin(α−β)=cosα=sin(π2−α)，得α−β=π2−α,2α−β=π2，所以β＝50∘．9. 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，直线l:y=√24x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为（）A.√32B.34C.12D.14【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】如图，由直线l:y=√24x与椭圆交于A，B两点，|AB|＝2c，根据椭圆的对称性得OA＝c，求出A的坐标，代入椭圆方程得到关于a，b，c的等量关系，得出关于a，c的等式，解之即可得该椭圆的离心率．【解答】如图，由直线l:y=√24x与椭圆交于A，B两点，|AB|＝2c，得：|OA|＝c，且点A的坐标(2√23c,13c)，代入椭圆方程得：8c2 9a +c29b=1，又b2＝a2−c2，8e2 9+e29(1−e2)=1，e∈(0, 1)解之得：e2=34．则该椭圆的离心率为√32．10. 已知函数f(x)=2cos2x−√3sin2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A满足f(A)＝−1，若a=√6，则△ABC的面积的最大值为（）A.3√3B.3√32C.√34D.2√3【答案】B【考点】余弦定理【解析】由二倍角公式和两角和的余弦公式，以及基本不等式和余弦定理、三角形的面积公式可得所求最大值．【解答】f(x)=2cos2x−√3sin2x=cos2x−√3sin2x+1=2cos(2x+π3)+1，f(A)=2cos(2A+π3)+1=−1⇒cos(2A+π3)=−1，A为三角形内角，则A=π3，a=√6，可得a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc≥2bc−bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，S△ABC=12bcsinA≤12×6×√32=3√32．△ABC的面积的最大值为3√32．11. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝2AE，CF＝2BF．若有λ∈(7, 16)，则在正方形的四条边上，使得PE→⋅PF→=λ成立的点P有（）个．A.2B.3C.6D.0【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意可得DE ＝4，AE ＝2，CF ＝4，BF ＝2，分类讨论P 点的位置，分别求得PE →⋅PF →的范围，从而得出结论． 【解答】由正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝2AE ，CF ＝2BF ， 可得DE ＝4，AE ＝2，CF ＝4，BF ＝2．若P 在AB 上，λ=PE →⋅PF →=(PA →+AE →)(PB →+BF →)=PA →⋅PB →+AE →⋅BF →∈[−5,4]； 若P 在CD 上，λ=PE →⋅PF →=(PD →+DE →)(PC →+CF →)=PD →⋅PC →+DE →⋅CF →∈[7,16]； 若P 在AE 上，λ=PE →⋅PF →=PE ⋅(→PA →+AB →+BF →)=PE →⋅PA →+PE →⋅BF →∈[0,4]； 同理，P 在BF 上时也有PE →⋅PF →∈[0,4]；若P 在DE 上，λ=PE →⋅PF →=PE ⋅(→PD →+DC →+CF →)=PE →⋅PD →+PE →⋅CF →∈[0,16]； 同理，P 在CF 上时也有PE →⋅PF →∈[0,16]，所以，综上可知当λ∈(7, 16)时，有且只有3个不同的点P ，使得PE →⋅PF →=λ成立．12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)−f(−x)−6x +2sinx ＝0，且x ≥0时，f′(x)≥3−cosx 恒成立，则不等式f(x)≥f(π2−x)−3π2+6x +√2cos(x +π4)的解集为（ ） A.(π4,0)B.[π4,+∞)C.(π6,0)D.[π6,+∞)【答案】 B【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】结合已知不等式可构造函数g(x)＝f(x)−3x +sinx ，结合单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】x ≥0时，f′(x)≥3−cosx 恒成立，即f′(x)−3+cosx ≥0恒成立，由f(x)−f(−x)−6x +2sinx ＝0构造f(x)−3x +sinx ＝f(−x)+3x −sinx ， 令g(x)＝f(x)−3x +sinx ，g(x)＝g(−x)，则g(x)为偶函数，且x ≥0，g(x)单调递增，结合偶函数的对称性可知g(x)在x <0时单调递减， 由f(x)≥f(π2−x)−3π2+6x +√2cos(x +π4)，化简得，f(x)−3x +sinx ≥f(π2−x)−3(π2−x)+sin(π2−x)， 即g(x)≥g(π2−x)，|x|≥|π2−x|， 解得：x ≥π4，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.如图是一组数据(x, y)的散点图，经最小二乘法计算，得y 与x 之间的线性回归方程为y ^=b ^x +1，则b ^=________．【答案】 0.8【考点】求解线性回归方程 【解析】求出样本点的中心，代入回归方程求出系数b ^的值即可． 【解答】 由散点图得：x =14(0+1+3+4)＝2，y =14(0.9+1.9+3.2+4.4)＝2.6， 将(2, 2.6)代入y ^=b ^x +1， 解得：b ^=0.8，设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________． 【答案】13【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】以点D为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ABD，满足题意点C只能落在劣弧AB上，又圆内接正三角形ABD恰好将圆周3等分，由几何概型计算公式可得．【解答】∴A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，以点D为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ABD，如图所示，则要满足题意点C只能落在劣弧AB上，又圆内接正三角形ABD恰好将圆周3等分，故P(A)=AB=13，直线mx+y−2=0(m∈R)与圆C:x2+y2−2y−1=0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为________，若三角形ABC的面积为√32，则m的值为________．【答案】2,±1【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得．【解答】解：圆C:x2+(y−1)2=2的圆心为(0, 1)，半径为√2，圆心到直线的距离d=√m2+1=√m2+1，弦长|AB|=2√2−d2=2√2−1m+1≥2，（当且仅当m=0时等号成立），S△ABC=12d⋅2√2−d2=12⋅2√d2(2−d2)=√32，即d4−2d2+34=0，解得d2=12或d2=32，∴1m2+1=12或1m2+1=32，解得m=±1.故答案为：2；±1.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2√6；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为________．【答案】①②④【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．【解答】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为√42+22+22=2√6，故②正确；由已知可得，PB＝2√2，PC＝2√6，PD＝2√5，则四个侧面均不全等，故③错误；PC=√6，其表面积为4π×(√6)2=24π，把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为12故④正确．∴其中正确的命题是①②④．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【答案】解：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27．（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24（辆），所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24，由频率估计概率得P(C)=0.24．【考点】用频率估计概率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27．（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24（辆），所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24，由频率估计概率得P(C)=0.24．如图，已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠BAD＝90∘，AB // CD，AB＝1，PA＝AD＝CD＝2．（1）求证：平面BPC⊥平面DPC；（2）求点A到平面PBC的距离．【答案】取PD的中点M，PC的中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD,MN=12CD，∵AB∥CD,AB=12CD，所以AB // MN，AB＝MN，四边形ABNM是平行四边形，BN // AM，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥CD ，∵ ∠BAD ＝90∘，AB // CD ， ∴ CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴ CD ⊥平面PAD ， 又AM ⊂平面PAD ，∴ CD ⊥AM ，又PA ＝AD ，M 为PD 中点，∴ AM ⊥PD ，∵ PD ∩CD ＝D ，∴ AM ⊥平面PCD ， 又BN // AM ，∴ BN ⊥平面PCD ， 又BN ⊂平面BPC ，∴ 平面BPC ⊥平面DPC ．连结AC ，则AC =√AD 2+CD 2=2√2,PD =2√2，∴ PC =√PA 2+AC 2=2√3,BN =AM =√2，由（1）可得BN ⊥PC ，∴ S △PBC =12BN ⋅PC =12×2√3×√2=√6，∴ S △ABC =12AB ⋅AD =1，设A 到平面PBC 的距离为ℎ，V P−ABC =13×S △PBC ×ℎ=13×S ABC ×PA ， 即为13×√6ℎ=13×1×2，∴ ℎ=√63．即点A 到平面PBC 的距离为√63．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算 【解析】（1）取PD 的中点M ，PC 的中点N ，连结MN ，AM ，BN ，运用平行四边形的判定和性质，以及线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定定理可得证明；（2）连结AC ，设A 到平面PBC 的距离为ℎ，由V A−PBC ＝V P−ABC ，运用三角形的面积公式和棱锥的体积公式，计算可得所求值． 【解答】取PD 的中点M ，PC 的中点N ，连结MN ，AM ，BN ，则MN ∥CD,MN =12CD ， ∵ AB ∥CD,AB =12CD ，所以AB // MN ，AB ＝MN ，四边形ABNM 是平行四边形，BN // AM ，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥CD ，∵ ∠BAD ＝90∘，AB // CD ， ∴ CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴ CD ⊥平面PAD ， 又AM ⊂平面PAD ，∴ CD ⊥AM ，又PA ＝AD ，M 为PD 中点，∴ AM ⊥PD ，∵ PD ∩CD ＝D ，∴ AM ⊥平面PCD ， 又BN // AM ，∴ BN ⊥平面PCD ， 又BN ⊂平面BPC ，∴ 平面BPC ⊥平面DPC ．连结AC ，则AC =√AD 2+CD 2=2√2,PD =2√2，∴ PC =√PA 2+AC 2=2√3,BN =AM =√2，由（1）可得BN ⊥PC ，∴ S △PBC =12BN ⋅PC =12×2√3×√2=√6，∴ S △ABC =12AB ⋅AD =1，设A 到平面PBC 的距离为ℎ，V P−ABC =13×S △PBC ×ℎ=13×S ABC ×PA ， 即为13×√6ℎ=13×1×2，∴ ℎ=√63．即点A 到平面PBC 的距离为√63．已知正项数列a n 满足：a 1＝1，n ≥2时，(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n ．（1）求数列a n 的通项公式；（2）设a n ＝2n ⋅b n ，数列b n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数m ，使得对任意的n ∈N ∗，m −3<S n <m 恒成立？若存在，求出所有的正整数m ；若不存在，说明理由． 【答案】由(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n 得a n2n=a n−12n−1+1，令B n =a n2n∴ B n −B n−1＝1(n ≥2)∴ B n ＝B 1+(n −1)d 而B 1=a 121=1∴ B n ＝1+(n −1)⋅1＝n 即a n2n=n即a n 2＝n 2，由正项数列知a n ＝n由a n ＝2n ⋅b n 得b n =n2n ∴ s n ＝b 1+b 2+...+b n =12+222+323+⋯+n 2n①12s n=122+223+⋯+n2n+1② ①-②：12s n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1 ∴ s n ＝2−n+22n ，s n+1=2−n+32n+1．∴ s n+1−s n =n+12n+1>0．∴ S n 的min =S 1=12 而S n 的max →2∴ 当m ＝2或m ＝3时 使m −3<S n <m 恒成立 【考点】数列与不等式的综合 数列递推式 【解析】（1）先由(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n 得a n2n=a n−12n−1+1，令B n =a n2n可得B n −B n−1＝1，求出B n ＝B 1+(n −1)d ，利用其结论即可求出数列{a n }的通项公式；（2）先利用错位相减法求出S n 的表达式，进而求出S n 的最大最小值（或范围）即可求出所有的正整数m ． 【解答】由(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n 得a n2n=a n−12n−1+1，令B n =a n2n∴ B n −B n−1＝1(n ≥2)∴ B n ＝B 1+(n −1)d 而B 1=a 121=1∴ B n ＝1+(n −1)⋅1＝n 即a n2n=n即a n 2＝n 2，由正项数列知a n ＝n由a n ＝2n ⋅b n 得b n =n2n ∴ s n ＝b 1+b 2+...+b n =12+222+323+⋯+n2n ①12s n=122+223+⋯+n2n+1② ①-②：12s n =12+12+12+⋯+12−n2 ∴ s n ＝2−n+22n ，s n+1=2−n+32n+1．∴ s n+1−s n =n+12n+1>0． ∴ S n 的min =S 1=12而S n 的max →2∴ 当m ＝2或m ＝3时 使m −3<S n <m 恒成立如图，过抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点F 的直线交C 于M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)两点，且x 1x 2=−4．(1)p 的值；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，RQ 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值． 【答案】解：(1)由题意设MN:y =kx +p2，由{y =kx +p2x 2=2py，消去y 得，x 2−2pkx −p 2=0(∗)， 由题设，x 1，x 2是方程(∗)的两实根， ∴ x 1x 2=−p 2=−4，故p =2； (2)设R(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，T(0, t)，∵ T 在RQ 的垂直平分线上，∴ |TR|=|TQ|．得x 32+(y 3−t)2=x 42+(y 4−t)2.又x 32=4y 3,x 42=4y 4，∴ 4y 3+(y 3−t)2=4y 4+(y 4−t)2， 即4(y 3−y 4)=(y 3+y 4−2t)(y 4−y 3)． 而y 3≠y 4，∴ −4=y 3+y 4−2t ． 又∵ y 3+y 4=1，∴ t =52，故T(0, 52)． 因此，S △MNT =12⋅|FT|⋅|x 1−x 2|=34|x 1−x 2|． 由(1)得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，S △MNT =34⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=34√(4k)2−4×(−4)=3√k 2+1≥3． 因此，当k =0时，S △MNT 有最小值3． 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 【解析】（1）由题意可设MN:y =kx +p2，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系结合x 1x 2=−4求得p 值；（2）设R(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，T(0, t)，由T 在RQ 的垂直平分线上，列等式求得t 的值，再由S △MNT =12⋅|FT|⋅|x 1−x 2|=34|x 1−x 2|，结合（1）把面积转化为含有k 的代数式求得最小值． 【解答】解：(1)由题意设MN:y =kx +p2，由{y =kx +p2x 2=2py，消去y 得，x 2−2pkx −p 2=0(∗)， 由题设，x 1，x 2是方程(∗)的两实根， ∴ x 1x 2=−p 2=−4，故p =2； (2)设R(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，T(0, t)，∵ T 在RQ 的垂直平分线上，∴ |TR|=|TQ|．得x 32+(y 3−t)2=x 42+(y 4−t)2.又x 32=4y 3,x 42=4y 4，∴ 4y 3+(y 3−t)2=4y 4+(y 4−t)2， 即4(y 3−y 4)=(y 3+y 4−2t)(y 4−y 3)． 而y 3≠y 4，∴ −4=y 3+y 4−2t ． 又∵ y 3+y 4=1，∴ t =52，故T(0, 52)． 因此，S △MNT =12⋅|FT|⋅|x 1−x 2|=34|x 1−x 2|． 由(1)得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，S △MNT =34⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=34√(4k)2−4×(−4)=3√k 2+1≥3． 因此，当k =0时，S △MNT 有最小值3．已知函数f(x)=−a2x 2+(a −1)x +lnx ． (Ⅰ)若a >−1，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a >1，求证：(2a −1)f(x)<3e a−3． 【答案】（1）f(x)=−a2x 2+(a −1)x +lnx ，x >0 当a ＝0时，数f(x)＝−x +lnx ， f′(x)＝−1+1x ，令f′(x)＝0，解得：x ＝1，当0<x <1，f′(x)>0，函数单调递增， 当x >1时，f′(x)<0，函数单调递减， 当a ≠0，则f′(x)＝−ax +(a −1)+1x =−ax 2+(a−1)x+1x，令f′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2=−1a ， 当−1a >1，解得−1<a <0，∴ −1<a <0，f′(x)>0的解集为(0, 1)，(−1a , +∞)， f′(x)<0的解集为(1, −1a )，∴ 函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)， 函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；当−1a <1，解得a >0，∴ a >0，f′(x)>0的解集为(0, 1)， f′(x)<0的解集为(1, +∞)；∴ 当a >0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)， 函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)；综上可知：−1<a <0，函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)，函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；a ≥0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)； （2）证明：∵ a >1，故由(Ⅰ)可知函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)单调递减区间为(1, +∞)，∴ f(x)在x ＝1时取最大值，并且也是最大值，即f(x)max =12a −1， 又∵ 2a −1>0，∴ (2a −1)f(x)≤(2a −1)(12a −1)， 设g(a)=(2a−1)(12a−1)ea−3，g′(a)=−(2a 2−9a+7)2e a−3=−(a−1)(2a−7)2e a−3，∴ g(a)的单调增区间为(2, 72)，单调减区间为(72, +∞)， ∴ g(a)≤g(72)=6×34e 12=2√e，∵ 2√e >3， ∴ 2√e<93=3， ∴ g(a)<3，e a−3>0，∴ (2a −1)f(x)<3e a−3． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求导，令f′(x)＝0，解得x 1、x 2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；(Ⅱ)a >1，由函数单调性可知，f(x)在x ＝1取极大值，也为最大值，f(x)max =12a −1，因此(2a −1)f(x)≤(2a −1)(12a −1)，构造辅助函数g(a)=(2a−1)(12a−1)e，求导，求出g(a)的单调区间及最大值2e ，2e <93=3，可知g(a)<3，e a−3>0，即可证明(2a −1)f(x)<3e a−3．【解答】（1）f(x)=−a2x 2+(a −1)x +lnx ，x >0 当a ＝0时，数f(x)＝−x +lnx ，f′(x)＝−1+1x ，令f′(x)＝0，解得：x ＝1，当0<x <1，f′(x)>0，函数单调递增， 当x >1时，f′(x)<0，函数单调递减， 当a ≠0，则f′(x)＝−ax +(a −1)+1x =−ax 2+(a−1)x+1x，令f′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2=−1a ， 当−1a >1，解得−1<a <0，∴ −1<a <0，f′(x)>0的解集为(0, 1)，(−1a , +∞)， f′(x)<0的解集为(1, −1a )，∴ 函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)， 函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )； 当−1a <1，解得a >0，∴ a >0，f′(x)>0的解集为(0, 1)， f′(x)<0的解集为(1, +∞)；∴ 当a >0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)， 函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)；综上可知：−1<a <0，函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)，函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；a ≥0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)； （2）证明：∵ a >1，故由(Ⅰ)可知函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)单调递减区间为(1, +∞)，∴ f(x)在x ＝1时取最大值，并且也是最大值，即f(x)max =12a −1， 又∵ 2a −1>0，∴ (2a −1)f(x)≤(2a −1)(12a −1)， 设g(a)=(2a−1)(12a−1)e a−3，g′(a)=−(2a 2−9a+7)2e a−3=−(a−1)(2a−7)2e a−3，∴ g(a)的单调增区间为(2, 72)，单调减区间为(72, +∞)， ∴ g(a)≤g(72)=6×34e 12=2√e ，∵ 2√e >3， ∴ 2√e<93=3， ∴ g(a)<3，e a−3>0，∴ (2a −1)f(x)<3e a−3．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C:ρsin 2θ＝2acosθ(a >0)，过点P(−2, −4)的直线l 的参数方程为：{x =−2+√22ty =−4+√22t，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 【答案】由ρsin 2θ＝2acosθ，得ρ2sin 2θ＝2aρcosθ， 即y 2＝2ax ；由{x =−2+√22t y =−4+√22t，可知直线过(−2, −4)，且倾斜角为π4， ∴ 直线的斜率等于1，∴ 直线方程为y +4＝x +2，即y ＝x −2； 直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数）， 代入y 2＝2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0， 则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1t 2=8(4+a)， 因为|MN|2＝|PM|⋅|PN|，所以(t 1−t 2)2=(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即8(4+a)2＝5×8(4+a)． 解得a ＝1． 【考点】直线的参数方程 圆的极坐标方程 【解析】（1）把极坐标方程两边同时乘以ρ后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程；（2）把直线的参数方程代入抛物线方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a 的值． 【解答】由ρsin 2θ＝2acosθ，得ρ2sin 2θ＝2aρcosθ， 即y 2＝2ax ；由{x =−2+√22t y =−4+√22t，可知直线过(−2, −4)，且倾斜角为π4， ∴ 直线的斜率等于1，∴ 直线方程为y +4＝x +2，即y ＝x −2； 直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数），代入y 2＝2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0， 则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1t 2=8(4+a)， 因为|MN|2＝|PM|⋅|PN|，所以(t 1−t 2)2=(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即8(4+a)2＝5×8(4+a)． 解得a ＝1．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x|+|x −1|． （1）求不等式f(x)≥2的解集；（2）设f(x)的最小值为s ，若a >0，b >0，c >0，且a +b +c ＝s ，求|1−3a −3b|+|2c −1|的取值范围． 【答案】|x|+|x +1|≥2，①由{x ≤0−x +1−x ≥2 ⇒{x ≤0−2x ≥1⇒x ≤−12；②由{0<x ≤1−x +1−x ≥2⇒x ∈⌀；③由{x >1−x +1−x ≥2⇒x ≥32；所以x ≤−12或≥32．f(x)＝|x|+|x −1|≥1，∴ a +b +c ＝1，|1−3a −3b|+|2c −1|＝|1−3(1−c)|+|2c −1|＝|3c −2|+|2c −1|，设g(c)=|3c −2|+|2c −1|={3−5c,0<c ≤121−c,12<c ≤235c −3,23<c <1，所以g(c)∈[13,3]．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）分类讨论解不等式即可；（2）可知a +b +c +1，再将目标式转化为仅含c 的的式子，由此转变为分段函数求解． 【解答】|x|+|x +1|≥2，①由{x ≤0−x +1−x ≥2 ⇒{x ≤0−2x ≥1⇒x ≤−12；②由{0<x ≤1−x +1−x ≥2⇒x ∈⌀；③由{x >1−x +1−x ≥2⇒x ≥32；所以x ≤−12或≥32．f(x)＝|x|+|x −1|≥1，∴ a +b +c ＝1，|1−3a −3b|+|2c −1|＝|1−3(1−c)|+|2c −1|＝|3c −2|+|2c −1|，设g(c)=|3c −2|+|2c −1|={3−5c,0<c ≤121−c,12<c ≤235c −3,23<c <1，所以g(c)∈[13,3]．。

2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若集合A＝{x||x+2|＝x+2}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2]D．[﹣2，3）2．已知实数a，b满足（i为虚数单位）则复数z＝a+bi的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i3．“双曲线的方程为x2﹣y2＝1”是“双曲线的渐近线方程为y＝±x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如果函数f（x）的图象与函数g（x）＝e x的图象关于直线y＝x对称，则f（4x﹣x2）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（2，4）5．如图茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x、y的值分别为（）A．0，0B．0，5C．5，0D．5，56．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积（底面的圆周长的平方×高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）A．528πB．C．704πD．7．已知向量，，，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．1B．2C．D．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（﹣1，0）．若∠BOC ＝，则cos（β﹣α）的值是（）A．B．C．D．9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CE＝A1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A．有最小值B．有最大值C．为定值3D．为定值2 10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18，20]区间，现在从课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）A．B．C．D．11．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．10B．12C．14D．1612．如图，函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2，0），∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为（）A．B．C．8D．16二、填空题13．已知数列{a n}满足na n+1＝（n+1）a n，且a6＝12，则a12＝．14．已知直线3x+4y+5＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，则r＝．15．在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，AB⊥BD，AB＝CD＝2，．沿BD把△ABD 翻折起来，形成三棱锥A﹣BCD，且平面ABD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的体积为．16．设函数f（x）＝，函数g（x）＝[f（x）]2﹣mf（x）+2，若函数g（x）恰有4个零点，则整数m的最小取值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a3＝7，且a1﹣1，a2﹣1，a4﹣1成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设A k（k，a k），B k（k，0），k∈N*，记以A k，A k+1，B k，B k+1四点为顶点的四边形面积为S k，求S1+S3+…+S2n﹣1．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1＝60°，AB＝AA1＝2BC＝3CD＝6．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1D1？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）证明：3a2＝c2﹣b2；（2）若，且△ABC的面积为，求c．20．已知函数．（1）若该函数在（1，f（1））处的切线为y＝ex，求a，b的值；（2）若该函数在x1，x2处取得极值（0＜x1＜x2），且，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率为，与x轴交于点A1，A2，过x轴上一点Q引x轴的垂线，交椭圆C于点P1，P2，当Q与椭圆右焦点重合时，|P1P2|＝1．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线A1P1与直线A2P2交于点P，是否存在定点M和N，使||PM|﹣|PN||为定值．若存在，求M、N点的坐标；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知过点P（x0，0）的直线l的倾斜角为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的一个参数方程；（2）若直线l和曲线C交于A、B两点，且|PA|•|PB|＝2，求实数x0的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若函数F（x）＝f（x）+ax有最小值，求a的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x+1|﹣|x+m|的解集为A，且，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A＝{x||x+2|＝x+2}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2]D．[﹣2，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝[﹣2，3）．故选：D．2．已知实数a，b满足（i为虚数单位）则复数z＝a+bi的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．解：由，的a＝（1+bi）（1﹣i）＝1+b+（b﹣1）i，∴，即a＝2，b＝1．∴z＝2+i，则．故选：B．3．“双曲线的方程为x2﹣y2＝1”是“双曲线的渐近线方程为y＝±x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】等轴双曲线x2﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，反之渐近线为y＝±x的双曲线为x2﹣y2＝±1，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则a＝b＝1，其渐近线方程为y＝±x；由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得双曲线方程为x2﹣y2＝±1．则“双曲线的方程为x2﹣y2＝1”是“双曲线的渐近线方程为y＝±x”的充分不必要条件．故选：A．4．如果函数f（x）的图象与函数g（x）＝e x的图象关于直线y＝x对称，则f（4x﹣x2）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（2，4）【分析】由条件求得f（4x﹣x2）＝ln（4x﹣x2），令t＝4x﹣x2＞0，解得0＜x＜4．故f （4x﹣x2）的定义域为（0，4），本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．解：由题意可得函数f（x）与g（x）＝e x的互为反函数，故f（x）＝lnx，f（4x﹣x2）＝ln（4x﹣x2），令t＝4x﹣x2＞0，解得0＜x＜4．故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的增区间为（0，2），故选：C．5．如图茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x、y的值分别为（）A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5【分析】根据茎叶图中数据，利用两组数据的平均数相等列方程得出x与y的关系，结合题意求出x与y的值．解：根据茎叶图中数据，利用两组数据的平均数相等，得×（65+75+70+x+80+80）＝×（70+70+y+70+75+80），即5+x＝y；所以x＝0，y＝5．故选：B．6．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积（底面的圆周长的平方×高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）A．528πB．C．704πD．【分析】利用圆柱体积计算公式即可得出．解：由题意可得：2πr＝48，解得r＝，∴这个圆柱的体积＝πr2×11＝．故选：B．7．已知向量，，，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．1B．2C．D．【分析】由等腰直角三角形的性质，可得||＝||，且•＝0，应用向量的平方即为模的平方，以及向量模的公式，可得|OA|，再由等腰直角三角形的面积公式，计算可得所求值．解：由△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，可得||＝||，且•＝0，由已知条件可得|﹣|＝|+|，（﹣）•（+）＝0，化为2﹣2•+2＝2+2•+2，2＝2，即•＝0，且2＝2，即||＝||＝＝，可得|OA|＝＝＝＝2，则△OAB的面积为||•||＝×2×2＝2．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（﹣1，0）．若∠BOC ＝，则cos（β﹣α）的值是（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义可知，cos，sinα＝，β＝，然后结合两角差的余弦公式即可求解解：由三角函数的定义可知，cos，sinα＝，β＝，∴cos（β﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝＝故选：C．9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CE＝A1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A．有最小值B．有最大值C．为定值3D．为定值2【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【解答】解：依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后＝1×1＝1，在上面的投影面积S上＝D'E'×1＝DE×1＝DE，在左面的投影面积S左＝B'E'×1＝CE×1＝CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S＝S后+S上+S左＝1+DE+CE＝1+CD＝2．故选：D．10．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18，20]区间，现在从课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（）A．B．C．D．【分析】课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生共有5人，其中2名女生，3名男生，从课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生中随机抽取2人，基本事件总数n ＝＝10，至少抽到1名女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出至少抽到1名女生的概率．解：这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18，20]区间，课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生共有：50×0.05×2＝5，∴课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生有2名女生，3名男生，现在从课余使用手总时间在[18，20]样本对应的学生中随机抽取2人，基本事件总数n＝＝10，至少抽到1名女生包含的基本事件个数m＝＝7，则至少抽到1名女生的概率为p＝＝．故选：B．11．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C 交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．10B．12C．14D．16【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|＝•|y1﹣y2|＝×＝8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，故选：D．12．如图，函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2，0），∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为（）A．B．C．8D．16【分析】由题意设出Q（2a，0）a＞0，求出R坐标以及M坐标，利用距离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．解：∵函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2，0），∠PQR＝，M为QR的中点，∴设Q（2a，0），a＞0，则R（0，﹣2a），∴M（a，﹣a），∵PM＝2，∴＝2，解得a＝4，∴Q（8，0），又P（2，0），∴T＝8﹣2＝6，∴T＝＝12，解得ω＝．∵函数经过P（2，0），R（0，﹣8），∴，∵|φ|≤，∴φ＝﹣，解得A＝，故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}满足na n+1＝（n+1）a n，且a6＝12，则a12＝24．【分析】根据数列的递推关系，利用累乘法求出结论解：因为数列{a n}满足na n+1＝（n+1）a n，且a6＝12，∴数列{a n}各项均不为0；∴＝；∴a12＝××…××a6＝×…××12＝24；故答案为：2414．已知直线3x+4y+5＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°，则r＝2．【分析】求出弦的中点C与圆心O连接，可得OC垂直于弦所在的直线，进而求出圆心到直线的距离OC，再由圆心角可得OC与半径的关系，进而求出半径．解：取AB的中点C，连接OC可得OC⊥AB，因为∠AOB＝120°，所以可得∠AOC＝60°，所以＝cos60°＝，而O到直线3x+4y+5＝0距离OC＝＝1，所以OA＝2，即半径r＝2，故答案为：2．15．在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，AB⊥BD，AB＝CD＝2，．沿BD把△ABD 翻折起来，形成三棱锥A﹣BCD，且平面ABD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的体积为．【分析】将折起的三棱锥放在长方体中，由长方体的对角线等于外接球的直径，由题知可求出长方体的对角线，进而求出直径再求出球的体积．解：由题意将折起放在图3的长方体中，长宽高分别为：2，2，2，可得长方体的对角线为：＝4，再由长方体的对角线等于外接球的直径2R，所以2R＝4，R＝2，所以外接球的体积为V＝＝，故答案为：．16．设函数f（x）＝，函数g（x）＝[f（x）]2﹣mf（x）+2，若函数g（x）恰有4个零点，则整数m的最小取值为4．【分析】求函数f′（x），研究函数的单调性和极值，作出函数f（x）的图象，设t＝f （x），若函数g（x）恰有4个零点，则等价为函数h（t）＝t2﹣mt+2有两个零点，满足t＞1或0＜t＜1，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．解：当x＞0时，f′（x）＝，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e时，f（x）单调递增；由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e时，f（x）单调递减；即当x＝e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，f（e）＝1，当x→+∞，f（x）→0，当x→0，f（x）→﹣∞，作出函数f（x）的图象如图，设t＝f（x），由图象知当t＞1或t＜0，方程t＝f（x）有一个根，当t＝0或t＝1时，方程t＝f（x）有2个根，当0＜t＜1时，方程t＝f（x）有3个根，则g（x）＝f2（x）﹣mf（x）+2，等价为h（t）＝t2﹣mt+2，当t＝0时，h（0）＝2≠0，∴若函数g（x）恰有4个零点，则等价为函数h（t）＝t2﹣mt+2有两个零点，满足t＞1或0＜t＜1，则，即h（1）＝1﹣m+2＝3﹣m＜0得m＞3，即实数m的取值范围是m＞3，则整数m的最小取值为4．故答案为：4．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a3＝7，且a1﹣1，a2﹣1，a4﹣1成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设A k（k，a k），B k（k，0），k∈N*，记以A k，A k+1，B k，B k+1四点为顶点的四边形面积为S k，求S1+S3+…+S2n﹣1．【分析】（1）设公差为d，且d不为零的等差数列{a n}，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得A k（k，2k+1），A k+1（k+1，2k+3），B k（k，0），B k+1（k+1，0），运用梯形的面积公式可得S k，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）设公差为d，且d不为零的等差数列{a n}，满足a3＝7，且a1﹣1，a2﹣1，a4﹣1成等比数列，可得a1+2d＝7，（a2﹣1）2＝（a1﹣1）（a4﹣1），即（a1+d﹣1）2＝（a1﹣1）（a1+3d ﹣1），解得a1＝3，d＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由A k（k，2k+1），A k+1（k+1，2k+3），B k（k，0），B k+1（k+1，0），可得S k＝（k+1﹣k）（2k+1+2k+3）＝2k+2，则S1+S3+…+S2n﹣1＝4+8+…+4n＝n（4+4n）＝2n2+2n．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1＝60°，AB＝AA1＝2BC＝3CD＝6．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1D1？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意可知：四边形AA1B1B是菱形，△AA1B是正三角形．取线段AB 的中点E，连接A1E．AB边上的高A1E＝3，根据面面垂直的性质定理可得：A1E⊥底面ABCD．进而得出该四棱柱的体积V．（2）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1D1．设＝k．k∈[0，1]．设平面DAA1D1的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得．利用•＝0即可得出k．解：（1）由题意可知：四边形AA1B1B是菱形，△AA1B是正三角形．取线段AB的中点E，连接A1E．AB边上的高A1E＝3，∵平面ABCD⊥平面ABB1A1，则A1E⊥底面ABCD．∴该四棱柱的体积V＝×3＝36．（2）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1D1．设＝k．k∈[0，1]．B（0，0，0），A（6，0，0），D（2，0，4），A1（3，3，0），C（0，0，4），B1（﹣3，3，0），＝（﹣4，0，4），＝A1（﹣3，3，0），设平面DAA1D1的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得：﹣4x+4z ＝﹣3x+3y＝0，取＝（，1，），＝+k＝（2﹣5k，3k，4﹣4k），则＝（2﹣5k，3k，﹣4k），∴•＝（2﹣5k）+3k﹣4k＝0，解得k＝．∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1D1，＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）证明：3a2＝c2﹣b2；（2）若，且△ABC的面积为，求c．【分析】（1）由已知结合同角基本关系及正弦与余弦定理进行化简即可证明；（2）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得bc的关系，联立方程即可求解．【解答】（1）证明：由可得sin C cos B＝﹣2sin B cos C，所以c＝﹣2b，整理可得，3a2＝c2﹣b2，（2）解：由可得sin A＝，∵S△ABC＝＝＝，所以bc＝6①，由余弦定理可得，cos A＝＝＝×，整理可得，2b2+c2＝30②，因为3a2＝c2﹣b2＞0，则c＞b，①②联立可得，c4﹣30c2+216＝0，即（c2﹣12）（c2﹣18）＝0，解可得或，所以c＝2或c＝3．20．已知函数．（1）若该函数在（1，f（1））处的切线为y＝ex，求a，b的值；（2）若该函数在x1，x2处取得极值（0＜x1＜x2），且，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出导函数f'（x），由题意可知，即可求出a，b的值；（2）令f'（x）＝0得，a＝，所以x1，x2是方程a＝的两个根，令g（x）＝，利用导数画出函数g（x）的大致图象，由图可知，a＞e，0＜x1＜x2，所以x2≥3x1，令x2＝3x1＝3m，则x1＝m，x2＝3m，所以，解得m＝ln3，此时a＝，要使x2≥3x1，则a．解：（1）∵函数，∴f'（x）＝ax﹣e x，∵函数在（1，f（1））处的切线为y＝ex，∴，即，解得：a＝2e，b＝e；（2）∵f'（x）＝ax﹣e x，令f'（x）＝0得，a＝，∴x1，x2是方程a＝的两个根，令g（x）＝，则g'（x）＝，∴函数g（x）在（﹣∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且g （1）＝e，∴函数g（x）的图象如图所示：，由图可知，a＞e，0＜x1＜x2，∵，∴x2≥3x1，令x2＝3x1＝3m，则x1＝m，x2＝3m，∴，∴，∴3e m＝e3m，∴e m[（e m）2﹣3]＝0，∴，∴m＝ln＝ln3，此时a＝＝，要使x2≥3x1，则a，∴实数a的取值范围为：[，+∞）．21．已知椭圆的离心率为，与x轴交于点A1，A2，过x轴上一点Q引x轴的垂线，交椭圆C于点P1，P2，当Q与椭圆右焦点重合时，|P1P2|＝1．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线A1P1与直线A2P2交于点P，是否存在定点M和N，使||PM|﹣|PN||为定值．若存在，求M、N点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由离心率和过焦点的直线与x轴垂直于椭圆的交点弦长及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）设直线x＝m代入椭圆可得P1，P2的坐标进而求出直线A1P1和A2P2的方程，两个方程联立求出P的坐标，消参数可得P的轨迹方程，为双曲线，要使||PM|﹣|PN||为定值，则需M，N分别为双曲线的焦点即可，即M，N为定点且是双曲线的焦点．解：（1）由题意可得离心率e＝＝，x＝c代入椭圆方程可得|y|＝，所以＝1，c2＝a2﹣b2可得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）假设存在定点M和N满足条件，由（1）可得A1（﹣2，0），A2（2，0），设Q（m，0）且﹣2＜m＜2，则x＝m代入椭圆中可得y2＝1﹣，所以P1（m，），P2（m，﹣），所以直线A1P1的方程为：y＝（x+2），直线A2P2的方程而：y＝﹣（x﹣2），两个方程联立解得：x＝，y＝，即P（，）由消参数m可得：（）2﹣y2＝﹣＝1，即P的轨迹方程为：﹣y2＝1，所以P的轨迹方程为中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，虚轴长为2的双曲线，所以要使|PM|﹣|PN|为定值，只需要M，N为双曲线的焦点坐标即可，即M，N分别为（﹣，0），（，0）．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知过点P（x0，0）的直线l的倾斜角为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的一个参数方程；（2）若直线l和曲线C交于A、B两点，且|PA|•|PB|＝2，求实数x0的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x，整理得（x﹣1）2+y2＝1．点P（x0，0）的直线l的倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数）．（2）把直线的参数方程代入x2+y2＝2x，得到：，整理得：．所以|PA|•|PB|＝|t1t2|＝2，整理得，解得：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若函数F（x）＝f（x）+ax有最小值，求a的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x+1|﹣|x+m|的解集为A，且，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由绝对值的意义，去绝对值，化简F（x），再由一次函数的单调性，结合条件，解不等式可得所求范围；（2）由题意可得f（x）≤|2x+1|﹣|x+m|在[，2]恒成立，转化为|x+m|≤2在[，2]恒成立，再由参数分离和一次函数的单调性，可得所求范围．解：（1）函数F（x）＝f（x）+ax＝|2x﹣1|+ax，当x≥时，F（x）＝（a+2）x﹣1，当x＜时，F（x）＝（a﹣2）x+1，由F（x）＝f（x）+ax有最小值，结合一次函数的单调性可得a+2≥0且a﹣2≤0，解得﹣2≤a≤2；（2）由，可得关于x的不等式f（x）≤|2x+1|﹣|x+m|在[，2]恒成立，即|2x﹣1|≤|2x+1|﹣|x+m|，即有|x+m|≤2在[，2]恒成立，可得﹣2≤x+m≤2，则（﹣2﹣x）max≤m≤（2﹣x）min，由y＝﹣2﹣x在[，2]上递减，可得y＝﹣2﹣x的最大值为﹣；由y＝2﹣x在[，2]上递减，可得y＝2﹣x的最小值为0，故m的取值范围是[﹣，0]．。

绝密★启用前长沙一中 长郡中学 师大附中 雅礼中学2020届髙三四校(线上)联考 数学(文科) 2020.2命题学校：雅礼中学审题学校：师大附中注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上 的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。

2. 选择题答案必须使用2B 铅笔(按填涂样例)正确填涂：非选择题答案必须使用0. 5 毫来黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}220A x N x x =∈-++≥，则满足条件A B A =U 的集合B 的个数为 A. 3B. 4C. 7D. 82. 已知i 为虚数单位，a b R ∈、，复数12ii a bi i+-=+-,则A.1255i -B.1255i +C.2155i -D.2155i + 3. 已知A (1, 2), B (2, 3), C (-1, m),若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则2AC u u u u r =A. 6B.C.16D. 204.已知命题001:",01p x R x ∃∈>+”的否定是1",01x R x ∀∈≤+" ;命题:"2020"q x <的一个充分不必要条件是“2019x <”，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.5.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是：先作一个正三角形，挖去一个“中 心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在 剩下的每个小正三角形中又挖去一个"中心三角形”.按上述方法 无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯 基”图形（如图所示），按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形 中的小正三角形的个数为A.53B.63C.73D.836. 将函数，()2sin 1f x x π=-的图象向左平移102ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a f b -=成立的,a b 有min34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图像的对称轴的是 A.14x =B.12x =C.34x =D.54x =7. 《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺≈ 0.33米），己知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3, 则估算出该粮仓存放的米约为 A. 43 斛 B. 45 斛 C. 47 斛 D. 49 斛8. 已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r，现在ABC ∆内随机取一点，此 点取自，GAB ∆、GAC ∆、GBC ∆的概率分别记为123P P P 、、，则 A 123.P P P ==B. 321P P P >>C. 213P P P >>D. 213P P P >>9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为(),0F c ，点A B 、方分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315,则a =A.3B.5C . 2 D.610. 当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如 3.13(trunc =）.已知函数()()f x trunc x =（其中x R ∈），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为 A. 3B.4C. 5D. 611. 对四位数abcd ()19,0,,9a b c d ≤≤≤≤，若 a b b c c d ><>、、,称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为 A. 1695B. 1696C. 1697D. 169812. 如图所示，将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等。

2020届湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校高三下学期5月联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设集合{}31,1,A i =-，{}210B x C x=∈+=（其中i 为虚数单位，C 为复数集合），则AB =（ ）A ．{}1B ．{}i -C ．{}iD ．{}1,1-2．若()sin cos 10πααα+=<<，则3sin cos αα-=（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．33．已知实数a 满足210a -≤.命题P ：函数241y x ax =--在[]1,1-上单调递减.则命题P 为真命题的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．中国气象局规定：一天24小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通常用毫米.1毫米的降水量是指单位面积上水深1毫米.在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量.已知该正四棱柱的底面边长为20cm ，高40cm ，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10cm ，则该同学测得的降水量约为（ ）（π取3.14） A ．12.7毫米B ．127毫米C ．509毫米D ．100毫米5．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．10246．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．已知双曲线的方程为2212y x -=，右焦点为F ，直线l ：1y x =+与双曲线交于A ，B 两点，则FA FB ⋅=（ ）A．B．1C．- D．4-8．已知x ，y 满足约束条件210101x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则32Z x y =--的取值范围是（ ）A ．[]0,7B ．()1,7C ．[]0,4D ．[]1,49．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中P 为正方体表面上的一个动点，且总有1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．3π4B ．4πC．D．10．设函数()()*πsin 6f x x N ωω⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭在5π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的值是（ ） A ．1B ．1或2C ．3D ．211．已知()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，1F关于双曲线的一条渐近线的对称点为P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则双曲线的离心率为（ ）A1B ．2CD12．已知函数()ln 01x x e f x x e x e⎧<<=⎨-++≥⎩，，，若存在0a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，则Z a b c =++的最小值为（ ）A1ln12e ++ B ．1C1ln 12e ++ D ．无最小值二、填空题13．已知一组关于(),x y 的数据具有线性相关性：()0,0.9，()1,1.9，()3,3.2，()4,4.4.且y 与x 之间的回归方程为1y bx =+.则b =______.14．设x θ=是函数()3sin cos f x x x =-的一个极值点，则2sin 22cos θθ+=______. 15．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos a b C c A =+，且2CA CB ⋅=，2c =，则三角形ABC 的面积为______.16．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，满足2DC =，1AB =，AD =，沿BD 将三角形BDC 折起，把C 折到P 点，使平面PBD ⊥平面ABD ，则三棱锥P ABD -的外接球的表面积为______.三、解答题17．在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺.在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得尤其重要.若某农村地区有200户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫”的成效检查验收.从这200户贫困户中随机抽出50户，对各户的人均年收入（单位：千元）进行调查得到如下频数表：若人均年收入在4000元以下的判定为贫困户，人均年收入在4000元～8000元的判定为脱贫户，人均年收入达到8000元的判定为小康户. （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫；（2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的50户中用分层抽样的方法抽10户进行调研. ①贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？②从被抽到的脱贫户和小康户中各选1人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率.18．已知数列{}n a ，前n 项和为()2*3122n S n n n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列12lgna nn n a b a +=+，求其前n 项和n T . 19．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，且平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）若直线BE 与平面ABCD 所成的角为45°，求三棱锥F ABE -的体积.20．已知线段AB 的长为2，点A 与点B 关于原点对称，圆M 经过点A ，B 且与直线10x +=.相切.（1）求圆心M 的轨迹方程；（2）直线l 与M 的轨迹交于不同的两点C ，D （异于原点O ），若2OC OD k k +=，判断直线l 是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由. 21．已知函数()23xf x te x =-，其中t R ∈.（1）若函数()f x 存在三个不同的零点，求t 的取值范围；（2）若函数()f x 存在三个不同的零点a ，b ，c ；且a b c <<.求证：4b c +>.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为：πcos 84θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线C 的普通方程、直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 、y 轴交于A ，B 两点；P 为曲线C 上的一个动点，求三角形PAB 的面积的最大值.23．已知()21f x x x =+-. （1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对任意的x ∈R 都有()20f x x a +-≥恒成立，求a 的最大值.参考答案1．B 【分析】计算{}1,1,A i =--，{},B i i =-，再计算交集得到答案. 【详解】{}1,1,A i =--，{},B i i =-，{}A B i ∴⋂=-.故选：B. 【点睛】本题考查了复数的计算，交集运算，意在考查学生的计算能力. 2．D 【分析】计算得到cos 0α=，sin 1α=，代入计算得到答案. 【详解】()2sin cos 1αα+=，2sin cos 0αα∴=，0πα<<，cos 0α∴=，sin 1α=，3sin cos 3αα∴-=.故选：D. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．A 【分析】计算得到11a -≤≤，命题P 为真命题，则有12a ≥，根据几何概型计算得到答案. 【详解】由210a -≤有11a -≤≤，若命题P 为真命题，则有21a ≥，即12a ≥； 所以命题P 为真命题的概率为11224p ==， 故选：A. 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，几何概型，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．B 【分析】计算水的体积34000V cm =，容器口的面积2100πS cm =，相除得到答案. 【详解】水的体积32020104000V cm =⨯⨯=，容器口的面积22π10100πS cm =⋅=，∴降雨量400012.7127100πcm mm =≈=， 故选：B. 【点睛】本题考查了几何体体积的应用，意在考查学生的计算能力，理解能力和应用能力. 5．C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键. 6．C 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，则d ==0m =或4-，当0m =时，直线过原点；若过原点，把()0,0代入()2200242++=>，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题. 7．C 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得到122x x +=，213x x ⋅=-，故()()112211FA FB x x x x ⋅=+⋅+，代入计算得到答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，)F，由221220y x x y =+⎧⎨--=⎩，得到2230x x --=， 122x x ∴+=，213x x ⋅=-.()()112211FA FB x x x x ⋅=+⋅+)()())121221423124x x x x =-++=⨯--⨯+=-故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线中向量的数量积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8．A 【分析】如图所示：画出可行域，设32Z x y '=--，根据图像得到71Z '-≤≤，得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域， 设32Z x y '=--，则12'33Z y x +=-，2'3Z +-表示直线与y 轴的截距， 根据图像知：当直线过点()2,1-时，Z '有最小值为7-；当直线过点()0,1-时，Z '有最大值为1，71Z '∴-≤≤，[]0,7Z Z '∴=∈， 故选：A.【点睛】本题考查了线性规划问题，设32Z x y '=--求出最值是解题的关键. 9．C 【分析】P 点的轨迹为过点C 与直线1BD 垂直的截面与正方体的表面的交线，计算得到答案.【详解】P 点的轨迹为过点C 与直线1BD 垂直的截面与正方体的表面的交线.如图所示：易知AC BD ⊥，1DD BD ⊥，故AC ⊥平面1BDD ，1BD ⊂平面1BDD ， 故1AC BD ⊥，同理可得：11B C BD ⊥，故1BD ⊥平面1ABC .动点P 的轨迹为不包含点C 的1ABC ，周长=故选：C.【点睛】本题考查了空间中的轨迹问题，确定1BD ⊥平面1ABC 是解题的关键. 10．D 【分析】根据周期得到1ω=或2ω=，当1ω=时不成立，验证2ω=时成立，得到答案. 【详解】 由条件知15π5π5π261212T ≥-=，π5π12ω∴≥，125ω∴≤，*ω∈N ，1ω∴=或2ω=， 当1ω=时，()πsin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，5π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π,643x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，不单调； 当2ω=时，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2π3π2,632x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，单调递减. 故选：D. 【点睛】本题考查了根据三角函数的单调性求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．D 【分析】利用点到直线的距离公式得出点1F 到0bx y a-=的距离，从而得出12PF b =，22PF a =，12cos aF F P c∠=，结合抛物线的定义得出122212cos F F PF PF F F P =+∠，化简得22c ac a =+，利用离心率公式得出210e e --=，求解即可得出答案.【详解】由题意可得过一三象限的渐近线方程为by xa=，则点1F到0bx ay-=的距离为b=所以在12F PF△中，12PF b=，22PF a=，122F F c=∴12cosaF F Pc∠=由抛物线的定义可知，点P到准线x c=-的距离等于点P到2F的距离∴122212cosF F PF PF F F P=+∠，∴12222cosc a a F F P=+∠即22c ac a=+∴210e e--=，∴e=(负值舍去)．故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，构造齐次方程法求离心率是解题的关键，属于中档题. 12．C【分析】画出函数图像得到()1ln11a b c b b e b eb++=+-++<<，设()1ln1g x x x ex=+-++，求导得到函数的单调区间，得到取值范围.【详解】()ln ,01ln 0ln ,111,x x x x e f x x x e x e x e x e x e-<<⎧⎧<<⎪==≤<⎨⎨-++≥⎩⎪-++≥⎩，，，画出函数图像，如图所示：因为()()()f a f b f c ==，01a b e c <<<<<，ln ln 1a b c e ∴-==-++，1a b ∴=，ln 1c b e =-++，()1ln 11a b c b b e b e b∴++=+-++<<， 设()()1ln 11g x x x e x e x=+-++<<， ()222211221111x x x x g x x x x x⎛+-- --⎝⎭⎝⎭'=--==， () g x ∴在⎛ ⎝⎭上递减，在1,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增.()min ln 1g x g e ∴==++⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的零点问题，利用导数求最值，构造函数()1ln 1g x x x e x=+-++是解题的关键. 13．0.8 【分析】计算2x =， 2.6y =，代入回归方程得到答案. 【详解】013424x +++==，0.9 1.9 3.2 4.42.64y +++==， 2.621b ∴=⨯+，0.8b ∴=.故答案为：0.8. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．25-【分析】根据极值点得到 tan 3θ=-，再利用齐次式计算得到答案. 【详解】()3 cos sin f x x x '=+()3 cos sin 0f θθθ'∴=+=， tan 3θ∴=-，222222sin cos 2cos 2tan 22sin 22cos cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ++∴+===-++. 故答案为：25-. 【点睛】本题考查了函数的极值点，根据齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力.15【分析】根据正弦定理得到a b =，根据余弦定理得到2a b ==，再计算面积得到答案. 【详解】由正弦定理sin sin cos sin cos A B C C A =+，()sin sin cos sin cos B C B C C A ∴+=+，cos sin sin cos B C C A ∴=.cos cos B A ∴=，A B ∴=，a b ∴=，由cos 2CA CB ab C ⋅==，及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，22422a b =+-⨯，228a b ∴+=，2a b ∴==，所以三角形ABC【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．16π3【分析】三棱锥P ABD -中，取BD 中点为E ，连接PE ，得到PE ⊥平面ABD ，E 为ABD △外心，故球心O 在PE 上，)2221R R +=，解得答案.【详解】在直角梯形ABCD 中，30ADB ∠=︒.60BDC ∴∠=︒.2BD CD ==，BDC ∴为正三角形，三棱锥P ABD -中，取BD 中点为E ，连接PE ，PE BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABD ，则PE ⊥平面ABD ，E 为ABD △外心，故球心O 在PE 上，PE =设球半径为R ，则)2221RR +=，解得3R =16π3S ∴=. 故答案为：16π3.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 17．（1）20户（2）①贫困户1人，脱贫户6人，小康户3人②13【分析】（1）直接根据比例关系计算得到答案.（2）①根据比例关系得到答案，②设1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 表示脱贫户；1b ，2b ，3b 表示小康户，3b 表示收入最高的那一户，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）52002050n =⨯=，∴该地区还有20户未脱贫. （2）①贫困户510150⨯=人，脱贫户3010650⨯=人，小康户1510350⨯=人. ②设1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 表示脱贫户；1b ，2b ，3b 表示小康户，3b 表示收入最高的那一户.由上表可知，61183P ==. 【点睛】本题考查了分层抽样，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18．（1）32n a n =-（2）()()281lg 317n n --+【分析】（1）111a S ==，2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-，验证得到答案. （2）()()322lg 32lg 31n n b n n -=+--+.根据分组求和法和裂项求和法计算得到答案.【详解】（1）当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-， 当1n =时满足32n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-.（2）()()32321322lg2lg 2lg 32lg 3131na n n n n n a nb n n a n --+-=+=+=+--++， ()()()()1212231222lg lg lg lg lg lg n a a a n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦()()()11218281lg lg lg 31187n n n a a n +--=+-=-+-.【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）取BC 中点为G ，连接GA ，GF ，GD ，证明平面GDF ∥平面ABE 得到答案. （2）EBD ∠为直线BE 与平面ABCD所成的角，ED DB ==，根据等体积法计算得到答案. 【详解】（1）取BC 中点为G ，连接GA ，GF ，GD ，1//2AD BC ，////AD BG GC ∴，∴四边形ABGD 和四边形AGCD 均为平行四边形，////AG DC EF ∴，∴四边形AGFE 为平行四边形，GF AE ∴∥，GF ∴∥平面ABE ，GD AB ∥，GD ∴∥平面ABE ，GF GD G ⋂=，∴平面GDF ∥平面ABE ，DF ⊂平面GDF .DF ∴∥平面ABE .（2）ED DC ⊥，平面EDCF ⊥平面ABCD ，ED ∴⊥平面ABCD ，.EBD ∴∠为直线BE 与平面ABCD 所成的角，45EBD ∴∠=︒，ED DB ∴==由（1）有//DF 平面ABE ，11121332F ABE D ABE E ABD ABD V V V S ED ---∴===⨯=⨯⨯⨯=△.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．（1）22y x =（2）是过定点；定点()0,1 【分析】（1）设(),M x y ，圆心M 在AB 1x =+，化简得到答案.（2）判断l 与x 轴不垂直，设l ：()0y kx m k =+≠，211,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立方程得到122y y k +=，122m y y k=，代入计算得到1m =，得到答案. 【详解】（1）设(),M x y ，圆心M 在AB 的垂直平分线上，r ∴=M 到直线10x +=的距离，1x =+，化简整理得到22y x =.（2）若l 与x 轴垂直，设l ：x t =，则(C t ，(,D t ， 由0OC OD k k +=，与题设矛盾，故l 与x 轴不垂直.设l ：()0y kx m k =+≠，211,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y D y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由22y kx m y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2220ky y m -+=，122y y k ∴+=，122my y k =，()1212122222OC OD y y k k y y y y ++=+==.1212y y y y ∴+=，22m k k ∴=，1m ∴=，∴直线l 经过定点()0,1.【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21．（1）2120,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）证明见解析；【分析】（1）23x x t e=，设()23x x g x e =，求导得到单调区间，根据图像得到答案.（2）根据题意只需证明()240b b e b --+<，设()()()2402x h x x e x x -=-+<<，求导设()()()23102x x e x x ϕ-=-+<<，得到函数的单调性，得到答案.【详解】（1）由()0f x =有23x x t e=，设()23x x g x e =，则()()32xx x g x e -'=. ()(),02,x ∴∈-∞⋃+∞时，()0g x '<；()0,2x ∈时，()0g x '>.所以()g x 在(),0-∞和()2,+∞单调递减，在()0,2单调递增. 又x ∈R 时()0g x ≥，()00g =，()2122g e=，画出函数图像，如图所示：当函数()f x 存在三个不同的零点时，y t =与()g x 的图象有三个不同的交点，2120,t e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.（2）如图，有02a b c <<<<.∴要证明4b c +>，只要证明42c b >->，又()g x 在()2,+∞单调递减， 故只要证明()()4g c g b <-，又()()g c g b =，只要证明()()4g b g b <-，即()226343b bb b e e--<，即()22244b b b e -<-， 两边开方有()24b b b e -<-，即()240b b eb --+<，其中02b <<.设()()()2402x h x x e x x -=-+<<，()()231x h x e x -'=-+，设()()()23102x x ex x ϕ-=-+<<，()()220x x e x ϕ-'∴=-<，()x ϕ∴在()0,2上递减，()()20x ϕϕ∴>=，即()0h x '>.()h x ∴在()0,2上递增.()()20h x h ∴<=，()0h b ∴<，即()22244b b b e -<-成立.4b c ∴+>成立.【点睛】本题考查了根据函数零点求参数范围，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．（1）221106x y +=；80x y --=（2）48 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案. （2）易知AB =，设)P θθ，故d ≤.【详解】（1）x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故曲线C 的普通方程：221106x y +=；πcos 84θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即cos sin 80ρθρθ--=，故直线l 的直角坐标方程：80x y --=. （2）易知AB =，设)Pθθ，则P 到直线l的距离84sin d θϕ-+==≤当()sin 1θϕ+=-时等号成立.PAB S ∴△的最大值max 114822AB d =⨯=⨯=. 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23．（1）()5,1,3x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）max 1a = 【分析】 （1）讨论12x >，102x <≤，0x ≤三种情况，计算得到答案.（2）由题意()()min2a f x x ≤+，()()2g x f x x =+，计算函数的最小值得到答案.【详解】（1）1 2314x x ⎧>⎪⎨⎪->⎩，或10214x x ⎧<≤⎪⎨⎪-+>⎩，或0314x x ≤⎧⎨-+>⎩，解得53x >或1x <-. 即()5,1,3x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题意()()min 2a f x x ≤+，令()()151,2121,021,0x x g x f x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪=+=+<≤⎨⎪-+≤⎪⎪⎩()g x ∴在(),0-∞上递减，在()0,∞+上递增.()()min 01g x g ∴==，1a ∴≤，即max 1a =.【点睛】本题考查了绝对值不等式，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.。

2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r14．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+49．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝14．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n﹣3．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，点C在以AB为直径的上运动，P A⊥平面ABC，且P A＝AC，点D、E分别是PC、PB的中点．（1）求证：PC⊥AE；（2）若AB＝2BC＝2，求点D到平面P AB的距离．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M【解答】解：N＝{x|0＜x＜1}；∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，M∪N＝{x|x＜1}，N⊊M．故选：D．2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，，故选：B．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．4．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：＝（1+λ，2），∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得λ＝．故选：C．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，即为ax﹣by＝0，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心（2，1），半径为1，由直线和圆相切可得，＝1，化为a2+b2＝4a2﹣4ab+b2，可得3a＝4b，∴＝．故选：B．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【解答】解：2πr＝πR，所以r＝，则h＝，所以V＝故选：A．7．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣＝•+sin2x﹣＝sin （2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+4【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，可得a＝2，∴函数f（x）＝x3+2x，可得f′（x）＝3x2+2，又f（1）＝3；∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为：5，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方程为：y﹣3＝5（x﹣1）．即y＝5x﹣2．故选：A．9．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知：S△＝＝24，S白＝π×32＝，记事件A为“该点落在阴影部分”，由几何概型中的面积型得：P（A）＝1﹣＝1﹣＝1﹣，故选：B．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③【解答】解：①中利用GE∥BD，EF∥BB1，可证得平面EFG∥平面BB1D1D，从而确定BD1∥平面EFG；②中利用EF⊥A1B则EF⊥BD1；EG⊥AD1，则EG⊥BD1，可得BD1⊥平面EFG；③设棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，2），G（0，2，1），∴，，，∴＝﹣2﹣2+4＝0，＝2﹣4+2＝0，∴BD1⊥EF，BD1⊥EG，∴BD1⊥平面EFG，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）【解答】解：f（f（x））＝，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝25【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣3）＝2﹣（﹣3）＝5，则f（f（﹣3））＝f（5）＝（﹣5）2＝25；故答案为：2514．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为11．【解答】解：先根据x，y满足不等式，画出可行域，目标函数z＝x+2y，经过点B时z取得最大值，B（1，5），可得z max＝1+2×5＝11，故最大值为：11，故答案为：11．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝±1．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心为C（1，1），半径为1，则圆心到直线的距离为d＝，即＝，解得：k＝±1．故答案为：±1．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为（，2]【解答】解：∵，∴cos B（cos C﹣sin C）＝cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C，可得：sin B sin C＝sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得：tan B＝，∴由B为锐角，可得B＝，∵由正弦定理＝，b＝1，∴a+c＝（sin A+sin C）＝[sin A+sin（﹣A）]＝（cos A+sin A）＝2sin （A+），∵，可得：A∈（，），∴A+∈（，），可得：sin（A+）∈（，1]，∴a+c＝2sin（A+）∈（，2]．故答案为：（，2]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和．【解答】解：（1）因为2S n ＝3a n ﹣3． 所以2s n ﹣1＝3a n ﹣1﹣3（n ≥2） 所以2a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1（n ≥2）， ∴＝3（m ≥2），∵2s 1＝3a 1﹣3， ∴a 1＝3数列{a n }是以首项为3，公比为3的等比数列，故a n ＝3n （2）因为b n ＝＝＝所以∴T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝ ＝1﹣＝18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的上运动，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝AC ，点D 、E 分别是PC 、PB 的中点． （1）求证：PC ⊥AE ；（2）若AB ＝2BC ＝2，求点D 到平面P AB 的距离．【解答】（1）证明：∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，又AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC．∴BC⊥PC，∵DE是△PBC的中位线，∴DE∥BC，∴PC⊥DE，∵P A＝AC，D是PC的中点，∴AD⊥PC，又AD∩DE＝D，∴PC⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴PC⊥AE．（2）解：取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，∵D，F分别是PC，AC的中点，∴DF∥P A，又DF⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴DF∥平面P AB，∴D到平面P AB的距离等于F到平面P AB的距离．∵P A⊥平面ABC，FM⊂平面ABC，∴FM⊥P A，又FM⊥AB，P A∩AB＝A，∴FM⊥平面P AB，∴F到平面P AB的距离为线段FM的长．在Rt△ABC中，∵AB＝2AC＝2，∴AC＝，∴C到AB的距离为＝，又F为AC的中点，∴FM＝．∴点D到平面P AB的距离为．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．【解答】解：（1）样本中图书的销售单价在[14，16）内的图书数是x•2×100＝200x，样本中图书的销售单价在[18，20）内的图书数是y•2×100＝200y，依据题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①根据频率分布直方图可知（0.1×2+0.025+x+0.05+y）×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075．（3分）根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为×0.025×2+×0.05×2+×0.1×2+×0.15×2+×0.1×2+×0.075×2＝0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85＝14.9（元）（6分）（2）因为销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]的图书的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的40本图书中，销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]内的图书分别为40×＝2，40×＝4，40×＝8，40×＝12，40×＝8，40×＝6 （本）（8分）（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为A1，A2，另外4本记为B1，B2，B3，B4，从中抽取2本的基本事件有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：这2本书价格都不低于10元的概率P＝＝．（12分）20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点（0，1）与椭圆C的一个焦点重合，∴c＝1，又∵椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，则a2＝b2+c2＝2．故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＝4（2k2﹣2m2+4）＞0，即k2﹣m2+2＞0．，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝．由条件OA⊥OB，得3m2﹣2k2﹣2＝0，原点O到直线l的距离是d＝，由3m2﹣2k2﹣2＝0，得d＝为定值．又圆心到直线l的距离为，∴直线l与圆由公共点P，满足条件．由△＞0，即k2﹣m2+2＞0，∴＞0，即m2+2＞0．又，即3m2≥2，∴，即m或m．综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，∴，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故f（x）在x＝a取得极小值0，∴f（a）＝a﹣alna﹣1＝0，令p（a）＝a﹣alna﹣1，p'（a）＝﹣lna，所以p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）＝0，∴f（a）＝0的解为a＝1，故a＝1．证明：（2）证法1：由，∵a≤1，所以只需证当t＞0时，恒成立，令，由（1）可知x﹣lnx﹣1≥0，令x＝e t得e t﹣t﹣1≥0，∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）＝0，故．证法2：，设（t＞0），则g'（t）＝e t﹣at﹣a，则g''（t）＝e t﹣a，又e t＞e0＝1，a≤1，得g''（t）＞0，∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）＝1﹣a≥0，∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）＝0，故．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2cosθ，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x，由消去参数t得直线l得普通方程为y＝x﹣2．（2）证明，将直线l的参数方程代入y2＝2x中，t2﹣10t+40，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2＝10，t1t2＝40．第21页（共22页）所以|MN|2＝|t1﹣t2|2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝40，因为|PM|×|PN|＝|t1t2|＝40＝|MN|2，∴|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜|x﹣1|，可得|x+3|﹣2＜|x﹣1|，当x≥1时，x+3﹣2＜x﹣1不成立，当﹣3＜x＜1时，x+3﹣2＜1﹣x，∴﹣3＜x＜0，当x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣2＜1﹣x，﹣5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x﹣1|的解集为{x|x＜0}．（2）依题意，|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2≥b，令g（x）＝|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2＝，易知g（x）max＝g （）＝，则有≥b，即实数b 的取值范围是（﹣∞，]．第22页（共22页）。

2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试文 科 数 学 试 卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x |11≤≤-x }，则A ∩B =（ ） A. (]1,0B . []1,1-C. {}1D. {}1,1-2．已知复数z 满足（1+i ）z =3+i ，则复数z 的模是（ ） A. 1B. 5C. 2D. 43．已知函数⎩⎨⎧=≥-+<+)1(32)1)(1lg(2)(x xx x x x f ，则f （f （-3））的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34．若抛物线y =ax 2的焦点坐标是（0，1），则a =（ ） A. 1 B.21 C.2 D.41 5．“x ＜1”是“log 2x ＜0”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6．已知角α在第二象限，若53sin =α，则tan2α=（ ） A. 32 B.724 C.724- D.43-7. 在等差数列{}n a 中，已知1071=+a a ，则=+53a a （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A. 213log 32+B. 2log 3C. 2D. 39．已知点P 的坐标（x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+-≥-+0620202y x y x y x ，则1+x y 的最大值（ ） A. 2B.21 C.34 D. 810．在平面直角坐标系中，经过点P ），（2-22，渐近线方程为y =x 2±的双曲线的标准方程为（ ）A. 12422=-y xB. 114722=-y xC.16322=-y xD.171422=-x y 11．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角B -AD -C ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A.π3B.π4C.π5D.π612. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间[]2,1--上是减函数，且满足()()2f x f x -=-．令()()()ln 2ln3ln5,,,,235a b c f a f b f c ===，则的大小关系为 A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >> D ．()()()b f c f a f >>二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1312nn S =-，则4a =______． 14.曲线x y =在点（4，2）处的切线的斜率为______．15.将函数f （x ）=2cos （2x +6π）的图象向左平移t （t ＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为______． 16.若lg a +lg b =0，则ba 12+的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分12分）已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求c .18．（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是邻边相等的矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =2，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PB ⊥ED ； （Ⅱ）求三棱锥A -PBE 的体积．19．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率。