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6. 1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x、y,若对于兀在某个实数集合£＞内的每一个确定的值，按照某个对应法则/, y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是兀的函数，记作y = /&），XG Do（2）三角函数线设任意角Q的顶点在原点0,始边与兀轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）,过P作兀轴的垂线，垂足为M；过点4（1,0）作单位圆的切线，设它与角G的终边（当©在第一、四象限角时）或其反向延长线（当Q为第二、三象限角时）相交于7\ 规定：当0M与兀轴同向时为正值，当0M与兀轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；根据上面规定，则0M=x,MP=yj由止弦、余弦、正切三角比的定义有:sin心丿r 1 y = MP；x xcosa = — = — = x = OM ；r 1ta^ = 2=MP = AT = AT；x 0M 0A这几条与单位圆有关的有向线段MP^OM^AT叫做角a的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲授新课【问题驱动1】一一结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由.1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：y = sinx,xwR；（2）余弦函数：y = cosx,xwR【问题驱动2】如何作出正弦函数y = sinx,A：w/?、余弦函数y = cosx,xe R的函数图象？2、正弦函数y = sinx,xe R的图像（1） y = sinx,xe [0,2^]的图像【方案1】一一几何描点法步骤1：等分、作正弦线一一将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；【方案2】一一五点法步骤1:列表一一列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 步骤2：描点一一定出五个关键点；小结：y = sin ［0,2^］的五个关键点是（0,0）.（2） y = sinx,xe /?的图像由 sin （2^ + x ） = sin x.ke Z ,所以函数 y = sinx 在区间［2R 龙,23 + 2龙］ （展Z,kH0）上的图像与在区间［0,2龙］上的图像形状一样，只是位置不同.于是我们只要将函数y = sinx,^G ［0,2龙］的图像向左、右平行移动（每次平行移动2龙 个单位长度），就可以得到正弦函数y = sinx,xe /?的图像。
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1 、复习（ 1 ）函数的观点在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数会合 D 内的每一个确立的值，依据某个对应法例f， y 都有独一确立的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作y f x ，x D 。
（ 2 ）三角函数线设随意角的极点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆订交于点P( x, y)，过P 作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0) 作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延伸线（当为第二、三象限角时）订交于T .规定：当OM与x 轴同向时为正当，当OM与 x 轴反向时为负值；当MP与y 轴同向时为正当，当MP 与y 轴反向时为负值；当 AT与y 轴同向时为正当，当AT 与y 轴反向时为负值；依据上边规定，则OM x , MP y ,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin y yMP ；ry1cos x xOM ；rx1tany MP ATAT ；x OM OA这几条与单位圆相关的有向线段MP ,OM , AT 叫做角的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲解新课【问题驱动 1 】——联合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦 )为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值 )之间能否也存在一种函数关系？若存在，请对这类函数关系下一个定义；若不存在，请说明原因．1、正弦函数、余弦函数的定义（ 1）正弦函数：y sin x, x R ；（ 2）余弦函数： y cos x, x R【问题驱动 2 】——怎样作出正弦函数y sin x, x R 、余弦函数 y cos x, x R 的函数图象？2 、正弦函数y sin x, x R 的图像（ 1） y sin x, x0,2的图像【方案 1 】——几何描点法步骤 1 ：平分、作正弦线——将单位圆平分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤 2 ：描点——平移定点，即描点x,sin x ；步骤 3 ：连线——用圆滑的曲线按序连接各个点小结：几何描点法作图精准，但过程比较繁。
讲解新课：正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.（3）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？y=cosxy=sinxπ2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11y x-11o xy小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0,0)(2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.5．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R .一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝ωπ2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解读式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T ＝2π，(2)T ＝22π＝π，(3)T ＝2π÷21＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin(－18π)－sin(－10π)； (2)cos(－523π)－cos(－417π)．例3 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.例4.f (x )＝sin x 图象的对称轴是.例5.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?【当堂训练】1.函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( )A.奇函数而不是偶函数B.偶函数而不是奇函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数2.函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π3.设条件甲为“y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23π”，则甲是乙的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为．5.函数y ＝sin2x tan x 的值域为.6.函数y ＝x －sin x ，x ∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B.2π－1 C.πD.2243-π7.求函数y ＝2sin 22x ＋4sin2x cos2x ＋3cos 22x 的最小正周期.8.求函数f （x ）＝sin 6x ＋cos 6x 的最小正周期，并求f （x ）的最大值和最小值.9.已知f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin 1+-，问x 在［0，π］上取什么值时，f （x ）取到最大值和最小值.10.给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin2x －cos2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是.11.求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋6π)；②y ＝3sin(3π－2π)12.求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.13.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4πC.x ＝8π D.x ＝45π【家庭作业】1.在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( ) A.［2π，π］ B.［0，4π］C.［－π，0］D.［4π，2π］ 2.若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值. .]4,3[sin 2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例ωππωω-=x x f4.求下列函数的定义域、值域：（1）； （2） ； （3） ．5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：（1） ， ； （2） ， ； （3）（4） ．6．要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）； （2） ．37.函数，的简图是（）8.函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 9.函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．10.如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C．D．或11.与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，12.函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．13.求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．参考答案：例1解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现.∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π.即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现.∴y ＝sin2x 的周期是π.(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数.从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关.例2解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． 且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数. ∴sin(－10π)＜sin(－18π) 即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π ∵0＜4π＜53π＜π 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos53π＜cos 4π 即cos 53π－cos 4π＜0 ∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0 例3解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜y y --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 例4解：由图象可知：对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z ) 例5解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π (k ∈Z ) ∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π 即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求. (2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π) 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π 得k π－12π≤x ≤k π＋125π (k ∈Z )为所求. 或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数， ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减. 设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π 解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z ) ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减. 【当堂训练】 1.A 2.A 3.B 4.2π 5.［0，2) 6.C 7.2π 8.Ｔ＝2π 函数最大值为1 函数最小值为41. 9.x ＝4π时，f (x )取到最小值31； x ＝43π时，f (x )取到最大值3. 10．分析:①y ＝sin x 是周期函数,自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝4π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin 3π＞sin(6π＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π 由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④11. 解：①设ｕ＝2x ＋6π，则y ＝cos ｕ当2k π－π≤ｕ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵ｕ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Ζ) 即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为： ［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z ) ②设ｕ＝3π－2π，则y ＝3sin ｕ 当2k π＋2π≤ｕ≤2k π＋23π时，y ＝3sin ｕ随x 增大在减小， 又∵ｕ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π 即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为 ［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )12. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数. 13. 方法一：运用性质1′,y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z ),令k ＝－1,得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应. 故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A. 【家庭作业】 1.分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ (x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ (x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π ∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π ∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－411π，47π］、［－43π，4π］、［45π，49π］， 对照选择支，可知应选B像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是： x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π (k ∈Z )，对照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.2. 解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的. 当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x =)2cos(1)2sin 112cos 1(12222θ-+=++++x a x a x a aa其中cos θ＝2211sin ,1aaa +=+θ即tan θ＝a1cos sin =θθ 函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z )∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－⇒8π22πθk +=－8π∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求. 3. 解：由题设得)(2222Z k k x k ∈+≤≤-ππωππ.230.42,32.2222,0⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-≤-∴+≤≤-∴>ωπωππωπωπωπωπωπω解得k x k故ω的取值范围为].23,0(4. 解：（1） ，（2）由 （）又∵ ，∴∴定义域为 （），值域为． （3）由 （），又由∴∴定义域为（ ），值域为 ．指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．5.解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？6.解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．7．B 8．B 9．A 10．C 11．D12．；；13.分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．。
